Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów. Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych to stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego. Przypomnijmy, jakie występują boki i kąty w trójkącie prostokątnym: Ważne! Naprzeciwko mniejszego kąta ostrego w trójkącie leży krótsza z przyprostokątnych. Na poziomie maturalnym obowiązuje znajomość trzech funkcji trygonometrycznych: - sinus (sin), - cosinus (cos), czytamy: kosinus - tangens (tg), Funkcje trygonometryczne to stosunki boków danego trójkąta. Liczymy je dla konkretnego kąta ostrego.. W każdym trójkącie prostokątnym mamy dwa kąty ostre; zazwyczaj oznaczane jako i. W powyższych wzorach jest przyprostokątną : przeciwległą do kąta i przyległą do kąta. jest przyprostokątną : przeciwległą do kąta i przyległą do kąta. 1
Słowami, w trójkącie prostokątnym: 1) sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do przeciwprostokątnej; 2) cosinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej przyległej do tego kąta do przeciwprostokątnej; 3) tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej; Ponieważ sinus i cosinus kąta jest stosunkiem przyprostokątnej do przeciwprostokątnej, więc sinus i cosinus kąta jest zawsze liczbą mniejszą od jedności, tangens zaś może przybierać różne wartości, większe lub mniejsze od 1. Wyznaczając funkcje trygonometryczne należy zawsze określać, tak jak to przedstawiono powyżej. Nie możemy zapamiętywać ich wzrokowo. Podany w zadaniu trójkąt może mieć inne oznaczenia boków, różne położenia, np. być obrócony. Przykład: Wyznacz funkcje trygonometryczne kąta w następującym trójkącie: R: 2
Zadanie. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych dla podanych trójkątów: a) b) Tablice trygonometryczne* * ostatnia strona wzorów maturalnych Jeśli znamy miarę kąta, to wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta możemy odczytać z tablic trygonometrycznych. I na odwrót jeśli znamy wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej danego kąta, możemy znaleźć jego miarę w tablicach. Znamy kąt odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych dla tego kąta. Przykład: Podaj wartość sinusa, cosinusa i tangensa kąta o mierze. Dla podanego kąta i funkcji, odczytujemy kolejne wartości z tablicy. : Możemy więc zapisać, że: sin 15 0 = 0,2588 cos 15 0 = 0,9659 tg 15 0 = 0,2679 3
mamy podaną wartość funkcji trygonometrycznej odczytujemy miarę kąta. Przykład 1: Podaj miarę kąta, którego cosinus wynosi 0,6023. Szukamy w kolumnie funkcji cosinus podanej wartości (0,6023), a jeżeli nie ma jej w tabeli, szukamy wartości najbliższej do danej (dla naszego przykładu będzie to wartość 0,6018), a następnie w ostatniej kolumnie ( bo cos odczytujemy miarę kąta. Przykład 2: Podaj miarę kąta, którego tangens wynosi 2,5. Kąt ma więc w przybliżeniu miarę. Szukamy w kolumnie funkcji tangens podanej wartości (2,5000), a jeżeli nie ma jej w tabeli, szukamy wartości najbliższej do danej (dla naszego przykładu będzie to wartość 2,4751), a następnie w pierwszej kolumnie ( bo tg odczytujemy miarę kąta. Zadania Kąt ma więc w przybliżeniu miarę 68 0. 4
WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH DLA KĄTÓW,, Wartości funkcji trygonometrycznych wszystkich kątów możemy odczytać z tabeli, ale są to wartości mniej lub bardziej przybliżone. Gdy mamy do czynienia z kątami:,,, należy podstawiać dokładną wartość funkcji trygonometrycznych. Są one zawarte w tablicach matematycznych. Powyższe wartości pozwalają otrzymać dokładne wyniki obliczeń. Przykład 1: Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta: Dane: b = 6 cm c =? Rozwiązanie: Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej (c), mając daną przyprostokątną przy kącie 30 0, musimy wykorzystać funkcję cosinus Wnioski: 5
Przykład: Przykład : 6
Wyznaczanie długości boków i kątów w trójkątach prostokątnych przy użyciu funkcji trygonometrycznych nazywamy rozwiązywaniem trójkątów prostokątnych. Na zakończenie zadanie i króciutki test Zadanie: W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych stanowi 40% przeciwprostokątnej. Wyznacz kąty tego trójkąta z dokładnością do 1 0. 7