Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 1 Joanna Jaszuńska
Zagadka przedszkolna nr 1 rysowanie kopert Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki? Czy można tak narysować zamkniętą kopertę? Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 2 Joanna Jaszuńska
Zagadka przedszkolna nr 1 rysowanie kopert Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki? Czy można tak narysować zamkniętą kopertę? Kiedy obrazek można narysować i wrócić do punktu wyjścia? Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 2 Joanna Jaszuńska
Zagadka przedszkolna nr 1 rysowanie kopert Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki? Czy można tak narysować zamkniętą kopertę? Kiedy obrazek można narysować i wrócić do punktu wyjścia? Twierdzenie Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 2 Joanna Jaszuńska
Zagadka przedszkolna nr 1 rysowanie kopert Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki? Czy można tak narysować zamkniętą kopertę? Kiedy obrazek można narysować i wrócić do punktu wyjścia? Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Leonhard Euler (1707-1783) matematyk szwajcarski Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 3 Joanna Jaszuńska
Graf = wierzchołki + krawędzie rozważamy tylko grafy spójne Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 4 Joanna Jaszuńska
Graf = wierzchołki + krawędzie rozważamy tylko grafy spójne Np. ludzie i znajomości, miasta i połączenia kolejowe... Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 4 Joanna Jaszuńska
Graf = wierzchołki + krawędzie rozważamy tylko grafy spójne Np. ludzie i znajomości, miasta i połączenia kolejowe... krawędzie mogą być skierowane Np. kto kogo lubi, wyniki turnieju... Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 4 Joanna Jaszuńska
Graf = wierzchołki + krawędzie rozważamy tylko grafy spójne Np. ludzie i znajomości, miasta i połączenia kolejowe... krawędzie mogą być skierowane Np. kto kogo lubi, wyniki turnieju... stopień wierzchołka = liczba krawędzi przy nim Tw. Suma stopni wierzchołków grafu = 2 liczba krawędzi w grafie. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 4 Joanna Jaszuńska
Drogi i cykle Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 5 Joanna Jaszuńska
Drogi i cykle Np. wyprawa dookoła świata, portale społecznościowe, Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 5 Joanna Jaszuńska
Drogi i cykle Np. wyprawa dookoła świata, portale społecznościowe, liczba Erdősa... Paul Erdős (1913-1996) matematyk węgierski Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 5 Joanna Jaszuńska
Drogi i cykle Np. wyprawa dookoła świata, portale społecznościowe, liczba Erdősa... Paul Erdős (1913-1996) matematyk węgierski Droga (cykl) Eulera przechodzi przez każdą krawędź dokładnie raz. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 5 Joanna Jaszuńska
Mosty w Królewcu Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 6 Joanna Jaszuńska
Mosty w Królewcu Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 6 Joanna Jaszuńska
Mosty w Królewcu Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 6 Joanna Jaszuńska
Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska
Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna) W grafie istnieje cykl Eulera każdy wierzchołek ma stopień parzysty. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska
Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna) W grafie istnieje cykl Eulera każdy wierzchołek ma stopień parzysty. Dowód części. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska
Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna) W grafie istnieje cykl Eulera każdy wierzchołek ma stopień parzysty. Dowód części. Wn. W grafie istnieje droga Eulera, która nie jest cyklem są dokładnie 2 wierzchołki stopnia nieparzystego. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska
Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna) W grafie istnieje cykl Eulera każdy wierzchołek ma stopień parzysty. Dowód części. Wn. W grafie istnieje droga Eulera, która nie jest cyklem są dokładnie 2 wierzchołki stopnia nieparzystego. Tw. W grafie skierowanym istnieje cykl Eulera w każdym wierzchołku tyle samo krawędzi wychodzących i wchodzących. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska
Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem 10000 4 = 40000 cyfr Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem 10000 4 = 40000 cyfr szybciej? Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem 10000 4 = 40000 cyfr szybciej? Ciąg musi mieć co najmniej 10003 cyfry, Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem 10000 4 = 40000 cyfr szybciej? Ciąg musi mieć co najmniej 10003 cyfry, taki najkrótszy możliwy ciąg nazywamy ciągiem de Bruijna. Twierdzenie Ciąg de Bruijna zawsze istnieje. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem 10000 4 = 40000 cyfr szybciej? Ciąg musi mieć co najmniej 10003 cyfry, taki najkrótszy możliwy ciąg nazywamy ciągiem de Bruijna. Twierdzenie Ciąg de Bruijna zawsze istnieje. Ciąg dla 2-cyfrowych kodów 0-1 (00, 01, 10, 11) Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem 10000 4 = 40000 cyfr szybciej? Ciąg musi mieć co najmniej 10003 cyfry, taki najkrótszy możliwy ciąg nazywamy ciągiem de Bruijna. Twierdzenie Ciąg de Bruijna zawsze istnieje. Ciąg dla 2-cyfrowych kodów 0-1 (00, 01, 10, 11): 00110 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
Ciąg dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 9 Joanna Jaszuńska
Ciąg dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 011 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 10 Joanna Jaszuńska
Ciąg dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 011 111 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 11 Joanna Jaszuńska
Ciąg dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 011 110 111 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 12 Joanna Jaszuńska
Ciąg dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 011 101 110 111 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 13 Joanna Jaszuńska
Ciąg dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 010 011 101 110 111 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 14 Joanna Jaszuńska
Ciąg dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 010 011 100 101 110 111 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 15 Joanna Jaszuńska
Ciąg dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 000 010 011 100 101 110 111 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 16 Joanna Jaszuńska
Ciąg dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 000 001 010 011 100 101 110 111 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 17 Joanna Jaszuńska
Ciąg dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 000 001 010 011 100 101 110 111 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 18 Joanna Jaszuńska
Ciąg dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 000 001 010 011 100 101 110 111 Ten ciąg ma 10 = 8 + 2 cyfr. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 18 Joanna Jaszuńska
Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich 1000 10 = 10000 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich 1000 10 = 10000 W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich 1000 10 = 10000 W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących. Istnieje cykl Eulera, przechodzący przez każdą krawędź (kod) dokładnie raz. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich 1000 10 = 10000 W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących. Istnieje cykl Eulera, przechodzący przez każdą krawędź (kod) dokładnie raz. Wybór wierzchołka początkowego dodatkowe 3 cyfry. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich 1000 10 = 10000 W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących. Istnieje cykl Eulera, przechodzący przez każdą krawędź (kod) dokładnie raz. Wybór wierzchołka początkowego dodatkowe 3 cyfry. Pierwsze i ostatnie 3 cyfry ciągu są takie same cykl de Bruijna. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
Cykl dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 Ciąg ma 10 = 8 + 2 cyfr, cykl ma 8. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 20 Joanna Jaszuńska
Cykl dla 3-cyfrowych kodów 0-1 0111010001 Ciąg ma 10 = 8 + 2 cyfr, cykl ma 8. graf i ciąg de Bruijna dla 4-cyfrowych kodów 0-1 i dla 2-cyfrowych kodów 0-1-2 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 20 Joanna Jaszuńska
Ciągi de Bruijna szybciej? Z zaproponowanych metod łamania kodu: sprawdzanie losowo może trwać dowolnie długo... Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 21 Joanna Jaszuńska
Ciągi de Bruijna szybciej? Z zaproponowanych metod łamania kodu: sprawdzanie losowo może trwać dowolnie długo... sprawdzanie po kolei (10000 4 = 40000 cyfr) może zająć > 5,5 godziny Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 21 Joanna Jaszuńska
Ciągi de Bruijna szybciej? Z zaproponowanych metod łamania kodu: sprawdzanie losowo może trwać dowolnie długo... sprawdzanie po kolei (10000 4 = 40000 cyfr) może zająć > 5,5 godziny sprawdzenie ciągu de Bruijna (10003 cyfr) zajmuje < 1,5 godziny Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 21 Joanna Jaszuńska
Zagadka przedszkolna nr 2 domki i studnie Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 22 Joanna Jaszuńska
Zagadka przedszkolna nr 2 domki i studnie Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 22 Joanna Jaszuńska
Zagadka przedszkolna nr 2 domki i studnie Graf planarny da się narysować na płaszczyźnie tak, aby krawędzie się nie przecinały. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 22 Joanna Jaszuńska
Zagadka przedszkolna nr 2 domki i studnie Graf planarny da się narysować na płaszczyźnie tak, aby krawędzie się nie przecinały. Nie wszystkie grafy są planarne. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 22 Joanna Jaszuńska
Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska
Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska
Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Tw. Dla grafów planarnych bez cykli i wielokrotnych krawędzi 3s 2k. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska
Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Tw. Dla grafów planarnych bez cykli i wielokrotnych krawędzi 3s 2k. Liczba krawędzi to co najmniej trzykrotna liczba ścian Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska
Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Tw. Dla grafów planarnych bez cykli i wielokrotnych krawędzi 3s 2k. Liczba krawędzi to co najmniej trzykrotna liczba ścian, przy czym każdą krawędź liczymy dwa razy. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska
Graf K 5 nie jest planarny Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska
Graf K 5 nie jest planarny w = 5, k = 10, w k + s = 2 s = 7 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska
Graf K 5 nie jest planarny w = 5, k = 10, w k + s = 2 s = 7 3s = 21, 2k = 20, Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska
Graf K 5 nie jest planarny w = 5, k = 10, w k + s = 2 s = 7 3s = 21, 2k = 20, 3s 2k Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska
Graf K 5 nie jest planarny w = 5, k = 10, w k + s = 2 s = 7 3s = 21, 2k = 20, 3s 2k Domki i studnie (graf K 3 3 nie jest planarny) dowód analogiczny. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska
Grafy nieplanarne Twierdzenie Graf zawiera coś typu K 5 lub K 3 3 nie jest planarny. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 25 Joanna Jaszuńska
Grafy nieplanarne Twierdzenie Graf zawiera coś typu K 5 lub K3 3 nie jest planarny. Twierdzenie Kuratowskiego (wersja niezbyt formalna) Graf zawiera coś typu K 5 lub K3 3 nie jest planarny. Kazimierz Kuratowski (1896-1980) matematyk polski Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 25 Joanna Jaszuńska
Graf Petersena nie jest planarny Julius Peter Christian Petersen (1839-1910) matematyk duński Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 26 Joanna Jaszuńska
Graf Petersena nie jest planarny Julius Peter Christian Petersen (1839-1910) matematyk duński The end Ten i niektóre inne rysunki: http://commons.wikimedia.org Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 26 Joanna Jaszuńska