Matematyka Zastosowania geometryczne całek Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-3 Elblag Matematyka p. 1
Zastosowania geometryczne całek Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://denisjuk.euh-e.edu.pl/ Matematyka p. 2
Równania parametryczne krzywej Definicja 1. Niech dane będa dwie ciagłe w przedziale[t,t 1 ] funkcje, x = f(t) orazy = g(t). (1) Mówimy wówczas, że funkcje te określaja krzywa parametryczna na płaszczyźnier 2. Zmiennatnazywa się parametrem. O krzywej tej mówimy, że równania 1 sa równaniami parametrycznymi tej krzywej. Matematyka p. 3
Przykłady krzywych parametrycznych: okrag Przykład 2. x = Rcost,y = Rsint, t [,2π] określa okrag x 2 +y 2 = R 2 o promieniuriśrodku w punkcie(,): R R Matematyka p. 4
Przykłady krzywych parametrycznych: hyperbola Przykład 3. x = Rcosht,y = Rsinht, t [ 1,1] określa łuk hyperboli x 2 y 2 = R 2 : 1.5 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 -.5-1 Matematyka p. 5
Pole obszaru, ograniczonego krzywa parametryczna Twierdzenie 4. Niech krzywa będzie określona równaniami parametrycznymi x = g(t),y = h(t),t [t,t 1 ], a przy tym funkcjag(t) jest rosnaca i ma w tym przedziale pochodna ciagł a, to pole obszaru, ograniczonego łukiem danej krzywej, odcinkiem osiox oraz dwoma prostymix = x 2,x = x 2, gdziex 1 = g(t 1 ),x 2 = g(t 2 ) (rysunek 1), wyraża się wzorem P = x2 x 1 y dx = t2 t 1 h(t) g (t)dt. Matematyka p. 6
Obszar, ograniczony krzywa parametryczna Rysunek 1: x 1 x 2 Matematyka p. 7
Pole obszaru, ograniczonego krzywa parametryczna Twierdzenie 5. Jeżeli dana krzywa jest określona równaniami parametrycznymi w postacix = g(t),y = h(t),t [t,t 1 ], a przy tym funkcja g(t) jest malejaca i ma w tym przedziale pochodna ciagł a, to pole obszaru, ograniczonego łukiem danej krzywej, odcinkiem osi Ox oraz dwoma prostymix = x 2,x = x 2, gdziex 1 = g(t 1 ),x 2 = g(t 2 ) (rysunek refdrugi), wyraża się wzorem P = x2 x 1 y dx = t2 t 1 h(t) g (t)dt. Matematyka p. 8
Obszar, ograniczony krzywa parametryczna II Rysunek 2: x 1 x 2 Matematyka p. 9
Przykład Przykład 6. Znaleźć pole figury, zawartej między krzywymiy = x α ix = y α, rysunek 3. Dowód. P = 1 2 1 [ x x α α+1 dx = 1 2 α+1 ] 1 = α 1 α+1. Matematyka p. 1
Figura, zawarta międzyy = x α ix = y α 1 Rysunek 3:.8.6 x=y α.4 y=x α.2.2.4.6.8 1 Matematyka p. 11
Przykład II Przykład 7. Znaleźć pole elipsy o półosiach a i b (rysunek 4): x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. Dowód. Równanie parametryczne elipsy tox = acost,y = bsint, t [ π,π]. Więc P = 4 π/2 acost bcostdt = 4ab π/2 1+cos2t 2 π 2 dt = πab+absin2t = πa Matematyka p. 12
Elipsa o półosiachaib Rysunek 4: b a Matematyka p. 13
Współrzędne biegunowe Definicja 8. Wspólrzędne biegunowe punktu P(x, y) płaszczyzny zdefiniowane sa jako para(r,ϕ), gdzierjest odległościa punktup od poczatku układuo(,), aϕjest katem (zorientowanym), jaki tworzy półprostaop z osiaox, rysunek 5. OśOx nazywa się osia biegunowa. Spełnione sa równości:r = x 2 +y 2,x = rcosϕ,y = rsinϕ. Równanier = f(ϕ), gdzief(ϕ) jest ciagł a i nieujemna funkcja w przedziale[α, β], nazywa się równaniem we współrzędnych biegunowych, rysunek 5. Matematyka p. 14
Współrzędne biegunowe Rysunek 5: y P r O β ϕα x Matematyka p. 15
Pole figury we współrzędnych biegunowych Twierdzenie 9. Jeżeli krzywa dana jest we współrzędnych biegunowych r = f(ϕ), gdzief(ϕ) jest funkcja nieujemna ciagł a w przedziale[α,β], to pole obszaru, ograniczonego łukiem krzywej oraz promieniami o amplitudach α iβ (rysunek 5), wyraża się wzorem P = 1 2 β α r 2 dϕ = 1 2 β α f 2 (ϕ)dϕ. Matematyka p. 16
Przykład Przykład 1. Obliczyć pole, ograniczone rozeta trójkatn ar = cos3ϕ, rysunek 6. Dowód. P = 6 a2 2 π/6 cos 2 3ϕdϕ = 3a 2 π/6 1+cos6ϕ 2 = 3a 2 [ π 12 + sin6ϕ 12 dϕ = π 6 ] = πa2 4. Matematyka p. 17
Rozeta trójkatna Rysunek 6: ϕ=π/6 a Matematyka p. 18
Obliczanie długości łuku Twierdzenie 11. Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci y = f(x), gdzief(x) ma w przedziale[a,b] pochodna ciagła, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem L = b a 1+ ( ) dy 2 dx. dx Twierdzenie 12. Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem parametrycznym x = g(t),y = h(t), gdzie funkcjeg(t) ih(x) maja w przedziale[t 1,t 2 ] pochodne ciagłe oraz łuk krzywej nie ma części wielokrotnych, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem L = t 2 t 1 (dx ) 2 + dt ( ) dy 2 dt. dt Matematyka p. 19
Długość łuku we współrzędnych biegunowych Twierdzenie 13. Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem we współrzędnych biegunowychr = f(ϕ), gdzie funkcjaf(ϕ) ma w przedziale [α,β] pochodna ciagł a oraz łuk krzywej nie ma części wielokrotnych, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem L = β α r 2 + ( ) dr 2 dϕ. dϕ Matematyka p. 2
Długość łuku paraboli Przykład 14. Obliczyć długość łuku paraboliy = x 2 w przedziale[ 1,1]. Rozwiazanie. L = 1 = 1 1+4x 2 dx = [ 1 2 x 1+4x 2 + 1 4 ln( 2x+ 1+4x 2) = 5+ 1 ( ) 5+2 4 ln 5 2 ] 1 1 = Matematyka p. 21
Obwód asteroidy Przykład 15. Obliczyć obwód asteroidyx = acos 3 t,y = asin 3 t, t [,2π], gdziea >, rysunek 7. Rozwiazanie. L = 4 π/2 ( 3acos 2 tsint) 2 +(3asin 2 tcost) 2 dt = = 12a π/2 sin 2 tcos 2 t(cos 2 t+sin 2 t)dt = = 6a π/2 π 2 sin2tdt = 3acos2t = 6a. Matematyka p. 22
Asteroida Rysunek 7: a -a a -a Matematyka p. 23
Obwód elipsy Przykład 16. Obliczyć obwód elipsyx = acost,y = bsint, gdzie a > b >,t [,2π], rysunek 4. Dowód. L = 4 π/2 a 2 sin 2 t+b 2 cos 2 tdt = 4a π/2 1 ε 2 cos 2 tdt, gdzieε = a 2 b 2 /a nazywa się mimośrodem elipsy, zaś całka 1 ε 2 cos 2 tdt nie wyraża się przez funkcje elementarne i nazywa się całka eliptyczna. Matematyka p. 24
Objętość pole powierzchni bryły obrotowej Twierdzenie 17. Niech dany będzie łuk AB (rysunek 8) krzywej o równaniu y = f(x), gdzief(x) jest funkcja ciagł a i niemalejac a w przedziele[a,b]. Wówczas objętość bryły obrotowej,bryła obrotowa ograniczonej powierzchnia, która powstaje, gdy łuk wraz z rzędnymi w końcach łuku obraca się dookoła osi Ox, obliczmy według wzoru V = π b a y 2 dx. Pole powierzchni obrotowejpowierzchnia obrotowa powstałej przez obrót łuku AB dookoła osiox, przy założeniu, żef(x) ma pochodna ciagła, obliczamy według wzoru S = 2π b a y 1+ ( ) dy 2 dx. dx Matematyka p. 25
Bryła obrotowa Rysunek 8: B A a b Matematyka p. 26
Bryła obrotowa, równanie parametryczne Twierdzenie 18. Jeżeli równanie łuku dane jest w postaci parametrycznej x = g(t), y=h(t),t [t 1,t 2 ], przy czym obie funkcje maja w tym przedziale ciagłe pochodne, funkcja g(t) jest w tym przedziale stale monotoniczna, a funkcja g(x) przybiera wartości nieujemne, to na objętość bryły obrotowej mamy wzór t2 V = π a na pole powierzchni obrotowej t 1 y 2dx dt dt, S = 2π t2 t 1 (dx ) 2 y + dt ( ) dy 2 dt. dt Matematyka p. 27
Objętość i pole powierzchni stożka Przykład 19. Znaleźć objętość i pole powierzchni bocznej stożka o promieniu podstawy r i wysokości h. Rozwiazanie. Stożek powstaje przy obrocie odcinka prostej o równaniu y = r hx dookoła osiox, rysunek 9. S = 2π h V = π r h x 1+ h r 2 h 2x2 dx = πr2 x 3 3h 2 h = π 3 r2 h, ( r 2dx πr = h) r 2 +h 2 x 2 h h 2 = πr r 2 +h 2. Matematyka p. 28
Stożek Rysunek 9: r h Matematyka p. 29
Całkowanie stóp Przykład 2. Producent samochodów osobowych ocenia, że roczna stopa przyrostu kosztu utrzymania produkowanego przezeń samochodu wyraża się wzorem s(t) = 1+1t 2, gdzietoznacza wiek samochodu w latach, as(t) mierzone jest w zł/rok. Oblicz koszt utrzymania samochodu przez 3 lata (czyli K(3)). Rozwiazanie. K(3) = 3 3 s(t) dt (1+1t 2 )dt = [ 1t+ 1 3 t ] 3 = 3+9 = 39(zł) Matematyka p. 3
Całkowanie stóp Przykład 21. Wiadomo, że w czasie akcji charytatywnych przyrost dochodu jest wolniejszy wraz z upływem czasu akcji. Inaczej mówiac, stopa przyrostu dochodu maleje z czasem. Załóżmy, że stopa ta wyraża się wzorem s(t) = 1t 2 +2, i mierzona jest w zł/dzień. Czastmierzony jest w dniach. Załóżmy, że stopa przyrosyu kosztu akcji charytatywnej jest stała i równa 1 zł/dzień. Należy znaleźć: 1. czas trwania akcji, który daje maksymalny dochód, 2. wielkość tego dochodu, 3. koszt akcji, 4. zysk. Matematyka p. 31
Całkowanie stóp Rozwiazanie. Akcję warto prowadzić do chwili, gdy stopa przyrostu dochodu zrówna się ze stopa kosztu. 1t 2 +2 = 1 t = 1 Wielkość dochodu otrzymamy całkujac stopę przyrostu dochodu od do 1. D(1) = 166666 zł. 1 ( 1t 2 +2)dt = [ 1 3 t3 +2t ] 1 = Koszt akcji wyniesiek(1) = 1 1 = 1 zł. Zatem zysk po 1 dniach wyniesie Z(1) = D(1) K(1) = 66666 zł. Matematyka p. 32
Użyteczność towaru Załóżmy, że popyt na pewien towar jest następujac a funkcja ceny: PP(c) = c 2 4c+4. Niech podaż tego towaru wyraża się następujaco PD(c) = 1c. Cena równowagi wynosi c = 1 przy popycie równym 1. Przez użyteczność towaru rozumiemy jego wartość przy cenie równowagi, czyli U = 1 1 = 1. Użyteczność towaru wynosi tyle, ile zapłaca za niego klienci. Jest to pole prostokata o przeciwległych wierzchołkach w (,) i (1,1). Matematyka p. 33
Nadwyżka użyteczności towaru Sa klienci, którzy kupiliby towar po cenie wyższej od ceny równowagi. Dopiero przy cenie c = 2 > popyt spada do. Pole pod wykresem funkcji popytu dla zakresu cen od 1 do 2 również reprezentuje nadwyżkę użyteczności tego towaru. Dla naszego przykładu: 2 1 (c 2 4c+4)dc = [ 1 3 c3 2c 2 +4c ] 2 1 = 333. Zatem pełna użyteczność wyniesie 1+333 = 1333. Matematyka p. 34