Metody optymalizacji - wprowadzenie do SciLab a 1
Zmienne Nazwy: dozwolone nazwy zawierają znaki: od a do z, od A do Z, od 0 do 9 oraz _, #,!, $,? Operator przypisania wartości zmiennej = Przykład x=2 napis= Hello Operatory Operatory logiczne & (and), (or), ~ (not), == (operator równoważności) Operatory na łańcuchach <lancuch> + <lancuch> (połączenie) Operatory zakresu indeksów <start> : <stop> (zakres ze zmianą równą1) <start> : <krok zmiany> : <stop> Przykład hello + world 3:7 3:2:7 Zadanie 1: wypisz liczby całkowite od 10 do 1 malejąco 2
Macierze Definiowanie przez wprowadzenie z linii poleceń: [ oraz ] oznacza początek i koniec macierzy, oddziela elementy w wierszu ; oddziela wiersze : definiowanie zakresu Przykład a = [1,2,3] // wektor wierszowy b = [4 ; 5 ; 6] // wektor kolumnowy c = [1,2; 3,4; 5,6] // macierz 3 wiersze 2 kolumny d = [1:10] // wektor wartości od 1 do 10 e = 1:10 // wektor wartości od 1 do 10!! f = [d ; e] f = [1:10;1:10] Macierze Odwołanie się do elementów : ( oraz ) pozwala odwołać się do elementów, podając w nawiasach numer wiersza i kolumny oddzielony, : interpretowany jako cały zakres zmienności $ indeks ostatniego elementu Przykład c(2,1) c(1:2,1:2) c(1,:) c(:,1) c($,$) // 2-gi wiersz i 1-a kolumna // podmacierz // elementy 1-go wiersza // elementy 1-ej kolumny // prawy dolny element Zadanie 2: wypisz 2 pierwsze elementy macierzy c Zadanie 3: wypisz 3 ostatnie elementy macierzy c Zadanie 4: wypisz wszystkie elementy macierzy c 3
Macierze Odwołanie się do elementów : wybieranie elementów za pomocą macierzy wartości logicznych Przykład a=[1:5] b=sin(a) c=b>0 b(c) a(c) // macierz wartości logicznych // wybieranie // wybieranie Zadanie 5: z macierzy o wartościach całkowitych wybierz wartości większe od 7 Macierze Funkcje równomiernie zapełniające zakres linspace(a,b) liniowo od a do b (100 elementow) linspace(a,b,c) liniowo od a do b (c elementow) logspace(a,b) logarytmicznie j.w. Przykład linspace(1,100) linspace(1,100,10) g = logspace(1,3,3) log10(g) //domyslnie 100 elementow //10 elementow 4
Macierze Funkcje tworzące macierze specjalne ones() macierz zawierająca 1 zeros() macierz zawierająca 0 eye() macierz jednostkowa rand() macierz losowa Przykład ones(3,2) zeros(2,3) eye(4,4) rand(2,3) // macierz 3x2 // macierz 2x3 // macierz 4x4 // macierz 2x3 Macierze Funkcje tworzące macierze specjalne diag() utworzenie macierzy diagonalnej z elementów wektora lub wydobycie przekątnej z istniejącej macierzy Przykład h=[1:3] diag(h) h=rand(3,3) diag(h) // utworzenie macierzy diagonalnej // wydobycie przekątnej z macierzy 5
Macierze Operacje: operator transpozycji macierzy A + B dodanie dwóch macierzy +, -, *, / - dzielenie to mnożenie przez odwrotność!!!.*,./ - operacje na elementach macierzy Przykład A=[1,2,3] B=[4;5;6] A+A A+B // ERROR!!! A+B A+3 A B Macierze Przykład A * B // mnożenie w sensie Cauchy ego B * A // mnożenie w sensie Cauchy ego A * B // ERROR!!! A.* B // mnożenie element przez element A * 3 A B 6
Macierze Operacje (uwaga: zdefiniuj wpierw macierze) A + B = B + A // przemienność A + (B+C) = (A + B)+C // łączność I*A = A * I = A A * (B *C) = (A * B)*C // łączność A*B = B*A = I // B macierz odwrotna! Macierz osobliwa to macierz nie posiadająca macierzy odwrotnej, np. A = [1,2; 1,2] Zadania sprawdź powyższe zależności Rozwiązywanie układów równań a * x = b --> a -1 * a * x = a -1 * b Uwaga: w Scilabie możemy zapisać x = a\b!! Zadanie (rozwiązanie : x1 = 1, x2 = 2) x1 + 2x2 = 5 2x1 + x2 = 4 Program a=[1,2;2,1] b=[5;4] x=a^-1 * b x=a\b 7
Rozwiązywanie układów równań Zadanie x1+2x2 + 3x3 = 3 -x1-5x2 + 8x3 = 5 4x1 + 9x3 = 7 Proste wykresy Operacje: plot2d(matrix) matrix to wektor Nx1 lub 1xN (lub N x K) Program A=(0:0.1:6.28) B=sin(A) plot2d(b) 8
Proste wykresy Operacje: plot2d(x,y) wymaga wektorów kolumnowych! UWAGA na apostrof przy kopiowaniu z instrukcji Program x=[0:0.1:6.28] y=sin(x) plot2d(x,y) Proste wykresy Program x=[0:0.1:6.28] y=sin(x) y2=cos(x) plot2d(x,[y,y2],leg= sin@cos,style=[2,3]) xtitle( sin i cos, x, y ) 9
Proste wykresy Operacje: plot3d(x,y,z) Program x=linspace(0, 6.28,11) y=x z= cos(x) *cos(x) plot3d(x,y,z) Proste wykresy Zadanie: narysuj wykres funkcji f(x,y) = x 2 +y 2 x i y zmieniają się od -3 do 3 10
Proste wykresy Program: x=linspace(-3, 3,50) y=linspace(-3, 3, 50) xx=x' * ones(y) yy=ones(x)'*y z= (xx.*xx)+(yy.*yy) plot3d(x,y,z) Proste wykresy Operacje: param3d(x,y,z) wykres trajektorii Program t=linspace(0,4*%pi,101) x=2*cos(t) y=2*sin(t) z=4*t xset("thickness",3) param3d(x,y,z) xset("thickness",1) param3d(x,y,zeros(z)) 11
Funkcje Program cz. 1 function y = kwadrat (x) y = x * x endfunction function z = kwadrat2 (x1,x2) z = x1^2 + x2^2 endfunction Wykresy 2D Operacje: plot(x,y) Program cz. 2 x=linspace(1,10,50) plot(x,kwadrat) 12
Wykres konturowy Operacje: contour(x,y,z,nz) x (y) - wektor wartości o rozmiarze n1 (n2) z macierz wartości o rozmiarze n1 * n2 nz liczba poziomów Program cz. 3 x=linspace(-1,1,100) y=linspace(-1,1,100) contour(x,y,kwadrat2,10) 13
Optymalizacja Programowanie liniowe (linpro) Zadanie min z = 3x1 + 5x2 2x3 x1 + 3x2 = 5 x1 + x2 x3 = 2 2x1 x2 <= 3 x1 + x2 + x3 <=25 0 <= x1 <= 5, 0 <= x2 <= 10, 0 <= x3 <= 3 Optymalizacja Program p=[3;5;-2] C=[1,3,0;1,1,-1;2,-1,0;1,1,1]; b=[5;2;3;25] xl=[0;0;0] xu=[5;10;3] [xopt,lagr,fopt]=linpro(p,c,b,xl,xu,2) // 2 ograniczenia //równościowe!!! 14
Optymalizacja Zadanie Sprawdź dla poprzedniego zadania, jakie są rozwiązania, gdy liczba ograniczeń równościowych zmienia się od 0 do 4 Optymalizacja Programowanie kwadratowe (quapro) [UWAGA wymaga zainstalowania Quapro poleceniem atomsinstall("quapro") oraz ponownego uruchomienia Scilaba] Zadanie min z = x1 2 +x1x2+3x1+5x2-2x3 x1 + 3x2 = 5 x1 + x2 x3 = 2 2x1 x2 <= 3 x1 + x2 + x3 <=25 0 <= x1 <= 5, 0 <= x2 <= 5, 0 <= x3 <= 3 15
Optymalizacja Program Q=[2,1,0;1,0,0;0,0,0] p=[3;5;-2] C=[1,3,0;1,1,-1;2,-1,0;1,1,1]; b=[5;2;3;25] xl=[0;0;0] xu=[5;10;3] [xopt,lagr,fopt]=quapro(q,p,c,b,xl,xu,2) // 2 ogr. Równościowe UWAGA macierz Q musi być symetryczna i pozytywnie określona Optymalizacja Zadanie Napisz program dla funkcji celu postaci: min z = x1 2 +2x1x2+3x1+5x2-2x3 16
Optymalizacja Programowanie nieliniowe (optim) Zadanie min z = sin(x1*x2) + cos(x1) na obszarze ograniczonym przez nierówności: 0 <= x1 <= 10, 0 <= x2 <= 10 punkt startowy: (1, 1) Optymalizacja Programowanie nieliniowe (optim) Wymagane jest zdefiniowanie funkcji kosztu (np. o nazwie costf), która ma następujące wywołanie function [f, g, ind] = costf(x, ind) x to aktualne rozwiązanie, ind to flaga f to minimalizowana funkcja g to gradient funkcji 17
Optymalizacja Programowanie nieliniowe (optim) Wywołanie funkcji: optim(costf,'b',[0;0],[10;10],[1;1]) znaczenie kolejnych parametrów funkcji optim costf oznacza funkcję kosztów j.w. b oznacza że są aktywne ograniczenia dolne i górne ograniczenie punkt startowy domyślnie stosowana jest metoda quasi-newtona z BFGS Optymalizacja 18
Optymalizacja Program function [f,g,ind]=costf(x,ind) f = sin(x(1)*x(2))+cos(x(1)) g = [0;0] g(1)= x(2)*cos(x(1)*x(2))-sin(x(1)) g(2)= x(1)*cos(x(1)*x(2)) endfunction [fopt,xopt]=optim(costf,'b',[0;0],[10;10],[1;1]) Optymalizacja Zadanie Przeanalizuj działanie programu podanego w pomocy Scilaba dla funkcji optim, znajdującego minimum dla funkcji Rosenbrocka Optymalizacja metody stochastyczne Projekty Projekt 1 Algorytm genetyczny zakres projektu podaje prowadzący laboratorium Projekt 2 Metoda symulowanego wyżarzania zakres projektu podaje prowadzący laboratorium 19