SciLab Literatura. Tomasz Łukaszewski. Politechnika Poznańska Instytut Informatyki

Transkrypt

1 SciLab 2016 Tomasz Łukaszewski Politechnika Poznańska Instytut Informatyki Literatura A. Brozi, Scilab w przykładach, Nakom 2007 W. Treichelt i M.Stachurski, Matlab dla studentów, Witkom

2 Wprowadzenie 3 Zmienne Nazwy: dozwolone nazwy zawierają znaki: od a do z, od A do Z, od 0 do 9 oraz _, #,!, $,? Operator przypisania wartości zmiennej = Przykład x=2 napis= Hello 4 2

3 Operatory Operatory logiczne & (and), (or), ~ (not), == (operator równoważności) Operatory na łańcuchach <lancuch> + <lancuch> (połączenie) Operatory zakresu indeksów <start> : <stop> (zakres ze zmianą równą1) <start> : <krok zmiany> : <stop> Przykład hello + world 3:7 3:2:7 Zadanie 1: wypisz liczby całkowite od 10 do 1 malejąco 5 Macierze Definiowanie przez wprowadzenie z linii poleceń: [ oraz ] oznacza początek i koniec macierzy, oddziela elementy w wierszu ; oddziela wiersze : definiowanie zakresu Przykład a = [1,2,3] // wektor wierszowy b = [4 ; 5 ; 6] // wektor kolumnowy c = [1,2; 3,4; 5,6] // macierz 3 wiersze 2 kolumny d = [1:10] // wektor wartości od 1 do 10 e = 1:10 // wektor wartości od 1 do 10!! f = [d ; e] f = [1:10;1:10] 6 3

4 Macierze Odwołanie się do elementów : ( oraz ) pozwala odwołać się do elementów, podając w nawiasach numer wiersza i kolumny oddzielony, : interpretowany jako cały zakres zmienności $ indeks ostatniego elementu Przykład c(2,1) // 2-gi wiersz i 1-a kolumna c(1:2,1:2) // podmacierz c(1,:) // elementy 1-go wiersza c(:,1) // elementy 1-ej kolumny c($,$) // prawy dolny element Zadanie 2: wypisz 2 pierwsze elementy macierzy c Zadanie 3: wypisz 3 ostatnie elementy macierzy c Zadanie 4: wypisz wszystkie elementy macierzy c 7 Macierze Odwołanie się do elementów : wybieranie elementów za pomocą macierzy wartości logicznych Przykład a=[1:5] b=sin(a) c=b>0 b(c) a(c) // macierz wartości logicznych // wybieranie // wybieranie Zadanie 5: z macierzy o wartościach całkowitych wybierz wartości większe od 7 8 4

5 Macierze cd. Funkcje równomiernie zapełniające zakres linspace(a,b) liniowo od a do b (100 elementow) linspace(a,b,c) liniowo od a do b (c elementow) logspace(a,b) logarytmicznie j.w. Przykład linspace(1,100) linspace(1,100,10) //domyslnie 100 elementow //10 elementow g = logspace(1,3,3) log10(g) 9 Macierze cd. Funkcje tworzące macierze specjalne ones() macierz zawierająca 1 zeros() macierz zawierająca 0 eye() macierz jednostkowa rand() macierz losowa Przykład ones(3,2) // macierz 3x2 zeros(2,3) // macierz 2x3 eye(4,4) // macierz 4x4 rand(2,3) // macierz 2x3 10 5

6 Macierze cd. Funkcje tworzące macierze specjalne diag() utworzenie macierzy diagonalnej z elementów wektora lub wydobycie przekątnej z istniejącej macierzy Przykład h=[1:3] diag(h) // utworzenie macierzy diagonalnej h=rand(3,3) diag(h) // wydobycie przekątnej z macierzy 11 Macierze Operacje: operator transpozycji macierzy A + B dodanie dwóch macierzy +, -, *, / - dzielenie to mnożenie przez odwrotność!!!.*,./ - operacje na elementach macierzy Przykład A=[1,2,3] B=[4;5;6] A+A A+B // ERROR!!! A+B A+3 A B 12 6

7 Macierze Przykład A * B // mnożenie w sensie Cauchy ego B * A // mnożenie w sensie Cauchy ego A * B // ERROR!!! A.* B // mnożenie element przez element A * 3 A B 13 Macierze Operacje (uwaga: zdefiniuj wpierw macierze) A + B = B + A // przemienność A + (B+C) = (A + B)+C // łączność I*A = A * I = A A * (B *C) = (A * B)*C // łączność A*B = B*A = I // B macierz odwrotna! Macierz osobliwa to macierz nie posiadająca macierzy odwrotnej, np. A = [1,2; 1,2] Zadania sprawdź powyższe zależności 14 7

8 Rozwiązywanie układów równań a * x = b -> a -1 * a * x = a -1 * b Uwaga: w Scilabie możemy zapisać x = a\b!!! Zadanie (rozwiązanie : x1 = 1, x2 = 2) x1 + 2x2 = 5 2x1 + x2 = 4 Program a=[1,2;2,1] b=[5;4] x=a^-1 * b x=a\b 15 Rozwiązywanie układów równań Zadanie x1+2x2 + 3x3 = 3 -x1-5x2 + 8x3 = 5 4x1 + 9x3 =

9 Proste wykresy Operacje: plot2d(matrix) matrix to wektor Nx1 lub 1xN (lub N x K) Program A=(0:0.1:6.28) B=sin(A) plot2d(b) 17 Proste wykresy Operacje: plot2d(x,y) wymaga wektorów kolumnowych! UWAGA na apostrof przy kopiowaniu ze slajdów Program x=[0:0.1:6.28] y=sin(x) plot2d(x,y) 18 9

10 Proste wykresy Program x=[0:0.1:6.28] y=sin(x) y2=cos(x) plot2d(x,[y,y2],leg= xtitle( sin i cos, x, y ) 19 Proste wykresy Operacje: plot3d(x,y,z) Program x=linspace(0, 6.28,11) y=x z= cos(x) *cos(x) plot3d(x,y,z) 20 10

11 Proste wykresy Zadanie: narysuj wykres funkcji f(x,y) = x 2 +y 2 x i y zmieniają się od -3 do 3 21 Proste wykresy Program: x=linspace(-3, 3,50) y=linspace(-3, 3, 50) xx=x' * ones(y) yy=ones(x)'*y z= (xx.*xx)+(yy.*yy) plot3d(x,y,z) 22 11

12 Proste wykresy Operacje: param3d(x,y,z) wykres trajektorii Program t=linspace(0,4*%pi,101) x=2*cos(t) y=2*sin(t) z=4*t xset("thickness",3) param3d(x,y,z) xset("thickness",1) param3d(x,y,zeros(z)) 23 Funkcje Program cz. 1 function y = kwadrat (x) y = x * x endfunction function z = kwadrat2 (x1,x2) z = x1^2 + x2^2 endfunction 24 12

13 Wykresy 2D Operacje: plot(x,y) Program cz. 2 x=linspace(1,10,50) plot(x,kwadrat) 25 Wykres konturowy Operacje: contour(x,y,z,nz) x (y) - wektor wartości o rozmiarze n1 (n2) z macierz wartości o rozmiarze n1 * n2 nz liczba poziomów Program cz. 3 x=linspace(-1,1,100) y=linspace(-1,1,100) contour(x,y,kwadrat2,10) 26 13

14 Obliczanie PI metodą Monte Carlo Metoda Monte Carlo opiera się na prawie wielkich liczb, zgodnie z którym stosunek liczby zdarzeń spełniających zadane kryteria do całkowitej liczby zdarzeń jest równy prawdopodobieństwu spełnienia tych kryteriów. Wystawiamy na deszcz kwadratową tarczę, w którą wpisano okrąg. Zakładając, że krople deszczu padają równomiernie to prawdopodobieństwo trafienia kropli w koło ograniczone okręgiem będzie równe ilorazowi pola powierzchni koła i pola całej tarczy. 27 Obliczanie PI metodą Monte Carlo 28 14

15 Obliczanie PI metodą Monte Carlo Realizacja Utworzymy 2 wektory liczb losowych współrzędne punktów upadku kropel Sprawdzimy, które z nich trafiły w koło i utworzymy wektor wartości logicznych Policzymy ile wartości prawdziwych znajduje się w tym wektorze, podzielimy przez długość wektora i pomnożymy przez 4 będzie to przybliżenie wartości PI. Założymy, że r = 1 29 Obliczanie PI metodą Monte Carlo Program (bez wykresu) liczba=1000 x=-1 + 2*rand(1,liczba) y=-1 + 2*rand(1,liczba) Nkolo=sum((x.^2+y.^2)<1) PI=4*Nkolo/liczba 30 15

16 Obliczanie PI metodą Monte Carlo Wykorzystamy pętlę for w celu zwiększania liczby kropel i obserwacji wyniku Konstrukcja for i = 1:10 do polecenia end 31 Obliczanie PI metodą Monte Carlo Program clear// usunięcie zmiennych xdel(winsid()) //zamkniecie okien rand('seed', ) // inicjalizacja generatora liczba_prob=100 // liczba prob liczba_elem=1000 // liczba el. wektora // inicjalizacja trafienia=0 wartosc_pi=zeros(liczba_prob) // wektor kolumnowy for k=1:liczba_prob x=-1 + 2*rand(1,liczba_elem) y=-1 + 2*rand(1,liczba_elem) trafienia=trafienia+sum((x.^2+y.^2)<1) wartosc_pi(k)=4*trafienia/(k*liczba_elem) end pi_odn =%pi*ones(wartosc_pi) plot2d([1:liczba_prob]*liczba_elem,wartosc_pi,style=5) plot2d([1:liczba_prob]*liczba_elem,pi_odn,style=2) 32 16

17 Obliczanie PI metodą Monte Carlo 33 Obliczanie PI metodą Monte Carlo 34 17

18 Metoda Monte Carlo Pod koniec wojny trwają prace nad pierwszym elektronicznym komputerem ENIAC Pomysłodawcy Eniaca zwracają się z propozycją przetestowania tej maszyny przez Ballistics Research Laboratory w Aberdeen Konsultantem BRL w Aberdeen był profesor John von Neumann, który był także konsultantem dla Los Alamos w którym były prowadzone prace związane z problematyką termonekluarną. Zaproponował on zespołowi z Los Alamos budowę modelu reakcji termonekluarnej, który możnaby rozwiązać korzystając z ENIAC a. Marzec 1945 rozpoczęcie współpracy naukowców z Los Alamos i twórców ENIAC a. Wiosna 1946 do zespołu dołącza Stanisław Ulam, który dostrzegł możliwość wykorzystania ENIACa do rozwiązywania problemów metodą statystycznego próbkowania. 35 Metoda Monte Carlo Idea zaproponowanej metody była zbieżna z zainteresowaniami S. Ulama związanymi z procesami losowymi. Prowadzone badania były stymulowane jego doświadczeniem w grę pokera, czy też poszukiwaniem wolnego miejsca ma zatłoczonym parkingu. Stworzył koncepcję szczęśliwych liczb przypominających liczby pierwsze. Był zainteresowany rozwijaniem wzorców w przestrzeni dwuwymiarowej zgodnie z pewnymi prostymi regułami dziś koncepcja znana jest pod nazwą automatów komórkowych. Nazwę Monte Carlo zaproponował współtwórca metody N.Metropolis (i podobno nazwa metody nie miała nic wspólnego z faktem, że wujek S. Ulama zebrał od rodziny pieniądze i pojechał do Monte Carlo) 36 18

19 Funkcja ODE Funkcja ODE pozwala rozwiązywać równania różniczkowe pierwszego rzędu zapisanych w postaci: dx/dt = f(t,x) Wywołanie funkcji ode wynik = ode(x0,t0,t,f) gdzie wynik rozwiązanie x0 położenie początkowe t0 moment początkowy t wektor wierszowy f nazwa funkcji określającej równanie różniczkowe 37 Funkcja ODE Równanie prędkości: dx/dt = v Program function z = f(t, x) z = v endfunction v = 1; x0 = 0; t0 = 0; tk = 10; t = t0:0.1:tk; x = ode (x0,t0,t,f); plot2d(t,x); 38 19

20 Funkcja ODE Równanie logistyczne: dn/dt = rn(1-n/k) Program function z = f(t, N) z = r*n*(1-n/k) endfunction r = 1; K=150; N0 = 10; t0 =0; tk=10; t = t0:0.1:tk; N = ode (N0,t0,t,f); plot2d(t,n); 39 Funkcja ODE Model Lotki-Volterra: dx/dt = ax bxy dy/dt = cxy dy x(t) liczebność ofiar w czasie t y(t) liczebność drapieżników w czasie t a współczynnik przyrostu ofiar b współczynnik umierania ofiar na skutek drapieżnictwa c współczynnik przyrostu drapieżników d współczynnik umierania drapieżników 40 20

21 Funkcja ODE Model Lotki-Volterra: Program cz. 1 function [w] = f(t,y) w(1) = a*y(1)-b*y(1)*y(2); w(2) = c*y(1)*y(2)-d*y(2); endfunction 41 Funkcja ODE Model Lotki-Volterra: Program cz. 2 a = 1; b = 1; d = 10; c = 1; t0 = 0; y0 = [10.0;5.0]; // wartości początkowe obu populacji t = [0:0.1:10]; // obliczenia od 0 do 10 co 0.1 jednostki y = ode(y0, t0, t, f); y1 = y(1,:); y2 = y(2,:); plot2d(t,y1,style=3); plot2d(t,y2,style=5); 42 21

22 Optymalizacja Programowanie liniowe (linpro) Zadanie min z = 3x1 + 5x2 2x3 x1 + 3x2 = 5 x1 + x2 x3 = 2 2x1 x2 <= 3 x1 + x2 + x3 <=25 0 <= x1 <= 5, 0 <= x2 <= 5, 0 <= x3 <= 3 43 Optymalizacja Program p=[3;5;-2] C=[1,3,0;1,1,-1;2,-1,0;1,1,1]; b=[5;2;3;25] xl=[0;0;0] xu=[5;10;3] [xopt,lagr,fopt]=linpro(p,c,b,xl,xu,2) // 2 ograniczenia równościowe!!! UWAGA wymaga zainstalowania Quapro poleceniem atomsinstall("quapro") oraz ponownego uruchomienia Scilaba 44 22

23 Optymalizacja Zadanie Sprawdź dla poprzedniego zadania, jakie są rozwiązania, gdy liczba ograniczeń równościowych zmienia się od 0 do 4 45 Optymalizacja Programowanie kwadratowe (quapro) Zadanie min z = x1 2 +x1x2+3x1+5x2-2x3 x1 + 3x2 = 5 x1 + x2 x3 = 2 2x1 x2 <= 3 x1 + x2 + x3 <=25 0 <= x1 <= 5, 0 <= x2 <= 5, 0 <= x3 <=

24 Optymalizacja Program Q=[2,1,0;1,0,0;0,0,0] p=[3;5;-2] C=[1,3,0;1,1,-1;2,-1,0;1,1,1]; b=[5;2;3;25] xl=[0;0;0] xu=[5;10;3] [xopt,lagr,fopt]=quapro(q,p,c,b,xl,xu,2) // 2 ogr. równościowe UWAGA macierz Q musi być symetryczna i pozytywnie określona 47 Optymalizacja Zadanie Napisz program dla funkcji celu postaci: min z = x1 2 +2x1x2+3x1+5x2-2x

25 Optymalizacja Programowanie nieliniowe (optim) Zadanie min z = sin(x1*x2) + cos(x1) 0 <= x1 <= 10, 0 <= x2 <= Optymalizacja Programowanie nieliniowe (optim) Wymagane jest zdefiniowanie funkcji kosztu (np. o nazwie costf), która ma następujące wywołanie function[f, g, ind] = costf(x, ind) x to aktualne rozwiązanie, ind to flaga f to minimalizowana funkcja g to gradient funkcji 50 25

26 Optymalizacja Programowanie nieliniowe (optim) Wywołanie funkcji optim(costf,'b',[0;0],[10;10],[1;1]) Costf b oznacza że są aktywne ograniczenia dolne i górne ograniczenia punkt startowy domyślnie stosowana metoda quasi-newtona z BFGS 51 Optymalizacja 52 26

27 Optymalizacja Program function [f,g,ind]=costf(x,ind) f = sin(x(1)*x(2))+cos(x(1)) g = [0;0] g(1)= x(2)*cos(x(1)*x(2))-sin(x(1)) g(2)= x(1)*cos(x(1)*x(2)) endfunction [fopt,xopt]=optim(costf,'b',[0;0],[10;10],[1;1]) 53 Optymalizacja Zadanie Przeanalizuj działanie programu podanego w pomocy Scilaba dla funkcji optim, znajdującego minimum dla funkcji Rosenbrocka 54 27