Rozstrzygalność problemu rozpoznawania węzła trywialnego

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Szczepan Hummel Nr albumu: 197865 Rozstrzygalność problemu rozpoznawania węzła trywialnego Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w zakresie MATEMATYKI OGÓLNEJ Praca wykonana pod kierunkiem dr Agnieszki Bojanowskiej Instytut Matematyki Wrzesień 2005

Oświadczenie kierującego pracą Oświadczam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i stwierdzam, że spełnia ona warunki do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora (autorów) pracy

Streszczenie Celem pracy jest odpowiedzenie na pytanie, czy istnieje algorytm, który dla danego węzła rozstrzyga czy jest on węzłem trywialnym. Praca wykazuje, że odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. Pokazany jest algorytm W. Hakena rozpoznający węzły trywialne. Udowodniona jest poprawność tego algorytmu. Słowa kluczowe teoria węzłów, topologia, topologia algebraiczna, teoria obliczeń, złożoność obliczeniowa, węzeł trywialny, rozmaitości trójwymiarowe, PL 11.1 Matematyka Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) 57M25 Knots and links in S 3 Klasyfikacja tematyczna

Spis treści Wprowadzenie....................................... 5 1. Używane pojęcia.................................... 7 1.1. Kategoria PL.................................... 7 1.2. Podstawowe pojęcia teorii węzłów......................... 7 1.3. Wybrane pojęcia teorii obliczeń.......................... 8 1.4. Powierzchnie zanurzone w 3-rozmaitościach................... 10 1.5. Kryteria trywialności węzła............................ 10 1.6. Ścieśnienia i powierzchnie nieścieśnialne..................... 11 1.7. Twierdzenie o pętli................................. 12 2. Powierzchnie normalne................................ 13 2.1. Definicje....................................... 13 2.2. Normalizacja.................................... 14 2.3. Algebraizacja.................................... 16 3. Algorytm........................................ 19 3.1. Reprezentcja węzła................................. 19 3.2. Teoretyczne podstawy algorytmu Hakena.................... 20 3.3. Wykorzystanie powierzchni normalnych..................... 20 3.4. Ostateczny kształt algorytmu........................... 25 Bibliografia......................................... 27 3

Wprowadzenie Praca ta dotyczy zagadnień na pograniczu dwóch dziedzin: leżącej bardziej w kręgu zainteresowań informatyki Teorii Obliczeń i matematycznej Teorii Węzłów. Postarajmy się teraz odpowiedzieć na pytanie jaki te dziedziny mają ze sobą związek. W wielu działach matematyki zachodzi potrzeba zautomatyzowania pewnych obliczeń lub podejmowania pewnych decyzji przy pomocy komputera. Niestety nie wszystko da się obliczyć przy pomocy komputera. Kilkadziesiąt lat temu w świecie informatycznym popularne było przypuszczenie, że uda się zautomatyzować dowodzenie twierdzeń matematycznych. Temu celowi miały służyć między innymi języki programowania w logice takie jak Prolog. W dzisiejszych czasach są wprawdzie systemy wspomagające dowodzenie twierdzeń (np. Coq) ale pełnią one raczej marginalną rolę. Dzisiaj, kiedy dzięki Teorii Obliczeń jesteśmy świadomi, że nie wszystkie procesy da się zautomatyzować, zanim zastanowimy się jak najefektywniej rozwiązać dany problem zadajemy sobie pytanie czy w ogóle da się go rozwiązać w sposób algorytmiczny. Problemy, których nie da się rozwiązać za pomocą algorytmu w informatyce nazywają się nierozstrzygalne. Przykładem problemu nierozstrzygalnego jest tak zwany problem stopu 1 : nie można napisać programu, który mając dany inny program i dane wejściowe rozstrzygnie czy tamten kiedykolwiek zakończy działanie dla tych danych wejściowych. Jednym z podstawowych pytań stawianych w teorii węzłów jest pytanie czy dany węzeł jest równoważny (izotopijny) z węzłem trywialnym. Zadanie sprawdzania trywialności węzła jest często skomplikowane, trudno jest w szczególności udowodnić nietrywialność węzła. Dlatego naturalna wydaje się potrzeba zaprzęgnięcia do tego celu komputera. Więc zgodnie z tym o czym pisaliśmy powyżej należy odpowiedzieć przede wszystkim na pytanie czy istnieje algorytm sprawdzający czy węzeł jest trywialny. Pokazanie algorytmu, który jest odpowiedzią na to pytanie jest zasadniczą częścią pracy. Przedstawiony zostanie algorytm W. Hakena [Ha] opublikowany po raz pierwszy w 1961 roku, ale ujęcie tego algorytmu i podstawowy kształt dowodu poprawności będą powtórzone za J. Hassem [H1]. Jeżeli wiemy już, że problem jest rozstrzygalny pojawia się pytanie o jego złożoność obliczeniową. Czyli pytanie o to na ile efektywny może być algorytm go rozwiązujący. Z praktycznego punktu widzenia jako efektywnie rozstrzygalne problemy uważa się te, które mają algorytmy działające w czasie wielomianowym (należą do klasy złożoności obliczeniowej P 2 ). Złożoność obliczeniowa problemu rozpoznawania węzła trywialnego i kilku innych problemów z teorii węzłów jest omówiona w [H2]. 1 Zob. [ZO], s. 76. 2 Definicje podstawowych klas złożoności można znaleźć w [ZO], s. 51. 5

Rozdział 1 Używane pojęcia 1.1. Kategoria PL Wyróżniane są trzy rodzaje teorii węzłów 1 : 1. PL teoria węzłów (inaczej swojska lub kombinatoryczna teoria węzłów) jeżeli pracujemy w kategorii kawałkami liniowej (PL), 2. gładka teoria węzłów jeżeli pracujemy w kategorii gładkiej, 3. dzika teoria węzłów jeżeli nie narzucamy żadnych ograniczeń. W niniejszej pracy będziemy zajmować się PL teorią węzłów 2. Z pracy E. Moise a [Mo] wynika, że nie jest to istotne ograniczenie 3. W szczególności E. Moise udowodnił, że każda 3-rozmaitość jest trangulowalna. My, za J. Hassem 4, będziemy używać nieco ogólniejszego pojęcia triangulacji niż kombinatoryczna. Mianowicie będziemy dopuszczać aby sympleksy przecinały się wzdłuż więcej niż jednej ściany. 1.2. Podstawowe pojęcia teorii węzłów Na początek musimy podać definicje podstawowych używanych pojęć. Pojęcia dotyczące teorii węzłów zdefiniujemy na podstawie książki Włodzimierza Jakobschego i Józefa H. Przytyckiego [JP]. Definicja 1.2.1 Zbiór K S 3 nazywamy węzłem, jeżeli istnieje zanurzenie h : S 1 S 3, którego obrazem jest K. Definicja 1.2.2 Splot to suma skończonej, niepustej rodziny parami rozłącznych węzłów. W szczególności węzeł jest splotem. W praktyce trudno jest ocenić na pierwszy rzut oka czy mamy do czynienia z węzłem czy innym splotem. Dlatego wydaje się, że potrzebujemy umieć wyróżniać węzły trywialne spośród wszystkich splotów, nie tylko spośród węzłów. Jednak znalezienie liczby spójnych składowych nie jest zadaniem trudnym obliczeniowo (algorytm zależy od przyjętej reprezentacji splotu, a o reprezentacjach będziemy mówić w kolejnym podrozdziale) więc w dalszej części pracy będziemy zakładali, że mamy do czynienia z węzłami. 1 Zob. [JP], ss. 126n. 2 Podstawowe pojęcia topologii kawałkami liniowej można znaleźć na przykład w [RS], ss. 2nn. 3 Zob. [JP], s. 127. 4 Zob. [H1], s. 571. 7

Definicja 1.2.3 Mówimy, że dwa węzły (lub sploty) są równoważne jeżeli istnieje homeomorfizm h : S 3 S 3 przeprowadzający jeden na drugi. Można udowodnić, że ta równoważność odpowiada relacji izotopii splotów 5. Bardzo często mówimy węzeł mając na myśli pewną klasę abstrakcji tej relacji równoważności. Tak właśnie jest w interesującym nas przypadku węzła trywialnego. Definicja 1.2.4 Węzłem trywialnym nazywamy węzeł równoważny okręgowi położonemu na płaszczyźnie. Warto w tym miejscu przytoczyć uwagę poczynioną przez Joela Hassa 6. Intuicyjnie wydaje się oczywiste, że istnieją nietrywialne węzły. Jednak mimo, że teorią węzłów matematycy interesują się już od kilkuset lat pierwszy przekonujący dowód tego faktu (autorstwa Maxa Dehna) pochodzi dopiero z 1910 roku [Deh]. Wprowadzimy teraz pojęcie, wokół którego koncentruje się prezentowany algorytm rozpoznawania węzła trywialnego. Definicja 1.2.5 Dopełnieniem węzła (lub rozmaitością węzła) nazywamy rozmaitość z brzegiem M K = S 3 \ int(r K ), gdzie R K jest otoczeniem tubularnym węzła K. I jeszcze jedno pojęcie opisujące wzajemne położenie dwóch węzłów. Definicja 1.2.6 Niech J i K będą rozłącznymi węzłami w S 3. Określmy dodatkowo orientację na J i K. Indeksem zaczepienia J i K nazywamy liczbę całkowitą l taką, że [J] = [m] l, gdzie m jest południkiem na M K (o orientacji zgodnej z orientacją K), a [J] i [m] są elementami π 1 (M K ). Widać, że pojęcie indeksu zaczepienia jest zależne od orientacji określonej na węzłach, nas jednak będzie interesowało tylko pytanie czy indeks zaczepienia jest równy zero więc orientację będziemy mogli pominąć. Zauważmy, że indeks zaczepienia nie zmienia się przy jednoczesnym izotopijnym przekształceniu obu węzłów. 1.3. Wybrane pojęcia teorii obliczeń W teorii obliczeń często wygodnie jest mówić o językach zamiast o problemach. Język jest to podzbiór zbioru skończonych słów nad pewnym alfabetem (najczęściej nad alfabetem {0,1}). Jeżeli ustalimy sposób kodowania węzła w postaci ciągu symboli z pewnego alfabetu 7 to problem rozpoznawania czy węzeł jest trywialny będzie można przeformułować na pytanie czy słowo kodujące dany węzeł należy do języka słów kodujących węzły trywialne. Ponieważ, tak jak pokazaliśmy na naszym przykładzie, każdy problem decyzyjny (pytanie na które oczekujemy odpowiedzi tak lub nie ) możemy przedstawić w postaci języka pojęcie rozstrzygalności problemu jest często zastępowane pojęciem rekurencyjności (obliczalności) języka. Żeby zdefiniować to pojęcie musimy najpierw wprowadzić odpowiedni w tym kontekście model obliczeń. We wprowadzeniu pisaliśmy o rozstrzygalności jako o istnieniu algorytmu dającego odpowiedź na dane pytanie. Jednak pojęcie algorytmu wymaga sformalizowania. Zdefiniujemy 5 Zob. [JP], rozdział VI, lemat 1.3 oraz tamże, rozdział IV, twierdzenie 1.1. 6 Zob. [H2], s. 2. 7 O sposobach kodowania węzłów czytaj w rozdziale 3.1. 8

klasyczny model obliczeń zwany maszyną Turinga i powiemy, że problem jest rozstrzygalny (istnieje algorytm go rozwiązujący) jeżeli istnieje maszyna Turinga, która rozstrzyga język mu odpowiadający. Definicja 1.3.1 Maszyna Turinga to automat, który może przyjmować skończoną liczbę stanów. Ma do dyspozycji taśmę, z jednej strony nieskończoną, która składa się z komórek. W każdej komórce może być zapisany dowolny symbol należący do używanego alfabetu. Głowica maszyny w każdym momancie znajduje się nad konkretną komórką taśmy. Na podstawie symbolu znajdującego się pod głowicą i stanu, w którym się znajduje maszyna decyduje o kolejnym swoim kroku. Krok może polegać na jednoczesnym wykonaniu trzech czynności: maszyna może zmienić symbol znajdujący się pod głowicą, może przesunąć głowicę w lewo lub w prawo o jedną komórkę i może zmienić stan. Na początku pracy maszyny na taśmie znajduje się słowo wejściowe (dalsza część taśmy jest pusta) i głowica znajduje się nad pierwszą komórką taśmy. Bieg maszyny może albo skończyć się po skończonej liczbie kroków w jednym z wyróżnionych stanów akceptujących wtedy mówimy, że maszyna akceptuje słowo wejściowe; albo może skończyć się w jakimś innym stanie; albo może być nieskończony. Dwa ostatnie przypadki oznaczają nieakceptację słowa wejściowego. Definicja 1.3.2 Niech L będzie językiem nad alfabetem Σ (czyli L Σ, gdzie Σ to zbiór skończonych słów nad Σ). Mówimy, że maszyna M rozpoznaje język L jeżeli akceptuje dokładnie słowa należące do języka L. Maszyna rozstrzyga L jeżeli rozpoznaje L i dodatkowo zatrzymuje się (ma skończony bieg) dla każdego słowa z Σ. Definicja 1.3.3 Mówimy, że język L jest rekurencyjnie przeliczalny (lub częściowo obliczalny) jeżeli istnieje maszyna Turinga, która rozpoznaje L. Język L jest rekurencyjny (lub obliczalny) jeżeli istnieje maszyna Turinga, która rozstrzyga L. O problemach odpowiadających takim językom mówimy, że są rozstrzygalne. Powyższe definicje mają charakter uproszczony ale wystarczający na nasze potrzeby 8. Opierając się na tzw. tezie Churcha 9 zakładamy, że każdy algorytm da się zakodować za pomocą maszyny Turinga 10. Dlatego mówimy zamiennie o problemach nierozstrzygalnych i o problemach, dla których nie ma algorytmu. Ze względu na tą wzajemną odpowiedniość algorytmów i maszyn Turinga będziemy w tej pracy używać tych pojęć zamiennie, w zależności od tego, które z nich będzie w danym kontekście dawało lepszą zrozumiałość wywodu. Warto w tym miejscu podkreślić różnicę między językami rekurencyjnymi, a rekurencyjnie przeliczalnymi. Z przytoczonych definicji bezpośrednio wynika, że klasa języków rekurencyjnych jest podklasą klasy języków rekurencyjnie przeliczalnych. Wiadomo też, że jest właściwą podklasą na przykład przytoczony we wprowadzeniu problem stopu jest rekurencyjnie przeliczalny, ale nie jest rekurencyjny. Podobnie w naszym przypadku można łatwo wskazać algorytm (maszynę Turinga), który rozpoznaje język słów kodujących węzły trywialne ale trudniej pokazać algorytm, który dodatkowo zawsze się zatrzymuje. Algorytm dający częściową obliczalność mógłby wyglądać następująco. Wiemy, że dwa węzły przedstawione za pomocą diagramów 11 są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy jeden można na drugi przeprowadzić za pomocą skończonej sekwencji ruchów Reidemeistera 12. To 8 Dokładne definicje i wiele informacji na temat maszyn Turinga i rozstrzygalności można znaleźć w [ZO], ss. 37nn i w [HU], ss. 171nn. 9 Zob. [ZO], s. 54 i [HU], s. 192. 10 Sensowność tego założenia jest uzasadniona w wymienionych pozycjach. 11 O reprezentacjach węzłów czytaj w rozdziale 3.1. 12 Zob. [Prz], twierdzenie I.2.4. 9

oznacza, że węzeł jest trywialny wtedy gdy za pomocą ruchów Reidemeistera można usunąć z jego diagramu wszystkie skrzyżowania. Algorytm więc najpierw będzie sprawdzał czy są jakieś skrzyżowania, potem czy za pomocą jednego ruchu można pozbyć się wszystkich skrzyżowań, potem będzie próbował wszystkich możliwych sekwencji dwóch ruchów, itd. Zakończy swoje działanie kiedy uda mu się dojść w ten sposób do diagramu bez skrzyżowań. Widać, że dla węzłów trywialnych ten algorytm się zawsze zatrzyma, natomiast dla pozostałych będzie działał w nieskończoność. W niniejszej pracy przedstawiony będzie algorytm, który zatrzymuje się zawsze i daje odpowiedź czy dany węzeł jest trywialny czy nie. 1.4. Powierzchnie zanurzone w 3-rozmaitościach Definicja 1.4.1 O zwartej powierzchni S z brzegiem S zanurzonej w zwartej 3-rozmaitości M z brzegiem M mówimy, że jest właściwie zanurzona jeżeli S M = S. Konwencja: Krzywą zamkniętą bez samoprzecięć będziemy nazywać pętlą prostą. Definicja 1.4.2 Pętlę prostą zawartą w brzegu 3-rozmaitości M nazywamy istotną 13 jeżeli nie ogranicza ona dysku w M. 1.5. Kryteria trywialności węzła Ponieważ podana w rozdziale 1.2 definicja węzła trywialnego jest niewygodna z algorytmicznego punktu widzenia sformułujemy teraz równoważne jej warunki. Stwierdzenie 1.5.1 Węzeł jest trywialny wtedy i tylko wtedy gdy jest brzegiem dysku zanurzonego w S 3. Dow. Jeżeli węzeł K jest trywialny to istnieje homeomorfizm h : S 3 S 3 taki, że h(k) = S, gdzie S jest okręgiem. Weźmy dysk D taki, że D = S. Wtedy h 1 (D) jest zanurzonym dyskiem, którego brzegiem jest K. Załóżmy teraz, że K jest brzegiem dysku D zanurzonego w S 3. Ponieważ D jako zwarta 2-rozmaitość jest skończoną sumą trójkątów 14 to możemy przekształcić izotopijnie węzeł K tak aby w całości mieścił się w pojedynczym trójkącie zawartym w D. Wtedy będzie on nieprzecinającą się krzywą zamkniętą zawartą w płaszczyźnie, a taka jest oczywiście izotopijna z okręgiem położonym na płaszczyźnie. W naszym algorytmie będziemy używali tego stwierdzenia w trochę zmodyfikowanej formie: Stwierdzenie 1.5.2 Węzeł jest trywialny wtedy i tylko wtedy gdy w jego dopełnieniu można znaleźć właściwie zanurzony dysk o istotnym brzegu (nazwiemy go istotnym dyskiem). 13 Ang. essential. 14 Zob. [RS], twierdzenie 2.2, s. 12. 10

Dow. Jeżeli K jest trywialny to, ze stwierdzenia 1.5.1, ogranicza dysk D w S 3. Po ewentualnym niewielkim homotopijnym zaburzeniu tego dysku, C = M K D jest krzywą zamkniętą bez samoprzecięć taką, że część dysku D przez nią ograniczana jest istotnym dyskiem w M K. Załóżmy teraz, że istnieje istotny dysk D zanurzony w M K. Pokażemy, że węzeł K jest trywialny. Po pierwsze zauważmy, że D jest węzłem trywialnym (ze stwierdzenia 1.5.1). Ponieważ D jest istotną pętlą na M K to odpowiada nietrywialnemu elementowi π 1 ( M K ). Pokażemy teraz, że indeks zaczepienia D i K jest równy zero. Jeżeli potraktujemy D i K jako jeden splot to izotopijne przekształcenie tego splotu nie zmieni indeksu zaczepienia. Zastosujmy więc taką izotopię, która nie rusza K, a D sprowadza do małej pętli P we wnętrzu dysku D takiej, która mieści się w całości w pewnej kuli zawartej w M K. Łatwo widać, że wtedy indeks zaczepienia P i K jest równy zero. Jeżeli indeks zaczepienia D i K jest równy zero to D na pewno nie okrąża torusa M K wzdłuż południka. Z tego z kolei wynika, że D okrąża torus wzdłuż równoleżnika co najwyżej raz (bo inaczej musiałaby mieć samoprzecięcie). Jeżeli zbierzemy wszystkie powyższe wyniki to dochodzimy do wniosku, że D jest homotopijny z równoleżnikiem torusa M K, czyli jest izotopijny w pełnym torusie R K z jego rdzeniem czyli z K. Czyli ostatecznie z trywialności D wynika trywialność K. 1.6. Ścieśnienia i powierzchnie nieścieśnialne W poniższych definicjach zakładamy, że M jest 3-rozmaitością z brzegiem, a F powierzchnią właściwie zanurzoną w M. Definicja 1.6.1 Dyskiem ścieśniającym 15 powierzchnię F nazywamy dysk D zanurzony w M taki, że F D = D. Dysk ścieśniający jest nietrywialny jeżeli D nie ogranicza dysku na F. Definicja 1.6.2 Niech D będzie dyskiem zanurzonym w M. Jeżeli F D i M D są spójne i niepuste oraz (F M) D = D wtedy D nazywamy brzegowym dyskiem ścieśniającym 16 powierzchnię F. Brzegowy dysk ścieśniający jest nietrywialny jeżeli D nie ogranicza dysku na F M. Definicja 1.6.3 O powierzchni F mówimy, że jest nieścieśnialna 17 jeżeli nie ma ani nietrywialnych dysków, ani nietrywialnych brzegowych dysków ją ścieśniających. Definicja 1.6.4 Niech D będzie nietrywialnym dyskiem ścieśniającym powierzchnię F. Ścieśnieniem 18 powierzchni F wzdłuż D nazywamy operację polegającą na rozcięciu F wzdłuż D i zaklejeniu powstałych dwóch dziur dyskami (rys. 1.1). Powyższą operację wykonaną wzdłuż trywialnego dysku ścieśniającego będziemy czasem nazywali trywialnym ścieśnieniem. Alalogicznie definiujemy operację ścieśnienia brzegowego 19 (rys. 1.2). Jak widać na rysunku 1.1 ścieśnienia można wykorzystać do zmniejszenia liczby rączek doklejonych do powierzchni. 15 Ang. compressing disk. 16 Ang. boundary compressing disk. 17 Ang. incompressible. 18 Ang. compression. 19 Ang. boundary compression. 11

Rysunek 1.1: Powierzchnia przed i po ścieśnieniu. Rysunek 1.2: Powierzchnia z brzegiem przed i po ścieśnieniu brzegowym. 1.7. Twierdzenie o pętli W tym rozdziale przytoczymy bez dowodu ważne twierdzenie, zwane twierdzeniem o pętli, związane z pojęciem ścieśnialności, na które będziemy się powoływać w dalszej części pracy. Twierdzenie o pętli pochodzi od C. Papakyriakopoulosa 20 ale my podajemy jego uogólnioną wersję udowodnioną przez J. Stallingsa w [St] 21. Oznaczenia: Niech π 1 (M) oznacza grupę postawową rozmaitości M. Jeżeli N jest rozmaitością zanurzoną w rozmaitości M to π 1 (N) π 1 (M) oznacza homomorfizm grup podstawowych indukowany przez to zanurzenie. Twierdzenie 1.7.1 (o pętli) Niech M będzie trójwymiarową rozmaitością z brzegiem, a B spójną składową jej brzegu. Niech N będzie normalną podgrupą π 1 (B) i załóżmy, że ker(π 1 (B) π 1 (M)) \ N. Wtedy istnieje zanurzenie dysku f : (D, D) (M, B) takie, że [f D ] / N. W niniejszej pracy bezpośrednio korzystać będziemy z wniosku z tego twierdzenia 22 : Wniosek 1.7.2 Niech F będzie powierzchnią orientowalną, zamkniętą bądź właściwie zanurzoną w trójwymiarowej rozmaitości z brzegiem M. Jeżeli F jest nieścieśnialna w M to ker(π 1 (F ) π 1 (M)) = {1}. 20 Zob. twierdzenie 1, [P1], s. 281. 21 Tę wersję wraz z innym dowodem można również znaleźć w [JP], ss. 41nn. 22 Dowód tego wniosku można znaleźć np. w [He], ss. 58n. 12

Rozdział 2 Powierzchnie normalne W tym rozdziale M będzie striangulowaną 3-rozmaitością. Zajmiemy się powierzchniami zamkniętymi i powierzchniami z brzegiem właściwie zanurzonymi w M. Wprowadzone zostaną pojęcia: powierzchnia normalna i normalizacja, uzasadnimy ich przydatność. 2.1. Definicje Definicja 2.1.1 Dysk właściwie zanurzony w 3-sympleksie, którego brzeg przecina dokładnie trzy ściany sympleksu i dokładnie trzy jego krawędzie (każdą w dokładnie jednym punkcie) nazywamy trójkątem normalnym. Normalny czworokąt to dysk właściwie zanurzony w 3-sympleksie, którego brzeg przecina dokładnie cztery ściany sympleksu i dokładnie cztery krawędzie (każdą w dokładnie jednym punkcie). Elementarny dysk to normalny trójkąt lub normalny czworokąt (rys. 2.1). Rysunek 2.1: Trójkąty normalne i czworokąt normalny. Definicja 2.1.2 Powierzchnię F zanurzoną w M nazywamy powierzchnią normalną jeżeli jej przecięcie z każdym 3-sympleksem triangulacji M jest rozłączną sumą elementarnych dysków. Zauważmy, że o ile w jednym 3-sympleksie mogą znajdować się jednocześnie trójkąty normalne wszystkich czterech rodzajów należące do F, to jeżeli znajduje się w nim czworokąt normalny 13

pewnego rodzaju to już nie może być czworokątów innych rodzajów bo F miałaby samoprzecięcia. Zdefiniujemy jeszcze jedną wartość opisującą zanurzone powierzchnie (niekoniecznie normalne), która okaże się przydatna w dalszej części pracy. Definicja 2.1.3 Wagą w(s) powierzchni S zanurzonej w striangulowanej rozmaitości M nazywamy liczbę punktów przecięcia S z 1-szkieletem M. Pojęcie wagi nie zawsze ma sens, ale jest dobrze określone w interesującym nas przypadku powierzchni transwersalnie przecinających triangulację. 2.2. Normalizacja Sformułujemy i udowodnimy teraz lemat, który uzasadni dlaczego w wielu przypadkach wystarczy zajmować się tylko powierzchniami normalnymi. Lemat 2.2.1 Niech F będzie zamkniętą powierzchnią zanurzoną w 3-rozmaitości M. Wtedy po ciągu ścieśnień, izotopii i usunięć trywialnych 2-sfer 1 F może stać się sumą (być może pustą) rozłącznych powierzchni normalnych, których łączna waga jest nie większa niż waga F. Jeżeli M jest rozmaitością z brzegiem M, zaś F powierzchnią właściwie zanurzoną, oprócz ścieśnień dopuszczamy ścieśnienia brzegowe i oprócz trywialnych 2-sfer dopuszczamy też usuwanie właściwie zanurzonych dysków, których brzeg ogranicza dysk w M (nieistotnych dysków). Teza jak wyżej. Dow. Rozważmy przecięcie F z triangulacją M. Po ewentualnym lekkim zaburzeniu, możemy założyć, że F przecina M 2 (2-szkielet triangulacji M) transwersalnie. Dowód lematu przeprowadzimy w następujących czterech krokach: Krok I: Przekształcimy F za pomocą ciągu ścieśnień i usunięć trywialnych sfer w powierzchnię F 1 taką, że F 1 M 2 = F M 2 oraz każda spójna składowa F 1 M 2 jest prostą pętlą, która jest na F 1 brzegiem dysku właściwie zanurzonego w pewnym czworościanie T należącym do triangulacji M. Krok II: Przekształcimy F 1 za pomocą ciągu izotopii i usunięć nie-istotnych dysków w powierzchnię F 2, która dodatkowo nie będzie zawierała żadnej pętli całkowicie zawartej w jednym z trójkątów triangulacji M. Krok III: Za pomocą ciągu ścieśnień, ścieśnień brzegowych, izotopii i usunięć nie-istotnych dysków przekształcimy F 2 w F 3 taką, że w F 3 M 2 nie będzie żadnej krzywej, która dwukrotnie przecina jedną krawędź triangulacji M. Krok IV: Z F 3 otrzymamy powierzchnię spełniającą warunki z tezy lematu pozbywając się, przy pomocy ścieśnień i usunięć trywialnych sfer, spójnych składowych F 3 nie przecinających M 2. Krok I: Niech T będzie czworościanem należącym do triangulacji M. Wtedy F T jest zbiorem rozłącznych podpowierzchni, a jego brzeg to zbiór rozłącznych prostych pętli. T jest 2-sferą więc ma trywialną grupę podstawową, a każda pętla z F T rozcina T na dwa dyski (z twierdzenia Jordana). 1 Ograniczających kule w M. 14

T ma trywialną grupę podstawową więc jeżeli powierzchnia F T ma nietrywialną grupę podstawową to, z twierdzenia o pętli (wniosek 1.7.2), można ją ścieśnić. Będziemy chcieli za pomocą ciągu takich ścieśnień doprowadzić tę powierzchnię do postaci nieścieśnialnej. Musimy więc w jakiś sposób upewnić się, że opisane ścieśnienia nie będą trwały w nieskończoność. W tym celu możemy skorzystać z faktu, że grupa podstawowa zwartej rozmaitości jest skończenie generowana. Jeżeli więc na przykład będziemy dokonywać ścieśnień wzdłuż generatorów grupy podstawowej wtedy na pewno proces ten będzie skończony. Zastanówmy się teraz jak wygląda powierzchnia nieścieśnialna właściwie zanurzona w kuli. Jak już pisaliśmy, z twierdzenia o pętli wynika, że taka powierzchnia ma trywialną grupę podstawową. Z klasyfikacji powierzchni zamkniętych wiemy, że jedyną spójną powierzchnią zamkniętą o trywialnej grupie podstawowej jest sfera. W naszym przypadku mamy do czynienia również z właściwie zanurzonymi powierzchniami z brzegiem, których brzegiem są sumy rozłączne okręgów. Czyli są to zamknięte rozmaitości, z których wycięto dyski (bo, jak wspomnieliśmy, te okręgi ograniczają dyski na T ). Ponieważ wycięcie dysku nie zmniejsza grupy podstawowej to tutaj też jedyne spójne powierzchnie o trywialnej grupie podstawowej powstają ze sfery, czyli są dyskami (bo sfera z dwoma dziurami ma już grupę podstawową równą Z). Więc ostatecznie po ciągu ścieśnień możemy otrzymać z F T powierzchnię, której każda spójna składowa jest sferą lub dyskiem. Ponieważ T jest kulą, więc powstałe sfery są trywialne i mogą zostać usunięte. Zauważmy, że ścieśnień dokonywaliśmy jedynie we wnętrzu T, więc brzeg powstałej powierzchni jest równy T F. Oznacza to, że procedurę tę możemy przeprowadzać dla każdego czworościanu T niezależnie. Jeżeli powtórzymy powyższą procedurę dla wszystkich czworościanów z triangulacji to otrzymamy w efekcie powierzchnię F 1 o wadze równej wadze F taką, że każda krzywa w F 1 T ogranicza dysk w T (gdzie T to pewien czworościan należący do triangulacji). Krok II: Jeżeli krzywa C w F 1 T leży w całości wewnątrz ściany czworościanu T i ściana ta nie jest zawarta w M to możemy wypchnąć ograniczany przez nią dysk izotopijnie poza T (do wnętrza sąsiedniego czworościanu). W ten sposób pozbywamy się po prostu tej składowej przecięcia F 1 z 2-szkieletem triangulacji. Jeżeli w obszarze ograniczonym przez tą krzywą na rozpatrywanej ścianie były jakieś inne krzywe to zostają one wypychnięte razem z nią (one również leżą w całości wewnątrz ściany czworościanu). Jeżeli rozpatrywana ściana jest częścią brzegu rozmaitości to możemy po prostu usunąć dysk ograniczany przez C jako nie-istotny dysk. Powyższą operację powtarzamy dla każdego czworościanu i otrzymujemy powierzchnię F 2, w której nie ma krzywych zamkniętych zawartych w jednym trójkącie triangulacji. Przy czym w(f 2 ) = w(f 1 ) = w(f ). Krok III: Przypuśćmy, że jest w F 2 T krzywa C, która przecina krawędź E czworościanu T w dwóch punktach (oznaczmy je A i B). Rozważmy zbiór wszystkich punktów zawartych w F 2 E. Są wśród tych punktów dwa sąsiednie punkty X i Y, które leżą na jednej krzywej K F 2 T. Jeżeli bowiem na przykład między punktami A i B na krawędzi E są punkty innej krzywej C 1 to znaczy, że cała krzywa C 1 jest wewnątrz krzywej C, bo te krzywe się nie przecinają. Czyli C 1 przecina E w co najmniej dwóch punktach. Weźmy te punkty jako nowe A i B i powtarzajmy rozumowanie aż dojdziemy do krzywej, której punkty przecięcia z E nie są rozdzielone punktami przecięcia innych składowych F 2 T z E. Krzywa K ogranicza dysk w T więc punkty X i Y mogą być połączone łukiem Ł leżącym na F 2 T takim, że Ł = {X, Y } i int(ł) int(t ). Możemy wtedy przekształcić izotopijnie 15

powierzchnię F 2 tak, żeby łuk Ł przeciągnąć na drugą stronę odcinka XY do wnętrza sąsiedniego czworościanu, usuwając tym samym te dwa punkty przecięcia z E i zmniejszając wagę powierzchni o dwa. W wyniku tej operacji może znowu powstać składowa F 2 T całkowicie zawarta w jednym trójkącie (patrz rysunek 2.2) ale wtedy pozbywamy się jej tak samo jak w kroku II. Jeżeli krawędź E leży na brzegu rozmaitości to nie możemy wtedy przesunąć Ł na jej drugą stronę ale wtedy możemy dokonać ścieśnienia brzegowego wzdłuż łuku Ł z dokładnie tym samym skutkiem. Rysunek 2.2: Izotopijne wyciągnięcie łuku poza czworościan powodujące powstanie pętli wewnątrz ściany. W powyższy sposób możemy usunąć wszystkie wielokrotne przecięcia krawędzi i otrzymamy powierzchnię F 3, której krzywe przecięcia z brzegami czworościanów przecinają każdą krawędź najwyżej raz. Zauważmy, że w(f 3 ) w(f 2 ) = w(f ). Krok IV: Dysk w czworościanie, który przecina każdą krawędź co najwyżej raz może być tylko normalnym trójkątem lub normalnym prostokątem. Tak więc powstała powierzchnia jest rozłączną sumą powierzchni normalnych i powierzchni całkowicie zawartych we wnętrzu pojedynczego czworościanu. Te ostatnie możemy ścieśniać, aż otrzymamy powierzchnie nieścieśnialne (skończoność tego procesu zapewnia nam ten sam warunek co poprzednio). Czworościan jest przestrzenią o trywialnej grupie podstawowej, więc z twierdzenia o pętli wynika, że powierzchnie nieścieśnialne zawarte w czworościanach są sferami, które z kolei będziemy mogli po prostu usunąć. Tym samym zostanie tylko rozłączna suma powierzchni normalnych. W tym kroku waga nie ulega zmianie, więc powstała powierzchnia ma wagę nie większą od wagi F. 2.3. Algebraizacja Fakt, że będziemy zajmować się tylko normalnymi powierzchniami znacznie ułatwi nam opis powierzchni zanurzonych w 3-rozmaitościach. W każdym 3-sympleksie triangulacji M jest siedem rodzajów elementarnych dysków cztery rodzaje trójkątów i trzy rodzaje czworokątów. Załóżmy, że triangulacja M składa się z t 3-sympleksów. Przypiszmy każdemu z rodzajów elementarnych dysków w M numer z przedziału od 1 do 7n. Wtedy każda powierzchnia normalna zanurzona w M jednoznacznie wyznacza wektor X N 7t i-ta współrzędna określa liczbę dysków i-tego rodzaju. 16

Zastanówmy się teraz jakie wektory opisują powierzchnie normalne. Muszą być spełnione następujące warunki: 1. Warunek czworokątów w każdym 3-sympleksie triangulacji może występować tylko jeden z rodzajów czworokątów normalnych. Ten warunek oznacza po prostu, że jeżeli na współrzędnej określającej liczbę czworokątów jednego rodzaju jest niezerowy współczynnik to na współrzędnych odpowiadających trzem pozostałym czworokątom w tym samym 3-sympleksie muszą być zera. 2. Dyski zawarte w sąsiednich czworościanach przecinające ich wspólną ścianę muszą do siebie pasować (rys. 2.3). Każdy odcinek należący do przecięcia powierzchni ze ścianą 3-sympleksu triangulacji może należeć do trójkąta normalnego tylko jednego rodzaju lub do czworokąta normalnego też określonego rodzaju w tym 3-sympleskie. Dlatego ten warunek sprowadza się do tego, że suma liczności czworokątów danego rodzaju i trójkątów danego rodzaju w jednym sympleksie musi być równa odpowiedniej sumie dla sympleksu sąsiadującego z nim przez rozważaną ścianę. Jeżeli zbierzemy te równania dla wszystkich par sąsiadujących czworościanów triangulacji to dostaniemy układ równań powierzchni normalnej. W tym układzie nie będzie równań odpowiadających ścianom zawartym w brzegu rozmaitości. Rysunek 2.3: Sklejenie odpowiadających sobie dysków elementarnych w sąsiadujących czworościanach triangulacji. Jeżeli wektor X jest rozwiązaniem układu równań powierzchni normalnej i spełnia warunek czworokątów to określa on jednoznacznie (z dokładnością do izotopii) powierzchnię normalną F zanurzoną w M. Powierzchnię tę otrzymujemy przez sklejenie dysków z sąsiednich czworościanów w jedyny sposób nie powodujący samoprzecięć (rys. 2.3). W takim przypadku będziemy przez X oznaczać zarówno wektor z przestrzeni N 7t, jak i wyznaczaną przez niego powierzchnię normalną. Zdefiniujemy teraz operację algebraicznego dodawania powierzchni normalnych. Definicja 2.3.1 Powiemy, że powierzchnia normalna C jest algebraiczną sumą przestrzeni normalnych A i B jeżeli A, B i C jako wektory spełniają równość C = A + B. Jeżeli powierzchnie A i B się nie przecinają to suma algebraiczna odpowiada po prostu sumie teoriomnogościowej. Jeżeli się jednak przecinają wtedy C może być otrzymane z A B za pomocą operacji nazywanych regularnymi wymianami. Regularna wymiana polega na 17

rozcięciu przecinających się dysków elementarnych wzdłuż krzywej przecięcia i sklejeniu na jedyny możliwy sposób taki, że powstałe dyski są normalne i nie przecinają się (rys. 2.4). Operacja algebraicznego dodawania nie jest dobrze określona jeżeli powierzchnie A i B zawierają czworokąty normalne innych rodzajów w tym samym czworościanie. Rysunek 2.4: Regularna wymiana zachowuje rodzaje dysków elementarnych. 18

Rozdział 3 Algorytm 3.1. Reprezentcja węzła Żeby mówić o algorytmie rozwiązującym dany problem musimy ustalić w jakiej postaci będziemy dostarczać dane wejściowe do tego algorytmu i w jakiej formie chcemy otrzymywać wynik. W naszym przypadku kwestia prezentacji wyniku nie jest ciekawa ponieważ jest on wartością binarną (węzeł jest trywialny lub nie). Warto jednak zastanowić się jak będziemy dostarczać algorytmowi węzły. Musimy jednym słowem zdecydować jakiej skończonej reprezentacji węzłów chcemy używać. Warto w tym kontekście rozważyć dwie możliwe reprezentacje: 1. Ponieważ ustaliliśmy, że rozważamy węzły kawałkami liniowe, czyli wielokąty w S 3, możemy je opisywać podając kolejno ich wierzchołki. Możemy założyć, że współrzędne wierzchołków 1 są liczbami wymiernymi. A jeżeli tak to można nawet ograniczyć się do współrzędnych całkowitych, bo jednokładność nie zmienia klasy izotopii węzła. 2. Popularną reprezentacją jest diagram węzła, czyli rzutowanie na płaszczyznę takie, żeby w żadnym punkcie nie krzyżowały się trzy odcinki. Dodatkowo zakładamy, że odcinki przecinają się transwersalnie. Taki diagram jest więc regularnym grafem planarnym stopnia 4 (wierzchołkami są skrzyżowania odcinków), w którym z każdym wierzchołkiem jest związana informacja, który odcinek idzie górą a który dołem (który był dalej płaszczyzny rzutowania w orginalnym wielokącie, a który bliżej). Do rozważań na temat złożoności algorytmów potrzebne jest określenie rozmiaru reprezentacji, ponieważ złożoność (zarówno czasowa jak i pamięciowa) jest mierzona względem rozmiaru danych wejściowych. W pierwszej reprezentacji rozmiar jest proporcjonalny do liczby wierzchołków wielokąta, a w drugiej do sumy liczby skrzyżowań w diagramie i liczby spójnych składowych diagramu. W naszym algorytmie będziemy zakładać, że mamy węzeł podany w drugiej postaci ale warto tutaj zwrócić uwagę, że reprezentacje te można przekształcić jedną na drugą w czasie wielomianowym względem ich rozmiaru 2. 1 Jeżeli S 3 traktujemy jako jednopunktową kompaktyfikację R 3 to współrzędne możemy podawać takie jak w R 3. 2 Zob. [H2], s. 3. 19

3.2. Teoretyczne podstawy algorytmu Hakena W przedstawianym algorytmie będziemy badać specyficzne własności dopełnienia podanego węzła. W [H2] (ss. 18-20) możemy przeczytać jak mając dany diagram węzła można skonstruować (w czasie wielomianowym) triangulację jego dopełnienia. Triangulacja ta składa się z liniowej względem rozmiaru danych wejściowych liczby sympleksów. Tak więc wystarczy, że w dalszej części tego rozdziału będziemy zajmować się już tylko striangulowanymi rozmaitościami z brzegiem. Wykorzystamy sformułowany w stwierdzeniu 1.5.2 warunek trywialności węzła. Tak więc nasz algorytm będzie polegał na szukaniu istotnego dysku w dopełnieniu węzła. Znacznego ograniczenia obszaru tych poszukiwań dostarcza nam lemat 2.2.1. Wniosek 3.2.1 (z lematu 2.2.1) Węzeł jest trywialny wtedy i tylko wtedy gdy w jego dopełnieniu jest normalny istotny dysk. Dow. Skorzystamy oczywiście ze stwierdzenia 1.5.2 i udowodnimy równoważność istnienia normalnego istotnego dysku z istnieniem istotnego dysku. Jeżeli dopełnienie M K węzła K zawiera istotny dysk D to z lematu 2.2.1 po serii ścieśnień, izotopii i usunięć trywialnych sfer i nie-istotnych dysków dostaniemy sumę rozłączną normalnych powierzchni. Przyjrzyjmy się tym operacjom. Z globalnego punktu widzenia każde ścieśnienie dokonane na dysku jest trywialne. W jego wyniku powstają więc trywialna sfera i dysk izotopijny z pierwotnym. Tak samo w wyniku ścieśnienia brzegowego powstaje nieistotny dysk i dysk izotopijny z pierwotnym. Te produkty uboczne zostają później usunięte, tak więc ciąg operacji z lematu 2.2.1 jest tak naprawdę złożeniem ciągu izotopii czyli izotopią. Czyli w jego wyniku powstaje powierzchnia normalna o jednej składowej i jest to istotny dysk. Dowód równoważności w drugą stronę jest trywialny bo normalny dysk jest w szczególności dyskiem. Tak więc w naszym algorytmie będziemy badali istnienie tylko normalnych istotnych dysków w dopełnieniu danego węzła. Następny rozdział dostarcza trochę teorii, która pozwoli usystematyzować nasze poszukiwania i zapewni, że nie będziemy musieli ich kontynuować w nieskończoność. 3.3. Wykorzystanie powierzchni normalnych Ten rozdział zaczniemy od udowodnienia dwóch lematów, których przydatność wyjaśni się dopiero później. Posłużą one do udowodnienia twierdzenia, które znowu pozwoli ograniczyć w znaczący sposób poszukiwania dysku rozpinającego. Lemat 3.3.1 Jeżeli A, B i C są rozwiązaniami układu równań powierzchni normalnej w N n takimi, że A + B = C i C reprezentuje powierzchnię normalną to A i B również reprezentują powierzchnie normalne. Dodatkowo w(a) + w(b) = w(c) oraz χ(a) + χ(b) = χ(c) (gdzie χ oznacza charakterystykę Eulera). Dow. Wektor reprezentuje powierzchnię normalną jeżeli spełnia układ równań powierzchni normalnej i warunek czworokątów. Warunek czworokątów polega na tym, że jeżeli na pewnych współrzędnych nie ma zer to na odpowiednich innych muszą być zera. Ale ponieważ A, B i C są wektorami o współczynnikach dodatnich to zero na pewnej współrzędnej w C implikuje zera na tej współrzędnej w A i B. Tak więc jeżeli C spełnia warunek czworokątu to A i B też go spełniają i tym samym reprezentują powierzchnie normalne. 20

Zauważymy, że regularne wymiany nie powodują zmiany wagi. Addytywność wag wynika więc z faktu, że powierzchnia C powstaje z A B przez regularne wymiany. Charakterystykę Eulera można policzyć z dowolnej triangulacji powierzchni poprzez dodanie liczby sympleksów zero- i dwuwymiarowych, i odjęcie liczby sympleksów jednowymiarowych. W powierzchni normalnej łatwo zauważyć naturalną triangulację: każdy trójkąt normalny to 2-sympleks, a czworokąt normalny to dwa 2-sympleksy o wspólnej krawędzi. Czyli licząc liczności odpowiednich sympleksów w A i w B liczymy jakby jednocześnie to samo dla C. W kontekście powyższego lematu istotna staje się jeszcze jedna definicja: Definicja 3.3.2 Rozwiązanie układu równań powierzchni normalnej jest podstawowe jeżeli nie może być przedstawione w postaci sumy dwóch innych, niezerowych rozwiązań. Powierzchnię odpowiadającą temu równaniu również nazywamy podstawową. Lemat 3.3.3 Jeżeli C jest spójną powierzchnią normalną w nieredukowalnej 3-rozmaitości i jeżeli C nie jest podstawowa to można znaleźć spójne powierzchnie normalne A i B takie, że A + B = C. Dodatkowo jeżeli A i B są tak dobrane, żeby zminimalizować liczbę krzywych w A B to w A B nie ma krzywej, która byłaby rozdzielająca i w A, i w B. Dow. Ponieważ C nie jest podstawowa to, z definicji, wiemy, że jest algebraiczną sumą innych powierzchni normalnych ale w tezie niniejszego lematu chcemy aby była sumą dokładnie dwóch spójnych powierzchni. Załóżmy więc, że C = A 1 +A 2 +... +A k, gdzie każde A i to spójna powierzchnia normalna. Z rozdziału 2.3 wiemy, że C powstaje z A i poprzez ciąg regularnych wymian. Uzasadnimy teraz, że podczas pojedynczej regularnej wymiany liczba spójnych składowych zmienia się o najwyżej jeden. Regularna wymiana polega na rozcięciu dwóch kawałków płaszczyzny wzdłuż wspólnej krzywej i sklejeniu w innej konfiguracji. Jeżeli oba kawałki początkowo należały do tej samej spójnej składowej to po rozcięciu ta składowa podzieliła się na najwyżej dwa kawałki czyli po ponownym sklejeniu również składa się z nie więcej niż dwóch kawałków (patrz. rys.3.1a). Jeżeli początkowo kawałki należały do dwóch różnych spójnych składowych to po rozcięciu powstały z tego cztery składowe (patrz. rys.3.1b), lub dwie (patrz. rys.3.1c). Jeżeli powstały cztery to po sklejeniu będą znowu dwie. Jeżeli natomiast powstały dwie to po sklejeniu będzie jedna lub dwie. Widać, że w każdym z powyższych przypadków liczba składowych zmienia się co najwyżej o jeden. Teraz pokażemy jak skonstruować powierzchnie A i B z tezy lematu wychodząc od powierzchni A i. Jeżeli A 1 i A 2 się przecinają to możemy przeprowadzić regularne wymiany wzdłuż każdej krzywej ich przecięcia. Jeżeli powtórzymy tę operację dla każdej pary składowych to w końcu otrzymamy spójną powierzchnię C. Jednak podczas tego procesu mogą powstać powierzchnie samoprzecinające się (rys. 3.1c). Dlatego musimy robić to uważnie. Za każdym razem kiedy na skutek regularnej wymiany zmniejszy się liczba składowych, zanim będziemy kontynuować powyższy proces najpierw usuniemy, również za pomocą regularnych wymian, wszystkie powstałe samoprzecięcia. Ta redukcja samoprzecięć może z powrotem zwiększyć liczbę składowych ale nie może jej zmniejszyć. Dzięki temu będziemy pewni, że każde połączenie powierzchni odbywa się w sytuacji kiedy żadna ze składowych nie ma samoprzecięć. Tak więc gdzieś w między czasie mieliśmy dokładnie dwie spójne składowe bez samoprzecięć, które po dokonaniu wymiany połączyły się. Tuż po tym połączeniu jednak powstała powierzchnia mogła mieć samoprzecięcia. Ale po ich usunięciu otrzymamy na pewno powierzchnię C. 21

Rysunek 3.1: Różne możliwe efekty dokonania regularnej wymiany. Weźmy teraz spośród wszystkich możliwych par takie A i B, które minimalizują liczbę krzywych wzajemnego przecięcia. Przypuśćmy, że α jest krzywą rozcinającą zarówno w A, jak i w B. Wtedy podczas regularnej wymiany wzdłuż α mamy do czynienia z rozcięciem na cztery kawałki, czyli po sklejeniu będą dokładnie dwa. Czyli po tej wymianie dostaliśmy dwie spójne powierzchnie A i B, które po usunięciu samoprzecięć i ewentualnych dalszych wymianach przeprowadzanych według powyższej procedury, przerodzą się w dwie spójne, zanurzone powierzchnie normalne A i B dające po zsumowaniu C. W A B jest mniej krzywych niż w A B (co najmniej o krzywą α). Czyli otrzymaliśmy sprzeczność. Twierdzenie 3.3.4 Niech C będzie normalnym dyskiem właściwie zanurzonym w dopełnieniu węzła M K o minimalnej wadze spośród wszystkich zanurzonych normalnych dysków o istotnym brzegu. Wtedy C jest podstawowy. Dow. Jeżeli C nie jest podstawowy to (z lematu 3.3.3) istnieją dwie spójne powierzchnie normalne A i B takie, że A + B = C. Wybierzmy takie A i B, żeby zminimalizować liczbę krzywych w A B. Ponieważ C jest dyskiem to, z lematu 3.3.1 wynika, że 1 = χ(c) = χ(a) + χ(b). Zastanówmy się teraz jak mogą wyglądać powierzchnie A i B. Wiemy, że każda zamknięta powierzchnia jest 2-sferą z ewentualnie doklejonymi rączkami i wstęgami Möbiusa. W naszym przypadku oprócz zamkniętych powierzchni mamy do czynienia z powierzchniami, których brzegami są rozłączne sumy prostych pętli. Takie powierzchnie powstają z zamkniętych powierzchni przez wycięcie otwartych 2-dysków (odpowiednie zamknięte powierzchnie nie muszą zanurzać się w S 3, ale po wycięciu już muszą). Tak więc będą nas interesowały zamknięte powierzchnie z ewentualnymi dziurami. Będziemy teraz szukali par powierzchni, które mają łącznie charakterystykę Eulera równą 1. W tym celu warto poczynić następującą uwagę: Uwaga 3.3.5 Ponieważ χ(a B) = χ(a) + χ(b) χ(a B) to zachodzi: 1. wycięcie dziury (dysku otwartego) zmniejsza charakterystykę Eulera o 1, ponieważ z naprzemiennej sumy liczności sympleksów odjęty zostaje jeden 2-sympleks; 22

2. doklejenie rączki zmniejsza charakterystykę Eulera o 2, bo wycinamy dwa dyski, wklejamy walec o charakterystyce 0, a charakterystyka okręgu (część wspólna to suma dwóch okręgów) wynosi 0; 3. doklejenie wstęgi Möbiusa zmniejsza charakterystykę Eulera o 1, bo wycinamy jeden dysk, charakterystyka wstęgi wynosi 0, a część wspólna to jeden okrąg (χ = 0). Największą charakterystykę Eulera ze wszystkich interesujących nas powierzchni, równą 2, ma 2-sfera. Ponieważ chi(a) + χ(b) = 1 to wystarczy, że przyjrzymy się powierzchniom o χ 1. Wypiszmy więc wszystkie te powierzchnie: 1. Powierzchnie o χ = 2: 2-sfera. 2. Powierzchnie o χ = 1: 2-sfera z jedną dziurą czyli dysk, 2-sfera z wklejoną jedną wstęgą Möbiusa czyli płaszczyzna rzutowa nie będzie nas interesowała gdyż nie jest zanurzalna w S 3. 3. Powierzchnie o χ = 0: 2-sfera z dwoma dziurami czyli walec, 2-sfera z jedną dziurą i jedną wklejoną wstęgą Möbiusa czyli płaszczyzna rzutowa z dziurą czyli wstęga Möbiusa (rys. 3.2), 2-sfera z dwoma wklejonymi wstęgami Möbiusa czyli dwie dziurawe płaszczyzny rzutowe sklejone dziurami czyli dwie sklejone wstęgi Möbiusa czyli butelka Kleina (rys. 3.3) niezanurzalna w S 3, 2-sfera z doklejoną rączką czyli torus. 4. Powierzchnie o χ = 1: 2-sfera z jedną rączką i jedną dziurą czyli dziurawy torus, 2-sfera z jedną rączką i jedną wstęgą Möbiusa niezanurzalne w S 3, 2-sfera z trzema wstęgami niezanurzalne w S 3, 2-sfera z dwoma wklejonymi wstęgami Möbiusa i jedną dziurą czyli dziurawa butelka Kleina (zanurzalna zob. rys. 3.4), 2-sfera z dwoma dziurami i jedną wstęgą Möbiusa, 2-sfera z trzema dziurami. Rysunek 3.2: Płaszczyzna rzutowa z dziurą to wstęga Möbiusa (groty strzałek oznaczają utożsamienia krawędzi). Z powyższych rozważań wynika, że są dwie istotnie różne możliwości odnośnie pary powierzchni A i B: 23

Rysunek 3.3: Sklejenie dwóch wstęg Möbiusa daje butelkę Kleina. Rysunek 3.4: Dziurawa butelka Kleina jest zanurzalna w S 3. 1. χ(a) = 2 a χ(b) = 1, czyli A jest 2-sferą, a B dziurawym torusem, lub dziurawą wstęgą Möbiusa. Inne możliwości na B eliminujemy, bo jeżeli A nie ma brzegu to B musi mieć spójny, niepusty brzeg. Wynika to z tego, że C powstaje z A B poprzez serię regularnych wymian. Jeżeli więc cały brzeg w C pochodzi z B to od początku nie ma on samoprzecięć więc regularne wyminy nie będą go dotyczyły czyli B = C. 2. χ(a) = 1 a χ(b) = 0, czyli A jest 2-dyskiem, a B torusem, walcem lub wstęgą Möbiusa. Tutaj powołamy się na dowód nieco ogólniejszego twierdzenia autorstwa W. Jaco i U. Oertela 3. Jest tam w obu powyższych przypadkach pokazane rozumowanie prowadzące do sprzeczności z założeniem o minimalności wagi dysku C. Teraz przytoczymy lemat, który zagwarantuje skończone działanie naszego algorytmu. Lemat 3.3.6 Zbiór podstawowych rozwiązań układu równań powierzchni normalnej w N n jest skończony. Dow. Rzeczywiste rozwiązania układu równań powierzchni normalnej (oznaczmy go przez A) tworzą podprzestrzeń liniową L przestrzeni R n. Jeżeli przetniemy tę podprzestrzeń z sympleksem określonym przez: x i = 1, x i 0 to otrzymamy wypukły wielościan W. Wierzchołki tego wielościanu to przecięcia L ze ścianami sympleksu. Każdy wierzchołek jest więc jedynym rozwiązaniem pewnego układu n równań o współczynnikach wymiernych. Czyli wierzchołki te mają współczynniki wymierne. Każde naturalne rozwiązanie układu A jest całkowitą wielokrotnością pewnego punktu należącego do W (ta wielokrotność to suma współrzędnych tego rozwiązania jako wektora). Każdy punkt W o współrzędnych wymiernych jest środkiem ciężkości wierzchołków W o wymiernych nieujemnych współczynnikach. Tak więc każde rozwiązanie układu A może być przedstawione w postaci a i x i, gdzie a i Q +, a x i to wierzchołki W. Niech teraz {X i } N będą pewnymi naturalnymi wielokrotnościami x i. Wtedy również każde naturalne rozwiązanie układu A jest wymierną nieujemną kombinacją rozwiązań {X i }. Rozważmy stożek S nad wielościanem wypukłym wyznaczonym przez {X i }, 3 Zob. [JO], Lemat 4.1, ss. 206-208. 24

S = {[a 1 X 1, a 2 X 2,..., a n X n ] 0 a i 1}. S jest zwarty więc zawiera skończenie wiele punktów o współrzędnych całkowitych. Pokażemy, że wszystkie podstawowe rozwiązania układu A należą do S. Jeżeli V jest rozwiązaniem A spoza S to V = a i X i i pewne a k > 1. Wtedy możemy zapisać V jako sumę dwóch innych niezerowych rozwiązań naturalnych: V = X k + ( a i X i X k ). 3.4. Ostateczny kształt algorytmu Twierdzenie 3.4.1 Problem rozpoznawania węzła trywialnego jest rozstrzygalny. Dow. Dowód będzie konstruktywny podamy algorytm rozpoznawania węzła trywialnego. Algorytm: Dany jest diagram węzła K. Konstruujemy triangulację jego dopełnienia M K. Wyznaczamy wszystkie podstawowe rozwiązania układu równań powierzchni normalnej dla M K. Wybieramy spośród nich te, które spełniają warunek czworokątów. Sprawdzamy, które z wybranych powierzchni mają charakterystykę Eulera równą jeden, czyli są dyskami 4. Sprawdzamy czy, któryś z tych dysków ma istotny brzeg przez sprawdzenie czy ten brzeg nie rozspójnia torusa M K. Jeżeli jest wśród nich taki dysk to K jest trywialny, a jeżeli nie ma to K jest nietrywialny. Uzasadnienie poprawności algorytmu: Z wniosku 3.2.1 i twierdzenia 3.3.4 wiemy, że węzeł K jest trywialny wtedy i tylko wtedy gdy w M K jest normalny istotny podstawowy dysk. Dzięki lematowi 3.3.6 mamy zapewnioną skończoną liczbę podstawowych rozwiązań, tak więc musimy dokonać tylko skończonej liczby sprawdzeń czy dana powierzchnia jest istotnym dyskiem. Pozostaje nam więc tylko uzasadnić, że dysk jest istotny dokładnie wtedy gdy jego brzeg nie rozspójnia torusa M K. Czyli musimy udowodnić następujący lemat: Lemat 3.4.2 Pętla prosta rozspójnia torus wtedy i tylko wtedy gdy ogranicza dysk na tym torusie. Dow. Jeżeli krzywa ogranicza dysk na torusie to oczywiście go rozspójnia dzieli na dwie powierzchnie: dysk i dziurawy torus. Jeżeli pętla P rozspójnia torus to dzieli go na dwie powierzchnie o spójnym, niepustym brzegu i łącznej charakterystyce Eulera 0. Korzystając z klasyfikacji poczynionej w dowodzie twierdzenia 3.3.4 widzimy, że mamy trzy możliwości par takich powierzchni: dwie wstęgi Möbiusa; dysk i dziurawa butelka Kleina; dysk i dziurawy torus. Jedynie trzecia z tych par po sklejeniu daje torus, bo dwie pierwsze dają butelkę Kleina. Czyli P na pewno dzieli torus na dysk i dziurawy torus, czyli ogranicza dysk na torusie. Tym samym udowodniliśmy twierdzenie 3.4.1, co było celem tej pracy. 4 Patrz. klasyfikacja powierzchni według charakterystyki Eulera w dowodzie twierdzenia 3.3.4. 25