III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty. Newtonowskie absolutna przestrzeń i absolutny czas. Układy inercjalne Obroty Układów Współrzędnych Opis ruchu w UO obracających się względem siebie z pewną prędkością kątową ω Ruch na obracającej się Ziemi Jan Królikowski Fizyka IBC 1
Newtonowska absolutna przestrzeń i absolutny czas W końcu XVII w Izaak Newton postulował istnienie niezależnych od siebie absolutnej przestrzeni (euklidesowej) i absolutnego czasu. Zasady matematyczne filozofii naturalnej (1687): Jan Królikowski Fizyka IBC 2
Newtonowska absolutna przestrzeń i absolutny czas cd. Te postulaty stanowiły istotną część struktury mechaniki klasycznej. Podkreślając ich znaczenie w strukturze mechaniki klasycznej i poznania ludzkiego w ogóle, żyjący w XVIII w. filozof Immanuel Kant zakwalifikował istnienie absolutnego czasu i absolutnej przestrzeni do zdań syntetycznych a priori. Matematycznym wyrazem niezależności przestrzeni i czasu jest niezmienniczość długości dowolnego odcinka r i dowolnego odstępu czasu t względem transformacji Galileusza, granicznej postaci transformacji Lorentza dla małych prędkości względnych układów. Jan Królikowski Fizyka IBC 3
Przestrzeń absolutna a pierwsza zasada dynamiki Newtona I zasada dynamiki: Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego jeżeli siły przyłożone nie zmuszają ciała do zmiany tego stanu. Ciało spoczywa w absolutnej przestrzeni Newtona. I zasada to postulat istnienia wyróżnionej klasy układów odniesienia- układów inercjalnych (UI), połączonych ze sobą transformacjami Galileusza. Jan Królikowski Fizyka IBC 4
Transformacja obrotu i układy obracające się Będziemy mieli do czynienia z dwiema sytuacjami: r. akad. 2005/ 2006 Dwa UW w tym samym (inercjalnym) UO mają wersory baz obrócone względem siebie. Jak opisywać ten sam wektor w obu układach? Jest to problem matematyczny. Dwa UO (i UW) obracają się względem siebie z pewną prędkością kątową. Jakie konsekwencje dla opisu ruchu w obu UO niesie obrót? Jeżeli jeden z UO jest inercjalny to drugi, obracający się względem niego, już nie jest inercjalny. ω Jest to problem fizyczny; w układzie obracającym się względem układu inercjalnego pojawiają się dodatkowe przyspieszenia tzw. przyspieszenia pozorne. Jan Królikowski Fizyka IBC 5
Obroty układów współrzędnych_ sformułowanie matematyczne UW opisywany jest przez zbiór wersorów bazy {, i=1,3}, zaś UW jest obrócony względem niego i opisywany zestawem wersorów bazy { ê, i=1,3}. Początki układów pokrywają się. i Pomiędzy wersorami baz zachodzi liniowa transformacja ortogonalna, opisywana macierzą ortogonalną R: ê i r. akad. 2005/ 2006 eˆ = i ij j j R eˆ 1 ji eˆ = R eˆ i Uwaga: we wzorach stosujemy konwencję sumacyjną- sumujemy po powtarzających się wskaźnikach 1 =δ = 1 = ij jm im ik km ki km RR R R R R Jan Królikowski Fizyka IBC 6
Obroty układów współrzędnych_ sformułowanie matematyczne cd. Macierz obrotów wyraża się przez cosinusy kierunkowe wersorów ê : i R:{e} ˆ {e} ˆ R :{e ˆ } {e ˆ } 1 i j j i ( ˆ ˆ ) R = e e ij i j R R = R 1 = T ij ij ji r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC 7
Macierze obrotu cd... Wektor A może być opisywany przez swoje współrzędne w UW lub w UW : A A = = Aeˆ i i Ae ˆ j j Wzory na transformacje współrzędnych wektora A A= A ˆ kek A= Ae ˆ = A R eˆ = A R eˆ k k ( ) ( ) j j j jk k j jk k A = R A = R A jk A = R A km j m 1 kj j Jan Królikowski Fizyka IBC 8
Tworzenie 3-wymiarowej macierzy obrotu z macierzy obrotów 2 wymiarowych. Kąty Eulera Macierze obrotu dookoła osi OZ, OX,OY o kąty θ i : cosθ1 sin θ1 0 c1 s1 0 R1 = sinθ1 cosθ 1 0 = s1 c1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 c3 0 s3 R2 = 0 c2 s 2 ; R3 = 0 1 0 0 s c s 0 c 2 2 3 3 Składając trzy obroty R i możemy uzyskać dowolny obrót: R θ, θ, θ = R R R ( ) 1 2 3 3 2 1 Kąty θ i nazywamy kątami Eulera Jan Królikowski Fizyka IBC 9
Lemat: pochodna wersora bazy obracającej się Niech układ współrzędnych U obraca się z prędkością kątowąω względem pewnego układu inercjalnego U. Pochodne wersorów bazy U są prostopadłe do wersorów bazy i do wektora ω. Zachodzi następujący oczywisty związek: deˆ dt = ω ê Jan Królikowski Fizyka IBC 10
Układy obracające się: transformacja prędkości i przyspieszenia Układ U obraca się względem inercjalnego układu U. Dowolny wektor możemy wyrazić albo w U albo w U : A = A eˆ = A eˆ = A i i k k U y Obliczając pochodne znajdujemy: da da k = ê k dt dt da d da deˆ k da = ( Ae ˆ k k) = + A k = + ω A dt dt dt dt dt U z y 0 z ω x x Jan Królikowski Fizyka IBC 11
Układy obracające się: transformacja prędkości i przyspieszenia cd. r. akad. 2005/ 2006 Zastosujemy w/w wzory do wektorów prędkości i przyspieszenia punktu materialnego: dr v = = V + v + ω r dt dv dω a= = A + a + r + 2ω v + ω ( ω r ) dt dt a = a A ε r + 2ω v ω ( ω r ) Na czerwono zaznaczyliśmy t.zw. przyspieszenia pozorne, działające w układzie nieinercjalnym Dla większej ogólności dodaliśmy: prędkość unoszenia U wzgl. U V oraz przyspieszenie unoszenia A. Jan Królikowski Fizyka IBC 12
Przyspieszenia pozorne związane z obrotami UO i działające w UO Przyspieszenie Coriolisa: a = 2ω v C Przyspieszenie odśrodkowe: 2 a odsr = ω ( ω r) = ω r Przyspieszenie związane z przyspieszeniem kątowym obrotu U względem U: a =ε r ε Jan Królikowski Fizyka IBC 13
Przykład: ruch na obracającej się Ziemi r. akad. 2005/ 2006 Założenie upraszczające: Ziemia jest kulą. U inercjalny, początek w środku Ziemi (zaniedbujemy małą prędkość kątową Ziemi dookoła Słońca). U obraca się razem z Ziemią. Okres obrotu Ziemi (doba gwiazdowa): T=23 h 56 m 4 s.. x N x z, z ω y y 2 π ω= = 7.292 10 s T 5 1 S Jan Królikowski Fizyka IBC 14
Kierunek przyspieszenia ziemskiego Uwaga: kąty i wielkość przyspieszenia odśrodkowego są znacznie przesadzone. g = g ω ω r eff tgα= 0 0 2 ( ) ω Rcosφsinφ g ω 2 2 Rcos φ ω ( ω r ) g eff α R φ r g 0 N S Jan Królikowski Fizyka IBC 15
Przyspieszenie Coriolisa na Ziemi Na półkuli północnej składowa horyzontalna przyspieszenia Coriolisa powoduje skręcanie ciała w prawo. Jan Królikowski Fizyka IBC 16
Przyspieszenie Coriolisa na Ziemi cd. Wirowy ruch cyklonów na Ziemi Jan Królikowski Fizyka IBC 17
Wahadło Foucaulta. Przyspieszenie Coriolisa na Ziemi cd. Dla obserwatora inercjalnego O płaszczyzna wahań pozostaje niezmienna, dla obserwatora O na Ziemi płaszczyzna wahań obraca się z częstością: ω=ωz sin φ W Warszawie ω=~12 /godz Jan Królikowski Fizyka IBC 18