Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe

Podobne dokumenty
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Terminologia. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Wstęp do metod numerycznych 14. Kilka wstępnych uwag na temat numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych zwyczajnych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metoda diagramowa. Obszary stabilności. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Metody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Metody Rungego-Kutty (II) P. F. Góra

Definicje i przykłady

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Układy równań i równania wyższych rzędów

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra

Metoda rozdzielania zmiennych

Całkowanie numeryczne

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Wstęp do równań różniczkowych

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metody wielokrokowe. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Wstęp do równań różniczkowych

Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie. P. F. Góra

1 Równania nieliniowe

x y

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

pozbyć się ograniczenia na krok czasowy ze strony bezwzględnej stabilności: niejawna metoda Eulera

7 zaokr aglamy do liczby 3,6. Bład względny tego przybliżenia jest równy A) 0,8% B) 0,008% C) 8% D) 100

u(t) RRZ: u (t)=f(t,u) Jednokrokowy schemat różnicowy

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 8. Metody wielokrokowe Metody Verleta

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

13. Równania różniczkowe - portrety fazowe

Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra

Matematyka stosowana i metody numeryczne

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

Metoda Różnic Skończonych (MRS)

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk

Systemy. Krzysztof Patan

Równania różniczkowe zwyczajne

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

KADD Minimalizacja funkcji

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU. P. F. Góra

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra

Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1

Różniczkowanie numeryczne

KADD Minimalizacja funkcji

Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych

Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 12. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

ciało w potencjale radialnym schemat Eulera orbity kontrola kroku czasowego

czyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

Obliczenia iteracyjne

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Rozwiązywanie układów równań liniowych

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU. P. F. Góra

Rozkłady wielu zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

P. F. Góra semestr letni 2006/07

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Transkrypt:

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011

Problem Cauchy ego dy dx = f(x, y) (1) y(x 0 ) = y 0 to przepis na to jak uzyskać rozwiazanie po infinitezymalnie małym kroku czasowym. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 2

Metody numeryczne zamiana problemu ciagłego na dyskretny x 0, x 1 = x 0 + h, x 2 = x 1 + h,..., x n = x n 1 + h,... y 0 = y(x 0 ), y 1 = y(x 1 ), y 2 = y(x 2 ),..., y n = y(x n ),... h krok czasowy (niekiedy może się zmieniać, ale o tym później) Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 3

Metody jawne (explicit) Metoda jawna to przepis rachunkowy pozwalajacy wyliczyć wartość poszukiwanej funkcji y(x) w punkcie x n+1 na podstawie znajomości wartości funkcji (a także prawej strony równania) w punktach x n, x n 1, x n 2,.... Przykład: Metoda ( 3 y n+1 = y n + h 2 f n 1 ) 2 f n 1, (2) gdzie f k f(x k, y k ) (f oznacza prawa stronę równania różniczkowego w problemie (1)), jest jawna. Uwaga! Jeżeli w jakiejś metodzie, jawnej lub niejawnej (patrz niżej), zachodzi konieczność użycia prawej strony równania obliczanej we wcześniejszych punktach (f n 1, f n 2,... ), na ogół nie należy ich za każdym razem obliczać na nowo numerycznie szybciej jest je zapamiętać. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 4

Metody niejawne (implicit) Metoda niejawna to równanie algebraiczne (w ogólności wielowymiarowe równanie algebraiczne), jakie musi spełniać poszukiwana wartość y n+1. Wyliczenie tej wartości polega na numerycznym rozwiazaniu odpowiedniego równania algebraicznego. Przykład: Metoda ( 1 y n+1 = y n + h 2 f n+1 + 1 ) 2 f n, (3) jest niejawna, gdyż poszukiwana wielkość y n+1 jest potrzebna do obliczenia f n+1. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 5

Przykładu ciag dalszy Dane jest (skalarne) równanie różniczkowe dy dx = y x y 2 + x. (4) Zastosowanie metody niejawnej (3) do równania (4) prowadzi do następujacego równania algebraicznego na nieznana wielkość y n+1 : y n+1 = y n + 1 2 h y n+1 x n+1 yn+1 2 + x + y n x n n+1 yn 2 + x. (5) n Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 6

Zgodność Od każdej metody numerycznego całkowania równań różniczkowych wymaga się, aby była zgodna z wyjściowym równaniem, to jest aby odtwarzała je w granicy nieskończenie małych kroków. Przykład: Przekształcajac wyrażenie (2) otrzymujemy y(x n + h) y(x n ) h y n+1 = y n + h y n+1 y n h ( 3 2 f n 1 ) 2 f n 1 (6a) = 3 2 f n 1 2 f n 1 (6b) = 3 2 f(x n + h, y(x n + h)) 1 2 f(x n, y(x n )) (6c) Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 7

W granicy h 0 lewa strona (6c) daży do pochodnej dy, natomiast oba x=xn argumenty po prawej stronie daż a do (x n, y(x n )). Ostatecznie otrzymujemy co jest zgodne z równaniem (1). dy = f(x n, y(x n )), dx x=xn dx (6d) Analogicznie można wykazać zgodność metody (3). Natomiast metoda ( 3 y n+1 = y n + h 2 f n 1 ) 3 f n 1, nie jest zgodna z równaniem (1). Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 8

Rzad metody Podczas numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych popełnia się dwa rodzaje nieuniknionych błędów numerycznych: bład metody, wynikajacy z zastapienia ścisłego problemu ciagłego problemem dyskretnym oraz bład zaokraglenia, wynikajacy z faktu, iż obliczenia prowadzone sa ze skończona dokładnościa. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 9

Uzyskane rozwiazanie numeryczne jest tylko przybliżeniem rozwiazania dokładnego. Niech y n y(x n ) będzie uzyskanym rozwiazaniem przybliżonym, natomiast ỹ(x n ) niech będzie (nieznanym, ale istniejacym) rozwiazaniem dokładnym. Zgodność metody oznacza, że w granicy lim y n = ỹ(x n ), a wobec tego h 0 spodziewamy się, że dla małych h zachodzi y n ỹ(x n ) O(h p+1 ) (7) Liczbę p nazywamy rzędem metody. Ogólna postać metody rzędu p zapisuje się najczęściej jako y n+1 = G(h; y n+1, y n, y n 1,... ) + O(h p+1 ) (8) Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 10

Stabilność Na skutek popełnianych błędów, warunek poczatkowy w problemie Cauchy ego ulega w każdym kroku rozmyciu : dy dx = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 dy dx = f(x, y) y(x 1 ) = y 1 +ε 1 dy = f(x, y) dx y(x 2 ) = y 2 +ε 2 (9) Gdyby ten bład rozmycia mógł propagować się z kroku na krok, rozwiazanie numeryczne szybko mogłoby przestać mieć cokolwiek wspólnego z rozwiazaniem wyjściowego problemu Cauchy ego: aby metoda była stabilna, błędy popełniane w kolejnych krokach nie moga narastać z kroku na krok. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 11

Zakładamy, że błędy sa niewielkie, ε n 1, możemy się więc ograniczyć do przybliżenia liniowego. W tym przybliżeniu ε n+1 = Gε n. (10) Błędy nie będa narastać z kroku na krok, jeśli wszystkie wartości własne macierzy G będa spełniać γ < 1. Macierz G nazywamy macierza wzmocnienia. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 12

Przykład: Dla jednokrokowej metody jawnej y n+1 + ε n+1 = F(h; x n, y n + ε n ) F(h; x n, y n ) + F y y=yn ε n. (11) W powyższym wyrażeniu F/ y oznacza różniczkowanie wszystkich składowych F po wszystkich składowych y, czyli obliczanie jakobianu: Dla jednokrokowej metody jawnej G = F y (h; x n, y n ). (12) Jeżeli jakaś metoda w ogóle może być stabilna dla danego równania, wymóg stabilności oznacza na ogół wzięcie odpowiednio małego kroku h. Zgodnie z wyrażeniem (12), krok czasowy, który w pewnym punkcie zapewnia stabilność, może go nie zapewniać w innym. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 13

Jawna metoda Eulera Problem Cauchy ego (1) to przepis na to jak uzyskać rozwiazanie po infinitezymalnie małym kroku czasowym. Spróbujmy zastosować ten przepis dla kroków małych, ale o skończonej długości. W tym celu dokonajmy rozwinięcia Taylora: y n+1 = y(x n+1 ) = y(x n + h) y(x n ) + dy h + O(h 2 ), (13) dx x=xn,y=y n a zatem y n+1 = y n + h f(x n, y n ) + O(h 2 ). (14) Metoda ta, zwana jawna metoda Eulera, jest najpopularniejsza (i jedna z najgorszych) metoda używanych do numerycznego całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 14

Inne wyprowadzenie metody Eulera: (pozornie inne) y n + y(x n + h) = y n + x n +h x n +h x n dy dx dx = y n + x n +h x n f(x, y(x))dx x n (f(x n, y n ) + O(h)) dx = y n + h f(x n, y n ) + O(h 2 ). (15) Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 15

Interpretacja geometryczna jawnej metody Eulera (przypadek jednowymiarowy) y 0 y 1 x 0 x 1 Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 16

Przykład zastosowania jawnej metody Eulera 1.00 0.95 dy/dx = -y + x y(0) = 1 2e -x + x -1 h=1/16 h=1/8 0.90 0.85 y 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 x Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 17

Stabilność jawnej metody Eulera y n+1 + ε n+1 = y n + ε n + h f(x n, y n + ε n ) y n + ε n + h f(x n, y n ) + h J(x n, y n )ε n (16) a zatem macierz wzmocnienia ma postać G = I + h J(x n, y n ), (17) gdzie J(x n, y n ) = f/ y x=xn,y=y n jest jakobianem prawej strony równania po drugiej zmiennej. I jest macierza jednostkowa. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 18

Obserwacja: Dla równania liniowego dy dx = Ay, (18) gdzie A R n n, macierza wzmocnienia w jawnej metodzie Eulera jest G = I + ha. (19) Macierz A może, w ogólności, zależeć od zmiennej niezależnej, A = A(x). Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 19

Niejawna metoda Eulera Przy wyprowadzaniu jawnej metody Eulera rozwijaliśmy poszukiwana funkcję w szereg Taylora wokół lewego krańca przedziału. Nic jednak nie szkodzi dokonać rozwinięcia wokół prawego krańca: y n = y(x n ) = y(x n+1 h) y(x n+1 ) dy h + O(h 2 ), dx x=xn+1,y=y n+1 (20) a zatem y n+1 = y n + h f(x n+1, y n+1 ) + O(h 2 ). (21) Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 20

W wyrażeniu (21) nieznana wielkość y n+1 występuje po obu stronach jest to zatem równanie algebraiczne, jakie spełniać ma numeryczna wartość poszukiwanego rozwiazania. Zauważmy, że obie metody Eulera, jawna i niejawna, sa tego samego rzędu. Istotnie, y n+1 = y n + h f(x n+1, y n+1 ) + O(h 2 ) = y n + h f(x n + h, y n + h f(x n+1, y n+1 )) + O(h 2 ) ( y n + h f(x n, y n ) + f h + f ) h f( ) + O(h 2 ) + O(h 2 ) x... y... = y n + h f(x n, y n ) + O(h 2 ). (22) Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 21

Interpretacja geometryczna niejawnej metody Eulera (przypadek jednowymiarowy) y 0 y guess y 1 y target y expl x 0 x 1 Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 22

Przykład zastosowania niejawnej metody Eulera 1.00 0.95 0.90 dy/dx = -y + x y(0) = 1 niejawna h=1/8 niejawna h=1/16 2e -x + x - 1 jawna h=1/8 0.85 y 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 x Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 23

Stabilność niejawnej metody Eulera Dla metody niejawnej (21) otrzymujemy y n+1 + ε n+1 = y n + ε n + h f(x n+1, y n+1 + ε n+1 ) y n + ε n + h f(x n+1, y n+1 ) + h J(x n+1, y n+1 )ε n+1, (23) a zatem G = ( I h J(x n+1, y n+1 ) ) 1. (24) J, jak poprzednio, jest jakobianem f po drugiej zmiennej, ale obliczanym w innym punkcie. Obserwacja: Dla równania liniowego (18) macierz wzmocnienia ma postać G = (I ha) 1. (25) Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 24

Przykład: Rozpatrzmy następujacy problem Cauchy ego: [ ] [ d u 1009 2009 = dx v 1010 2010 u(0) = 1, v(0) = 0. Analityczne rozwiazanie tego problemu ma postać ] [ u v ], (26) u(x) = 2009 999 e x 1010 999 e 1000x, (27a) v(x) = 1010 999 e x 1010 999 e 1000x. (27b) Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 25

Rozwiazanie (27) ma dwie charakterystyczne skale czasowe: T 1 = 1 i T 2 = 1/1000 T 1. Ta druga skala czasowa nie gra, poza poczatkowym okresem, żadnej istotnej roli w rozwiazaniu, spodziewamy się więc, że można na nia nie zwracać uwagi w rozwiazaniu numerycznym. Nic bardziej błędnego! Spróbujmy rozwiazać problem (26) przy pomocy jawnej metody Eulera z krokiem h = 1/256. Wyniki przedstawia tabela x u(x) jawna met. Eulera, h = 1 256 0 1.00000000 1/128 4.78867912 2/128-5.74808168 3/128 23.44808960 4/128-57.55829240 5/128 167.09159900 6/128-456.02206400 7/128 1272.20862000 8/128-3521.21387000 Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 26

oraz wykres... 30 20 jawna metoda Eulera, h=1/256 rozwiazanie dokladne 10 0 u(x) -10-20 -30-40 -50-60 0 1/128 2/128 3/128 4/128 x Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 27

Skad bierze się taki wynik? Zauważmy, że du dx = 1009, a zatem dla małych wartości argumentu szukana funkcja narasta bardzo szybko, jednak, jak się x=0 okazuje, wybrany krok czasowy jest większy niż charakterystyczna skala tego narastania przybliżenie numeryczne przestrzeliwuje, w następnym kroku stara się ten bład skompensować i w rezultacie rozwiazanie rozbiega się oscylacyjnie. Rozwiazanie jawna metoda Eulera z krokiem dwa razy mniejszym, h = 1/512, także wykazuje silne oscylacje dla małych wartości argumentu, ale oscylacje te sa tłumione. Jednocześnie jawna metoda Eulera z krokiem h = 1/2048 oraz niejawna metoda Eulera z krokiem h = 1/256 nie oscyluja i mimo poczatkowych odchyleń od rozwiazania dokładnego, zbiegaja się do niego bardzo szybko. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 28

2.0 u(x) 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 jawna, h=1/512 rozwiazanie dokladne 0 1/32 2/32 3/32 4/32 5/32 6/32 7/32 8/32 0 1/128 2/128 3/128 4/128 x jawna, h=1/2048 rozwiazanie dokladne niejawna, h=1/256 Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 29

Zjawiska te można wyjaśnić w oparciu o teorię stabilności. Wartości własne macierzy z problemu (26) wynosza λ 1 = 1, λ 2 = 1000. Wobec tego wartości własne macierzy wzmocnienia (19) wynosza γ 1 = 1 h, γ 2 = 1 1000h. Z warunku γ 1,2 < 1 wynika, iż dla zapewnienia stabilności rozwiazania problemu (26) w jawnej metodzie Eulera musi zachodzić 0 < h < 500 1. Układ typu (26), w którym występuje kilka wyraźnie różnych skal czasowych i jawna metoda numeryczna w celu zapewnienia stabilności musi się dostosować do najszybszej z nich, mimo iż jest ona praktycznie nieobecna w rozwiazaniu, nazywa się problemem sztywnym. Wartości własne macierzy wzmocnienia (25) w metodzie niejawnej wynosza γ 1 = (1 + h) 1, γ 2 = (1 + 1000h) 1, a zatem h > 0 metoda jest stabilna. Metody takie nazywamy A stabilnymi. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 30

Problem: Zmiana pochodnej na przestrzeni kroku całkowania Wróćmy do wyjściowego problemu Cauchyego (1). Metody Eulera, jawna i niejawna, ignoruja fakt, iż prawa strona (pochodna poszukiwanej funkcji) zmienia się w trakcie wykonywania kroku całkowania. Spodziewamy się, że pewna średnia pochodna będzie lepiej opisywać zmiany funkcji na całym przedziale o długości równej długości kroku całkowania. Wobec tego jako średnia pochodna przyjmijmy pochodna w środkowym punkcie przedziału. Ale jak znaleźć wartość szukanej funkcji w tym środkowym punkcie? Najprościej jest znaleźć ja korzystajac z jawnej metody Eulera z krokiem połówkowym, następnie zaś obliczona w punkcie środkowym pochodna przenosimy do lewego krańca przedziału i wykonujemy cały krok o długości h. Zatem Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 31

Jawna metoda punktu środkowego k 1 = f(x n, y n ), (28a) ( k 2 = f x n + h 2, y n + h ) 2 k 1, (28b) y n+1 = y n + hk 2 + O(h 3 ). (28c) Dlaczego rzad tej metody równa się 2 (odrzucone wyrazy sa rzędu O(h 2+1 )), dowiemy się później. Podobnie później, w szerszym kontekscie, przeanalizujemy stabilność tej metody. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 32

Interpretacja geometryczna jawnej metody punktu środkowego y 0 y 1/2 y 1 y Euler x 0 x 1/2 x 1 Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 33

Przykład zastosowania jawnej metody punktu środkowego 1.00 0.95 dy/dx = -y + x y(0) = 1 2e -x + x -1 midpoint h=1/8 Euler h=1/8 0.90 0.85 y 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 x Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 34

Niejawna metoda punktu środkowego Metoda punktu środkowego oczywiście ma także swój wariant niejawny. W jawnej metodzie punktu środkowego konstruujemy punkt środkowy; w metodzie niejawnej poszukujemy punktu o tej własności, że jeżeli cofniemy się w kierunku wyznaczonym przez pochodna funkcji w tym punkcie, trafimy na lewy kraniec przedziału. Innymi słowy, kierunek od punktu w lewym krańcu przedziału do poszukiwanego punktu środkowego musi pokrywać się z kierunkiem pochodnej w punkcie środkowym: k 2 = f ( x n + h 2, y n + h ) 2 k 2, (29a) y n+1 = y n + hk 2 + O(h 3 ). (29b) Zauważmy, że metoda (29) formalnie wymaga tylko jednego obliczenia prawej strony równania różniczkowego, a mimo to jest metoda rzędu drugiego. Tego, że tak jest, dowiedziemy później. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 35

Interpretacja geometryczna niejawnej metody punktu środkowego y 0 y 1/2 y 1 x 0 x 1/2 x 1 Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 36

Jawna metoda trapezowa Jest szereg innych sposobów uśredniania zmian pochodnej na długości kroku całkowania. Metoda równie dobra, co metoda punktu środkowego, jest metoda oparta na następujacym schemacie: 1. oblicz pochodna w lewym krańcu przedziału 2. idź z krokiem Eulera do prawego krańca przedziału, 3. oblicz pochodna w osiagniętym punkcie na prawym krańcu przedziału, 4. przejdź jeszcze raz cały przedział w kierunku danym przez średnia z obu obliczonych pochodnych czyli k 1 = f(x n, y n ), (30a) k 2 = f(x n + h, y n + hk 1 ), (30b) y n+1 = y n + h k 1 + k 2 2 + O(h 3 ). (30c) Metoda ta bierze swoja nazwę od metody trapezowej całkowania funkcji, opartej na podobnym schemacie. Inna nazwa tej metody jest metoda Heuna. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 37

Interpretacja geometryczna metody trapezowej y 0 y 1 y Euler x 0 x 1 Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 38

Niejawna metoda trapezowa W jawnej metodzie trapezowej średnia pochodna jest średnia arytmetyczna pochodnej w lewym krańcu przedziału i w eulerowskim przybliżeniu pochodnej w prawym krańcu przedziału. W niejawnej metodzie trapezowej, zamiast przybliżenia eulerowskiego biorę poszukiwany punkt, otrzymujac y n+1 = y n + h f(x n, y n ) + f(x n+1, y n+1 ) 2 Zauważmy, że metodę tę można w sposób równoważny zapisać w postaci (31) k 1 = f(x n, y n ), (32a) k 2 = f ( x n + h, y n + 1 2 h k 1 + 1 2 h k 2), (32b) y n+1 = y n + 1 2 h (k 1 + k 2 ). (32c) Równanie (32b) pokazuje niejawny charakter metody (31). Nb, metoda ta była uprzednio wprowadzona jako mtoda (3). Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 39

Metody predyktor-korektor Metody niejawne sa kosztowne w użyciu, wymagaja bowiem rozwiazywania u- kładu równań algebraicznych, na ogół nieliniowego, w każdym kroku iteracji. Czasami ułatwiamy sobie życie, zastępujac rozwiazanie ścisłe rozwiazaniem samouzgodnionym (self-consistent). Podejście to prowadzi do całej klasy metod, znanych jako metody predyktor-korektor. Jeśli F jest pewna metoda jawna, G pewna metoda niejawna tego samego rzędu, obliczamy predyktor: korektor: y predict n+1 = F(h; x n, y n, y n 1,... ), (33a) y correct n+1 = G(h; x n, y predict n+1, y n, y n 1,... ). (33b) Krok korektora możemy iterować. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 40

Niejawna metoda trapezowa w postaci predyktor-korektor Dla niejawnej metody trapezowej wyglada to tak: y predict n+1 = (obliczony z jawnej metody trapezowej), (34a) n+1 = y n + h f(x n, y n ) + f(x n+1, y predict n+1 ), (34b) 2 n+1 = y n + h f(x n, y n ) + f(x n+1, y correct s 1 n+1 ), s = 2, 3,...(34c) 2 y correct 1 y correct s Uwaga: Po jednym kroku korektora odtwarzamy jawna metodę trapezowa (metodę Heuna). Nie jest reguła, że tak się dzieje. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 41

Uwagi Wiadomo, że często rozwiazania samouzgodnione różnia się od rozwiazań dokładnych układów równań algebraicznych. W praktyce wykonuje się tylko kilka (niewiele!) kroków korektora w przeciwnym razie zysk na czasie wykonania jest niewielki lub nie ma go wcale. Metody predyktor-korektor sa metodami jawnymi, a zatem na ogół nie maja korzystnych własności stabilności, typowych dla metod niejawnych. Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 42

Metody punktu środkowego oraz metody trapezowe, jawne i niejawne, to tylko szczególne sposoby uwzględniania zmienności pochodnej w trakcie kroku całkowania. Należa one do bardzo szerokiej kategorii, znanej ogólnie jako metody Rungego Kutty Copyright c 2009-11 P. F. Góra 3 43