Ryzyko inwestycji nansowych

Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ryzyko inwestycji nansowych (semestr zimowy 2010/11) 1 Koncepcje i rodzaje ryzyka 1.1 Dwie koncepcje ryzyka 1. Negatywna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagro zenie; mo zliwość straty, szkody, nieosiagni ecia zamierzonego celu dzia ania. 2. Neutralna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagro zenie, ale jednocześnie szansa; mo zliwość uzyskania efektu ró zniacego si e od zamierzonego celu (efekt ten mo ze być gorszy lub lepszy od oczekiwanego). 1.2 Rodzaje ryzyka 1. Ryzyko rynkowe - wynika ze zmian cen na rynkach nansowych i towarowych (koncepcja neutralna). 2. Ryzyko kredytowe - wynika z mo zliwości niedotrzymania warunków kontraktu przez osob e lub instytucj e, której udzielono kredytu. 3. Ryzyko operacyjne - ryzyko straty wynikajacej z nieprawid owo dzia ajacych procesów wewn etrznych, ludzi i systemów informatycznych (koncepcja negatywna). 4. Ryzyko p ynności - ryzyko nieoczekiwanego spadku p ynności nansowej podmiotu gospodarczego (p ynność oznacza zdolność podmiotu do regulowania zobowiazań w terminie) (koncepcja neutralna lub negatywna). 5. Ryzyko prawne - ryzyko uchwalenia nowych aktów prawnych maja- cych wp yw na sytuacj e danego podmiotu gospodarczego (koncepcja neutralna). 6. Ryzyko biznesu - ryzyko spowodowane zmianami warunków ekonomicznych prowadzenia dzia alności gospodarczej przez podmiot (koncepcja neutralna lub negatywna). 7. Ryzyko wydarzeń - ryzyko wystapienia wydarzeń losowych majacych wp yw na sytuacj e podmiotu gospodarczego (np. powódź, po zar, napad na bank) (koncepcja negatywna). 1

1.3 Podzia ryzyka rynkowego 1. Ryzyko kursu walutowego 2. Ryzyko stopy procentowej 3. Ryzyko cen akcji 4. Ryzyko cen towarów (tak ze nieruchomości) 1.4 Podzia ryzyka kredytowego 1. Ryzyko niedotrzymania warunków - ryzyko niedokonania przez druga stron e p atności wynikajacych z kontraktu (koncepcja negatywna). 2. Ryzyko wiarygodności kredytowej - mo zliwość zmiany wiarygodności kredytowej drugiej strony (koncepcja neutralna). 2 De nicja papieru wartościowego Papier wartościowy (security) jest to dokument (instrument nansowy) potwierdzajacy jedna z trzech sytuacji: nabycie prawa do wspó w asności rmy, udzielenie kredytu rzadowi, rmie lub instytucji, uzyskanie prawa do otrzymania w przysz ości pewnej wartości (najcz eściej w postaci innego papieru wartościowego). 3 Rodzaje papierów wartościowych 3.1 Akcje Akcja (stock, share) jest to dokument świadczacy o udziale jego w aściciela w kapitale spó ki akcyjnej. Posiadanie akcji zapewnia: prawo do dywidend, prawo do uczestnictwa w walnym zgromadzeniu akcjonariuszy, prawo do udzia u w majatku spó ki w przypadku jej likwidacji. Akcje dziela si e na zwyk e i uprzywilejowane. Uprzywilejowanie mo ze dotyczyć: g osu na zebraniach akcjonariuszy, pierwszeństwa w wyp acaniu dywidendy, pierwszeństwa w podziale majatku spó ki w przypadku jej likwidacji. 2

3.2 Obligacje Obligacja (bond) jest to papier wartościowy potwierdzajacy nabycie przez jego posiadacza prawa do otrzymania w określonym terminie sumy pieni edzy określonej w obligacji oraz ewentualnie odsetek Obligacja zamienna daje jej nabywcy prawo do wymiany na inne papiery wartościowe danego emitenta w przysz ości i na z góry określonych warunkach. Podzia obligacji ze wzgl edu na okres do wykupu: krótkoterminowe (1-5 lat), średnioterminowe (5-12 lat), d ugoterminowe (powy zej 12 lat). Podzia obligacji ze wzgl edu na oprocentowanie: o sta ym oprocentowaniu, o zmiennym oprocentowaniu (mo ze być ustalane na poczatku lub na końcu okresu oprocentowania), zerokuponowe (bezodsetkowe) brak odsetek jest rekompensowany sprzeda z a obligacji po cenie ni zszej od wartości nominalnej. 4 Stopa zysku z inwestycji Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawowa miara określajac a efektywność inwestycji. Określamy ja wzorem K p R := K k ; (1) K p gdzie: K p > 0 kapita poczatkowy (zainwestowany na poczatku procesu inwestycji), K k kapita końcowy (posiadany na końcu inwestycji). Stop e zysku R podaje sie zwykle w procentach. Przekszta caj ac wzór (1), otrzymujemy wzór na kapita końcowy: K k = K p (1 + R): (2) Stwierdzenie 1. Dany jest skończony ciag inwestycji nansowych w przedzia ach czasowych [t i 1 ; t i ], i = 1; ::; n, gdzie t 0 < t 1 < ::: < t n. Za ó zmy, ze kapita końcowy dla poprzedniego okresu jest kapita em poczatkowym dla nast epnego okresu. Je zeli R i jest stopa zysku dla okresu [t i 1 ; t i ], to stopa zysku dla okresu [t 0 ; t n ] wynosi ny R = (1 + R i ) 1: (3) 3

Dowód. Oznaczmy przez K i kapita posiadany w momencie t i, i = 0; 1; :::; n. Zgodnie z (2) K i = K i 1 (1 + R i ), i = 1; :::; n: Zatem K 1 = K 0 (1 + R 1 ); K 2 = K 1 (1 + R 2 ) = K 0 (1 + R 1 )(1 + R 2 ); ::: K n = Y n K 0 (1 + R i ): (4) Poniewa z K n jest kapita em końcowym dla ca ego procesu inwestycji, wiec musi spe niać warunek (2), czyli K n = K 0 (1 + R): (5) Porównujac wzory (4) i (5), otrzymujemy (3). Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 za ó zmy dodatkowo, ze 1 + R i > 0. Liczb e v uut Y n R := n (1 + R i ) 1 (6) nazywamy średnia geometryczna stopa zysku (zwrotu) z inwestycji n- okresowej o stopach zysku R i, i = 1; :::; n. Sens liczby R jest nastepujacy: jest ona taka, ze inwestycja n-okresowa o równych stopach zysku w poszczególnych okresach, wynoszacych R, daje stop e zysku R określona wzorem (3). Istotnie, stosujac Stwierdzenie 1 do powy zszej sytuacji, otrzymamy R = ny (1 + R) 1 = (1 + R) n 1 = ny (1 + R i ) 1: Stwierdzenie 2. Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 i warunku 1 + R i > 0 zachodzi nierówno sć R 1 R i ; (7) n tzn. srednia geometryczna stopa zysku nie przekracza sredniej arytmetycznej stóp zysku z poszczególnych okresów. Dowód. Stosujemy znana nierówność pomi edzy średnia geometryczna i arytmetyczna liczb dodatnich a 1 ; :::; a n : v uy t n n a i 1 a i n 4

(równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby a i sa równe). Niech a i := 1 + R i, wówczas v uut Y R n = n (1 + R i ) 1 1 (1 + R i ) 1 n! = 1 n n n + X R i 1 = 1 R i : n 5 Zasada obliczania procentu sk adanego Szczególnym przypadkiem wzoru (4) jest zasada obliczania procentu sk adanego. Dotyczy ona np. oprocentowanych lokat bankowych, w których jest sta a stopa procentowa, a odsetki sa kapitalizowane po up ywie ka zdego roku: K n = K 0 (1 + R) n ; (8) gdzie: R stopa procentowa (b edaca jednocześnie stopa zysku dla ka zdego roku), K 0 kapita poczatkowy, K n kapita po n latach (wartość przysz a sumy K 0 po n latach). W przypadku, gdy odsetki sa dodawane do kapita u m razy w ciagu roku (przy tej samej rocznej stopie procentowej R), mamy nast epujacy wzór na wartość przysz a sumy K 0 po n latach: K n = K 0 1 + m R mn : (9) Wzór (9) przybiera konkretne postacie w zale zności od cz estości kapitalizacji odsetek: kwartalna: K n = K 0 1 + R 4n 4 miesieczna: K n = K 0 1 + R 12 dzienna: K n = K 0 1 + R 365 ciag a: 12n 365n K n = K 0 lim 1 + R mn m!1 m " = K 0 lim 1 + 1 # m=r Rn m!1 m=r = K 0 lim 1 + 1 x Rn = K 0 e x!1 x Rn ; (10) gdzie e 2; 7183 podstawa logarytmu naturalnego. Uwaga: wzrost czestości kapitalizacji odsetek ma niewielki wp yw na wzrost wartości przysz ej kapita u. 5

6 Zasada dyskonta Zasada dyskonta jest to zasada procentu sk adanego przedstawiona w odwrotnej postaci. Przekszta cajac wzór (8), otrzymujemy K 0 = K n (1 + R) n ; (11) gdzie K 0 nazywamy wartościa bie z ac a sumy pieniedzy K n uzyskiwanej w przysz ości (inaczej: wartościa zdyskontowana na okres bie z acy). Stop e procentowa R nazywamy tu stopa dyskontowa. Interpretacja: wartość bie z aca K 0 wskazuje, jaka sum e nale zy zainwestować na n lat, przy za o zeniu stopy procentowej R oraz rocznej kapitalizacji odsetek, aby otrzymać sume równa K n. 7 Efektywna stopa procentowa W celu wyrównania efektu śródrocznej kapitalizacji odsetek (m razy w ciagu roku) nale zy powi ekszyć stop e procentowa R wystepujac a w (9) do wartości zwanej efektywna stopa procentowa, oznaczanej R ef. Zatem efektywna stopa procentowa spe nia równanie K 0 (1 + R ef ) n = K 0 1 + m R mn : Stad wynika, ze R ef = 1 + R m m 1: (12) 8 Określanie wartości papierów wartościowych Za ó zmy najpierw, ze inwestor zatrzyma papier wartościowy przez rok. Oznaczmy: P wartość papieru wartościowego w momencie zakupu, czyli kapita (poczatkowy) zainwestowany w zakup. Oznaczmy t e wartość. C wp ywy gotówkowe z tytu u posiadania papieru wartościowego (zak adamy dla uproszczenia, ze uzyskiwane sa dok adnie po up ywie roku), R stopa zysku papieru wartościowego. Ze wzoru (2) wynika, ze C = P (1 + R), czyli P = C 1 + R : (13) Interpretacja: wartość papieru wartościowego jest to zdyskontowany przychód z tytu u posiadania papieru wartościowego, przy czym stopa dyskontowa jest stopa zysku. 6

Uogólnienie. Rozwa zamy papier wartościowy, z tytu u którego otrzymujemy wp ywy przez n kolejnych okresów. Uogólniajac wzór (13), otrzymujemy P = C i (1 + R) i ; (14) gdzie: P wartość papieru wartościowego, C i dochód z tytu u posiadania papieru wartościowego, uzyskany w i-tym okresie, R stopa dyskontowa, b edaca jednocześnie stopa zysku osiaganego w pojedynczym okresie. De nicja. Wartość papieru wartościowego jest to suma zdyskontowanych na okres bie z acy wp ywów uzyskiwanych z tytu u posiadania tego papieru wartościowego, przy czym stopa dyskontowa jest równa jego stopie zysku. Sposoby korzystania ze wzoru (14): 1. Jeśli stopa zysku R jest znana (na podstawie stóp zysku papierów wartościowych podobnego typu), to mo zna porównać wartość P z cena rynkowa papieru wartościowego w celu podj ecia decyzji co do zakupu (zakup jest op acalny, jeśli cena nie przekracza P ). 2. Mo zna przyjać jako P cene rynkowa papieru wartościowego i rozwiazać równanie (14) wzgl edem R w celu wyznaczenia stopy zysku. Wymaga to stosowania metod przybli zonych. Znajac R, mo zna podjać decyzj e o zakupie (np. porównujac R ze stopa zysku, czyli oprocentowaniem, lokat bankowych). 9 Określanie wartości obligacji o sta ym oprocentowaniu Rozwa zmy obligacj e z n-letnim terminem wykupu, o wartości nominalnej M. Za ó zmy, ze odsetki p acone po up ywie ka zdego roku wynosza C. Zatem oprocentowanie obligacji wynosi C=M. Stosujac (14), otrzymujemy wzór na wartość obligacji: C P = (1 + R) i + M (1 + R) n ; (15) gdzie Pn C (1+R) i M (1+R) n zdyskontowany przychód z odsetek, zdyskontowany przychód z wykupu obligacji. W (15) wystepuja dwie ró zne stopy procentowe: 1. C=M stopa procentowa określajaca oprocentowanie odsetek od obligacji (jest sta a i znana w momencie zakupu). 2. R stopa dyskontowa b edaca jednocześnie stopa zysku obligacji (zwana tak ze stopa rentowności). 7

Wartość R jest zmienna w czasie, gdy z zale zy od ceny rynkowej. W praktyce P jest cena rynkowa i jest znana, a nieznana jest stopa zysku R. 10 Określanie wartości akcji zwyk ych Zysk z tytu u posiadania akcji pochodzi z dwóch źróde : 1. z dywidendy p aconej w danym okresie, 2. z przyrostu kapita u w danym okresie (wynikajacego z przyrostu ceny akcji). Za ó zmy najpierw, ze posiadacz akcji sprzeda ja po up ywie n lat. Wówczas z (14) otrzymujemy D i P = (1 + R) i + P n (1 + R) n ; (16) gdzie P wartość akcji w chwili obecnej, P n wartość akcji po n latach, D i dywidenda wyp acona w i-tym roku (dla uproszczenia zak adamy, ze jest wyp acana z końcem roku), R stopa zysku akcji, b ed aca stopa dyskontowa, zdyskontowany przychód z dywidend, P n P n (1+R) n D i (1+R) i zdyskontowany przychód ze sprzeda zy akcji. Za ó zmy teraz, ze nabywca akcji b edzie ja zawsze posiada. Wówczas znika ostatni sk adnik po prawej stronie (16), a zamiast skończonej sumy rozwa zamy jej wartość graniczna (o ile istnieje): P = lim n!1 1 D i (1 + R) i = X D i (1 + R) i : (17) Wzór (17) nazywamy modelem zdyskontowanych dywidend. Uwagi. 1) Zbie zność szeregu w (17) ma miejsce np. wtedy, gdy istnieje taka sta a A > 0, ze D i D 1 A i 1 A, i = 2; 3; ::: oraz 1+R < 1. Wówczas lim n!1 D i (1 + R) i lim n!1 D 1 A i 1 (1 + R) i = D 1 1X A i 1 (1 + R) i ; A 1+R 2 gdzie szereg po prawej stronie jest szeregiem geometrycznym o ilorazie (0; 1), a wiec zbie znym. 2) We wzorze (17) wyd u zenie horyzontu czasowego inwestowania do nieskończoności (co jest oczywiście jedynie przybli zeniem rzeczywistej sytuacji) powoduje, ze nie rozpatrujemy przyrostu kapita u z powodu zmian cen akcji. Nie ma on znaczenia, gdy nieplanuje si e sprzeda zy akcji. Jedynym źród em dochodu z akcji staje si e dywidenda. 8

11 Określanie wartości przedsi ebiorstwa Wartość przedsi ebiorstwa (np. spó ki, banku, zak adu ubezpieczeń) jest to wartość obecna (bie z aca) przysz ych przep ywów pieni e znych do przedsi ebiorstwa. Wyra za ja wzór podobny do (17): P = 1X C i (1 + R) i ; (18) gdzie P wartość przedsi ebiorstwa, C i przep yw pienie zny w okresie i, R stopa dyskontowa. Sumowanie nieskończone wynika z za o zenia, ze przedsi ebiorstwo b edzie funkcjonowa o stale (przez czas nieokreślony). 12 Zale zność stopy zysku od sposobu kapitalizacji Przedstawimy teraz trzy ró zne wzory na stop e zysku z inwestycji trwajacej n okresów jednostkowych (najcz eściej sa to lata). Ró znice wynikaja z odmiennych sposobów kapitalizacji odsetek. Uwaga: n nie musi być liczba naturalna. 12.1 Prosta stopa zysku Prosta stopa zysku odpowiada kapitalizacji okresowej, tzn. odsetki sa kapitalizowane jeden raz na zakończenie ca ego procesu inwestycji. Sytuacj e t e opisuje szczególny przypadek wzoru (9), gdy m = 1=n: K n = K 0 (1 + nr): (19) Wyznaczajac stad R, otrzymujemy wzór na prosta stop e zysku: R = 1 Kn 1 : (20) n K 0 12.2 Efektywna stopa zysku Efektywna stopa zysku odpowiada kapitalizacji rocznej, która opisuje wzór (8). Stad otrzymujemy wzór na efektywna stop e zysku: R = Kn K 0 1=n 1: (21) 9

12.3 Logarytmiczna stopa zysku Logarytmiczna stopa zysku odpowiada kapitalizacji ciag ej. Logarytmujac stronami wzór (10), otrzymujemy ln K n = ln K 0 + Rn: Stad dostajemy wzór na logarytmiczna stop e zysku: R = 1 n (ln K n ln K 0 ) = 1 n ln K n K 0 : (22) 13 Przestrzeń probabilistyczna Niech b edzie dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nale z acym do tzw. klasy zdarzeń F, gdzie F 2. Zak adamy, ze F jest -cia em podzbiorów, tzn. spe nia nastepujace warunki: S1. F 6= ;. S2. Je zeli A 2 F, to na 2 F. S3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; :::, to S 1 A i 2 F. Z powy zszych warunków wynka, ze do F nale z a zdarzenia: (zdarzenie pewne) i ; (zdarzenie niemo zliwe). Najmniejsze -cia o zawierajace wszystkie zbiory otwarte w R n nazywamy -cia em zbiorów borelowskich w R n i oznaczamy B(R n ). Prawdopodobieństwem nazywamy dowolna funkcje P : F! R spe niajac a warunki: A1. P (A) 0 dla ka zdego A 2 F, A2. P () = 1, A3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz A i \ A j = ; dla i 6= j, to P! 1[ 1X A i = P (A i ): (23) Przestrzenia probabilistyczna nazywamy trójke (; F; P ), gdzie jest dowolnym zbiorem, F jest -cia em podzbiorów, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F. W asności prawdopodobieństwa. Je zeli (; F; P ) jest przestrzenia probabilistyczna i zbiory A; B; A 1 ; :::; A n nale z a do F, to spe nione sa poni zsze warunki: W1. P (;) = 0. W2. Je zeli A i \ A j = ; dla i 6= j, to P ( S n A i) = P n P (A i). W3. P (na) = 1 P (A). W4. Je zeli A B, to P (BnA) = P (B) P (A). W5. Je zeli A B, to P (A) P (B). W6. P (A) 1. W7. P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B). 10

Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to z równości = [ f!g!2!2 oraz z warunków A2 i W2 wynika, ze! X [ P (f!g) = P f!g = P () = 1: (24) 14 Zmienne losowe!2 Niech (; F; P ) b edzie przestrzenia probabilistyczna. Zmienna losowa (wek- torem losowym) o wartościach w R n nazywamy odwzorowanie X :! R n takie, ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w R n zbiór X 1 (A) nale zy do F. Mo zna wykazać, ze X jest zmienna losowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka zdego uk adu liczb 1 ; :::; n 2 R mamy X 1 (( 1; 1 ] ::: ( 1; n ]) 2 F: Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to ka zda funkcja X :! R n jest zmienna losowa. Rozk adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :! R n nazywamy funkcje P X : B(R n )! R dana wzorem P X (B) := P (X 1 (B)) dla B 2 B(R n ): (25) Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozk ad dyskretny, je zeli istnieje taki zbiór przeliczalny S R n, ze P X (S) = 1. Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to mo zna przyjać S := X() (zbiór skończony) i wtedy P X (S) = P X (X()) = P (X 1 (X())) = P () = 1: Zatem ka zda zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk ad dyskretny. 14.1 Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozk adzie dyskretnym Wartościa oczekiwana (lub średnia) zmiennej losowej X :! R o rozk adzie dyskretnym, przyjmujacej skończenie wiele wartości, nazywamy liczb e EX := X i2i x i P (X = x i ); (26) 11

gdzie X() = fx i g i2i, I skończony zbiór indeksów, a P (X = x i ) jest skróconym zapisem wyra zenia P (f! 2 : X(!) = x i g). Wartościa oczekiwana wektora losowego X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n, gdzie wszystkie zmienne losowe X i przyjmuja skończenie wiele wartości, nazywamy wektor EX := (EX 1 ; :::; EX n ): (27) 14.2 Wartość oczekiwana zmiennej losowej w przypadku ogólnym W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :! R mówimy, ze ma ona wartość oczekiwana, je zeli jest ca kowalna, tzn. Z jxj dp < 1: Wówczas wartościa oczekiwana zmiennej losowej X nazywamy liczb e Z EX := XdP: (28) De nicja (28) jest uogólnieniem de nicji (26). W ogólnym przypadku do zde niowania wartości oczekiwanej wektora losowego u zywamy wzoru (27) przy za- o zeniu, ze wszystkie wspó rz edne maja wartość oczekiwana. Ze wzoru (27) i z podstawowych w asności ca ki wynika nastepujace twierdzenie. Twierdzenie 1. Niech X i Y b ed a zmiennymi losowymi na o warto sciach w R. Za ó zmy, ze istnieja warto sci oczekiwane EX i EY. Wówczas: (a) Je sli X 0, to EX 0. (b) jexj E jxj. (c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto sć oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey. (29) 15 Prognozowanie stopy zysku z inwestycji 15.1 Metoda 1 na podstawie danych z przesz ości W metodzie tej wykorzystuje si e dane z pewnej ilości okresów poprzedzajacych okres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest określona wzorem R i = P i P i 1 + D i ; (30) P i 1 gdzie P i, P i 1 oznaczaja wartości akcji odpowiednio w okresach i, i 1, a D i dywidend e wyp acana w okresie i. Wzór (30) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (1), gdzie kapita pocz atkowy K p przyjmujemy jako równy P i 1, a kapita końcowy K k jako 12

równy P i +D i. Jeśli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla prognozowania stopy zysku w nadchodzacym okresie (o tej samej d ugości) mo zemy u zyć średniej arytmetycznej R = 1 R i (31) n albo średniej geometrycznej określonej wzorem (6). 15.2 Metoda 2 wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku Korzystajac z analiz ekspertów dotyczacych sytuacji danej rmy oraz ca ej gospodarki, mo zna próbować ocenić mo zliwe stopy zysku w ró znych sytuacjach oraz prawdopodobieństwa ich wystapienia. Wówczas do prognozowania przysz ej stopy zysku u zywamy oczekiwanej stopy zysku. Metod e t e nazywamy prognozowaniem ekspertowym. Oczekiwana stopa zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczb e ER := p i R i ; (32) gdzie R i stopa zysku wystepujaca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wystapienia i-tej sytuacji, n liczba mo zliwych ró znych scenariuszy rozwoju. 16 Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej Niech X :! R b edzie zmienna losowa. Jeśli E (X EX) 2 < 1, to te liczb e nazywamy wariancja zmiennej losowej X i oznaczamy Var X = D 2 X := E (X EX) 2 : (33) Wariancj e mo zna inaczej zapisać nast epujaco: Var X = E(X 2 ) (EX) 2 : (34) Dowód (34). Var X := E[(X EX) 2 ] = E[X 2 2XEX + (EX) 2 ] = E(X 2 ) (EX) 2. Ze wzorów (33) i (26) wynika, ze jeśli X przyjmuje skończona ilość wartości x i, i 2 I, to Var X = X P (X = x i )(x i i2i EX) 2 : (35) W asności wariancji. Jeśli X jest zmienna losowa, dla której E(X 2 ) < 1, to istnieje Var X i spe nia warunki (a) Var X 0. (b) Var(X) = 2 Var X ( 2 R). 13

(c) Var(X + ) = Var(X) ( 2 R). (d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta a z prawdopodobieństwem 1. Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek z wariancji: X = DX = p Var X: (36) 17 Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja neutralna) Ryzyko inwestycji nansowej oznacza niepewność wystapienia oczekiwanej sytuacji w procesie inwestowania. Określa ono tak ze skal e zró znicowania (rozproszenia) prognozy lub danych historycznych. Miarami ryzyka zwiazanego z inwestowaniem w papiery wartościowe sa wariancja i odchylenie standardowe papieru wartościowego. 17.1 Prognozowanie ekspertowe W przypadku prognozowania ekspertowego wariancj e papieru wartościowego de niujemy nast epujaco: V := p i (R i ER) 2 ; (37) gdzie R i stopa zysku wystepujaca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wystapienia i-tej sytuacji, ER oczekiwana stopa zysku z inwestycji, dana wzorem (32). Im mniejsza wartość V, tym mniejsze ryzyko osiagni ecia oczekiwanej stopy zysku. Najmniejsza mo zliwa do osiagni ecia wartościa jest 0. Wystepuje ona wtedy, gdy wszystkie mo zliwe scenariusze rozwoju charakteryzuja sie jednakowa stopa zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta ym oprocentowaniu. 17.2 Prognozowanie ryzyka na podstawie wartości historycznych stóp zysku Zak ada si e, ze rozk ad przysz ych stóp zysku b edzie si e charakteryzowa takim samym ryzykiem, jakie wyst epowa o w dotychczasowych notowaniach. Wariancj e dotychczasowych stóp zysku oblicza si e wed ug wzoru V := 1 n (R i R) 2 ; (38) gdzie n liczba okresów, z których pochodza dane, R i stopy zysku uzyskane w kolejnych okresach, R średnia historyczna stopa zysku, dana wzorem (31). Poniewa z nie sa określone prawdopodobieństwa wystapienia poszczególnych stóp 14

zysku R i, przyjmuje sie, ze sa one jednakowe i wynosza 1=n. Wówczas ER = R zgodnie z wzorem (32), a zatem (38) jest szczególnym przypadkiem (37), gdzie p i = 1=n dla i = 1; :::; m. W przypadku ma ej liczby danych (n 30) do prognozowania wariancji stopy zysku stosuje si e wyra zenie ^V := 1 n 1 (R i R) 2 : (39) Sens u zycia tego wzoru wynika z faktu, ze ^V jest tzw. estymatorem nieobcia zonym wariancji, co wyjaśnimy dok adniej na wyk adzie z analizy portfelowej (w semestrze letnim). W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy zysku przyjmujemy pierwiastek z odpowiedniego wyra zenia, tzn. p V lub p ^V. 18 Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja negatywna) Jeśli ryzyko rozwa zane jest w kategoriach zagro zenia, to pod uwag e bierze si e tylko ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zysku. Wówczas zamiast wariancji rozwa za si e semiwariancj e stopy zysku określona nastepujaco: gdzie d i := SV := p i d 2 i ; (40) Ri ER; gdy R i ER < 0; 0; gdy R i ER 0: (41) Odpowiednikiem odchylenia standardowego jest semiodchylenie standardowe stopy zysku: s := p SV : (42) 19 Wp yw zmiany kursu walutowego na stop e zysku Ryzyko kursu walutowego wyst epuje wtedy, gdy podmiot ma aktywa lub zobowiazania wyrazone w walucie obcej. Rozwa zamy ogólna sytuacje, gdy w czasie mo ze si e zmieniać zarowno wartośc kapita u (aktywów, zobowiazań) w walucie obcej, jak i kurs tej waluty. Interesuje nas wp yw obu tych zmian na wartość kapita u wyra zona w walucie krajowej. Dla uproszczenia b edziemy rozwa zać euro i z ote. B edziemy korzystać z ogólnego wzoru (2) na kapita końcowy przy inwestycji jednookresowej. Wprowadźmy nast epujace oznaczenia: K p;e kapita poczatkowy wyra zony w euro, 15

K p;z kapita poczatkowy wyra zony w z otych, K k;e kapita końcowy wyra zony w euro, K k;z kapita końcowy wyra zony w z otych, c p kurs euro (tj. wartość 1 euro wyra zona w z otych) w momencie poczatko- wym, c k kurs euro w momencie końcowym, R e procentowa zmiana wartości kapita u wyra zonego w euro (stopa zysku), R z procentowa zmiana wartości kapita u wyra zonego w z otych (stopa zysku), R c procentowa zmiana kursu euro. Stwierdzenie 3. Przy powy zszych za o zeniach sopa zysku w z otych wyra za si e wzorem R z = R e + R c + R e R c : (43) Z (2) i z de nicji kursu walutowego wynikaja nastepujace za- Dowód. le zności: Ponadto z de nicji R c mamy K k;z = K p;z (1 + R z ); (44) K k;e = K p;e (1 + R e ); (45) K p;z = K p;e c p ; (46) K k;z = K k;e c k : (47) c k = c p (1 + R c ): (48) Stosujac kolejno wzory (44), (47), (45), (48) i (46), otrzymujemy K p;z (1 + R z ) = K k;z = K k;e c k = K p;e (1 + R e )c p (1 + R c ) = K p;z (1 + R e )(1 + R c ): (49) Dzielac (49) stronami przez K p;z, dostajemy 1 + R z = (1 + R e )(1 + R c ) = 1 + R e + R c + R e R c ; skad wynika (43). 20 Niezale zność zmiennych losowych Zmienne losowe X 1 ; :::; X n o wartościach w R, określone na zbiorze, gdzie (; F; P ) jest przestrzenia probabilistyczna, nazywamy niezale znymi, je zeli dla dowolnych zbiorów B 1 ; :::; B n 2 B(R) zachodzi równość P (X 1 2 B 1 ; :::; X n 2 B n ) = P (X 1 2 B 1 ) ::: P (X n 2 B n ): (50) W powy zszym wzorze wyra zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra zenia P f! 2 : X 1 (!) 2 B 1 ^ ::: ^ X n (!) 2 B n g; 16

podobna uwaga dotyczy wyra zeń po prawej stronie. Twierdzenie 2. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n sa niezale zne i maja warto sć oczekiwana, to istnieje warto sć oczekiwana iloczynu Q n X i i zachodzi równo sć! ny ny E X i = EX i : (51) Dowód przeprowadzimy dla przypadku dwóch zmiennych losowych X, Y przyjmujacych skończenie wiele wartości. Za ó zmy, ze X() = fx i g i2i, Y () = fy j g j2j, gdzie I, J skończone zbiory indeksów. Poniewa z zbiory jednoelementowe fx i g i fy j g sa borelowskie, wi ec z (50) otrzymujemy P (X = x i ; Y = y j ) = P (X = x i )P (Y = y j ) (i 2 I, j 2 J). Stad na podstawie (26) E(XY ) = X X x i y j P (X = x i ; Y = y j ) i2i j2j = X X x i y j P (X = x i )P (Y = y j ) i2i j2j! 0 1 X = x i P (X = x i ) @ X y j P (Y = y j ) A = EX EY. i2i j2j Twierdzenie 3. Przy za o zeniach Twierdzenia 2 zachodzi równo sć Var! X i = Var X i : (52) Dowód (dla dwóch zmiennych losowych X, Y ). Korzystajac kolejno ze wzorów (34), (29), (51) i ponownie z (34), otrzymujemy h Var(X + Y ) = E (X + Y ) 2i [E (X + Y )] 2 = E X 2 + 2XY + Y 2 [EX + EY ] 2 = E(X 2 ) + 2E (XY ) + E(Y 2 ) (EX) 2 2EX EY (EY ) 2 = E(X 2 ) (EX) 2 + E(Y 2 ) (EY ) 2 = Var X + Var Y. 21 Kowariancja i wspó czynnik korelacji zmiennych losowych Kowariancja ca kowalnych zmiennych losowych X i Y, spe niaj acych warunek E jxy j < 1, nazywamy liczb e Cov(X; Y ) := E [(X EX) (Y EY )] : (53) 17

Z powy zszej de nicji i z Twierdzenia 1(c) otrzymujemy Cov(X; Y ) = E [XY (EX)Y X(EY ) + EX EY ] = E(XY ) 2EX EY + E(EX EY ) = E(XY ) EX EY; (54) gdzie ostatnia równość wynika z faktu, ze wartość oczekiwana zmiennej losowej o sta ej wartości jest równa tej sta ej. Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi; w przeciwnym przypadku skorelowanymi. Korzystajac z nierówności Schwarza dla ca ek, mo zna wykazać nast epujac a nierówność: jcov(x; Y )j p Var X Var Y ; (55) przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem 1 zmienne losowe X i Y zwiazane sa zale znościa liniowa, tzn. istnieja takie liczby a, b 2 R, ze P fy = ax + bg = 1: (56) Wspó czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczb e (X; Y ) := Cov(X; Y ) X Y = Cov(X; Y ) p Var X Var Y : (57) Z nierówności (55) wynika, ze j(x; Y )j 1, a równość zachodzi tylko w przypadku liniowej zale zności miedzy zmiennymi X i Y. Z Twierdzenia 2 i z równości (54) wynika, ze jeśli zmienne losowe X i Y sa niezale zne i maja wartość oczekiwana, to sa nieskorelowane. Za ó zmy teraz, ze zmienne losowe X i Y przyjmuja skończenie wiele wartości i ze dany jest rozk ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych (X; Y ), tzn. dane sa skończone ciagi liczbowe x 1 ; :::; x n i y 1 ; :::; y n oraz ciag liczb dodatnich p 1 ; :::; p n takie, ze p i = 1 oraz P (X = x i ; Y = y i ) = p i, i = 1; :::; n: (58) Wówczas, korzystajac z wzoru (26) na wartość oczekiwana, mo zemy zapisać wzór (53) w postaci Cov(X; Y ) = p i (x i EX) (y i EY ) : (59) 22 Korelacja papierów wartościowych Rozwa zmy teraz przypadek, gdy zmiennymi losowymi X i Y sa odpowiednio stopy zysku R A i R B akcji A i B. Niech A i B oznaczaja odpowiednio 18

odchylenia standardowe stóp zysku akcji A i B. W przypadku akcji za o zenie ich dodatniości jest na ogó spe nione. Wówczas ze wzorów (37), (57) i (59) otrzymujemy nast epujac a de nicj e: Wspó czynnikiem korelacji akcji (ogólniej: inwestycji nansowych) A i B nazywamy liczb e A;B : = Cov(R A; R B ) A P B n = p i (R A;i ER A ) (R B;i ER B ) pp n p i(r A;i ER A ) 2p P n p i(r B;i ER B ) ; (60) 2 gdzie: R A;i stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B), p i prawdopodobieństwo wystapienia i-tej sytuacji, n ilość mo zliwych sytuacji. Jeśli korelacj e określa si e na podstawie obserwacji statystycznych stóp zysku (R A;i ; R B;i ), i = 1; :::; n, to wzory określajace kowariancj e i wspó czynnik korelacji przyjmuja postać Cov(R A ; R B ) := 1 n R A;i ~ RA R B;i ~ RB ; (61) gdzie ~ R A, ~ RB średnie arytmetyczne odpowiednio wielkości R A;i, R B;i (i = 1; :::; n), A;B : = Cov(R A; R B ) A B P n R A;i RA ~ R B;i RB ~ = q Pn (R A;i ~R A ) 2 q Pn (R B;i ~R B ) 2 : (62) Mówimy, ze akcje (inwestycje nansowe) A i B sa (a) dodatnio skorelowane, jeśli A;B > 0, (b) ujemnie skorelowane, jeśli A;B < 0, (c) nieskorelowane, jeśli A;B = 0, (d) doskonale (dok adnie) dodatnio skorelowane, jeśli A;B = 1, (e) doskonale (dok adnie) ujemnie skorelowane, jeśli A;B = 1. Uwaga. Wspó czynnik korelacji jest miara zale zności liniowej (por. wzór (56)), tj. miara skupiania sie punktów (R A;i ; R B;i ) (w uk adzie wspó rzednych na p aszczyźnie) wokó linii prostej. 23 Wariancja sumy zmiennych losowych Dotychczas podaliśmy wzór na wariancj e sumy zmiennych losowych jedynie w przypadku zmiennych losowych niezale znych (wzór (52)). Obecnie podamy wzór dla przypadku ogólnego. 19

Twierdzenie 4. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja wariancj e, to istnieje te z wariancja sumy P n X i i zachodzi rowno sć Var! X X i = Var X i + 2 Cov(X i ; X j ): (63) 1i<jn Dowód. otrzymujemy = Korzystajac kolejno z (34), (29), ponownie z (34) oraz z (54), Var! 2 X i = E 4 E(X 2 i ) (EX i ) 2 + 2 = Var X i + 2! 3 2 X i 5 X 1i<jn X 1i<jn! 2 EX i [E(X i X j ) EX i EX j ] Cov(X i ; X j ). Wniosek. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja wariancj e i sa parami nieskorelowane, to zachodzi równo sć (52). 20