Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla wszystkich elementów r, s, t R: 1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) 2. działanie jest łaczne: r (s t) = (r s) t 3. działanie jest rozłączne względem działania + (obustronnie): r (s + t) = (r s) + (r t) (s + t) r = (s r) + (t r) W dalszym zapisie działań będziemy pomijać znak lub używać standardowego znaku mnożenia. Dla uproszczenia piszemy, że R jest pierścieniem. Definicja 1.2 Pierścień R nazywamy pierścieniem z jedynką, gdy: e R r R e r = r e = r Element e nazywa się jedynką pierścienia. Definicja 1.3 Pierścień R nazywamy pierścieniem przemiennym, gdy działanie jest przemienne, tzn. r,s R r s = s r Przykład 1.4 Przykłady pierścieni: 1. Z, Z[ 5] = {a + b 5 : a, b Z} pierścienie przemienne z jedynką 1
2. R, C ciała (pierścienie przemienne z jedynką, w których zachodzi dodatkowo warunek a e0 b R ab = ba = e 0 ) 3. n Z = {n a : n N, a Z} pierścień przemienny bez jedynki Dalej będziemy rozpatrywać głównie pierścienie przemienne z jedynką. Definicja 1.5 Homomorfizmem pierścieni nazywamy odwzorowanie f : R S spełniające warunki: 1. a,b R f(a + b) = f(a) + f(b) 2. a,b R f(a b) = f(a) f(b) 3. jeżeli R, S są pierścieniami z jedynką, to f(1) = 1 Przykład 1.6 Przykłady homomorfizmów: 1. R = Z Z, S = Z, f : R S, f((a, b)) = a Pokażemy z definicji, że powyższe odwzorowanie jest homomorfizmem pierścieni. Niech a = (a 1, a 2 ), b = (b 1, b 2 ) a) L=f(a + b) = f((a 1, a 2 ) + (b 1, b 2 )) = f(a 1 + b 1, a 2 + b 2 ) = a 1 + b 1 P=f(a) + f(b) = f((a 1, a 2 )) + f((b 1, b 2 )) = a 1 + b 1 L=P b) L=f(a b) = f((a 1 b 1, a 2 b 2 )) = a 1 b 1 P=f(a) f(b) = a 1 b 1 L=P c) 1 R = (1, 1), 1 S = 1 f((1, 1)) = 1 2. R = Z Z, S = Z, g : R S, g((a, b)) = b 3. R = R[x], S = R, h : R S, h(w(x)) = w( 5) Definicja 1.7 Homomorfizm f : R S jest izomorfizmem, jeśli istnieje taki homomorfizm g : S R, że g f = 1 R, f g = 1 S, gdzie 1 R : R R i 1 S : S S oznacza homomorfizm tożsamościowy (identycznościowy). Piszemy wtedy f : R S lub R S. Definicja 1.8 Obrazem homomorfizmu f : R S nazywamy podzbiór {f(a) S : a R} i oznaczamy Im(f). Przykład 1.9 Przykłady obrazów homomorfizmów: Niech f, h : R S będą homomorfizmami z przykładu 1.6 Wówczas: 2
1. Im(f) = Z 2. Im(h) = {w( 2) : w(x) R} Na to, aby homomorfizm f : R S był izomorfizmem, potrzeba i wystarcza, żeby był wzajemnie jednoznaczny i aby każdy element z S należał do obrazu Im(f) homomorfizmu f. Definicja 1.10 Jądrem homomorfizmu f : R S nazywamy podzbiór {a R : f(a) = 0} i oznaczamy Ker(f). Przykład 1.11 Przykłady jąder homomorfizów: Niech f, h : R S będą homomorfizmami z przykładu 1.6 Wówczas: 1. Ker(f) = {(0, a) : a Z} 2. Ker(h) = {w R[x] : (x 2) w} Definicja 1.12 Pierścień A nazywamy podpierścieniem pierścienia R, jeśli A R i działania w A są identyczne z działaniami w R, ograniczonymi do zbioru A, oraz jedynka pierścienia R należy do pierścienia A. Stwierdzenie 1.13 A jest podpierścieniem R wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki: 1. 0 A A Ø 2. a,b A (a b) A 3. a,b A (a b) A 4. 1 R 1 A Przykład 1.14 Przykład podpierścienia: R = M 2 2 (R) macierze wymiaru 2 na 2 o współczynnikach rzeczywistych. Weźmy A R takie, że: {[ ] } a b A = : a, c Q, b R 0 c [ ] [ ] a b d e Niech A i A. 0 c 0 f [ ] 0 0 1. 0 = A, gdyż 0 Q i 0 R 0 0 [ ] [ ] [ ] a b d e a d b e 2. = A 0 c 0 f 0 c f 3
[ ] [ ] [ ] a b d e ad ae + bf 3. = A 0 c 0 f 0 cf [ ] 1 0 4. 1 = A, gdyż 1 Q i 0 R 0 1 Zatem A jest podpierścieniem R. Fakt 1.15 Obraz homomorfizmu pierścieni jest zawsze podpierścieniem. Definicja 1.16 Niech R będzie pierścieniem. R algebrą nazywamy parę (A, η), gdzie A jest pierścieniem, zaś η : R A homomorfizmem pierścieni. Definicja 1.17 Homomorfizmem R algebr (A, η) (A, η ) nazywamy taki homomorfizm pierścieni f : A A, że fη = η. Definicja 1.18 Najmniejszą liczbę naturalną m taką, że 1 } + {{ + 1 } = 0 w R m nazywamy charakterystyką pierścienia R i oznaczamy char(r). Własności 1.19 1. char(r) = 0 R zawiera podpierścień izomorficzny z Q. 2. char(r) = p R zawiera podpierścień izomorficzny z Z p. Przykład 1.20 Przykłady charakterystyk pierścieni: 1. char(q) = char(r) = char(c) = 0 2. char(z p ) = p Definicja 1.21 Element a 0 pierścienia R nazywamy: a) odwracalnym lub jednością, jeśli b R ab = 1; b) dzielnikiem zera, jeśli b 0,b R ab = 0. Jeśli a jest elementem odwracalnym, to istnieje dokładnie jeden element b R taki, że ab = 1. Element ten nazywamy odwrotnością elementu a i oznaczamy przez a 1 lub 1. Zbiór wszystkich elementów odwracalnych pierścienia a R oznaczamy przez R. Fakt 1.22 Jeżeli a jest elementem odwracalnym, to a nie jest dzielnikiem zera. Jeżeli a jest dzielnikiem zera, to a nie jest elementem odwracalnym. 4
Przykład 1.23 Znaleźć wszystkie dzielniki zera i elementy odwracalne: R = (Z 6 ; + (6) ; (6) ) Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} W pierścieniu mogą znajdować się następujące elementy: A elementy odwracalne B dzielniki zera C takie, które nie są ani odwracalne ani dzielnikami zera (nazwiemy je pozostałymi) W taki sposób posegregujemy elementy pierścienia R. Mamy zatem: 0 należy do pozostałych, bo w samej definicji zarówno dzielnika zera jak i elementu odwracalnego odrzuca się przypadek gdy a = 0. 1 element odwracalny, bo dla b = 1: a b = 1 2 dzielnik zera, bo dla b = 3: a b = 2 (6) 3 = 0 3 dzielnik zera (analogicznie do przypadku 2) 4 dzielnik zera, bo dla b = 3: a b = 4 (6) 3 = 0 5 element odwracalny, bo dla b = 5: a b = 5 (6) 5 = 1 A zatem: A = {1, 5}, B = {2, 3, 4}, C = {0}. Definicja 1.24 Pierścień bez dzielników zera nazywamy dziedziną (obszarem). Przykład 1.25 Przykłady dziedzin: Z 3 [x], Q[x], R[x], C[x] Definicja 1.26 Niezerowy element dziedziny nazywamy nierozkładalnym, jeśli nie jest elementem odwracalnym i nie może być przedstawiony jako iloczyn elementów nieodwracalnych. Przykład 1.27 Przykład elementu nierozkładalnego: (2x + 2) Q[x] jest to element nieodwracalny, różny od zera. Zauważmy, że: 2x + 2 = w(x) p(x) st(w(x)) = 0 st(p(x)) = 0 w(x) (Q[x]) p(x) (Q[x]) Ponieważ w Q[x] elementami odwracalnymi są tylko liczby wymierne, to (2x + 2) Q[x] zawsze ma w rozkładzie element odwracalny. Pokazaliśmy zatem, że (2x + 2) jest nierozkładalny w Q[x]. 5
Definicja 1.28 Ideałem pierścienia R nazywamy każdy podzbiór I R spełniający warunki: 1. 0 I 2. a,b I a b I 3. a I r R r a I a r I Przykład 1.29 Przykład ideału: R = C[0, 1] pierścień funkcji ciągłych na przedziale [0, 1]. I = {f C[0, 1] : f(1) = 0} 1. 0 I, bo 0(1) = 0 2. Niech f, g I. (f g)(1) = f(1) g(1) = 0 0 = 0 (f g) I 3. Niech f I i g R. (f g)(1) = f(1) g(1) = 0 g(1) = 0 (f g) I Analogicznie (g f) I. Na mocy definicji ideału I jest ideałem pierścienia C[0, 1]. Własności 1.30 1. Jądro Ker(f) homomorfizmu pierścieni f : R S jest ideałem pierścienia R. 2. Jeśli I S jest ideałem, to f 1 (I) R jest również ideałem. 3. Jeśli J R jest ideałem, to f(j) jest ideałem pierścienia Im(f), lecz nie jest na ogół ideałem pierścienia S. 4. Przekrój α R I α dowolnej rodziny ideałów jest ideałem. Definicja 1.31 Jeżeli A jest dowolnym podzbiorem pierścienia R, to przez (A) oznaczamy najmniejszy (w sensie zawierania się zbiorów) ideał pierścienia R zawierający zbiór A. (A) = {r 1 a 1 +... + r n a n : r i R, a i A, n N} Ideał ten nazywamy ideałem generowanym przez zbiór A, a sam zbiór A zbiorem generatorów ideału (A). Definicja 1.32 Ideałowi I pierścienia R można przyporządkować pierścień ilorazowy I/R, którego elementami są wszystkie warstwy r = r + I = {r + x : x I} elementów r R wzglęgem ideału I, a działania spełniają warunki: 6
(r + I) + (s + I) = (r + s) + I (r + I)(s + I) = (rs) + I Przykład 1.33 Przykłady pierścieni ilorazowych: Z 2 [x]/(x 2 ), Z[i]/(2 + i), Z[x]/(x 2 + 1), Z[ 2]/(3 + 2), R[x]/(x 2 + 1) Obraz Im(f) homomorfizmuf : R S jest podpierścieniem pierścienia S, izomorficznym z pierścieniem ilorazowym R/ Ker(f). Definicja 1.34 Każdy element a R wyznacza ideał główny {ra : r R}, który oznaczamy przez Ra, ar, lub (a). Inaczej mówiąc ideał główny jest to ideał generowany przez jeden element. Każdy ideał główny jest skończenie generowany. Przykład 1.35 Przykłady ideałów głównych: (2) Z, ale również (2, 3) Z, bo (2, 3) = (1). Definicja 1.36 Pierścień bez dzielników zera, którego każdy ideał jest główny nazywamy pierścieniem (dziedziną) ideałów głównych. Przykład 1.37 Przykłady pierścieni ideałów głównych: Z, K[x], gdzie K ciało. Definicja 1.38 I R jest ideałem pierwszym, gdy zachodzi następująca implikacja: ab I a I b I lub równoważnie a / I b / I ab / I. Przykład 1.39 Przykład ideału pierwszego: Weźmy (2) Z. Zauważmy, że: a, b / (2) 2 a 2 b 2 ab ab / (2). Zatem na mocy definicji (2) I jest ideałem pierwszym. Własności 1.40 Ideały w Z są pierwsze, jeśli są generowane przez liczby pierwsze. Definicja 1.41 Ideał I R jest maksymalny, gdy J R I J R J = I J = R ( J R (I J R) (I J R)). 7
Przykład 1.42 Przykład ideału maksymalnego: Weźmy (2) Z. Załóżmy, że (2) J i (2) J. Wówczas J musi zawierać jakąś liczbę nieparzystą, a z tego da się już wygenerować jedynkę, czyli całe Z. Zatem na mocy definicji (2) Z jest ideałem maksymalnym. Własności 1.43 1. Ideał właściwy I pierścienia R (tzn. I R) jest ideałem: a) pierwszym, gdy pierścień ilorazowy R/I jest dziedziną; b) maksymalnym, gdy pierścień ilorazowy R/I jest ciałem. 2. Jeśli I jest maksymalny, to jest pierwszy. Implikacja w drugą stronę zachodzi, gdy R jest pierścieniem ideałów głównych. 3. Każdy ideał pierścienia R jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym tego pierścienia. Definicja 1.44 Radykałem ideału I nazywamy ideał rad(i) = {r R : n N r n I} Jest to część wspólna wszystkich ideałów pierwszych zawierających ideał I. Każdy ideał pierwszy jest swoim radykałem. Własności 1.45 Niech I, I α, J, J β oznaczają ideały pierścienia R. Zdefiniujmy IJ = {i j : i I j J}, I + J = {i + j : i I j J} oraz α I α = { α i α : i α I α }. Wówczas spełnione są warunki: (I J) IJ ( α I α)( β J β) = α,β (I αj β ) rad(i 1... I n ) = rad(i 1... I n ) = rad(i 1 )... rad(i n ) 8