Podstw wtrzmłości mteriłów IMiR - MiBM - Dodtek Nr 1 rkterstki geometrcze figur płskic Momet sttcze, środek ciężkości figur i jego wzczie, momet bezwłdości, główe cetrle osie bezwłdości, promieie bezwłdości, twierdzei Stier Wdził Iżierii Meciczej i Robotki Ktedr Wtrzmłości, Zmęczei Mteriłów i Kostrukcji Dr b. iż. Tomsz Mciewicz
T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów D1.1. Zczeie prmetrów geometrczc figur płskic prz oceie wtrzmłości obiektów Figurmi płskimi są przekroje obiektów, w którc wzcze są sił wewętrze i prężei. Podstwowm prmetrem crkterzującm figurę jest jej pole powierzci wielkość miow crkterzując rozmir figur. Pole powierzci () reprezetuje wpłw cec geometrczc obiektu jego wtrzmłość jedie w iektórc przpdkc obciążeń, jk: T. Mciewicz rozciągie/ściskie ściie tecicze docisk powierzciow σ r (σ c ) N k r(k c ) τ T t k t p d F d k d
T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 3 D1.1. Pole powierzci figur ttp://projects.kmi.ope.c.uk W przpdkc tkic obciążeń, jk zgiie lub skręcie, wtrzmłość elemetu zleż ie tlko od wielkości le i od ksztłtu pol przekroju poprzeczego, prz zgiiu tkże od zorietowi tegoż ksztłtu względem kieruku mometu zgijącego. Do opisu tc cec koiecze jest wprowdzeie owc wielkości geometrczc crkterzującc przekrój elemetu, tj. mometów geometrczc drugiego stopi tzw. mometów bezwłdości. Redukcj sił wewętrzc w przekroju elemetu wmg zjomości położei jego geometrczego środk ciężkości, przjmowego jko biegu redukcji rozwżego ukłdu sił. Wzczeie współrzędc środk ciężkości figur płskiej wmg zjomości mometów geometrczc pierwszego stopi, czli tzw. mometów sttczc. T. Mciewicz
T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 4 D1.. Momet pierwszego stopi - momet sttcze d Momet sttcz (ds) elemetu pol (d) obliczm: względem osi, jko: ds d względem osi, jko: ds d Stąd: Momet sttcze figur o polu względem osi i defiiujem odpowiedio jko: S gdzie d S d ozcz cłkę liczoą po cłm polu figur T. Mciewicz Uwg: Momet sttcze mogą mieć wrtość dodtią, ujemą lub rówą zeru. jedostk: ( mm 3, cm 3, m 3 )
D1.. Momet pierwszego stopi - momet sttcze z ic Przkłd 1: Obliczć momet sttcze prostokąt o szerokości b i wsokości względem osi i db d 0 𝑺𝒙 𝒉 𝒃 w ie 𝒚 𝒃 𝒚 𝒃 𝒅𝒚 c M. 𝒚 𝒅 𝑺𝒙 d 𝒃 𝑺𝒙 𝒚𝒄 c środek ciężkości prostokąt b b 𝑺𝒚 T 𝒙 𝒅 𝒙 𝒉 𝒙 𝒉 𝒅𝒙 0 𝑺𝒚 𝒃 𝒉 T. Mciewicz b 𝒉 𝒃 𝟎 𝒉 𝟎 𝒉 𝒃 𝒃 𝒉 𝑺𝒚 𝒙𝒄 IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów d d d c przecodzącc przez jego boki. b b 5
D1.. Momet pierwszego stopi - momet sttcze z ic Twierdzeie 1 Momet sttcz dowolej figur jest iloczem pol tej figur i odpowiediej współrzędej jej środk ciężkości, określjącej jego odległość od osi, względem której momet sttcz jest liczo. 𝑺𝒚 𝒙 𝒄 𝑺𝒙 𝒚𝒄 c M. Twierdzeie w ie 𝒚𝒄 𝒙𝒄 𝑺𝒌 𝟎 Momet sttcze oblicze względem osi smetrii lub względem prostc przecodzącc środek smetrii są rówe zero. Twierdzeie 3 T Jeśli figur o polu podzielo zostł w sposób cłkowit części o polc i, to momet sttcz cłej figur względem dej osi (𝑺 ) rów jest sumie mometów sttczc wszstkic części tej figur (𝑺𝒊 ) liczoc względem tej smej osi. 𝑺𝒙 𝒏 𝒊𝟏 T. Mciewicz 𝑺𝒙 𝒊 𝑺𝒚 𝒏 𝒊𝟏 k 𝑺𝒙 𝑺𝒚 𝑺𝒚 𝒊 IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 𝑺𝒙 𝒊 𝑺𝒚 𝒊 1 i 𝑺𝒍 𝑺𝒍 𝑺𝒍 l 6
D1.3. Środek ciężkości figur Yc 𝑺𝒚 𝐱𝐂 c Xc c M. w ie 𝑺𝒙 𝐲𝐂 gdzie: S, S momet sttcze figur odpowiedio względem osi i, pole powierzci figur c z ic Środkiem ciężkości figur płskiej zwm pukt o współrzędc: Osie ukłdu współrzędc przecodzące przez środek ciężkości figur zwm osimi cetrlmi. Twierdzeie 4 T Jeżeli figur m oś smetrii to oś t przecodzi przez środek ciężkości figur. Twierdzeie 5 Jeżeli figur m środek smetrii to jest o rówocześie środkiem ciężkości tejże figur. T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 7
T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 8 D1.4. Sposób wzczi środk ciężkości figur 1 i 1 i D jest dowol figur o polu powierzci. 1. Przjmujem ukłd współrzędc -.. Dokoujem podziłu figur części, w tki sposób b dl kżdej z tc części móc w łtw sposób obliczć pole S i i wskzć jej środek ciężkości. i1 3. Obliczm momet sttcze 1 i cłej figur (), względem obdwu osi ukłdu współrzędc (S, S ), jko sum mometów sttczc (S i, S i ) względem odpowiedic osi wszstkic części figur ( i ) jkie podzieloo cłe pole. 4. Obliczm współrzęde środk ciężkości cłej figur jko: S S i i1 i1 i i1 i1 i i i S S i i1 i1 i S S T. Mciewicz i1 i1 i i i S i i1 S i i1
T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 9 D1.4. Sposób wzczi środk ciężkości figur Przkłd : Wzczć położeie środk ciężkości przekroju jk rsuku. 160 60 0 100 10 0 0 1 70 3 70 0 (zgodie z twierdzeiem 4) S S S i i1 i i S 6 7 + 0 + 10 7 56 cm 3 i i1 i1 6 + 1 + 10 56 cm S 56 1 cm 56 T. Mciewicz
T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 10 D1.4. Sposób wzczi środk ciężkości figur Przkłd 3: Jk obliczć momet sttcz przekroju jk rsuku? S S 1 + S + S 3 S S 1 S T. Mciewicz
D1.5. Momet drugiego stopi - momet bezwłdości d c M. 𝒚 𝒅 𝑱𝒙 O 𝒚 𝒅 𝒙 𝒅 𝑺𝒚 w ie T 𝒙 𝒅 𝑱𝒚 Momet sttcze (pierwszego stopi) 𝑺𝒙 z ic Dl figur płskiej o polu powierzci, opisej w krtezjńskim ukłdzie współrzędc - defiiuje się stępujące geometrcze momet drugiego stopi (momet bezwłdości): jedostki: 𝒓 𝒅 𝑱𝑶 𝑱𝒙𝒚 (𝑫𝒙𝒚 ) 𝐦𝐦𝟒 𝐜𝐦𝟒 𝐦𝟒 𝒙 𝒚 𝒅 Uwg: Momet osiowe i momet bieguow mogą bć tlko dodtie, momet dewicji może bć dodti ujem lub rów zeru. T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 11
D1.5. Momet drugiego stopi - momet bezwłdości z ic Twierdzeie 6 Momet bezwłdości (JO), oblicz względem biegu ukłdu współrzędc -, rów jest sumie mometów osiowc J orz J. w ie 𝑱𝑶 𝑱𝒙 + 𝑱𝒚 c M. Dowód: Twierdzeie 7 Momet bezwłdości są ddtwe (podobie jk momet sttcze), tz: 𝑱𝒙 𝑱𝒚 𝒏 𝒊𝟏 𝒏 𝒊𝟏 T. Mciewicz T 𝑱𝒙 𝒊 𝑱𝑶 𝑱𝒚 𝒊 𝑱𝒙𝒚 𝒏 𝒊𝟏 𝐱 𝒅 𝑱𝒙 + 𝑱𝒚 𝐲 𝒅 + (𝐱 +𝐲 ) 𝒅 𝒓 𝒅 𝑱𝑶 O 𝑱𝑶𝒊 𝒊𝟏 d Np. 𝒏 𝑱𝒙𝒚𝒊 𝑱 + 𝑱 IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów + 𝑱 𝑱 1
T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 13 Twierdzeie 8 D1.5. Momet drugiego stopi - momet bezwłdości Jeżeli figur posid oś smetrii, z którą pokrw się cociż jed z osi ukłdu współrzędc, to momet dewicji J oblicz względem tkiego ukłdu osi jest rów zero. d i d i Dowód: Dl kżdego wcik pol powierzci d i istieje tki smetrcz wciek d i d i, że: (>0) d i d i J stąd: d d więc: (<0) T. Mciewicz d 0
D1.6. Promieie bezwłdości d O z ic Promień bezwłdości względem osi k (lub biegu O) jest to tk odległość ik od prostej k (lub io od biegu O), w której skupioe cłe pole figur () dje momet bezwłdości względem tej prostej (lub tego biegu) rów rzeczwistemu mometowi rozwżej figur. c M. Twierdzeie 9 w ie 𝑱𝒙 𝒊𝒙𝒚 𝒅 𝑱𝒙 𝒊𝒙 𝑱𝒚 𝒊𝒚 𝑱𝟎 𝑱𝟎 𝒊𝑶 𝒓 𝒅 𝑱𝑶 𝒊𝑶 𝑱𝒙 Momet sttcze bezwłdości względem osi ukłdu Pomiędz promieimi współrzędc (𝒊𝒙 i 𝒊𝒚 ), promieiem bezwłdości 𝑱𝒚 𝒚 𝒅 𝑺 𝒚 𝑺 𝒙 𝑪 𝒙 względem biegu tego ukłdu (𝒊𝑶 ) zcodzi zleżość: 𝑱𝒚 𝒊𝒚𝒙 𝒅 𝒊𝑶 T 𝒊𝒙 + 𝒊𝒚 𝑺𝒚 𝒙 𝒅 𝑺𝒚 𝒙𝑪 Dowód: 𝑱𝑶 𝑱𝒙 + 𝑱𝒚 gdzie: 𝑱𝑶 𝒊𝑶 𝒊𝑶 𝒊𝒙 + 𝒊𝒚 T. Mciewicz 𝑱𝒙 𝒊𝒙 𝑱𝒚 𝒊𝒚 𝒊𝑶 𝒊𝒙 + 𝒊𝒚 IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 14
D1.7. Główe cetrle momet bezwłdości O J + J J O J η + J ξ Sum mometów bezwłdości względem osi ukłdów współrzędc o wspólm bieguie jest stł, cociż wrtości poszczególc mometów osiowc zmieiją się wrz z obrotem ukłdu współrzędc względem biegu. Musi istieć tki kąt 0 dl którego momet osiowe będą przjmowć wrtości ekstremle. Położeie tkie wróżi zerow wrtość mometu dewicji liczoego względem dego ukłdu osi (por. p. D1.10). Ukłd osi względem którego memet dewicji J 0 zwm główmi osimi bezwłdości. Momet bezwłdości oblicze względem tc osi przjmują wrtości ekstremle i zwm je główmi mometmi bezwłdości. T. Mciewicz Jeżeli którkolwiek z osi ukłdu współrzędc pokrw się z osią smetrii rozwżej figur, to osie te są główmi osimi bezwłdości (por. twierdzeie 8). Główe osie bezwłdości przecodzące przez środek ciężkości figur zwm główmi cetrlmi osimi bezwłdości, oblicze względem ic momet drugiego stopi to główe cetrle momet bezwłdości. T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 15
db d N pmięć!! D1.7. Główe cetrle momet bezwłdości b d d d d b J c J c 4 1 J Przkłd 4: Obliczć główe cetrle momet bezwłdości prostokąt o szerokości b i wsokości. J d b d d b b 3 J c 1 b3 J c 1 3 d b b J c J c πd4 64 3 b 3 /3 3 b b 3 b b 1 b 3 J c 36 b3 J c 48 b3 1 c 4r 3π T. Mciewicz T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów J c d4 16 J c πd4 18 d π 8 8 9π 16
D1.8. Twierdzeie Steier d De:, b, r, J, J, J, J c M. w 𝒗 𝒅 𝑱𝒖 Stąd: 𝑱𝒖 𝑱𝒙𝑪 + 𝒂 Podobie: 𝑱𝒗 𝑱𝒚𝑪 + 𝒃 T 𝑱𝑾 𝑱𝑶 + 𝒓 𝑱𝒖𝒗 𝑱𝒙𝒚 + 𝒂 𝒃 T. Mciewicz 𝒚 𝒂 w ie Szuke: Ju, Jv, JW, Juv v b O z ic Przjmujem prostokąt ukłd współrzędc (, ) o początku leżącm w środku ciężkości pol figur. 𝒅 to oś cetrl 𝒚 𝒅 𝒂 𝑱𝒙𝑪 𝒚 𝒅 + 𝒂 𝑺𝒙𝑪 𝟎 𝒅 𝑱𝑾 𝑱𝒖 + 𝑱𝒗 𝑱𝒙𝑪 + 𝑱𝒚𝑪 + 𝒂 + 𝒃 𝑱𝑶 𝒓 Momet bezwłdości pol figur płskiej względem dowolej prostej jest rów mometowi bezwłdości tej figur względem osi cetrlej rówoległej do rozwżej prostej, powiększoemu o ilocz pol tej figur i kwdrtu odległości międz osimi. IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 17
T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 18 D1.9. Obliczie główc cetrlc mometów bezwłdości Przkłd 4: Obliczć główe cetrle momet bezwłdości dwuteowik jk rsuku. 30 0 0 150 150 10 40.5 80 180 O 1 Oś c jest osią cetrlą gdż pokrw się z osią smetrii figur. ) Wzczie środk ciężkości figur (współrzędej c ) S 3 S 1 + S + S 3 1 + + 3 8 15 + 0 + 18 ( 15) 8 + 8 1 + 15 300 74 4. 05 cm 40. 5 mm b) Wzczie główc cetrlc mometów bezwłdości J J c + J c + J c J 83 8 13 183 + + 1 1 1 cm 4 T. Mciewicz J 1059. 667 cm 4 b b3 J c 1
T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 19 30 D1.9. Obliczie główc cetrlc mometów bezwłdości Przkłd 4: Obliczć główe cetrle momet bezwłdości dwuteowik jk rsuku. 0 0 150 150 10 40.5 80 180 O 1 ) Wzczie środk ciężkości figur (współrzędej c ) 40. 5 mm b) Wzczie główc cetrlc mometów bezwłdości J c J 1059. 667 cm 4 J J c + J c + J c J c J c 8 3 1 + 8 15 + 4. 05 cm 4 1 83 1 + 1 8 4. 05 cm 4 18 3 1 + 18 15 4. 05 cm 4 T. Mciewicz J 5811. 773 + 88. 603 + 438. 49 cm 4 3 J 1 48. 866 cm 4 J O J c + J c Tw. Steier: J u J + b b 3 J c 1 J O 13 488. 533 cm 4
T. Mciewicz IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 0 J v D1.10. Trsformcj przez obrót D O B cos α d + J uv u d uv d d D Mm figurę opisą w prostokątm ukłdzie współrzędc (, ): De: J, J,, J v B D Szuke: J u, J v, J uv, orz tki kąt b J u, J v, bł ekstremle cos α D cos α si α u DD + OD + cos α si α + cos α J u si α d v d si α + cos α d si α d + cos α si α d si α cos α d J cos α + J si α J si α cos α cos α d + T. Mciewicz cos α si α si α + cos α d si α cos α d J si α + J cos α + J si α cos α J si α cos α + J cos α si α J si α cos α
D1.10. Trsformcj przez obrót d De: J, J,, J B D c M. 𝑱𝒖𝒗 𝑱𝒙 si 𝜶 cos 𝜶 𝑱𝒚 si 𝜶 cos 𝜶 + 𝑱𝒙𝒚 cos 𝜶 si 𝜶 Uwzględijąc: si 𝜶 si 𝜶 cos 𝜶 1 cos 𝜶 1 + cos 𝜶 Otrzmujem: 1 1 𝑱𝒖 𝑱𝒙 1 + cos 𝜶 + 𝑱𝒚 1 cos 𝜶 𝑱𝒙𝒚 si 𝜶 1 1 𝑱𝒗 𝑱𝒙 1 + cos 𝜶 + 𝑱𝒚 1 cos 𝜶 + 𝑱𝒙𝒚 si 𝜶 T 𝑱𝒙 + 𝑱𝒚 𝑱𝒙 𝑱𝒚 + cos 𝜶 𝑱𝒙𝒚 si 𝜶 𝑱𝒙 + 𝑱 𝒚 𝑱𝒙 𝑱 𝒚 𝑱𝒖 + cos 𝜶 + 𝑱𝒙𝒚 si 𝜶 T. Mciewicz w ie 𝑱𝒗 𝑱𝒙 si 𝜶 + 𝑱𝒚 cos 𝜶 + 𝑱𝒙𝒚 si 𝜶 cos 𝜶 𝑱𝒖 Szuke: Ju, Jv, Juv, orz tki kąt b Ju, Jv, bł ekstremle 𝑱𝒖 𝑱𝒙 cos 𝜶 + 𝑱𝒚 si 𝜶 𝑱𝒙𝒚 si 𝜶 cos 𝜶 D O z ic Mm figurę opisą w prostokątm ukłdzie współrzędc (, ): 𝑱𝒖𝒗 𝑱𝒖𝒗 cos 𝜶 cos 𝜶 si 𝜶 1 si 𝜶 1 cos 𝜶 𝑱𝒙 𝑱 𝒚 si 𝜶 + 𝑱𝒙𝒚 cos 𝜶 𝑱 𝒙 𝑱𝒚 si 𝜶 + 𝑱𝒙𝒚 cos 𝜶 IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów 1
D1.10. Trsformcj przez obrót d De: J, J,, J B Szuke: Ju, Jv, Juv, orz tki kąt b Ju, Jv, bł ekstremle D c M. w ie 𝑱𝒙 + 𝑱𝒚 𝑱𝒙 𝑱𝒚 + cos 𝜶 𝑱𝒙𝒚 si 𝜶 𝑱𝒙 + 𝑱𝒚 𝑱𝒙 𝑱𝒚 𝑱𝒗 cos 𝜶 + 𝑱𝒙𝒚 si 𝜶 𝑱𝒙 𝑱 𝒚 𝑱𝒖𝒗 si 𝜶 + 𝑱𝒙𝒚 cos 𝜶 𝑱𝒖 D O z ic Mm figurę opisą w prostokątm ukłdzie współrzędc (, ): Dl dowolego : 𝑱𝒖 + 𝑱𝒗 𝑱𝒙 + 𝑱𝒚 Momet osiowe Ju orz Jv osiągją wrtości ekstremle dl tkiego kąt 𝜶0, że: T 𝑱𝒖𝒗 d𝑱𝒖 𝜶 𝟎 d𝜶 0 d𝑱𝒖 𝑱𝒙 𝑱𝒚 𝑱𝒙 𝑱𝒚 si 𝜶 𝑱𝒙𝒚 cos 𝜶 si 𝜶 + 𝑱𝒙𝒚 cos 𝜶 𝑱𝒖𝒗 𝟎 d𝜶 𝑱𝒖𝒗 𝟎 Wówczs: 𝑱𝒎𝒂𝒙 T. Mciewicz 𝒎𝒊𝒏 𝑱𝒖𝒗 𝑱𝒙 + 𝑱𝒚 ± 𝑱𝒙 𝑱 𝒚 si 𝜶𝟎 + 𝑱𝒙𝒚 cos 𝜶𝟎 𝟎 𝑱𝒙 𝑱𝒚 t 𝜶𝟎 𝑱𝒙𝒚 𝑱𝒙 𝑱𝒚 + 𝑱𝒙𝒚 IMiR, Podstw wtrzmłości mteriłów