EOMETRI FIUR PŁKICH. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI.. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI BRYŁY MTERILNE PRZETRZENNE eżel sztwą brłę mterlą pdzelm mślw dużą lczbę młch cząstek w spsób reulr t kżd z ch psd kreślą msę m rz cężr P. Cężr wszstkch cząstek stwą ukłd sł rówlełch, wpdkw tch sł stw cężr cłej brł. Śrdkem cężkśc brł mterlej zwm rcze płżee puktu przłże wpdkwej sł cężkśc wszstkch cząstek brł, d ch lczb dąż d eskńczśc. Nech P zcz cężr -tej cząstk brł, lczb (,, z będą współrzędm puktu przłże tej sł. Operjąc sę defcj śrdk cężkśc mżem psłużć sę zm wzrm sttk płżee wpdkwej sł rówlełch. P P lm ; lm ; z lm P P P z P
... UPROZCZENI W WYZNCZNIU ŚRODK CIĘŻKOŚCI płszczz smetr b ś smetr pukt smetr Wsek eżel brł sztw jest smetrcz wzlędem płszczz, s lb puktu, t jej śrdek cężkśc leż tej płszczźe, s lb w pukce smetr. Uw: pwższe zps są ktule dl brł jedrdej tz. przjęt stł cężr jedstk jej bjętśc w kżdm pukce.
.. ZD RUPOWNI eżel brł m ksztłt, któr pzwl pdzelć ją tke częśc, dl którch płżee śrdków cężkśc jest ze lub łtwe d kreśle, t mżem rzptrwć skńczą lść cężrów tch częśc, umeszczch w ch śrdkch cężkśc. Wzr współrzęde śrdk cężkśc: z z z z.. ZD M UEMNYCH W mejscu twru w brle ddjem słę cężkśc, tk jkb twru e bł, tz. brłę trktujem jk pełą. Dl rswe przkłdu mżem węc psć:
; ; z z z.4. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI FIURY PŁKIE eżel rubść fur jest brdz mł w prówu z jej pzstłm wmrm, t mż przjąć że śrdek cężkśc tej fur leż w jej płszczźe, t zcz że d je wzcze wstrcz pdć tlk dwe współrzęde:. Przez zczm pwerzchę elemetu przez Δ γ cężr cząstk brł pwerzch jedstkwej. Cężr wck elemetre będze węc wsł P Δ γ. Δ Δ Δ Δ P P lm lm lm γ γ γ γ d Δ Δ lm 4
lcze: d Wrżee lm Δ płskej wzlędem s zczm smblem. Wrżee lm Δ d płskej wzlędem s zczm smblem. d zwm mmetem sttczm fur zwm mmetem sttczm fur Psłuując sę wprwdzm pjęcm mżem dć wzrm współrzęde śrdk cężkśc fur płskej stępującą pstć:.5. MOMENT TTYCZNY FIURY PŁKIE Mmetem sttczm fur płskej wzlędem pewej s (p. zwm welkść wrżą przez cłkę lczu elemetów pl tej fur ch dlełśc d dej s, rzcąętą cłm plu tej fur. d Wsk Mmet sttcze bszrów leżącch dlej d s sąją bezwzlęde wrtśc wększe ż mmet sttcze elemetów leżącch blżej s. 5
Mmet sttcze mą bć lczbm ddtm jk ujemm. Zleż t d płże fur w stsuku d s. Wmrem mmetu sttcze są jedstk dłuśc d ptę trzecej [cm ], [m ] 4 Wzrm, mż dć pstć: eżel ze są współrzęde śrdk cężkśc fur płskej, t mmet sttcze tch fur mż blczć z tch wzrów Wzór zcz, że mmet sttcz fur płskej wzlędem dwlej s jest rów lczw jej pwerzch dlełśc jej śrdk cężkśc d tej s. Przkłd h b h bh 5 Ze wzrów pwższch wk, że p. 0 jeżel 0 c zcz, że Mmet sttcz fur wzlędem s przechdzącej przez jej śrdek cężkśc jest rów zer. 6
6 eżel d wsku r 4 ddm zsdę rupw, t mżem blczć współrzęde śrdk cężkśc fur złżch, p.: ; ; III II I III II I ; ; III II I III II I W zpse ólm prz dwlej lśc pól prstch twrzącch furę złżą mżem zpsć: 7
. MOMENT BEZWŁDNOŚCI FIURY PŁKIE Mmet bezwłdśc fur płskej wzlędem s jest welkścą chrkterzującą ksztłt fur płskej rzptrwą w uce wtrzmłśc mterłów. d Mmetem bezwłdśc fur płskej wzlędem pewej s p., zwm cłkę z lczu elemetów pl tej fur kwdrtu ch dlełśc d dej s rzptrwą cłm plu tej fur. Włsśc: Welkść t jest zwsze zwąz z wbrem s; Mmet bezwłdśc przjmuje wrtśc wększe d zer > 0 ; Wmrem (jedstką mmetu bezwłdśc są jedstk dłuśc d ptę czwrtej: [cm 4 ] ; [m 4 ]. 8
.. Zleżśc dl s rówlełch d sebe Zkłdm, że mmet bezwłdśc wzlędem s jest welkścą zą. twm sbe pte, jk jest mmet bezwłdśc wzlędem s, dze ś jest rówleł d s ddl d ej wrtść. d d ; Czl: d d d d d d d d ( ( eżel ddtkw przjmem, że ś przechdz przez śrdek cężkśc fur płskej (zczm ją wted 0, t mmet sttcz 0 pwższ wzór przjme pstć: Wzór te zwm wzrem teer. Przkłd Zleźć mmet bezwłdśc fur płskej wzlędem: s przechdzącej przez je pdstwę; b s przechdzącej przez śrdek cężkśc rówlele d pdstw. 9
h h d bd b 0 0 bh Wedłu wzru teer: b d h 0 bh h bh bh bh bh 4 bh. ODŚRODKOWY MOMENT BEZWŁDNOŚCI FIURY (MOMENT DEWICYNY est t welkść uwzlędjąc ustuwe fur płskej wzlędem dwóch s jedcześe. d 0
Uw: Odśrdkw mmet bezwłdśc mże bć welkścą ddtą jk ujemą Wmrem (jedstką dśrdkwe mmetu bezwłdśc są jedstk dłuśc d ptę czwrtej: [cm 4 ] ; [m 4 ]. eżel fur płsk m przjmej jedą ś smetr t jej mmet dewcj wzlędem tej s jest rów zer.. Zleżśc dl s rówlełch d sebe d ( ( b d d d b d def b b eżel ddtkw se perwte przechdzą przez śrdek cężkśc fur t 0 wzór przjme prstszą pstć: b d b est t dpwedk wzru teer. Zrów prz lczeu mmetu bezwłdśc wzlędem s jk dewcjch mmetów bwązuje zsd rupw, któr mów, że jeżel furę mżem pdzelć klk prstszch elemetów t mmet cłej fur wzlędem kreślej s jest sumą mmetów wzlędem tej s dl pszczeólch elemetów skłdwch tej fur.
b ( ( lcze trzmm dl mmetów dewcjch: b ( W tm sttm wzrze, jeżel elemetm skłdwm rzptrwm pd zkem sum są prstkąt zk wzór przjmuje pstć: b. Wk t stąd, że dl prstkąt mm: 0
4. BIEUNOWY MOMENT BEZWŁDNOŚCI FIURY PŁKIE Welkść t wstępuje m.. prz lze prężeń stczch dksztłceń w elemetch dzjącch zjwsk skręc. def ρ d Włsśc: Beuw mmet zwsze przjmuje wrtśc wększe d zer > 0 ; Wmrem (jedstką mmetu beuwe są jedstk dłuśc d ptę czwrtej: [cm 4 ] ; [m 4 ]; ρ d ( d d d 4. ZLEŻNOŚCI DL OI OBRÓCONYCH De są mmet bezwłdśc fur płskej wzlędem s. Ze są róweż wrtśc, rz wzlędem tch s. zukm mmetu bezwłdśc tej fur wzlędem wch s ξ (ks η (et brócch wzlędem ukłdu kąt.
η ξ s cs s cs Uwzlędjąc pwższe zleżśc blczm klej,. ξ η ξη η ξ s s cs s s cs cs s s cs cs ( s cs ( d d d d d d ξ η cs s s s s cs s s cs cs s s cs cs ( s cs ( d d d d d d 4
Wlczm w pdb spsób dśrdkw mmet bezwłdśc ξη : ξη cs ( ξηd ( ( cs d s cs s cs s s( cs s d Wk te wkrzstm pżej. (cs cs d s cs s d s 5. ŁÓWNE OIE BEZWŁDNOŚCI FIURY PŁKIE d Wprwdze w pprzedm pukce wzr blcze mmetów bezwłdśc,, wzlędem s ξ η ξη ξ, η twrzącch kąt z pewm sm pczątku w pukce O. eżel będzem brl pd uwę szere różch s ξη stle pczątku O, dpwdjącm różm kątm, t trzmwć będzem dpwed róże mmet bezwłdśc. Mżem węc p. welkśc, ptrktwć jk fukcje kąt zdć ξ η ω sąą te fukcje ekstremum. pte, dl jke kąt Będze t czwśce wted, d jej perwsze pchde wzlędem przjmą wrtść zer: dξ 0 d ξ dξ d ( cs s cs( s s s s cs cs cs Nstępe prówując tę pchdą d zer trzmujem rówe: ( s cs 0 / : cs ( * Osttecze: 5
Przez kąt ξ t ω ξ ω zcz zstł kąt, dl które zchdz ekstremum. Pewż tes kąt jest fukcją kreswą krese 80 rcch d 0 d 60 dw kąt różące sę 80 stąd ω ξ ω ξ ω ω ω ξ ω ξ ω 80 ω ω ξ 90 ω ξ rct ωξ eżel rów ( * pdzelm przez t trzmm: ( s cs 0 rct ξ trzmm w Lew str te rów jest detcz z prwą strą rów zpse w pkt. 4 wrżee, czl ξη ξη ( s cs 0 ω ξ ω Wk stąd, że dl kątów wzczch pprzed, dl którch spełe jest pwższe rówe, będzem mel 0. η Te dw kąt ω psdjące mówe włsśc wzczją tzw. łówe se bezwłdśc. łówm sm bezwłdśc fur płskej zwązm z pewm puktem O zwm se, dl którch dśrdkw mmet bezwłdśc fur jest rów zeru. Mmet bezwłdśc wzlędem jedej z ch jest jwększ, wzlędem druej jmejsz ze wszstkch mżlwch mmetów bezwłdśc tej fur wzlędem różch s przechdzącch przez pukt O. Nleż tu jeszcze zwrócć uwę, że dl różch puktów fur trzmm e łówe se bezwłdśc mmet blcze wzlędem ch będą dl kżde puktu e. ξη 6
eżel jk pukt O berzem śrdek cężkśc fur t wted se łówe zwm łówm śrdkwm sm bezwłdśc, mmet blcze wzlędem tkch s zwm łówm śrdkwm mmetm bezwłdśc Ze wzru teer wk wsek, że mmet bezwłdśc wzlędem jedej z łówch śrdkwch s bezwłdśc jest jmejszm mmetem bezwłdśc fur w óle. Wzlędem druej s mmet jest jwększ ze wszstkch mmetów bezwłdśc, le tlk wzlędem s przechdzącch przez śrdek cężkśc. Tk pstępw prz pszukwu łówch śrdkwch s bezwłdśc łówch śrdkwch mmetów bezwłdśc. Złżee dwle ukłdu s.. Zlezee współrzędch śrdk cężkśc. ;. Przeprwdzee przez śrdek cężkśc O s (se śrdkwe. 4. Oblczee, rz. 5. Zlezee płże łówch śrdkwch s bezwłdśc tω rct ω ω rct ω ω 90 6. Oblczee łówch śrdkwch s bezwłdśc ξ cs s s 7
( cs ω s ω s ω (b η s cs s s ω cs ω s ω 0 Wzr ( (b są ucążlwe w stswu w zwązku z czm z pstc trmetrczej mż przejść pstć lebrczą dkując pewch pdstweń P dku frmlch przeksztłceń sttecze trzmujem: ( ( ± m ( ( 4 4 eżel eżel > < t berzem pd uwę zk óre. t berzem pd uwę zk dle. Kł bezwłdśc Mhr eżel dl pewej fur zm płżee łówch s bezwłdśc zwązch z pewm puktem lub łówch śrdkwch s bezwłdśc, t blcze mmetów bezwłdśc wzlędem jkchś ch s chlch w stsuku d pprzedch pewe kąt mżem przeprwdzć z pmcą pprzed zprezetwch wzrów. cs s s cs ( s. eżel zstsujem tu ze wzr trmetrcze 8
t trzmm: ( s ( cs cs ( cs ( cs ( ( W te spsób uzskujem sttecze trz wzr: ( ( ( ( ( s. cs cs cs Welkśc, łtw mż wzczć dl kżde kąt pdstwe kł Mhr, które buduje sę stępując: N pewej s dkłdm, w przjętej skl, wrtśc mmetów bezwłdśc dej fur wzlędem łówch s bezwłdśc. Nstępe zkreślm kł średc rówej śrdku K przjętej s. Łtw zuwżć, że: ( OK (. Chcąc zleźć mmet bezwłdśc dej fur wzlędem s twrzącch z sm łówm kąt, t dkłądm kąt dw rz wększ w pukce K prwdzm dpwedą średcę. Wzcz pukt B kle, ch rzut ś, kreślją welkśc. 9
N pdstwe kł Mhr mż wkć tkże czśc dwrtą, ż przedstw wżej wzczć płżee łówch s bezwłdśc welkśc mmetów łówch wzlędem tch s. 6. PROMIEŃ BEZWŁDNOŚCI FIURY PŁKIE W zdech emetr fur płskch bk wcześej pzch welkśc wstępuje welkść zw prmeem bezwłdśc pl fur wzlędem s. Określ ją wzór: dze: - prmeń bezwłdśc pl wzlędem s, - mmet bezwłdśc pl wzlędem s, - ple dej fur. edstką prme bezwłdśc jk wk ze wzru jest jedstk dłuśc [cm], [m]. 0
Kńce prme bezwłdśc ukłdją sę dl dwlch s mjącch swój pczątek w pukce O w elpsę. est t tzw. elps bezwłdśc.