VI. Mechanika ciał nieodkształcalnych dzieli się na: - statykę, - kinematykę, - dynamikę

Transkrypt

1 M E C H A N I K A ( S T A T Y K A ) Mechk jest wdębm dłem fk jmującm sę gdem ówwg, psem uchu dkstłceń cł ecwstch (cł stłch, cekłch gwch). Mechkę cł stłch mżem pdelć : - mechkę cł stwch - edkstłclch - mechkę cł dkstłclch (wtmłść mtełów). Mechk cł edkstłclch del sę : - sttkę, - kemtkę, - dmkę Sttk jest uką ówwde cł, tkże sł dłjącch ptwe cł. Kemtk - w óweż gemetą uchu, jmuje sę psem uchu cł, be uwględe pc, któe te uch pwdują. Dmk - jmuje sę psem uchu cł uwględeem pc, któe te uch pwdują. Stswe metd mtemtcch psu cł ecwstch musł d wpwde upsceń, jk: - pukt mtel (jest t pukt gemetc, któemu jest pps pew ms), - cł dskle stwe (jest t tke cł, w któm dległść męd dwm dwlm puktm jest stł e uleg me pd wpłwem dł dwle dużch sł). Sł dłjące cł delm : ewęte, wewęte. Sł ewęte kle delm : - ce (t sł, któe bcążją de cł lub ukłd stją sę wpwć t cł lub ukłd w uch), - bee (tw. Rekcje -są t te sł, któe pecwdłją uchw). Słm ewętm cm bem mgą bć: - sł skupe, - mmet skupe, - bcąże cągłe. Sł wewęte, któe wstępują w ptwm pekju kstukcj, są spwdwe dłem sł ewętch cch. Sttk jmuje sę ustleem wuków, jke w gólm ppdku pw spełć sł ce bee, dłjące pukt mtel lub cł mtele stwe, b pukt lub cł jdwł sę w spcku wględem pjęteg ukłdu dese. Spsb wąń: - metdm ltcm jdkłdejsm, - metdm wkeślm scególe pdtm dl ukłdów płskch, le ebt dkłdm, - metdm ltc wkeślm, łącącm ddte cech bu ppedch metd, - metdm umecm. Rwż w dle mechk sttk są pte welu ksjmtch, wch sdm sttk. Są e stępujące: I. Zsd ówległbku dwe dwle sł 1 płże d jedeg puktu O mż stąpć jedą słą W, płżą d teg smeg puktu będącą wektem, któeg mą jest pekąt ówległbku budweg wektch sł skłdwch. II. Zsd ówwg dwóch sł dwe sł płże d cł stweg ówwżą sę wted, gd dłją wdłuż jedej pstej, mją jedkwe m, lec są pecwe skewe. III. Zsd ówwżśc dłe dwleg ukłdu sł płżch d cł stweg e ulege me, jeśl ddm d eg ukłd sł le ówwż eu (ukłd sł ówwżącch sę). IV. Zsd estwe ówwg sł dłjącch cł dkstłcle e ste us pe mę g cł stwe. Zsd t mże bć stsw w gcm kese pd pewm wukm. V. Zsd kcj ekcj - jeżel cł A dł cł B słą, t cł B ddłuje cł A tką VI. smą c d keuku mdułu słą wócą pecwe. Zsd swbde węów - kżde cł eswbde mżem uwżć swbde, jeżel mst węów płżm d eg ekcje wwłe pe te wę.

2 RACHUNEK WEKTOROWY Wdmśc góle W mechce óżm dw dje welkśc: skl wekt. Skl - jest t welkść, d keśle któej pteb jest jed lcb (p. ms, tempetu, pc). Wekt - jest t welkść d keśle któej teb pdć lcbę, keuek wt (p. pędkść, pspesee, sł). Pst, któej leż wekt, w sę lą dł wekt. Wekt keśl jest stępującm elemetm: lą dł, długścą, wtem.. Wekt cm : AB, Ocee mdułu: AB, Pdł wektów Różm t dje wektów: - wekt wąe puktem (eswbde), - wekt wąe pstą (lwe), - wekt swbde. Wektem wąm puktem (eswbdm) wm wekt, d keśle któeg leż pdć: - welkść, - pstą któej leż ( lę dł ), - wt tej l, - płżee pcątku wekt (pukt cepe). Dw wekt eswbde są sbe ówwże, jeśl: - mją jedkwe welkśc (mduł), - leżą tej smej pstej, - mją te sm wt, - mją wspól pcątek. Wektem wąm pstą (lwm) wm wekt, d keśle któeg leż pdć: - welkść, - lę dł, - wt. Dw wekt lwe są sbe ówwże, jeśl: - mją jedkwe welkśc (mduł), - leżą tej smej pstej, - mją gde wt. Wektem swbdm wm wekt, d keśle któeg leż pdć: - welkść, - keuek, cl pstą w peste, d któej jest ówległ, - wt. Dw wekt swbde mżem uwżć ówwże, jeśl: - mją tę smą welkść (mduł), - są d sebe ówległe (w scególśc mgą leżeć tej smej pstej), - mją te sm wt. Wekt, któ m te sm keuek c wekt d, lec któeg mduł ów sę jedśc, w sę wektem jedstkwm (wes s) cm g pe:, j, k (w leżśc d s współędch). Dł wektch - ddwe dejmwe wektów Ddwe dwóch wektów b dbw sę wg sd ówległbku p cm sumę wektów (cl sumę gemetcą) pedstw pekąt ówległbku. c = + b, c = + b + b cs (, b ), gde kąt (, b ) jest kątem męd wektm. Wekt łącąc pcątek pewseg wekt kńcem stteg jest sumą gemetcą dch wektów e = + b + c + d - kstukcj w sę welbkem wektów.

3 Ddwe wektów pdleg pwm pemeśc, łącśc delśc: - pw pemeśc + b = b +, - pw łącśc + ( b + c ) = ( + b ) + c, - pw delśc mże wględem ddw m( + b ) = m + m b. Różcą dwóch wektów b wm wekt d, któ tmm pe dde d wekt wekt pecweg d wekt b (lub - b ). sumę dwóch wektów pedstw jed pekąt ówległbku, óżcę dug. Rut wekt ś Rutem wekt AB ś L wm wekt A ' B' gc utm pstpdłm pcątku A kńc B wekt tę ś. Rut wekt cm w stępując spsób: ut L AB = AB L = A` B` = AB csα, gde α jest kątem męd wektm AB L, cl kąt α = ( AB, L ). Kąt α męd wektem AB są wse dmem w keuku d s d s. Wpwdjąc pjęce wektów jedstkwch mżem psć: = =, j. N pdstwe suku mżem psć : AB = AC + CB A pewż AB =, AC =, CB =, węc = + lub p użcu wektów jedstkwch: = + j Welkść wekt blcm w stępując spsób: = = + D keśle płże wekt służą stępujące w: tgα = csα = = + sα = = + Zjąc kąt α m e tlk pstą, d któej wekt jest ówległ, lec óweż jeg wt. Icej: kąt α keśl płżee wekt. Z pwżseg keśle wk, że ut wekt ś jest wektem, tmst m sklem, p cm skl te mże bć ddt lub ujem w leżśc d teg, c kąt α jest mejs lub węks d 90. Z pdch wąków wk, że d keśle wekt sł wstc ć ut tej sł se współędch.

4 Złóżm, że de są t sł 1,, 3, któch sumę s keśllśm pmcą welbku sł N dwle pjętej s L jdujem ut wektów 1,, 3, ś L. Z suku (1.7) wdm, że sum gemetc utów wsstkch sł ś L jest ów utw sum s tch sł tę ś, cl: s L = 1L + L + 3L Jest t tw. twedee utch: sum utów dwlch sł ś jest ów utw sum tch sł tę smą ś. Twedee t m pdstwwe cee dl mechk. Altce pedstwee wekt Wekt ltce pedstwm pmcą tech utów se współędch. = cs (, ) = cs (, ) = cs (, ) (1) = = j = k = + + = + j + k, gde: (, ) - jest t kąt wt pmęd wektem są ; (pdbe dl s ). Jeżel są de ut wekt, t wekt jest cłkwce keśl. = + + () = = + + Pdsąc d kwdtu ów (1) ddjąc stm uwględjąc (), tmm: cs (, ) + cs (, ) + cs (, ) = 1 Z wżeń (1.1) mm: cs (, ) = cs (, ) = cs (, ) = Wekt jedstkwe s,, cm Rut sum wektów dwlą ś ów sę sume utów wektów skłdwch tę smą ś, cl: = = = Ilc skl W chuku wektwm mm dw dje mże wektów, w wku któch tmujem dw óże lc. Są t lc skl lc wektw. pe, j, k, węc skłdwe wekt wdłuż s współędch t: = cs (, ) = cs (, ) j (3) = cs (, ) k Wekt ltce psujem w pstc: = + j + k (4)

5 Ilc skl jest t skl ów lcw mdułów wektów skłdwch pe csus kąt wteg męd m. Smblce cm t w stępując spsób: b = b cs (, b ) csα = OB = m utu wekt b wekt. csα = m utu wekt wekt b. Ilc skl dwóch wektów jest ów wtśc bewględej jedeg wekt pmżeg pe mę utu wekt dugeg. Ilc skl dwóch wektów mże bć lcbą ddtą, ujemą lub eem w leżśc d welkśc kąt α wteg męd m. dl csα > 0 b > 0 dl csα < 0 b < 0 dl csα = 0 b = 0 Z defcj lcu skleg wk, że: - lc skl psd pw pemeśc b = b - lc skl psd pw delśc wględem ddw (lub dejmw) ( + b ) c = c + b c - pw łącśc,m b = m b Ilc wektw Ilc wektw dwu eewch wektów b keśl sę stępując: b = ( b s φ), gde jest wesem pstpdłm d płsc wektów b Zwt wes, cl wt wekt b jest tk, że tójk wektów, b, tw ukłd pwskęt. Zwt wes mż keślć óweż stsując egułę śub pwskętej s pstpdłej d płsc wektów b. Wes jest wóc w keuku uchu pstępweg śub pwskętej, któ stłb p jej bóceu tk jmejs kąt φ, jk leż bócć wekt, b pkć g wektem b. Z defcj lcu wektweg wk bepśed, że długść lcu wektweg jest lcbw ów plu ówległbku budweg wektch b Ilc wektw b mż pedstwć ltce w stępując spsób: c = b = ( + j + k ) (b + b j + b k ). Ilc wektwe wektów jedstkwch, j, k wsą dpwed: = j j = k k = 0 j = k j k = k = j Mżąc wże w wsch tmm: c = b = ( b b ) + j ( b b ) + k ( b b ) Ilc wektw jk wektwą sum tech wektów skłdwch c, c, c, ówległch d s współędch: c = ( b ) = ( b b ) c = ( b ) = j ( b - b ) c = ( b ) = k ( b b ) W te pedstwją ut lcu wektweg se współędch. Algebce wtśc tch utów (cl m utów se) pedstwją wże wte w wsch bk wektów jedstkwch (wesów), j, k. c = b b c = b b, c = b b.

6 Pwżse wże mż psć w pstc wck: b b b j k b W dóżeu d lcu skleg lc wektw umżlw mżee pe sebe węksej lcb wektów ż dw, p. : b c Włścwśc lcu wektweg: - lc wektw dwu wektów eewch jest wektem ewm wted tlk wted, gd wekt te są ówległe, - lc wektw e pdleg pwu pemeśc, b = - ( b ) - lc wektw pdleg pwu łącśc, (α ) (β b ) = α β ( b ) - lc wektw pdleg pwu delśc wględem ddw dejmw, ( b ± c ) = ( b ) ± ( c ) Mmet sł wględem puktu Mmetem M sł wględem puktu O (begu) wm lc wektw pme łącąceg begu pcątkem sł pe wekt tej sł. M = Im słw, jest t wekt M pstpdł d płsc utwej pe wekt sł wekt pmeń, pechdąc pe pukt O. Zwt wekt mmetu wk włścwśc lcu wektweg. Wżjąc wekt,, M w tktejńskm ukłde współędch = + j + k = + j + k M = M + M j + M k tmujem: M = j k Współęde wekt mmetu są węc stępujące: M = M = M = wekt Włścwśc wekt mmetu sł wględem puktu keślją włścwśc lcu wektweg: M = h, gde: - h mę sł wględem puktu (jkóts dległść pmęd słą puktem, wględem któeg lcm mmet), - keuek wekt M jest _ _ d płsc pechdącej pe wekt, - tójk wektów,, M tw ukłd pwskęt. Z pdch keśleń wk, że: - pesuwjąc słę wdłuż jej l dł e mem mmetu tej sł wględem beg puktu,

7 - mmet sł leżącch jedej płscźe, wględem begu O tej płscźe są d sebe ówległe, - mmet sł wględem begu jest ów eu, jeżel l dł sł pechd pe begu. Dw wekt ówwże mją wględem teg smeg puktu ówe mmet. Dw wekt ówe, któe mją wględem peweg puktu ówe mmet, są ówwże. Sum mmetów wektów, któch pste dł pecją sę w jedm pukce, ów sę mmetw ch sum ucepej w pukce beżśc. M ( ) = M ( ) Wekt mmetu M sł me sę w leżśc d płże begu. D jest sł dłjąc wdłuż pstej L. Obem dw eleże begu O O, wględem któch blcm mmet sł. Mmet sł wględem puktu O ws: tmst wględem begu O ws: M = 1, ' M = Pmęd pmem wektm 1 chd stępując leżść: 1 O' O Tk węc mżem psć: M ' 1 O O ' 1 O' O cl : M ' M O' O Wżee O' O mżem uwżć mmet sł cepej w pukce O wględem begu O. Osttece mżem pwedeć że: Mmet sł wględem dwleg begu O ów sę mmetw tej sł wględem puktu O mmetw sł cepej w pukce O wględem begu O. P sł Pą sł wm ukłd dwu sł ówległch, ówch c d welkśc, pecwe skewch e leżącch jedej pstej. Pewż wekt głów p sł s = 0, mmet p M e leż d bu begu, jeg mduł ws: M = h Keuek wekt mmetu p sł jest pstpdł d płsc wcej pe le dł p sł. Jeg wt pjmujem tk, b ptąc kńc wekt M, umejscweg męd słm p, meć pcątek kżdej sł p ste pwej, cl gde egułą śub pwskętej (s. 1.18). Wukem ówwżśc dwóch p jest gemetc ówść ch mmetów. Wkją stąd stępujące włścwśc p sł: - pę sł mżem dwle pemeścć w płscźe jej dł, - pę sł mżem peeść w dwle płżee płscę ówległą d płsc jej dł, - p sł e me sę, jeżel ppcjle pwęksm sł, pmejsm jej mę, lub dwte, - ukłd p sł jest ówwż jedej pe wpdkwej, któej mmet jest sumą gemetcą mmetów p skłdwch, - p sł e mż stąpć jed słą wpdkwą, lec tlk dugą pą tkm smm wekte mmetu, - dwl ukłd p sł jest w ówwde wted, gd sum gemetc mmetów tch p jest ów eu; jest t tw. wuek ówwg p sł.

8 Pkłd D pstpdłścu kwędch, b, c (s. 1.) płż cte sł 1,, 3, 4, któch welkśc wże w [N] są lcbw ówe długścm dpwedch dcków OK, KL, LM, MN, któe są wże w [m]. Pukt K, L, M, N są śdkm dpwedch kwęd. Zedukwć pd ukłd sł, pjmując begu pukt O O. Rwąe: Pjmujem ukłd współędch O cm w m de sł: 1 = b j + c k, = + b j, 3 = -c k, 4 = b j Wekt głów ukłdu: s = = + b j Długść wekt główeg ws: s = 4 + b Zgde e wm (1.) blcm współęde góleg mmetu M, któe wsą: M = b (-c) cb = - 3bc M = c (-c) = c M = (-b) (b + b) = - 4b Rówe mmetu góleg M m węc pstć: M = - 3bc + c j 4b k Mduł mmetu góleg ws: Mº = 9(bc) + 4(c) + 16(b) D ukłd sł edukuje sę d sł ówej wektw główemu s ucepemu w pukce O p sł mmece ówm gólemu mmetw sł e uleg me, tmst mmet gól M M. Wcm jpew wekt O ' O O ' O s, mwce: O ' O OO' ( b j ck) O' Os bc cj bk. P me śdk edukcj wekt głów s ukłdu ' Osttece mmet gól M będe wsł: ' M = (- 3bc + c j - 4b k ) + bc c j + b k = = - bc b k jeg welkść ws: M = 4b c + 4 b Redukując ukłd sł wględem begu O, tmujem tem słę ówą wektw główemu s ucepemu w begue O pę sł mmece Wę, ekcje Pegub wlcw t sweń pechdąc pe twó kłw, wk w pdpem cele. Skłdwe ekcj R mgą leżeć włące w płscźe pstpdłej d s sw. Pdp tk w peste dbe cłu dw stpe swbd. Dwe skłdwe tej ekcj R, R ' M. są ewdmm. Pegub kulst (w óweż łżskem stpwm) t kńcee pęt wke w kstłce kul sde w cs pdp kulstej. T skłdwe ekcj R, R, R stwą ewdme p ptwu ówwg cł.

9 Pdp pesuw jest płąceem pegubu wlcweg kstukcją pwljącą pesuęce p płscźe pdp pmcą lek. Rekcj tej pdp m keuek gd keukem mlej d płsc pdpc dbe jede stpeń swbd. Newdmą jest tutj welkść ekcj R. Cęg stw elemet ewżk, dskle wtk, e stwjąc pu g, łącąc cł pdpą. Rekcj R wse jest skew wdłuż cęg mże bć włące słą cągjącą. Pdp tk dbe jede stpeń swbd jedą ewdmą jest tutj welkść ekcj R. Pęt dwupegubw m cech cęg, gdż ekcj R mus pechdć pe b pegub pęt tą tlk óżcą, że w pecweństwe d cęg pęt mże bć ów cąg, jk ścsk. Pdp tk óweż dbe jede stpeń swbd ewdmą tutj jest welkść ekcj R A, R B, R C. Pdp, pełące lę węów ueuchmjącch cł, pw spełć stępujące wuk: c jwżej t wę mgą leżeć jedej płscźe, jwżej t keuk węów mgą sę pecć w jedm pukce, c jwżej t keuk węów mgą bć wjeme ówległe, e mże bć dwóch wąek węów ówległch, e mże bć jedej wąk węów beżch, dugej ówległch, wsstke wę e mgą pecć jedej pstej. Nespełee któegklwek pdch wuków jest ówce epeweem ówwg cł. Rów ówwg Jeżel cł stwe jest w spcku, t mówm, że jest w ówwde, ś słch dłjącch t cł, że sę ówwżą. Ukłd sł dłjącch cł stwe jest w ówwde wted tlk wted, gd wekt głów mmet gól są wektm ewm. Wkją stąd dw wektwe wuk ówwg ukłdu sł: s = 0, W tktejńskm ukłde współędch wuk pjmują pstć : = 0 = 0 M = 0. = 0 () ( ) = 0 ( ) = 0 ( ) = 0 (b) Rów (), cl wuk utów sł ów (b) wuk utów mmetów, są wę ltcch wuków ówwg. Tk węc dl dwleg pesteeg ukłdu sł mm seść ówń ówwg. Jeżel peste ukłd sł jest beż, t. le dł wsstkch sł pecją sę w jedm pukce, t bejąc te pukt pcątek ukłdu współędch uwżm, że dpdją wsstke t ów mmetów - pstją tlk ów utów sł: = 0 = 0 Ogcjąc swbdę cł pwdujem pjwee sę ddtkwch sł ewętch, tw. ekcj. P dłąceu tch sttch d sł cch tktujem tk ukłd jk swbd. Mżem węc pwedeć, że dwl ukłd mtel eswbd jest w ówwde wted, gd dłjące ń sł = 0

10 ce ekcje będą sę wjeme ówwżł, cl gd sł ce ekcje (sł bee) będą spełł ów ówwg. Z ówń tch będem mgl blcć ewdme ekcje. Jeżel lcb ewdmch ekcj (ewdmch pdpwch) jest ów lcbe ówń ówwg, ptw ukłd wm ukłdem sttce wclm (sttcm). Jeśl lcb ewdmch pdpwch jest mejs d lcb ówń ówwg, ukłd wm ukłdem chwejm (hpsttcm). Jeżel lcb ewdmch pdpwch (ekcj) ukłdu eswbdeg jest węks d lcb ówń ówwg, ukłd tk wm ukłdem sttce ewclm (hpesttcm). W sttce będem jmwl sę tlk ukłdm sttce wclm. Pkłd Pstkąt jedd płt wmch b cęże Q pmcw jest w pukce A pmcą pegubu kulsteg, w pukce B w wse (s..8). Płt utmw jest w płżeu pmm pmcą cęg CE, łącąceg wechłek płt C puktem E leżącm wskśc h d puktem A. Zleźć skłdwe ekcj w puktch A B słę S pęc cęg. Rwąe: N płtę dłją stępujące sł: Q, X A, Y A, Z A, X B, Z B, S Ab psć ów ówwg, musm wcć kąt, jke ś cęg CE tw sm,,, pjęteg ukłdu współędch. csα = b b + h csβ = b + h csγ = h b + h Wuk ówwg mją stępującą pstć: X A + X B S csα = 0 (1) Y A S csβ = 0 () Z A + Z B + S csγ Q = 0 (3) - Q + Z B + S csγ = 0 (4) Qb b S csγ = 0 (5) - X B = 0 (6) P wąu pwżseg ukłdu ówń tmujem; X A = Q b h, Y A = Q h, Z A = Q. X B = 0, Z B = 0, S = Q b + h h.