Arkusz 7 - ZADANIA ELEMENTARNE Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA. SCHEMAT BERNOULLIEGO. PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE Zadanie 1. W skład zarządu pewnej firmy wchodzi 17 osób, w tym 6 kobiet. Wśród kobiet dwie są w wieku 40+, pozostałe - 30 40. Wśród mężczyzn tylko jeden jest w wieku 40+. Wybieramy losowo jedną osobę z zarządu tej firmy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) Będzie to mężczyzna; b) Będzie to kobieta w wieku 40+; c) Będzie to osoba w wieku 30 40 lat; d) Będzie to mężczyzna w wieku 30 40 lat. Zadanie 2. Wśród grupy studentów, liczącej 36 osób, 22 osoby uczą się języka angielskiego, a 19 hiszpańskiego. Zakładamy, że tylko 3 studentów nie uczy się żadnego z tych języków obcych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierając losowo jednego studenta z tej grupy, trafimy na osobę, która : a) Uczy się języka hiszpańskiego; b) Uczy się obydwu tych języków obcych; c) Nie uczy się żadnego z tych języków; d) Uczy się przynajmniej jednego z nich; e) Uczy się tylko języka hiszpańskiego. Zadanie 3. Na trzydniowy wyjazd integracyjny wyjechało 87 pracowników pewnej firmy; w tym 19 kobiet. Spośród nich 10 musiało wrócić po jednym dniu. Wśród panów chętnych do wcześniejszego powrotu było tylko trzech. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba : a) Wróci po jednym dniu; b) Wróci w planowanym terminie; c) Będzie mężczyzną i wróci po jednym dniu; d) Będzie kobietą i wróci wcześniej; e) Wróci z wyjazdu wcześniej, jeżeli wiadomo, że jest kobietą; f) Wróci z wyjazdu w planowanym terminie, jeżeli wiadomo, że jest to mężczyzna. Zadanie 4. Spośród 145 pracowników pewnej firmy (w tym 37 na stanowiskach kierowniczych), z powodu redukcji etatów zostanie zwolnionych 16 osób (w tym zajmujących stanowisko kierownicze). Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba: a) Będzie osobą na kierowniczym stanowisku; b) Zostanie zwolniona; c) Zostanie zwolniona, jeśli wiadomo, że zajmuje kierownicze stanowisko; d) Nie zostanie zwolniona, jeśli wiadomo, że nie zajmuje kierowniczego stanowiska. Zadanie 5. Wykładowca przygotował na egzamin 56 pytań. Student jest przygotowany bardzo dobrze do odpowiedzi na 20 pytań, na kolejnych 17 - w stopniu dostatecznym, by zdać, ale nie bardzo dobrym. Do odpowiedzi na pozostałe pytania student nie jest w ogóle przygotowany. Na egzaminie student losuje jedno pytanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) Odpowie na to pytanie bardzo dobrze; b) Nie zda egzaminu; c) Zda egzamin, ale nie dostanie oceny bardzo dobrej. 1
Zadanie 6. W sytuacji takiej samej, jak opisana powyżej, student losuje 3 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) Odpowie bardzo dobrze na dwa pytania, a na jedno nie będzie znał odpowiedzi; b) Odpowie w stopniu dostatecznym na dokładnie dwa z zadanych pytań; c) Nie odpowie na żadne z wylosowanych pytań; d) Odpowie na każde z pytań bardzo dobrze; e) Odpowie w stopniu dostatecznym na co najmniej dwa pytania, co umożliwi mu zdanie egzaminu, niezależnie od odpowiedzi na trzecie pytanie; f) Uzyska inną ocenę z odpowiedzi na każde z wylosowanych pytań. Zadanie 7. Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) Na drugiej monecie wypadnie orzeł; b) Tylko na drugiej monecie wypadnie orzeł; c) Na każdej monecie wypadnie reszka lub na każdej- orzeł; d) Na (dokładnie) dwóch monetach wypadnie orzeł. Zadanie 8. W pewnej grupie, liczącej 44 osoby, przeprowadzono sondę, dotyczącą ulubionych form wypoczynku. Najczęściej pojawiające się odpowiedzi to: Aktywność fizyczna (pływanie lub fitness) - 28 osób; Oglądanie TV we własnym domu - 15 osób; Spotkania ze znajomymi - 13 osób. Część spośród badanych wskazała oczywiście dwa lub trzy ulubione sposoby spędzania wolnego czasu: 5 osób - sport i spotkania towarzyskie, 3 osoby - sport i TV, 7 osób - TV oraz spotkania towarzyskie. Oblicz, ile osób wskazało wszystkie trzy formy spędzania czasu jako ulubione przy założeniu, że każdy udzielił co najmniej jednej odpowiedzi. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana z tej grupy osoba a) Najbardziej lubi w wolnym czasie uprawiać sport; b) Nie lubi uprawiać sportu w wolnym czasie; c) Lubi spotykać się ze znajomymi lub oglądać TV; d) Lubi oglądać TV i spotykać się ze znajomymi. Zadanie 9. W tabeli podano liczbę rachunków za różne usługi medyczne zgłoszone w różnych regionach kraju. Wschód Północ Zachód Południe Pobyt w szpitalu 75 128 29 52 Wizyty lekarskie 233 514 104 251 Usługi ambulatoryjne 100 326 65 99 Oblicz prawdopodobieństwa, że wybrany losowo rachunek: a) pochodzi z zachodu; b) pochodzi z północy albo z zachodu; c) Jest rachunkiem za pobyt w szpitalu; d) Pochodzi z południa, jeżeli wiadomo, że jest to rachunek za pobyt w szpitalu; e) Jest rachunkiem za wizytę lekarską, jeżeli wiadomo, że pochodzi z zachodu; f) Jest rachunkiem za wizytę lekarską, jeżeli wiadomo, że pochodzi z północy; g) Jest rachunkiem za usługę ambulatoryjną i pochodzi ze wschodu; h) Pochodzi z północy lub jest rachunkiem za wizytę lekarską; 2
i) Pochodzi z południa lub jest rachunkiem za pobyt w szpitalu. Zadanie 10. Rzucamy trzy razy monetą. Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na tym, że tylko na drugiej monecie wypadnie reszka; przez B - zdarzenie polegające na tym, że wypadną co najmniej dwie reszki. Opisz, na czym polegają zdarzenia A i B oraz A lub B. Oblicz prawdopodobieństwa wszystkich czterech wymienionych zdarzeń. Zadanie 11. W pewnym przedsiębiorstwie 68% wyrobów jest pierwszego gatunku, 22% - drugiego. Pozostałe wyroby są całkowicie wadliwe. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybierając losowo jeden z wyrobów tego przedsiębiorstwa, trafimy na: a) Wyrób pierwszego gatunku; b) Wyrób nadający się do użytku; c) Wyrób nie nadający się do użytku. Zadanie 12. Wizytator w pewnej szkole dowiedział się, że 30% uczniów jest bardzo dobrze przygotowanych do lekcji, 50% - średnio, zaś pozostali - słabo lub bardzo słabo. Postanowił wziąć do odpowiedzi losowo wybranego ucznia. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) Zapyta ucznia, który jest przygotowany do lekcji; b) Zapyta ucznia, który jest bardzo dobrze przygotowany do lekcji; c) Zapyta ucznia bardzo dobrze przygotowanego, jeśli będzie wybierał tylko spośród przygotowanych. Zadanie 13. Na pewnym odcinku drogi samochód przejeżdża przez trzy skrzyżowania z niezsynchronizowaną sygnalizacją świetlną. Prawdopodobieństwa, że nie zatrzyma się na poszczególnych skrzyżowaniach są równe odpowiednio 0, 6; 0, 5; 0, 65. Oblicz prawdopodobieństwo: a) Przejechania bez zatrzymania przez wszystkie trzy skrzyżowania; b) Przejechania bez zatrzymania tylko przez dwa pierwsze skrzyżowania; c) Zatrzymania się na pierwszym i drugim skrzyżowaniu, i przejechania bez zatrzymywania przez ostatnie. Zadanie 14. Okrągła tarcza składa się z trzech stref. Prawdopodobieństwo trafienia do pierwszej strefy jest równe 0, 2; do drugiej - 0, 3; do trzeciej - 0, 4. Oblicz prawdopodobieństwo: a) Trafienia w tarczę; b) Trafienia, ale nie do I strefy; c) Nietrafienia do tarczy. Zadanie 15. Prawdopodobieństwo przekazania sygnału przez przekaźnik jest równe 0, 9. Oblicz prawdopodobieństwo, że z kolejnych 10 sygnałów, 8 zostanie przekazanych przez ten przekaźnik. Zadanie 16. Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy przez pewnego strzelca jest równe 0, 85 w każdym ze strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że tarcza zostanie przez tego strzelca trafiona tylko 3 razy w ciągu 8 strzałów. Zadanie 17. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez wykładowcę podczas jednego wykładu jest równe 1. Jakie jest pr-stwo, że wykładowca ten: 7 a) popełni trzy błędy w ciągu semestru? Uwaga - jeden semestr to 15 wykładów. b) Nie popełni ani jednego błędu w czasie semestru; c) Popełni co najmniej dwa błędy w czasie semestru. 3
Zadanie 18. Siła kiełkowania pewnej rośliny (czyli prawdopodobieństwo wykiełkowania rośliny z jednego nasionka) wynosi 0, 74. Oblicz prawdopodobieństwo, że spośród 16 zasianych nasion a) Trzy wykiełkują; b) Wszystkie wykiełkują; c) Wykiełkuje co najmniej 13. Zadanie 19. Coraz więcej pracodawców korzysta z testów psychologicznych do sprawdzenia, czy przyszły pracownik nadaje się do pracy w firmie. Przedstawione niżej dane pokazują liczebności grup osób, które na egzaminach psychologicznych zorganizowanych przez firmę uzyskały określone oceny. Oceny (ważone w punktach) podzielono na klasy o rozpiętości 10 punktów: Zadanie 20. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najwyżej pięciu orłów w serii 7 rzutów monetą. Zadanie 21. Prawdopodobieństwo, że student będzie umiał odpowiedzieć na wylosowane na egzaminie pytanie, jest równe 5. Wiadomo, że student losuje trzy pytania i zdaje egzamin, 8 jeśli odpowie na co najmniej dwa z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu przez tego studenta? Zadanie 22. Robotnik obsługuje cztery jednakowe warsztaty funkcjonujące automatycznie i niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że wciągu godziny warsztat będzie wymagał interwencji robotnika, jest równe 0, 8. Jakie jest Prawdopodobieństwo tego, że: a) Żaden z warsztatów nie będzie wymagał interwencji robotnika; b) Jeden (dokładnie) warsztat będzie wymagał interwencji; c) Więcej, niż dwa warsztaty będą wymagały interwencji. Zadanie 23. Urzędnik bankowy wie, że 12% kredytobiorców traci pracę i przestaje spłacać kredyt w ciągu 5 lat. Wie też, że 20% kredytobiorców traci pracę w ciągu 5 lat. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kredytobiorca przestanie spłacać kredyt, jeżeli straci pracę? Zadanie 24. Student zdający egzamin na MBA musi napisać dwa testy - z matematyki (test A0 oraz z nauki o zarządzaniu (test B). prawdopodobieństwo zdania testu A jest równe 0, 75, zaś prawdopodobieństwo wymagania minimum punktów z obu testów wynosi 0, 5. Jakie student ma szanse na zdanie testu z zarządzania, jeśli wiadomo, że pomyślnie przeszedł test z matematyki? Zadanie 25. 21% członków zarządu pewnej firmy otrzymuje najwyższe płace w firmie. 40% wszystkich członków zarządu to kobiety. Kobiety, pobierające najwyższe płace w firmie, stanowią 6, 4% wszystkich członków zarządu. Czy w tej firmie występuje dyskryminacja płci pod względem płacy? Zadanie 26. Przedsiębiorstwo usług transportowych obiecuje dostarczenie dowolnej przesyłki następnego dnia rano, pod warunkiem, że zostanie ona nadana do godz. 17.00 poprzedniego dnia. Czasami jednak zdarzają się opóźnienia. Wiadomo, że jeżeli opóźni się wieczorny rejs do dużego miasta, z którego przesyłki są rozsyłane dalej, to istnieje prawdopodobieństwo 25%, że przesyłka nie zostanie w porę dostarczona. Wiadomo też, że 10% rejsów do dużego miasta ma opóźnienie. Jaki procent przesyłek dociera do klientów z opóźnieniem? Zadanie 27. Ankieter, przeprowadzający badanie w domach respondentów, uważa, że respondent odpowie na wszystkie pytania z prawdopodobieństwem 0, 94, jeśli będzie obecny 4
w domu. Z kolei prawdopodobieństwo zastania w domu osoby, z którą chce przeprowadzić wywiad, jest równe 0, 65. Jaki procent zaplanowanych wywiadów dojdzie do skutku? Zadanie 28. Wytwórca pewnego gatunku perfum wie, że istnieje prawdopodobieństwo 0, 05, że konsument zaakceptuje nowy produkt i tylko 0, 02, że zaakceptuje nowy produkt i będzie mu wierny przez co najmniej 6 miesięcy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany klient, który właśnie zaczął nabywać nowy produkt, wytrwa przy nim przez najbliższych 6 miesięcy? 5