METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

Podobne dokumenty
Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne

Bardzo łatwa lista powtórkowa

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

DOPASOWYWANIE KRZYWYCH

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne

Interpolacja funkcji

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

1 Równania nieliniowe

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Metody numeryczne. Ilorazy różnicowe. dr Artur Woike. Wzory interpolacyjne Newtona i metoda Aitkena.

Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D

Rozwiązywanie równań nieliniowych

dr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska

Analiza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005

w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.

x y

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Matematyka stosowana i metody numeryczne

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A

Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Optymalizacja ciągła

Zwięzły kurs analizy numerycznej

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Metody numeryczne Wykład 6

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

83 Przekształcanie wykresów funkcji (cd.) 3

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/ ZAKRES PODSTAWOWY

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Metody numeryczne w przykładach

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Całkowanie numeryczne

ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

MATeMAtyka zakres rozszerzony

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

Metody numeryczne Wykład 7

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu

Wymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

MATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany.

automatyka i robotyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

SPIS TREŚCI WSTĘP LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Wymagania edukacyjne z matematyki

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

MATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Transkrypt:

METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1

Aproksymacja Metody numeryczne zajmują się rozwiązywaniem zadań matematycznych za pomocą działań arytmetycznych. Zachodzi zatem potrzeba przybliżania wielkości nie arytmetycznych wielkościami arytmetycznymi i badania błędów wywołanych takimi przybliżeniami. Wybór przybliżenia zależy od tego, którym z możliwych kryteriów posłużymy się w ocenie skuteczności danego przybliżenia. Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku? Jak szybko można otrzymać rozwiązanie jaka jest szybkość zbieżności danej metody, np. procesu iteracyjnego? Met.Numer. wykład 3 3 Co to jest interpolacja? Dane są punkty (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),.(x n,y n ). Znaleźć nieznaną wartość y dla dowolnego x. Met.Numer. wykład 3 4 2

Różnica pomiędzy aproksymacją i interpolacją interpolacja aproksymacja Met.Numer. wykład 3 5 Aproksymacja Chcemy przybliżyć funkcję f(x) kombinacją (najczęściej liniową) funkcji należących do pewnej szczególnej klasy. Klasy funkcji: dla N pierwszych wyrazów szeregu Taylora ogólniej: p n (x) jest wielomianem stopnia n wielomiany trygonometryczne Największe znaczenie posiada aproksymacja wielomianowa Met.Numer. wykład 3 6 3

Aproksymacja liniowa funkcji f(x) Aproksymacja klasy funkcji: współczynniki stałe: Przybliżenia liniowe stosuje się ponieważ badanie aproksymacji kombinacjami nieliniowymi funkcji przybliżających jest bardzo trudne jak analiza większości zagadnień nieliniowych. Czasami stosuje się przybliżenia wymierne: Met.Numer. wykład 3 7 Aproksymacja Kryteria wyboru stałych współczynników Trzy typy przybliżeń o dużym znaczeniu przybliżenie interpolacyjne współczynniki są tak dobrane, aby w punktach funkcja przybliżająca wraz z jej pierwszymi r i pochodnymi (r i jest liczbą całkowitą nieujemną) była zgodna z f(x) i jej pochodnymi (z dokładnością do błędów zaokrągleń) Met.Numer. wykład 3 8 4

Aproksymacja Kryteria wyboru stałych współczynników przybliżenie średniokwadratowe szukamy minimum wyrażenia będącego całką z kwadratu różnicy pomiędzy f(x) i jej przybliżeniem w przedziale <x 1,x 2 > lub sumą ważoną kwadratów błędów rozciągniętą na zbiór dyskretny punktów z przedziału <x 1,x 2 > przybliżenie jednostajne znalezienie najmniejszego maksimum różnicy między f(x) i jej przybliżeniem w przedziale <x 1,x 2 > Met.Numer. wykład 3 9 Metoda najmniejszych kwadratów Regresja liniowa Met.Numer. wykład 3 10 5

Warunek minimum funkcji dwu zmiennych: Otrzymujemy układ równań liniowych dla niewiadomych a i b Rozwiązując ten układ równań uzyskuje się wyrażenia na a i b Met.Numer. wykład 3 11 gdzie: wyznacznik główny W wyraża się wzorem Z praw statystyki można wyprowadzić wyrażenia na odchylenia standardowe u(a) i u(b) obu parametrów prostej a,b: Met.Numer. wykład 3 12 6

Aproksymacja wielomianowa Zastosowanie w obliczeniach wielomianów jako funkcji przybliżających wiąże się z faktem, że maszyna cyfrowa wykonuje w praktyce działania arytmetyczne. Wspólną właściwością potęg zmiennej i wielomianów trygonometrycznych (a także funkcji wykładniczych) jest to, że w przybliżeniach korzystających z każdej z tych klas przesunięcie układu współrzędnych zmienia współczynniki, ale nie zmienia postaci przybliżenia. Jeżeli P(x) jest wielomianem lub funkcją wymierną to P(x+α) jest również tej postaci, a jeśli T(x) jest liniowym lub wymiernym przybliżeniem zbudowanym z sinusów lub cosinusów, to takie jest również T(x+α). Met.Numer. wykład 3 13 Aproksymacja wielomianowa Przybliżenia funkcjami mają taką zaletę, że przy zmianie skali zmiennej zmieniają się tylko współczynniki, a nie zmienia się kształt przybliżenia. Przykład: wielomian P(kx) jest również wielomianem zmiennej x. Tej własności nie mają przybliżenia trygonometryczne, gdyż dla niecałkowitego k na ogół sin(nkx) nie jest elementem klasy Met.Numer. wykład 3 14 7

Aproksymacja wielomianowa Najczęściej wybiera się wielomiany gdyż można łatwo: obliczać ich wartości różniczkować całkować Met.Numer. wykład 3 15 Aproksymacja wielomianowa Z przybliżeń wielomianowych wywodzą się metody: interpolacji ekstrapolacji różniczkowania numerycznego kwadratur rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych zwyczajnych Powiązania pomiędzy tymi metodami są łatwo dostrzegalne, gdyż metody interpolacyjne są podstawą wzorów różniczkowania numerycznego, kwadratur i rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych. Met.Numer. wykład 3 16 8

INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Założenie: W przedziale [a,b] danych jest (n+1) różnych punktów x 0, x 1,, x n, które nazywamy węzłami interpolacji, oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach: f(x i ) = y i dla i = 0, 1,..., n. interpolacja Met.Numer. wykład 3 17 INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Zadanie interpolacji: Wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących węzłami oraz oszacowanie błędu tych przybliżonych wartości. 1. W tym celu należy znaleźć funkcję F(x), zwaną funkcją interpolującą, która będzie przybliżać funkcję f(x) w przedziale [a,b]. 2. Funkcja F(x) w węzłach interpolacji przyjmuje takie same wartości co funkcja y = f(x). 3. W zagadnieniu interpolacji wielomianowej funkcja F(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej n. Twierdzenie Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej n (n 0), który w punktach x 0, x 1,, x n przyjmuje wartości y 0, y 1,, y n. Met.Numer. wykład 3 18 9

Interpolacja - metoda bezpośrednia Przez n+1 punktów (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),.(x n,y n ) przechodzi dokładnie jeden wielomian stopnia n gdzie a 0, a 1,. a n są stałymi współczynnikami (R) Ułożyć n+1 równań aby znaleźć n+1 stałych Podstawić wartość x do wielomianu, aby znaleźć y Met.Numer. wykład 3 19 Przykład Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t t(s) v(m/s) 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67 Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę bezpośrednią dla dwóch punktów Met.Numer. wykład 3 20 10

Nie można obecnie wyświetlić tego obrazu. Interpolacja liniowa Rozwiązanie układu równań A zatem Met.Numer. wykład 3 21 Interpolacja kwadratowa Rozwiązanie układu równań Met.Numer. wykład 3 22 11

Interpolacja kwadratowa Błąd względny Met.Numer. wykład 3 23 Interpolacja sześcienna Met.Numer. wykład 3 24 12

Interpolacja sześcienna Rozwiązać układ równań: Zadanie domowe Podać i narysować v(t) Met.Numer. wykład 3 25 Interpolacja sześcienna -rozwiązanie Błąd względny Met.Numer. wykład 3 26 13

Porównanie Met.Numer. wykład 3 27 Obliczenia przemieszczenia od t=11s do t=16s Met.Numer. wykład 3 28 14

Obliczenia przyspieszenia Met.Numer. wykład 3 29 Wzór interpolacyjny Newtona Interpolacja liniowa: dane są punkty szukamy Met.Numer. wykład 3 30 15

Przykład Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t t(s) v(m/s) 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67 Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę Newtona Met.Numer. wykład 3 31 Interpolacja liniowa Wiadomo, że: Znajdujemy: A zatem: Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej Met.Numer. wykład 3 32 16

Interpolacja liniowa Szukana prędkość w chwili t=16 s wynosi: Met.Numer. wykład 3 33 Dane są punkty szukamy Interpolacja kwadratowa Met.Numer. wykład 3 34 17

Interpolacja kwadratowa Wiadomo, że: Znajdujemy: Met.Numer. wykład 3 35 Interpolacja kwadratowa A zatem: dla t=16s: Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej Met.Numer. wykład 3 36 18

Interpolacja kwadratowa Błąd względny w odniesieniu do poprzedniej interpolacji Met.Numer. wykład 3 37 Ogólna formuła gdzie iloraz różnicowy pierwszego rzędu A zatem iloraz różnicowy drugiego rzędu Met.Numer. wykład 3 38 19

Ogólna formuła Mając (n+1) punktów Met.Numer. wykład 3 39 Interpolacja sześcienna Met.Numer. wykład 3 40 20

Interpolacja sześcienna Zadanie domowe Znaleźć równanie na prędkość i obliczyć v(16s) na podstawie interpolacji sześciennej Newtona : Dane Znaleźć współczynniki b i Znaleźć drogę przebytą w czasie od 11s do 16 s. Znaleźć przyspieszenie w chwili t=16 s. Met.Numer. wykład 3 41 Rozwiązanie Met.Numer. wykład 3 42 21

Porównanie Met.Numer. wykład 3 43 Interpolacja z równo-odległymi węzłami Dane są wartości funkcji f(x i )=y i dla i=0,1, n w punktach rozmieszczonych w jednakowych odstępach: Pierwszy wielomian interpolacyjny Newtona ma postać: gdzie k f(x 0 ) jest różnica progresywna k-tego rzędu Met.Numer. wykład 3 44 22

Interpolacja z równo-odległymi węzłami Wielomian interpolacyjny Newtona jest korzystny w pobliżu początku tablicy. W pobliżu końca tablicy stosujemy drugi wielomian interpolacyjny Newtona z różnicami wstecznymi Met.Numer. wykład 3 45 Różnice progresywne Różnice wsteczne Met.Numer. wykład 3 46 23

Wzór interpolacyjny Lagrange a Inaczej: Ogólnie: gdzie: ω n (x j ) jest wartością pochodnej wielomianu ω n (x) punkcie x j będącym zerem tego wielomianu Met.Numer. wykład 3 47 Przykład Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t t(s) v(m/s) 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67 Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę interpolacji wielomianem Lagrange a dla dwóch punktów Met.Numer. wykład 3 48 24

Interpolacja liniowa wielomianem Lagrange a Wiadomo, że: Znajdujemy: A zatem: Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej Met.Numer. wykład 3 49 Interpolacja liniowa wielomianem Lagrange a Met.Numer. wykład 3 50 25

Interpolacja kwadratowa Dane są punkty szukamy Met.Numer. wykład 3 51 Interpolacja kwadratowa Wiadomo, że: Znajdujemy: A zatem: Met.Numer. wykład 3 52 26

Interpolacja kwadratowa dla t=16s: Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej i metodą Newtona. Met.Numer. wykład 3 53 Interpolacja kwadratowa Błąd względny w odniesieniu do poprzedniej interpolacji Met.Numer. wykład 3 54 27

Interpolacja sześcienna Zadanie domowe Znaleźć równanie na prędkość i obliczyć v(16s) na podstawie interpolacji sześciennej Lagrange a Dane Znaleźć drogę przebytą w czasie od 11s do 16 s. Znaleźć przyspieszenie w chwili t=16 s. Porównać wyniki z uzyskanymi na podstawie interpolacji metodą bezpośredniej i Newtona. Met.Numer. wykład 3 55 Porównanie Met.Numer. wykład 3 56 28

Wzór interpolacyjny Lagrange a - przykład Niech dane będą punkty:0,1,3,6.znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange a, który będzie przybliżać funkcję Rozwiązanie: Wartości funkcji f(x) w węzłach interpolacji są następujące: Można pokazać, że wielomian interpolacyjny Lagrange a przyjmuje postać: Met.Numer. wykład 3 57 Wzór interpolacyjny Lagrange a - przykład funkcja f(x) wielomian interpolacyjny W 3 (x) Wielomian interpolacyjny przybliża funkcję f(x) tylko pomiędzy skrajnymi węzłami, tzn. w przedziale [0,6]. Im mniejsze odległości między węzłami, tym lepsze przybliżenie uzyskujemy Met.Numer. wykład 3 58 29

Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Z jaką dokładnością wielomian interpolacyjny W n (x) przybliża funkcję f(x) w pozostałych punktach leżących wewnątrz przedziału <a, b>? Zakładamy, że funkcja f(x) w rozpatrywanym przedziale <a, b> ma pochodne do rzędu (n+1) włącznie. zależy od wyboru węzłów interpolacji Met.Numer. wykład 3 59 Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych-spline Wady interpolacji wielomianowej: Motywacja Pogorszenie wyników interpolacji przy zwiększaniu liczby węzłów. Przykład: Zjawisko Rungego (przykład źle uwarunkowanego zadania): Interpolacja wielomianami wysokich stopni przy stałych odległościach węzłów prowadzi do poważnych odchyleń od interpolowanej funkcji zwłaszcza na końcach przedziału. Interpolacja na środkowych częściach przedziału jest natomiast bardzo dobra i użyteczna Przykład: Met.Numer. wykład 3 60 30

Interpolacja wielomianowa szczególnych funkcji Met.Numer. wykład 3 61 Zjawisko Rungego Met.Numer. wykład 3 62 31

Mając dane punkty: Interpolacja za pomocą liniowych funkcji sklejanych prowadzimy linie proste pomiędzy punktami. Met.Numer. wykład 3 63 Interpolacja za pomocą liniowych funkcji sklejanych... nachylenie prostej pomiędzy węzłami Met.Numer. wykład 3 64 32

Mając dane punkty: Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych zapisujemy różne funkcje kwadratowe pomiędzy każdą parą punktów. Met.Numer. wykład 3 65 Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych... Znaleźć współczynniki Mamy 3n niewiadomych czyli potrzebujemy 3n równań Met.Numer. wykład 3 66 33

Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych Każda parabola przechodzi przez dwa sąsiednie punkty, czyli mamy 2n równań.. Met.Numer. wykład 3 67 Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych Dodatkowe warunki otrzymujemy żądając ciągłości pierwszych pochodnych w n-1 wewnętrznych punktach węzłowych: dla a zatem. Met.Numer. wykład 3 68 34

Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych Prowadzi to do n-1 równań postaci:.. Całkowita liczba równań wynosi 2n+(n-1)=3n-1 Potrzebne jedno równanie może przyjąć postać np. Pierwsza funkcja sklejana jest liniowa. Met.Numer. wykład 3 69 Przykład Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t t(s) v(m/s) 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67 Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę interpolacji za pomocą kwadratowych funkcji sklejanych Met.Numer. wykład 3 70 35

Rozwiązanie Met.Numer. wykład 3 71 Każda funkcja sklejana przechodzi przez dwa sąsiednie punkty Met.Numer. wykład 3 72 36

Dalsze równania t(s) v(m/s) 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67 Jest 10 równań, 15 poszukiwanych współczynników Met.Numer. wykład 3 73 Żądanie ciągłości pochodnych Met.Numer. wykład 3 74 37

Żądanie ciągłości pochodnych - cd dla t=10s dla t=15s dla t=20s dla t=22.5s 4 dodatkowe równania ostatnie równanie Met.Numer. wykład 3 75 Ostateczny układ 15 równań na 15 niewiadomych Met.Numer. wykład 3 76 38

Wartości współczynników i a i b i c i 1 0 22.704 0 2 0.8888 4.928 88.88 3-0.1356 35.66-141.61 4 1.6048-33.956 554.55 5 0.20889 28.86-152.13 Proszę sprawdzić czy podane wartości są prawidłowe Met.Numer. wykład 3 77 Ostateczne rozwiązanie Met.Numer. wykład 3 78 39

a) Prędkość w chwili t=16s Prędkość w określonym punkcie Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość prędkości z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji wielomianowej Met.Numer. wykład 3 79 b) Acceleration at t=16 Przyspieszenie w określonym punkcie Met.Numer. wykład 3 80 40

Przyspieszenie w określonym punkcie, Funkcja kwadratowa sklejana prawdziwa w punkcie t=16s jest dana jako Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość przyspieszenia z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji wielomianowej Met.Numer. wykład 3 81 Droga z profilu prędkości c) Znaleźć drogę przebytą przez rakietę od t=11s do t=16s. Met.Numer. wykład 3 82 41

Droga z profilu prędkości Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość przebytej odległości z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji wielomianowej Met.Numer. wykład 3 83 Błąd wzoru interpolacyjnego Przyjmujemy oznaczenia: Kres górny modułu (n+1)-szej pochodnej funkcji f(x) na przedziale <a,b> Met.Numer. Wykład 4 84 42

Błąd wzoru interpolacyjnego Przykład: Ocenić, z jaką dokładnością można obliczyć wartość ln 100,5 przy użyciu wzoru interpolacyjnego Lagrange a, jeżeli dane są wartości: ln 100, ln 101, ln 102, ln 103 Met.Numer. Wykład 4 85 Optymalny dobór węzłów interpolacji Wielkość błędu zależy od wyboru węzłów interpolacji poprzez ω n. Na M n+1 nie mamy wpływu. Jak wybrać węzły interpolacji x i, aby: miało jak najmniejszą wartość Zagadnienie zostało sformułowane przez rosyjskiego matematyka P.L. Czebyszewa jako zagadnienie znajdowania wielomianu algebraicznego najlepiej przybliżającego zero na zadanym przedziale. Met.Numer. Wykład 4 86 43

Wielomiany Czebyszewa Wielomiany Czebyszewa (pierwszego rodzaju): Można pokazać, że wielomian T n (x) jest identyczny z pewnym wielomianem algebraicznym zawężonym do przedziału <-1,1>. wzór rekurencyjny Met.Numer. Wykład 4 87 Wielomiany Czebyszewa Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są rozwiązaniem równania różniczkowego: Definiuje się je poprzez wzór Rodriguesa: Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są ortogonalne w przedziale <-1,1> z wagą: Met.Numer. Wykład 4 88 44

Optymalny dobór węzłów interpolacji Każdy wielomian Czebyszewa stopnia n ma n różnych pierwiastków w punktach: zawartych między -1 i +1 Współczynnik przy najwyższej potędze w T n (x) jest równy 2 n-1. Szukamy wielomianu, który przy najwyższej potędze ma współczynnik równy jedności gdzie x m (m=0, 1, 2,, n) są pierwiastkami wielomianu T n+1 Met.Numer. Wykład 4 89 Optymalny dobór węzłów interpolacji Wyrażenie: w przedziale <-1,1> ma najmniejszą wartość dla wielomianu: wówczas: Jeżeli w przedziale <-1,1> za węzły interpolacji przyjmiemy zera wielomianu Czebyszewa, to Met.Numer. Wykład 4 90 45

Optymalny dobór węzłów interpolacji W dowolnym przedziale <a,b> oszacowanie błędu wynosi: przy wyborze węzłów Nowe węzły x m nie są rozmieszczone w równych odstępach lecz są zagęszczone przy końcach przedziału. Proste transformacje liniowe sprowadzają x z przedziału <a,b> do z należącego do <-1,1> Met.Numer. Wykład 4 91 Podsumowanie interpolacji Przeczytać i przeanalizować rozdział 1.2.8 Uwagi końcowe, Z.Fortuna, B.Macukow, J.Wąsowski, Metody numeryczne Wnioski: 1. Przy obliczaniu wartości wielomianu interpolacyjnego w jednym lub kilku punktach problem wyboru postaci wzoru interpolacyjnego nie jest istotny. 2. Rodzaj wybranego wzoru i rozmieszczenie węzłów ma wpływ jedynie na błąd obliczeń. 3. O czasochłonności obliczeń decyduje liczba mnożeń i dzieleń. dla wielomianu Lagrange a stanowi to n 2 +4n+2 dla wielomianu Newtona 1/2 n 2 +3/2 n 2 Met.Numer. Wykład 4 92 46