METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1
Aproksymacja Metody numeryczne zajmują się rozwiązywaniem zadań matematycznych za pomocą działań arytmetycznych. Zachodzi zatem potrzeba przybliżania wielkości nie arytmetycznych wielkościami arytmetycznymi i badania błędów wywołanych takimi przybliżeniami. Wybór przybliżenia zależy od tego, którym z możliwych kryteriów posłużymy się w ocenie skuteczności danego przybliżenia. Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku? Jak szybko można otrzymać rozwiązanie jaka jest szybkość zbieżności danej metody, np. procesu iteracyjnego? Met.Numer. wykład 3 3 Co to jest interpolacja? Dane są punkty (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),.(x n,y n ). Znaleźć nieznaną wartość y dla dowolnego x. Met.Numer. wykład 3 4 2
Różnica pomiędzy aproksymacją i interpolacją interpolacja aproksymacja Met.Numer. wykład 3 5 Aproksymacja Chcemy przybliżyć funkcję f(x) kombinacją (najczęściej liniową) funkcji należących do pewnej szczególnej klasy. Klasy funkcji: dla N pierwszych wyrazów szeregu Taylora ogólniej: p n (x) jest wielomianem stopnia n wielomiany trygonometryczne Największe znaczenie posiada aproksymacja wielomianowa Met.Numer. wykład 3 6 3
Aproksymacja liniowa funkcji f(x) Aproksymacja klasy funkcji: współczynniki stałe: Przybliżenia liniowe stosuje się ponieważ badanie aproksymacji kombinacjami nieliniowymi funkcji przybliżających jest bardzo trudne jak analiza większości zagadnień nieliniowych. Czasami stosuje się przybliżenia wymierne: Met.Numer. wykład 3 7 Aproksymacja Kryteria wyboru stałych współczynników Trzy typy przybliżeń o dużym znaczeniu przybliżenie interpolacyjne współczynniki są tak dobrane, aby w punktach funkcja przybliżająca wraz z jej pierwszymi r i pochodnymi (r i jest liczbą całkowitą nieujemną) była zgodna z f(x) i jej pochodnymi (z dokładnością do błędów zaokrągleń) Met.Numer. wykład 3 8 4
Aproksymacja Kryteria wyboru stałych współczynników przybliżenie średniokwadratowe szukamy minimum wyrażenia będącego całką z kwadratu różnicy pomiędzy f(x) i jej przybliżeniem w przedziale <x 1,x 2 > lub sumą ważoną kwadratów błędów rozciągniętą na zbiór dyskretny punktów z przedziału <x 1,x 2 > przybliżenie jednostajne znalezienie najmniejszego maksimum różnicy między f(x) i jej przybliżeniem w przedziale <x 1,x 2 > Met.Numer. wykład 3 9 Metoda najmniejszych kwadratów Regresja liniowa Met.Numer. wykład 3 10 5
Warunek minimum funkcji dwu zmiennych: Otrzymujemy układ równań liniowych dla niewiadomych a i b Rozwiązując ten układ równań uzyskuje się wyrażenia na a i b Met.Numer. wykład 3 11 gdzie: wyznacznik główny W wyraża się wzorem Z praw statystyki można wyprowadzić wyrażenia na odchylenia standardowe u(a) i u(b) obu parametrów prostej a,b: Met.Numer. wykład 3 12 6
Aproksymacja wielomianowa Zastosowanie w obliczeniach wielomianów jako funkcji przybliżających wiąże się z faktem, że maszyna cyfrowa wykonuje w praktyce działania arytmetyczne. Wspólną właściwością potęg zmiennej i wielomianów trygonometrycznych (a także funkcji wykładniczych) jest to, że w przybliżeniach korzystających z każdej z tych klas przesunięcie układu współrzędnych zmienia współczynniki, ale nie zmienia postaci przybliżenia. Jeżeli P(x) jest wielomianem lub funkcją wymierną to P(x+α) jest również tej postaci, a jeśli T(x) jest liniowym lub wymiernym przybliżeniem zbudowanym z sinusów lub cosinusów, to takie jest również T(x+α). Met.Numer. wykład 3 13 Aproksymacja wielomianowa Przybliżenia funkcjami mają taką zaletę, że przy zmianie skali zmiennej zmieniają się tylko współczynniki, a nie zmienia się kształt przybliżenia. Przykład: wielomian P(kx) jest również wielomianem zmiennej x. Tej własności nie mają przybliżenia trygonometryczne, gdyż dla niecałkowitego k na ogół sin(nkx) nie jest elementem klasy Met.Numer. wykład 3 14 7
Aproksymacja wielomianowa Najczęściej wybiera się wielomiany gdyż można łatwo: obliczać ich wartości różniczkować całkować Met.Numer. wykład 3 15 Aproksymacja wielomianowa Z przybliżeń wielomianowych wywodzą się metody: interpolacji ekstrapolacji różniczkowania numerycznego kwadratur rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych zwyczajnych Powiązania pomiędzy tymi metodami są łatwo dostrzegalne, gdyż metody interpolacyjne są podstawą wzorów różniczkowania numerycznego, kwadratur i rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych. Met.Numer. wykład 3 16 8
INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Założenie: W przedziale [a,b] danych jest (n+1) różnych punktów x 0, x 1,, x n, które nazywamy węzłami interpolacji, oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach: f(x i ) = y i dla i = 0, 1,..., n. interpolacja Met.Numer. wykład 3 17 INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Zadanie interpolacji: Wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących węzłami oraz oszacowanie błędu tych przybliżonych wartości. 1. W tym celu należy znaleźć funkcję F(x), zwaną funkcją interpolującą, która będzie przybliżać funkcję f(x) w przedziale [a,b]. 2. Funkcja F(x) w węzłach interpolacji przyjmuje takie same wartości co funkcja y = f(x). 3. W zagadnieniu interpolacji wielomianowej funkcja F(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej n. Twierdzenie Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej n (n 0), który w punktach x 0, x 1,, x n przyjmuje wartości y 0, y 1,, y n. Met.Numer. wykład 3 18 9
Interpolacja - metoda bezpośrednia Przez n+1 punktów (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),.(x n,y n ) przechodzi dokładnie jeden wielomian stopnia n gdzie a 0, a 1,. a n są stałymi współczynnikami (R) Ułożyć n+1 równań aby znaleźć n+1 stałych Podstawić wartość x do wielomianu, aby znaleźć y Met.Numer. wykład 3 19 Przykład Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t t(s) v(m/s) 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67 Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę bezpośrednią dla dwóch punktów Met.Numer. wykład 3 20 10
Nie można obecnie wyświetlić tego obrazu. Interpolacja liniowa Rozwiązanie układu równań A zatem Met.Numer. wykład 3 21 Interpolacja kwadratowa Rozwiązanie układu równań Met.Numer. wykład 3 22 11
Interpolacja kwadratowa Błąd względny Met.Numer. wykład 3 23 Interpolacja sześcienna Met.Numer. wykład 3 24 12
Interpolacja sześcienna Rozwiązać układ równań: Zadanie domowe Podać i narysować v(t) Met.Numer. wykład 3 25 Interpolacja sześcienna -rozwiązanie Błąd względny Met.Numer. wykład 3 26 13
Porównanie Met.Numer. wykład 3 27 Obliczenia przemieszczenia od t=11s do t=16s Met.Numer. wykład 3 28 14
Obliczenia przyspieszenia Met.Numer. wykład 3 29 Wzór interpolacyjny Newtona Interpolacja liniowa: dane są punkty szukamy Met.Numer. wykład 3 30 15
Przykład Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t t(s) v(m/s) 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67 Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę Newtona Met.Numer. wykład 3 31 Interpolacja liniowa Wiadomo, że: Znajdujemy: A zatem: Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej Met.Numer. wykład 3 32 16
Interpolacja liniowa Szukana prędkość w chwili t=16 s wynosi: Met.Numer. wykład 3 33 Dane są punkty szukamy Interpolacja kwadratowa Met.Numer. wykład 3 34 17
Interpolacja kwadratowa Wiadomo, że: Znajdujemy: Met.Numer. wykład 3 35 Interpolacja kwadratowa A zatem: dla t=16s: Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej Met.Numer. wykład 3 36 18
Interpolacja kwadratowa Błąd względny w odniesieniu do poprzedniej interpolacji Met.Numer. wykład 3 37 Ogólna formuła gdzie iloraz różnicowy pierwszego rzędu A zatem iloraz różnicowy drugiego rzędu Met.Numer. wykład 3 38 19
Ogólna formuła Mając (n+1) punktów Met.Numer. wykład 3 39 Interpolacja sześcienna Met.Numer. wykład 3 40 20
Interpolacja sześcienna Zadanie domowe Znaleźć równanie na prędkość i obliczyć v(16s) na podstawie interpolacji sześciennej Newtona : Dane Znaleźć współczynniki b i Znaleźć drogę przebytą w czasie od 11s do 16 s. Znaleźć przyspieszenie w chwili t=16 s. Met.Numer. wykład 3 41 Rozwiązanie Met.Numer. wykład 3 42 21
Porównanie Met.Numer. wykład 3 43 Interpolacja z równo-odległymi węzłami Dane są wartości funkcji f(x i )=y i dla i=0,1, n w punktach rozmieszczonych w jednakowych odstępach: Pierwszy wielomian interpolacyjny Newtona ma postać: gdzie k f(x 0 ) jest różnica progresywna k-tego rzędu Met.Numer. wykład 3 44 22
Interpolacja z równo-odległymi węzłami Wielomian interpolacyjny Newtona jest korzystny w pobliżu początku tablicy. W pobliżu końca tablicy stosujemy drugi wielomian interpolacyjny Newtona z różnicami wstecznymi Met.Numer. wykład 3 45 Różnice progresywne Różnice wsteczne Met.Numer. wykład 3 46 23
Wzór interpolacyjny Lagrange a Inaczej: Ogólnie: gdzie: ω n (x j ) jest wartością pochodnej wielomianu ω n (x) punkcie x j będącym zerem tego wielomianu Met.Numer. wykład 3 47 Przykład Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t t(s) v(m/s) 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67 Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę interpolacji wielomianem Lagrange a dla dwóch punktów Met.Numer. wykład 3 48 24
Interpolacja liniowa wielomianem Lagrange a Wiadomo, że: Znajdujemy: A zatem: Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej Met.Numer. wykład 3 49 Interpolacja liniowa wielomianem Lagrange a Met.Numer. wykład 3 50 25
Interpolacja kwadratowa Dane są punkty szukamy Met.Numer. wykład 3 51 Interpolacja kwadratowa Wiadomo, że: Znajdujemy: A zatem: Met.Numer. wykład 3 52 26
Interpolacja kwadratowa dla t=16s: Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej i metodą Newtona. Met.Numer. wykład 3 53 Interpolacja kwadratowa Błąd względny w odniesieniu do poprzedniej interpolacji Met.Numer. wykład 3 54 27
Interpolacja sześcienna Zadanie domowe Znaleźć równanie na prędkość i obliczyć v(16s) na podstawie interpolacji sześciennej Lagrange a Dane Znaleźć drogę przebytą w czasie od 11s do 16 s. Znaleźć przyspieszenie w chwili t=16 s. Porównać wyniki z uzyskanymi na podstawie interpolacji metodą bezpośredniej i Newtona. Met.Numer. wykład 3 55 Porównanie Met.Numer. wykład 3 56 28
Wzór interpolacyjny Lagrange a - przykład Niech dane będą punkty:0,1,3,6.znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange a, który będzie przybliżać funkcję Rozwiązanie: Wartości funkcji f(x) w węzłach interpolacji są następujące: Można pokazać, że wielomian interpolacyjny Lagrange a przyjmuje postać: Met.Numer. wykład 3 57 Wzór interpolacyjny Lagrange a - przykład funkcja f(x) wielomian interpolacyjny W 3 (x) Wielomian interpolacyjny przybliża funkcję f(x) tylko pomiędzy skrajnymi węzłami, tzn. w przedziale [0,6]. Im mniejsze odległości między węzłami, tym lepsze przybliżenie uzyskujemy Met.Numer. wykład 3 58 29
Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Z jaką dokładnością wielomian interpolacyjny W n (x) przybliża funkcję f(x) w pozostałych punktach leżących wewnątrz przedziału <a, b>? Zakładamy, że funkcja f(x) w rozpatrywanym przedziale <a, b> ma pochodne do rzędu (n+1) włącznie. zależy od wyboru węzłów interpolacji Met.Numer. wykład 3 59 Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych-spline Wady interpolacji wielomianowej: Motywacja Pogorszenie wyników interpolacji przy zwiększaniu liczby węzłów. Przykład: Zjawisko Rungego (przykład źle uwarunkowanego zadania): Interpolacja wielomianami wysokich stopni przy stałych odległościach węzłów prowadzi do poważnych odchyleń od interpolowanej funkcji zwłaszcza na końcach przedziału. Interpolacja na środkowych częściach przedziału jest natomiast bardzo dobra i użyteczna Przykład: Met.Numer. wykład 3 60 30
Interpolacja wielomianowa szczególnych funkcji Met.Numer. wykład 3 61 Zjawisko Rungego Met.Numer. wykład 3 62 31
Mając dane punkty: Interpolacja za pomocą liniowych funkcji sklejanych prowadzimy linie proste pomiędzy punktami. Met.Numer. wykład 3 63 Interpolacja za pomocą liniowych funkcji sklejanych... nachylenie prostej pomiędzy węzłami Met.Numer. wykład 3 64 32
Mając dane punkty: Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych zapisujemy różne funkcje kwadratowe pomiędzy każdą parą punktów. Met.Numer. wykład 3 65 Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych... Znaleźć współczynniki Mamy 3n niewiadomych czyli potrzebujemy 3n równań Met.Numer. wykład 3 66 33
Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych Każda parabola przechodzi przez dwa sąsiednie punkty, czyli mamy 2n równań.. Met.Numer. wykład 3 67 Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych Dodatkowe warunki otrzymujemy żądając ciągłości pierwszych pochodnych w n-1 wewnętrznych punktach węzłowych: dla a zatem. Met.Numer. wykład 3 68 34
Interpolacja kwadratowa za pomocą funkcji sklejanych Prowadzi to do n-1 równań postaci:.. Całkowita liczba równań wynosi 2n+(n-1)=3n-1 Potrzebne jedno równanie może przyjąć postać np. Pierwsza funkcja sklejana jest liniowa. Met.Numer. wykład 3 69 Przykład Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t t(s) v(m/s) 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67 Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę interpolacji za pomocą kwadratowych funkcji sklejanych Met.Numer. wykład 3 70 35
Rozwiązanie Met.Numer. wykład 3 71 Każda funkcja sklejana przechodzi przez dwa sąsiednie punkty Met.Numer. wykład 3 72 36
Dalsze równania t(s) v(m/s) 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67 Jest 10 równań, 15 poszukiwanych współczynników Met.Numer. wykład 3 73 Żądanie ciągłości pochodnych Met.Numer. wykład 3 74 37
Żądanie ciągłości pochodnych - cd dla t=10s dla t=15s dla t=20s dla t=22.5s 4 dodatkowe równania ostatnie równanie Met.Numer. wykład 3 75 Ostateczny układ 15 równań na 15 niewiadomych Met.Numer. wykład 3 76 38
Wartości współczynników i a i b i c i 1 0 22.704 0 2 0.8888 4.928 88.88 3-0.1356 35.66-141.61 4 1.6048-33.956 554.55 5 0.20889 28.86-152.13 Proszę sprawdzić czy podane wartości są prawidłowe Met.Numer. wykład 3 77 Ostateczne rozwiązanie Met.Numer. wykład 3 78 39
a) Prędkość w chwili t=16s Prędkość w określonym punkcie Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość prędkości z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji wielomianowej Met.Numer. wykład 3 79 b) Acceleration at t=16 Przyspieszenie w określonym punkcie Met.Numer. wykład 3 80 40
Przyspieszenie w określonym punkcie, Funkcja kwadratowa sklejana prawdziwa w punkcie t=16s jest dana jako Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość przyspieszenia z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji wielomianowej Met.Numer. wykład 3 81 Droga z profilu prędkości c) Znaleźć drogę przebytą przez rakietę od t=11s do t=16s. Met.Numer. wykład 3 82 41
Droga z profilu prędkości Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość przebytej odległości z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji wielomianowej Met.Numer. wykład 3 83 Błąd wzoru interpolacyjnego Przyjmujemy oznaczenia: Kres górny modułu (n+1)-szej pochodnej funkcji f(x) na przedziale <a,b> Met.Numer. Wykład 4 84 42
Błąd wzoru interpolacyjnego Przykład: Ocenić, z jaką dokładnością można obliczyć wartość ln 100,5 przy użyciu wzoru interpolacyjnego Lagrange a, jeżeli dane są wartości: ln 100, ln 101, ln 102, ln 103 Met.Numer. Wykład 4 85 Optymalny dobór węzłów interpolacji Wielkość błędu zależy od wyboru węzłów interpolacji poprzez ω n. Na M n+1 nie mamy wpływu. Jak wybrać węzły interpolacji x i, aby: miało jak najmniejszą wartość Zagadnienie zostało sformułowane przez rosyjskiego matematyka P.L. Czebyszewa jako zagadnienie znajdowania wielomianu algebraicznego najlepiej przybliżającego zero na zadanym przedziale. Met.Numer. Wykład 4 86 43
Wielomiany Czebyszewa Wielomiany Czebyszewa (pierwszego rodzaju): Można pokazać, że wielomian T n (x) jest identyczny z pewnym wielomianem algebraicznym zawężonym do przedziału <-1,1>. wzór rekurencyjny Met.Numer. Wykład 4 87 Wielomiany Czebyszewa Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są rozwiązaniem równania różniczkowego: Definiuje się je poprzez wzór Rodriguesa: Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są ortogonalne w przedziale <-1,1> z wagą: Met.Numer. Wykład 4 88 44
Optymalny dobór węzłów interpolacji Każdy wielomian Czebyszewa stopnia n ma n różnych pierwiastków w punktach: zawartych między -1 i +1 Współczynnik przy najwyższej potędze w T n (x) jest równy 2 n-1. Szukamy wielomianu, który przy najwyższej potędze ma współczynnik równy jedności gdzie x m (m=0, 1, 2,, n) są pierwiastkami wielomianu T n+1 Met.Numer. Wykład 4 89 Optymalny dobór węzłów interpolacji Wyrażenie: w przedziale <-1,1> ma najmniejszą wartość dla wielomianu: wówczas: Jeżeli w przedziale <-1,1> za węzły interpolacji przyjmiemy zera wielomianu Czebyszewa, to Met.Numer. Wykład 4 90 45
Optymalny dobór węzłów interpolacji W dowolnym przedziale <a,b> oszacowanie błędu wynosi: przy wyborze węzłów Nowe węzły x m nie są rozmieszczone w równych odstępach lecz są zagęszczone przy końcach przedziału. Proste transformacje liniowe sprowadzają x z przedziału <a,b> do z należącego do <-1,1> Met.Numer. Wykład 4 91 Podsumowanie interpolacji Przeczytać i przeanalizować rozdział 1.2.8 Uwagi końcowe, Z.Fortuna, B.Macukow, J.Wąsowski, Metody numeryczne Wnioski: 1. Przy obliczaniu wartości wielomianu interpolacyjnego w jednym lub kilku punktach problem wyboru postaci wzoru interpolacyjnego nie jest istotny. 2. Rodzaj wybranego wzoru i rozmieszczenie węzłów ma wpływ jedynie na błąd obliczeń. 3. O czasochłonności obliczeń decyduje liczba mnożeń i dzieleń. dla wielomianu Lagrange a stanowi to n 2 +4n+2 dla wielomianu Newtona 1/2 n 2 +3/2 n 2 Met.Numer. Wykład 4 92 46