Wybrane własności półgrup

Wybrane własności półgrup Arkadiusz Męcel Seminarium magisterskie: Klasyczne struktury algebraiczne 16 października 2008r. 1 Pojęcie półgrupy. Proste przykłady. Celem tego referatu jest przedstawienie pojęcia półgrupy na tle znanej z wykładów kursowych elementarnej teorii grup. Przypomnijmy kilka znanych definicji: Definicja1(Półgrupa)Parę(S, ),gdzies zbiór, :S S S działaniedwuargumentowe, nazywamy półgrupą jeśli jest działaniem łącznym. Definicja2(Monoid)NiechSbędziedowolnąpółgrupą.Jeżeliistniejee Staki,żedlakażdegos S e s=s e=s,wówczassnazywamymonoidem. Definicja3(Grupa)NiechSbędziemonoidemzjedynkąe.Jeśliistniejetakiedziałanie 1 :S S, żedlakażdegos Smamys 1 (s)= 1 (s) s=e,tosnazywamygrupą. Definicja4(Homomorfizmpółgrup)Niech(S 1, ),(S 2, )będąpółgrupami.wówczasprzekształcenief:s 1 S 2 takie,żedlakażdychs 1,s 2 Smamy:f(s 1 s 2 )=f(s 1 ) f(s 2 )nazywamyhomomorfizmem półgrup. Wdalszymciąguzamiasta b,będziemyużywaćoznaczeniaab,zaśzamiast 1 (s)napiszemys 1. Przykład 1 Spójrzmy na kilka naturalnych przykładów półgrup: Grupy są półgrupami. Każdy(łączny) pieścień lub algebra jest półgrupą ze względu na mnożenie. Jest wciąż otwartym problemem znalezienie warunków koniecznych i wystarczających na to, by półgrupa S była izomorficzna zpółgrupąmultyplikatywnąpewnegopierścienias. 1 ZbiórendomorfizmówprzestrzeniliniowejV tworzypółgrupę.wszczególnościmacierzem n (K) nad dowolnym ciałem(czy nawet pierścieniem łącznym) tworzą półgrupę. Jedynki macierzowe z zerem. Dla dowolnego zbioru X zbiór przekształceń z X do X tworzy tzw. pełną półgrupę transformacji T X zbiorux.wprzypadku,gdyxjestn elementowy,wtedypółgrupętęoznaczamyprzezt n. Zauważmy, że: ( )( ) 12345 12345 = 25213 41442 ( ) 12345, 12144 Wogólnościdlan>2,T n jestpółgrupąnieprzemienną. 1 Problemówpodobnej odwrotnej naturyjestsporo... ( )( ) 12345 12345 = 41442 25213 ( ) 12345. 12115

Ostatniprzykładmaszczególneznaczenie.AnalogiempógłrupyT X wteoriigrupjestpełnagrupa permutacji zbioru X. Okazuje się, że istnieje w teorii półgrup analog twierdzenia Cayleya: każda półgrupa jest podpółgrupą pełnej grupy transformacji pewnego zbioru. Dowód jest zresztą zupełnie analogiczny. Pokażmy jeszcze jeden, odrobinę bardziej zaawansowany przykład występowania półgrup w algebrze: Przykład 2(Półgrupa klas ideałów) Niech R będzie dowolnym niezerowym pierścieniem przemiennym,zaśi(r) zbioremideałówr.powiemy,żeniezerowea,b I(R)sąrównoważne(ozn.A B) jeśliistniejątakieniezeroweideałygłównei,j I(R),żeAI=BJ.Jesttorelacjarównoważności. Zbiór klas tej równoważności tworzy monoid ze względu na mnożenie klas indukowane z mnożenia ideałów z obustronną jedynką utworzoną przez klasę ideałów głównych. Na półgrupę można patrzeć dwojako: z jednej strony jako na niezwykle ubogą i ogólną strukturę algebraiczną; z drugiej zaś: jako na naturalne uogólnienie dobrze znanego(i historycznie rzecz biorąc wcześniej uznanego za istotne dla matematyki) pojęcia grupy. Jak pokażemy, choć obydwie te intuicje pojęcia półgrupy mają naturalne potwierdzenie we własnościach tej struktury, nie są one bynajmniej ze sobą zgodne. W dalszej części referatu postaramy się ukazać fundamentalne różnice strukturalne pomiędzy półgrupami i grupami. W tej chwili wskażemy jedynie kilka faktów motywujących takie postępowanie. Aby zobaczyć jak daleko może leżeć teoria grup od teorii półgrup, wystarczy spojrzeć na następującą tabelkę: n Liczba grup Liczba półgrup 1 1 1 2 1 4 3 1 18 4 2 126 5 1 1160 6 2 15973 7 1 836021 8 5 1843120128 9 2???>50000000000000 Możnazniejodczytaćilejest,zdokładnościądoizomorfizmu,gruprzędówn,1 n 9orazilejest, z dokładnością nie tylko do izomorfizmu, ale też do antyizomorfizmu, półgrup rzędu n. Do dziś nie wiemy ilejestpółgruprzędu9...wynikidotycząceilościpółgruprzędu7i8pochodzązlat90.xxwieku. To zestawienie pozwala przypuszczać, że uzyskiwanie jakichkolwiek ogólnych twierdzeń podobnych do klasyfikacji skończonych grup prostych, może być w przypadku półgrup niemożliwe. Przykład 3(Półgrupy rzędu 4) Oto tabelki działań dla czterech możliwych(z dokładnością do izomorfizmu i antyizomorfizmu) półgrup: x x x x x x x x y x x y y x x y y y y y y y y x Kolejne dwie naturalne różnice pomiędzy półgrupami i grupami wynikają z możliwości istnienia w półgrupach takich elementów jak: zera, jednostronne zera, jednostronne jedynki. Dla przykładu:

Przykład 4(Półgrupa z zerowym mnożeniem) Na dowolnym zbiorze X można określić działanie, któredowolnymdwómelementomx,y Xprzypiszejedenzgóryustalonyelements X(zerowe mnożenie). Jest to półgrupa z zerowym mnożeniem. Można też inaczej: Przykład5(Półgrupalewostronnychzer)BierzemydowolnyzbiórSidlas,t Składziemyst= s.dlax,y,z Smamy: (xy)z=yz=z=yz=x(yz), zatem zbiór ten jest półgrupą. Zauważmy, że daje to półgrupę dowolnego rzędu nie będącą grupą. Analogicznie definiujemy półgrupę prawostronnych zer. Obydwie te półgrupy są szczególnym przypadkiem następujących półgrup: niech A, B będą zbiorami niepustymi. Wówczas na produkcie A B można określić strukturę półgrupy przy pomocy następującego działania: (a 1,b 1 ) (a 2,b 2 )=(a 1,b 2 ), a 1,a 2 A,b 1,b 2 B. W przypadku, gdy B = 1, mamy półgrupę izomorficzną z półgrupą lewostronnych zer. Analogicznie dla półgrupy prawostronnych zer w przypadku, gdy A = 1. JeżelipółgrupaSniemazera,zawszemożnajesztuczniedodać.Definiujemy:S 0 =S {θ},gdzie dlakażdegos Smamysθ=θs=θ.PodobniemożnauzupełnićpółgrupęSdomonoiduS 1. Pógłrupa może mieć również jednostronne jedności. W następnym rozdziale referatu przyjrzymy się szczególnemu typowi półgrup o tej własności tzw. półgrupom bicyklicznym. Na zakończenie tej części odnotujmy interesujący fakt, który opisuje algebry, które rozważane jako półgrupy z mnożeniem algebrowym mają jedynie jednostronną jedynkę: Twierdzenie1JeżelialgebraAmatęwłasność,żedlapewnychdwóchelementówf,g Amamy: fg=1,gf 1,tojestonanieskończeniewymiarowaizawieraonanieskończony,przeliczalnyzbiór jedynek macierzowych. Wymieniliśmy kilka wyraźnych różnic pomiędzy ogólnym pojęciem półgrupy a pojęciem grupy. Aby móc przybliżyć się nieco do tych ostatnich wprowadza się namiastkę odwracalności w półgrupie. Definicja5Elementx Sjestregularny,jeśliistniejetakiey S,żexyx=x. Oczywiście, gdyby S było grupą, wówczas warunek regularności spełniony byłby dla każdego jej elementu. W przypadku półgrup nie każdy element musi być regularny. Co więcej, nawet jeśli każdy element jest regularny(wtedy półgrupę nazywamy regularną), daleko jeszcze do grup. Nietrudno pokazać, że pełnagrupatransformacjit X jestregularna.abyjeszczebardziejzbliżyćsiędogrup,wprowadzasiępojęcie odwrotności półgrupowej: Definicja6Elementyx,y Snazywamywzajemnieodwrotnymi,jeślixyx=xorazyxy=y. Jeśli każdy element półgrupy ma swoją odwrotność półgrupową, wówczas mówimy o półgrupach odwracalnych. Oczywiście każda grupa jest półgrupą odwracalną. Wprowadzenie pojęć regularności i odwracalności znacznie ułatwia opis strukturalny półgrup. Nie będziemy wdawać się w szczegóły. Aby dać jednak pewien posmak podobieństwa istniejącego pomiędzy grupami a półgrupami odwracalnymi, na zakończenie podamy następujący odpowiednik tw. Maschke(algebra III):

Twierdzenie 2 Niech S będzie skończoną i odwracalną półgrupą, zaś K ciałem. Wówczas algebra półgrupowa K[S] jest półprosta wtedy i tylko wtedy gdy charakterystyka K jest równa 0 lub jest liczbą pierwszą nie będącą dzielnikiem rzędu żadnej z podgrup właściwych S. 2 Półgrupy cykliczne i bicykliczne. Półgrupa wolna i prezentacja. Zacznijmy od dwóch niezbędnych pojęć: Definicja 7(Podpółgrupa) Niech S będzie półgrupą, zaś zbiór X będzie dowolnym niepustym podzbiorem S. Jeżeli X jest zamknięty ze względu na działania indukowane z S, wtedy nazywamy go podpółgrupą X,ozn.X S. Definicja 8(Podpółgrupa generowana przez zbiór) Niech S będzie dowolną półgrupą i niech X będzie dowolnym niepustym podzbiorem X. Niech X będzie przecięciem wszystkich podpółgrup S zawierających X. Wtedy X jest podpółgrupą i nazywamy ją podpółgrupą generowaną przez X. Łatwo pokazać, że podpółgrupa generowana przez X składa się ze wszystkich napisów skończonej(i niezerowej) długości, złożonych z liter pochodzących ze zbioru X. Naszym celem w tym rozdziale będzie sklasyfikować wszystkie grupy postaci: S= a, S= a,b ab=1. WpierwszymprzypadkumamydorozważeniapółgrupęcyklicznąS= a ={a n n N}.Podobnie jakwprzypadkugrup,możliwyjestprzypadek,gdydlakażdychm,n Nmamya n a m.wtedy nasza półgrupa jest izomorficzna z(n, +). Ciekawszy jest zdecydowanie przypadek, gdy dla pewnych m, n równość jednak zachodzi. Podobnie jak w przypadku grup implikuje to, że taka półgrupa cykliczna a musijużbyćskończona.istotnie,jeślia n =a m,n>m a k(n m)+r =a m+r,0 r n m. W szczególności półgrupa nie zawiera więcej niż n elementów. Łatwo też wyznaczyć strukturę półgrupy cyklicznej rzędu n. Nie jest ona jednoznaczna. Istnieje dokładnie n różnych półgrup cyklicznych rzędu n (inaczej niż w przypadku grup). Istotnie, niech dla a liczba x będzie najmniejszą taką liczbą naturalną, żeistniejepewne0<y<x,żea y =a x.naszapółgrupajestzatemxelementowaiwzależnościod wyboru y ma jedną z x postaci(zrobić rysunek...). Łatwo pokazać, że żadne dwie nie są izomorficzne (istnieją różnej długości cykle ). Przykład6WyznaczmystrukturępodpółgrupycyklicznejwT 7 generowanejprzez: ( 1234567 2345675). Przyjrzyjmy się teraz monoidowi bicyklicznemu zadanemu prezentacją: a, b ab = 1. Nie wzgłębiając się na razie w formalną strukturę tej konstrukcji, powiedzmy po prostu, że rozważana półgrupa składa się ze wszystkich skończonych napisów złożonych z liter a, b z mnożeniem będącym konkatenacją napisów. Dodatkowo zakładamy, że napis ab możemy zawsze zastąpić przez 1. Okazuje się, że każdy element tej półgrupymożnaprzedstawićjednoznaczniewpostacib i a j,i,j 0.Operacjaskładaniamanastępującą postać: Dowód: Na zajęciach. Łatwe. (b i a j )(b k a l )=b i j+max(j,k) a l k+max(j,k).

Łatwo zatem widzieć, że grupa bicykliczna jest izomorficzna z N N z następującym mnożeniem: (i,j)(k,l)=(i j+max(j,k),l k+max(j,k)). 3 Kilka słów o strukturze półgrup skończonych... Badanie struktury półgrup bardziej przypomina swoimi metodami teorię pierścieni niż teorię grup. Odbywa się ono za pomocą znanego pojęcia ideału: Definicja9PodzbiórI SnazywamyideałemlewostronnymwpółgrupieSjeśliSI={si,s S,i I}. Analogicznie definiujemy ideał prawostronny i obustronny półgrupy S. Możnawykonywaćilorazypółgrupprzezideały.Sątotzw.ilorazyReesaR\I {θ}zestrukturą mnożenia: ab, ab/ I ab=. θ, ab I Zauważmy, że w grupach nie ma nietrywialnych ideałów. Może się to wydać zagadkowe. Możnaby zapytać co jest zatem w przypadku półgrup swego rodzaju odpowiednikiem podgrup normalnych. Są to tzw. kongruencje, o których nie będziemy tu wiele mówić... Najprostszą jednostką strukturalną w przypadku półgrup skończonych będą tzw. półgrupy 0- proste. Definicja 10 Półgrupę nazywamy prostą, gdy nie ma ona nietrywialnych ideałów. Półgrupę S nazywamy 0-prostąwtwgdykażdyjejideałto{0}lubSorazS 2 0(awięcniemaonazerowegomnożenia). Z ogólnej teorii półgrup wynika, że półgrupy 0- proste stanowią fundament struktury każdej półgrupy. Okazuje się, że półgrupy te mają bardzo ciekawą postać, o której opowiemy teraz nieco więcej. Definicja 11(Półgrupa macierzowa Reesa) Dana jest grupa G, dwa niepuste zbiory X, Y(można o nichmyślećjakozbiorachskończonych,choćniejesttokonieczne),orazmacierzpowymiarachy X oelementachzg.jesttowięcfunkcjay X Gdanawzorem(y,x) p yx.rozważamterazzbiór G X Y iwprowadzamnanimnastępującemnożenie: (g,x,y) (g,x,y )=(gp yx g,x,y ). JesttopółgrupaioznaczamyjąjakoM(G,X,Y,P). Jakrozumiećtakutworzonąstrukturę?Wyobraźmysobie,żeelement(g,x,y) Sjestmacierząo wymiarachx Y,którejjedynymniezerowymmiejscemjestmiejscewkolumnieyirzędziexinatym miejscu stoi element g. Co oznacza mnożenie w naszej półgrupie? Jeśli weźmiemy dwie macierze A, B odpowiadającepewnym(g,x,y),(g,x,y ),tomamy: A B=APB. Zauważmy kilka przypadków szczególnych: JeślizbioryX,Y sąjednoelementowe,wówczaspółgrupam(g,x,y,p)jestizomorficznazgrupą G. Jeśli grupa G jest trywialna wtedy dostajemy półgrupę z przykładu(tzw. rectangular band).

Jeśli grupa G i zbiór Y są trywialne, wówczas dostajemy półgrupę lewych zer. Jeśli grupa G i zbiór X są trywialne, wówczas dostajemy półgrupę prawych zer. CzęstozamiastGrozważasięgrupęrozszerzonąo0,awięcG 0 iutożsamiasięwswszystkieelementy postaci(0,x,y).wtedydostajemytzw.półgrupęm 0 (G 0,X,Y,P). Przykład7PółgrupaM 0 ({1} 0,n,n,Id)topółgrupajedynekmacierzowychzzerem. Okazujesię,żeoilemacierzPniemaniezerowychwierszylubkolumn,wówczaspółgrupaM(G,X,Y,P) jestprosta,zaśpółgrupam 0 (G 0,X,Y,P)jest0-prosta.Inaodwrót,okazujesię,żekażdaskończona grupa 0- prosta może być zapisana jako półgrupa typu macierzowego(nieskończona też może być, ale tu trzeba dodać tzw. warunek całkowitej 0- prostoty). Jest to podstawowe twierdzenie teorii półgrup: tzw. twierdzenie Reesa- Sushkevicha. Literatura [1] HOWIE J.M.: An introduction to semigroup theory, Londyn(1976). [2] GRILLET P.A: Semigroups. An introduction to the structure theory, CRC Press(1995). [3] MITCHELL J.D.: Semigroup theory. Course notes, Univ. Saint Andrews, Szkocja(2008). [4] MURGEL P.V.: On group and semigroup algebras, praca doktorska dostępna online: www.impa.br/opencms/pt/ensino/downloads/teses de doutorado/teses 2006/paula murgel.pdf (2006).