MODELOWANIE INŻYNIERKIE IN 896-77X 4, s. 5-3, Gliwice HIPERBOLICZNE CECHY ATRAKTORÓW UKŁADÓW AMOWZBUDNYCH ANDRZEJ TEFAŃKI, JERZY WOJEWODA, AGNIEZKA CHUDZIK, TOMAZ KAPITANIAK Katedra Dynamiki Maszyn, Politechnika Łódzka e-mail: steve@p.lodz.pl, wojewoda@ p.lodz.pl, achudzik@ p.lodz.pl, tomaszka@ p.lodz.pl treszczenie. Tematem niniejszego artykułu jest porównawcze zestawienie typowych cech tzw. atraktora hiperbolicznego (lub quasi-hiperbolicznego) z własnościami atraktora klasycznego ciernego oscylatora samowzbudnego z dodatkowym zewnętrznym napędem harmonicznym. Zaprezentowana analiza pokazuje, że główną wspólną cechą obu tych atraktorów jest ich stateczność strukturalna (mimo ich chaotycznego charakteru), która objawia się niską wrażliwością dynamiki układu oraz struktury przestrzeni fazowej na zmiany (przynajmniej niewielkie) parametrów równań różniczkowych.. WPROWADZENIE Na przestrzeni ostatnich kilku dziesięcioleci wśród naukowców z różnych dziedzin, znacznie wzrosło zainteresowanie teorią nieliniowych układów dynamicznych oraz chaosem deterministycznym. Zaowocowało to przeniknięciem dynamiki nieliniowej do innych obszarów badawczych, w których dotąd nie miała ona zastosowania, jak np. biologia, ekonomia, chemia, a nawet mechanika kwantowa. Jednym z bardziej interesujących aspektów matematycznej teorii chaosu jest koncepcja hiperboliczności [,,4,,4]. Według istniejących definicji [] chaotyczny atraktor hiperboliczny, a ściślej mówiąc jednorodnie hiperboliczny, składa się wyłącznie z orbit typu siodłowego, gdzie kierunki stateczny i niestateczny są jednoznacznie zdefiniowane (rys. a). Ponadto rozmaitości stateczna i niestateczna są tego samego wymiaru i nie są styczne do siebie w przestrzeni fazowej (rys. b), czyli przecinają się tylko transwersalnie. Własności te powodują, że atraktor hiperboliczny jest stateczny strukturalnie (mimo chaotycznego charakteru), co objawia się niską wrażliwością dynamiki układu oraz struktury przestrzeni fazowej na zmiany (przynajmniej niewielkie) parametrów równań różniczkowych. Możliwe jest również istnienie tzw. atraktorów quasi-hiperbolicznych, które niejako słabiej spełniają matematyczne kryteria hiperboliczności []. Istnienie hiperbolicznych atraktorów w układach mechanicznych zostało dotąd częściowo potwierdzone (jest to tylko dosyć mocne przypuszczenie) w jednym przypadku [6,7] (patrz rozdz. ), lecz rozwiązanie to jest nieprzydatne w kontekście zastosowań. Jednak szczegółowa analiza numeryczna klasycznego ciernego oscylatora samowzbudnego z napędem harmonicznym (rys. 5) wykazała stateczność strukturalną odpowiedzi w pewnych zakresach ruchu chaotycznego, podobnie jak w przypadku typowego rozwiązania
6 A. TEFAŃKI, J. WOJEWODA, A. CHUDZIK, T. KAPITANIAK hiperbolicznego. Rozwiązanie to wydaje się mieć również znaczenie z punktu widzenia realnej praktyki inżynierskiej. Oscylator pokazany na rys. 5 modeluje wiele rzeczywistych procesów dynamicznych oraz urządzeń inżynierskich. Drgania samowzbudne wywołane tarciem suchym pojawiają się w wielu, jeśli nie we wszystkich, układach/konstrukcjach mechanicznych kołach, hamulcach, zaworach, cylindrach, łożyskach, przekładniach itp. Najczęściej zjawisko to jest postrzegane jako niekorzystne, ponieważ jego skutkiem jest wzrost zużycia materiałów części maszyn. Urządzenia takie mogą się zachowywać nieregularnie i chaotycznie ze względu na silną nieliniowość związaną z tarciem. Jednak strukturalna stateczność atraktora takiego układu czyni go niewrażliwym na zakłócenia zewnętrzne i drobne zmiany parametrów, a więc może być traktowana jako korzystne zjawisko stabilizujące pracę oscylatora w zakresach ruchu chaotycznego. (a) (b) Rys.. Hiperboliczna orbita siodłowa (punkt P na mapie Poincaré) wraz z jej rozmaitościami stateczną s oraz niestateczną u (a) oraz przypadek styczności tych rozmaitości w przestrzeni fazowej (b). W kolejnym rozdziale przedstawiono zwięzły literaturowy przegląd atraktorów hiperbolicznych i quasi-hiperbolicznych. Rozdział trzeci zawiera analizę stateczności strukturalnej atraktora wymuszanego oscylatora samowzbudnego z tarciem Coulomba. W ostatnim rozdziale zaprezentowano dyskusję przeprowadzonej analizy oraz wnioski końcowe i kierunki dalszych badań.. ATRAKTORY HIPERBOLICZNE I QUAI-HIPERBOLICZNE Najbardziej znane przykłady jednorodnie hiperbolicznych atraktorów to sztuczne matematyczne konstrukcje w postaci odwzorowań danych równaniami różnicowymi, np. solenoid male a-williamsa (-W solenoid pokazany na rys. a) lub atraktor Płykina (rys. b) [-3,4,5]. Wydaje się, że matematyczna teoria hiperbolicznego chaosu nie została z sukcesem zastosowana do realnego obiektu fizycznego, pomimo że koncepcje tej teorii są szeroko używane w celu interpretacji zachowań chaotycznych rzeczywistych układów nieliniowych. Jednak takich układów o złożonej dynamice, np. wymuszane oscylatory typu Duffinga, model Rösslera itp., nie można zaliczyć do kategorii układów hiperbolicznych [,]. Zwykle ruch chaotyczny obserwowany w takich układach ma związek z istnieniem tzw. quasi-atraktora (zwanego czasem również pseudoatraktorem), gdzie chaotyczne trajektorie typu siodłowego koegzystują ze statecznymi orbitami okresowymi o wysokiej okresowości. W układach fizycznych brak hiperboliczności jest często maskowany
HIPERBOLICZNE CECHY ATRAKTORÓW UKŁADÓW AMOWZBUDNYCH 7 obecnością szumu. W kilku przypadkach, np. model Lorenza [] czy odwzorowanie Henona [5] (rys. c), dla pewnych odpowiednich wartości parametrów wykazuje znamiona tzw. quasihiperboliczności, co oznacza, że w takich przypadkach typowe kryteria hiperboliczności nie są spełnione we wszystkich szczegółach []. Znaczącą pozycją w tej tematyce jest również praca hilnikowa i Turaeva [4], gdzie rozważane są możliwe mechanizmy bifurkacyjne prowadzące do narodzin atraktora hiperbolicznego. W literaturze problemu można również znaleźć kilka prac traktujących o przykładach jednorodnie hiperbolicznej dynamiki układów opisanych równaniami rózniczkowymi (potoków fazowych). W pracy [6] autorzy (Hunt i MacKay) przedstawiają nawet specyficzny układ złożony z trzech połączonych mimośrodowo dysków (ang. triple linkage), którego analiza pozwala przypuszczać, że posiada on atraktor hiperboliczny. W innej pracy Hunta [7] można znaleźć propozycję skonstruowanego sztucznie trójwymiarowego potoku fazowego, którego mapa Poincaré jest atraktorem typu Płykina. Niestety ten przykład jest zdecydowanie zbyt skomplikowany by zrealizować go w formie stanowiska doświadczalnego. Podobny atraktor typu Płykina został również zidentyfikowany w układzie opisującym dynamikę neuronów [3]. (a) (b) (c) Rys.. Jednorodnie hiperboliczne atraktor Płykina (a) oraz quasi-hiperboliczne odwzorowanie Henona (b).
8 A. TEFAŃKI, J. WOJEWODA, A. CHUDZIK, T. KAPITANIAK (a) (b) Rys. 3. Portret fazowy (a) oraz mapa Poincaré (b) atraktora układu (). Jednak znaczący postęp w poszukiwaniu hiperboliczności w układach fizycznych dokonał się dopiero w ostatnich latach za sprawą prac Kuzniecowa i jego zespołu [8,9]. Zaprojektowali oni prosty przykład nieautonomicznego potoku fazowego, w którym w widoczny sposób pojawia się dziwny, hiperboliczny atraktor. Model ten może zostać wykonany jako rzeczywisty obwód elektroniczny. kłada się on z dwóch oscylatorów typu Van der Pola sprzężonych w sposób opisany następującymi równaniami: & = ω, & y& = ω + y& = ω y = ω y + [ Acos(πt / T) ] + ( ε / ω ) y cos( ω t), [ Acos(πt / T ) y ] y + ( ε / ω ). () Rys. 4. Największy wykładnik Lapunowa λ układu () w funkcji parametru A. Portret fazowy oraz mapa Poincaré układu () przedstawione są na rys. 3. Mapa Poincaré tego układu (rów. ) jest atraktorem tego samego typu co -W solenoid (rys. a), choć osadzonym w czterowymiarowej, a nie jak -W solenoid w trójwymiarowej, przestrzeni fazowej. Natomiast rys. 4 obrazuje przebieg największego wykładnika Lapunowa układu () w funkcji jednego z jego parametrów. Widać, że wartość tego wykładnika utrzymuje względnie stałą wartość w całym zakresie zmian parametru, co świadczy o stateczności strukturalnej atraktora układu ().
HIPERBOLICZNE CECHY ATRAKTORÓW UKŁADÓW AMOWZBUDNYCH 9 3. CIERNY OCYLATOR AMOWZBUDNY Z WYMUZENIEM KINEMATYCZNYM W poszukiwaniu rzeczywistych układów mechanicznych wykazujących własności hiperboliczne lub podobne do nich, rozważmy typowy mechaniczny oscylator samowzbudny []. Oscylator ten składa się z masy umieszczonej na poruszającym się ze stałą prędkością pasie transportowym, połączonej za pomocą sprężyny z działającym na nią zewnętrznym wymuszeniem harmonicznym, jak pokazano na rys. 5. Dynamika takiego układu jest opisana za pomocą następującego równania różniczkowego drugiego rzędu: m&& = k( U cosωt) + εfn fcsign( v), () gdzie zastosowano następujące oznaczenia: m masa analizowanego oscylatora [kg], k sztywność sprężyny [N/m], Ω częstość wymuszenia [s - ], U amplituda wymuszenia [m], F N siła docisku wymuszenia [N], v =& v B prędkość masy względem pasa [m/s], v B prędkość pasa [m/s], f C współczynnik tarcia kinetycznego (Coulomba) [-]. Natomiast ε to bezwymiarowa stała pozwalająca na sterowanie siłą docisku normalnego, w symulacjach przyjęto ε =.. Rys. 5. Oscylator samowzbudny z wymuszeniem harmonicznym. Przejście z fazy styku do poślizgu i odwrotnie są określane poprzez monitorowanie wartości siły przywracającej oraz maksymalnej wartości siły tarcia statycznego. Wystąpienie fazy przywierania jest opisane następującą nierównością: k ( ( t) U ( t) ) < εf f N, (3) gdzie f to współczynnik tarcia statycznego. Rys. 6. Portret fazowy oraz mapa Poincaré układu (); F N /k = 4.7; λ =.5.
3 A. TEFAŃKI, J. WOJEWODA, A. CHUDZIK, T. KAPITANIAK (a) (b) Rys. 7. Wykres bifurkacyjny układu () w trójwymiarowej perspektywie (a) oraz przebieg największego wykładnika Lapunowa (b) w tym samym przedziale parametru kontrolnego (F N /k). Wprowadzając: ω = k m (częstość drgań własnych), = F N /k (ugięcie statyczne), a następnie dzieląc równanie () przez iloczyn k, otrzymujemy następujący układ równań różniczkowych I-go rzędu: & =, gdzie: τ = ωt, =, & & 3 Ω η =, ω = = η, u + u U = cos d d = = dτ dτ ω, ( ) + εf sign() v, 3 v =, C ( v & ) 3 B = ητ, ω &, d = dt ω (4) to bezwymiarowe parametry i zmienne. Podczas fazy styku równania (4) redukują sie do postaci: & = v & =, & =., 3 η (5) gdzie v = v B /ω to bezwymiarowa prędkość pasa. We wszystkich obliczeniach numerycznych przyjęto następujące wartości parametrów: v B =. [m/s], U =.5 [m], η =.969, f =.4, f C =.5. Natomiast = F N /k to zmienny parametr bifurkacyjny. Wyniki tych obliczeń zaprezentowano na rys. 6 oraz 7. Widzimy, że mapa Poincaré, pokazana na tle portretu fazowego na rys. 6, układa w zamkniętą krzywą, co jest charakterystyczne dla regularnych systemów quasi-okresowych (atraktor w formie dwuwymiarowego torusa). Jednak w tym przypadku torus jest zdeformowany przez nieciągłość w fazie styku, a mapa ta ma strukturę zbioru Cantora, co wskazuje na ruch chaotyczny (dodatni dominujący wykładnik Lapunowa). Na rys. 7a widzimy wykres bifurkacyjny w perspektywie trójwymiarowej, która pozwala zaobserwować niewrażliwość struktury tego wykresu na zmiany parametru w zakresie chaotycznym (nakładające się mapy Poincaré zrzutowane na dolną poziomą płaszczyznę fazową). Natomiast na rys. 7b widzimy
HIPERBOLICZNE CECHY ATRAKTORÓW UKŁADÓW AMOWZBUDNYCH 3 przebieg największego wykładnika Lapunowa w tym samym przedziale parametru kontrolnego F N /k. Obliczanie wykładników Lapunowa układu z nieciągłością spowodowaną tarciem wymaga zastosowania algorytmów numerycznych umożliwiających przejście przez zaburzenie trajektorii w postaci nieciągłości charakterystyki tarcia przy zerowej wartości prędkości względnej. W rozpatrywanym przypadku wykładnik ten został oszacowany przy pomocy synchronizacyjnej metody estymacji wykładników Lapunowa, która została wcześniej opracowana przez autorów [6,7]. 4. PODUMOWANIE I WNIOKI Na podstawie przedstawionych w rozdziale własności atraktorów hiperbolicznych oraz analizy numerycznej ciernego oscylatora samowzbudnego (rozdz. 3) możemy stwierdzić, że najprawdopodobniej oscylator ten nie jest układem hiperbolicznym w sensie klasycznej teorii jednorodnej hiperboliczności z powodu nieciągłości, ponieważ w fazie styku następuje degeneracja struktury przestrzeni fazowej. Owa deformacja prowadzi do ruchu chaotycznego na torusie w pewnych zakresach parametrów oscylatora (). Ruch chaotyczny na klasycznym dwuwymiarowym torusie jest niemożliwy w świetle twierdzenia Poincaré-Bendiona [3]. Jednak w rozpatrywanym przypadku twierdzenie to nie ma zastosowania ze względu na nieciągłość przyleganie-poślizg. Mapy w postaci domykających się pętli (rys. 6) o strukturze fraktalnej są typowe dla układów z atraktorami hiperbolicznymi (rys. a, 3b). Rozmaitość niestateczna punktów siodłowych ma wtedy kierunek styczny do zarysu mapy, natomiast kierunek stateczny jest w przybliżeniu do niej prostopadły. Kolejną wspomnianą cechą atraktorów hiperbolicznych jest ich stateczność strukturalna przy zmianach parametru, co powoduje, że również dodatni wykładnik Lapunowa jest mało wrażliwy na te zmiany (rys. 4). Podobną własność możemy zaobserwować również w rozważanym układzie na rys. 7a i 7b. Łatwo zauważyć, że największy wykładnik Lapunowa nie zmienia się znacząco (oscyluje wokół wartości.5 na rys. 7b) w badanym zakresie ruchu chaotycznego, co można powiązać ze statecznością struktury torusa obserwowaną na rys. 7a. Zatem te wyniki stanowią pewne przesłanki do stwierdzenia, że rozpatrywany atraktor oscylatora ciernego () posiada cechy podobne do własności atraktora hiperbolicznego lub przynajmniej quasi-hiperbolicznego. Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 8- w ramach projektu badawczego nr N N5 834. LITERATURA. Afraimovich V.., Bykov V. V., hilnikov L. P.: Dokłady Akademii Nauk 977, 34, s. 336.. Anishchenko V.., Astakhov V. V., Neiman A. B., Vadisova T. E., chimansky-geier L.: Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems. Berlin, Heidelberg : pringer Verlag,. 3. Belykh V., Belykh I., Mosekilde E.: Hyperbolic Plykin attractor can eist neuron models. International Journal of Bifurcation and Chaos 5, 5, 3567. 4. Eckmann J.-P., Ruelle D.: Ergodic theory of chaos and strange attractors. Review of Modern Physics 985, 57, 67. 5. Henon M.: A two dimensional map with a strange attractor. Commun. Math. Phys. 976, 5, 69-75.
3 A. TEFAŃKI, J. WOJEWODA, A. CHUDZIK, T. KAPITANIAK 6. Hunt T. J., MacKay R..: Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor. Nonlinearity 3, 6, 499. 7. Hunt T. J.: PhD thesis, University of Cambridge,. 8. Kuznetsov. P.: Eample of a Physical ystem with a Hyperbolic Attractor of the male- Williams Type, Physical Review Letters 95, 5, 44. 9. Kuznetsov. P., ataev I. R.: Hyperbolic attractor in a system of coupled nonautonomous Van der Pol oscillators: Numerical test for epanding and contracting cones. Physics Letters A, 365, 7, 97-4.. Lorenz E.N.: Deterministic nonperiodic flow. J. Atmospheric ciences 963, (), 3-4.. Ott E.: Chaos in dynamical systems. Cambridge: University Press, 993.. Popp K. and telter P.: Non-linear oscillations of structures induced by dry friction. In: Non-linear Dynamics in Engineering ystems 99, ed. W. chiehlen, pringer, New York. 3. chuster H.G.: Chaos deterministyczny. Warszawa : Wyd. Nauk. PWN, 993. 4. hilnikov L. P., Turaev D. V.: Dokłady Akademii Nauk 995, 34, 596. 5. male.: Differentiable dynamical systems. Bulletin of the American Mathematical ociety 967, 73, p. 747-87. 6. tefański A., Kapitaniak T.: Estimation of the dominant Lyapunov eponent of nonsmooth systems on the basis of maps synchronization. Chaos olitons & Fractals 5, 3, 33-44. 7. Wojewoda J., tefański A., Wiercigroch M., Kapitaniak T.: Estimation of Lyapunov eponents for a system with sensitive friction model. Archive of Applied Mechanics 9, 79, 667-677. HYPERBOLIC PROPERTIE OF ATTRACTOR OF ELF-EXCITED YTEM ummary. The theme of this paper is a comparative summary of typical characteristics of so-called hyperbolic attractor (or quasi-hyperbolic) with the properties of attractor of classical self-ecited friction oscillator with an additional eternal harmonic drive. The presented analysis shows that the main common feature of these attractors is their structural stability (in spite of their chaotic nature), which is manifested by a low sensitivity of system dynamics and structure of the phase-space for changes of parameters (at least modest) in differential equations.