Przedziały ufości dr Alia Semrau-Giłka
Co to jet przedział ufości? Przedział ufości loowy przedział mający tę właość, że z dużym, z góry zadaym prawdopodobieńtwem, pokrywa wartość zacowaego parametru 𝜃. Zapiujemy go zwykle w potaci 𝑃 𝑎 < 𝜃 < 𝑏 = 1 𝛼, gdzie 𝑎 i 𝑏 ą końcami przedziału ufości, a prawdopodobieńtwo 1 𝛼 jet z góry zadae i określae wpółczyikiem ufości. Wpółczyik ufości prawdopodobieńtwo z jakim parametr 𝜃 jet pokryty przedziałem ufości. W praktyce wybiera ię go jako dowolie duże prawdopodobieńtwo. Najczęściej 0,9, 0,95, 0,99 (odpowiedio dopuzczamy, że 10, 5, 1 a 100 przedziałów ie pokryje iezaej wartości). Im bliżzy 1 jet wpółczyik ufości, tym zerzy (więc o miejzej użyteczości) otrzymuje ię przedział ufości. Dlatego też ie ależy przyjmować zbyt wyokich wartości wpółczyika ufości.
Przedziały ufości dla średiej Model I. Cecha populacji geeralej ma rozkład 𝑁 𝑚, 𝜎, wartość średia 𝑚 jet iezaa, a odchyleie tadardowe 𝜎 jet zae. Wtedy przedział ufości dla średiej 𝑚 ma potać 𝜎 𝜎 𝑃 𝑥 𝑢1 𝛼 < 𝑚 < 𝑥 + 𝑢1 𝛼 = 1 𝛼, 𝑛 𝑛 1 gdzie 𝑥 = 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 jet średią arytmetyczą z próby, a 𝑢𝛼 jet wartością wyzaczoą 𝛼 z tablic dytrybuaty rozkładu ormalego 𝑁(0,1) taką, że Φ(𝑢1 𝛼 ) = 1. 3
Model II. Cecha populacji geeralej ma rozkład N m, σ. Wartość średia m oraz odchyleie tadardowe σ ie ą zae. Mała próba o liczości < 100. Wtedy przedział ufości dla średiej m ma potać P x t α, 1 1 < m < x + t α, 1 lub rówoważie 1 = 1 α P x t α, 1 < m < x + t α, 1 = 1 α, gdzie x jet średią arytmetyczą z próby, a i ą odchyleiami tadardowymi z próby liczoymi ze wzorów = 1 i=1 (x i x ), = 1 1 i=1 (x i x ). t α, 1 jet wartością wyzaczoą z tablic rozkładu t Studeta dla 1 topi wobody. 4
Model III. Cecha populacji geeralej ma rozkład N m, σ bądź dowoly iy, wartość średia m i odchyleie tadardowe σ ą iezae. Liczebość próby jet duża (więkza od 100, co ajmiej kilka dzieiątek). Wtedy przedział ufości dla średiej m ma potać P x u 1 α < m < x + u 1 α = 1 α lub rówoważie P x u 1 α < m < x + u 1 α = 1 α. 5
Przykład: Stacja paliw przedała 1603 litrów bezyy bezołowiowej w ciągu 16 loowo wybraych di. Załóżmy, że dziea ilość przedawaej bezyy bezołowiowej ma rozkład ormaly o tadardowym odchyleiu σ = 10 (litrów). Skotruować przedział ufości dla średiej dzieej przedaży bezyy bezołowiowej a poziomie ufości 1 α = 0,98. Jet to zadaie dla modelu I. Mamy: 16 x i i=1 Stąd = 1603, = 16, σ = 10, α = 0,0. x = 1603 16 = 100, 1 α = 0,99, u 0,99 =,33. Zatem 98%-owy przedział ufości dla m ma potać 100,33 10 10 ; 100 +,33 16 16 = 93,1; 1071,9. 6
Przykład: Zaotowao czay obługi przy okieku kaowym (w miutach) 6 loowo wybraych klietów pewego baku. Obliczoo średią z próby x = 3,5 oraz wariację z próby = 0,81 (mi ). Zaleźć 98%-owy przedział ufości dla średiego czau obługi m, jeśli moża założyć, że cza obługi klieta przy okieku kaowym ma rozkład ormaly. Jet to zadaie dla modelu II. Mamy: Z tablic t α, 1 = t 0,0, 5 =,485. x = 3,5, = 0,81 = 0,9 = 6. Zatem 98%-owy przedział ufości dla m ma potać x t α, 1 ; x + t α, 1 = 3,5,485 0,9 5 ; 3,5 +,485 0,9 5 = (3,057; 3,9473). 7
Przedziały ufości dla wkaźika truktury Nie zawze badaie tatytycze jet prowadzoe ze wzglądu a cechę mierzalą (p. dziea ilość przedawaej bezyy, zawartość ikotyy w paczkach papieroów pewego gatuku, cza obługi przy okieku kaowym, temperatura o godziie 1.00 w Krakowie). Czaami badaa cecha ma charakter iemierzaly, jakościowy (p. wadliwość daej partii towaru, wykoaie bądź też ie ormy wydajości pracy, poiadaie bądź też ie ałogu paleia papieroów), to zamiat wartości liczbowej badaej cechy z takiego badaia uzykujemy jedyie iformację o tym czy day elemet badaej populacji geeralej ma badaą wyróżioą cechę jakościową czy ie. Podtawowym parametrem populacji, zacowaym w przypadku badań tatytyczych ze względu a cechę iemierzalą jet frakcja (tz. ułamek lub po przemożeiu przez 100 procet) elemetów wyróżioych w populacji, zway też wkaźikiem truktury w populacji. Ozaczamy go zwykle ymbolem 𝑝 (ie mylić tego ymbolu z prawdopodobieńtwem jakiegoś zdarzeia loowego). 8
Model I. Cecha populacji geeralej ma rozkład dwupuktowy z parametrem p. Próba o iewielkiej liczości. Wtedy przedział ufości dla wkaźika truktury p ma potać P f 1 (k,, α) < p < f (k,, α) = 1 α, gdzie k ozacza liczbę wyróżioych elemetów próby, a f 1 i f ą wartościami odczytywaymi z gotowych tablic (a dwóch atępych lajdach). Będziemy poługiwać ię takimi tablicami dla 1 α = 0,95. Przykład: Z partii towaru pobrao loowo 0 ztuk i wśród ich zaoberwowao ztuki wadliwe. Podać 95%-ową realizację przedziału ufości dla frakcji ztuk wadliwych całej partii towaru. Z tablic dla k =, k = 18 i 1 α = 0,95 mamy f 1 = 0,01, f = 0,317. Zatem 95%-ową realizacją przedziału ufości dla frakcji ztuk wadliwych całej partii towaru jet przedział określoy ierówością 0,01 < p < 0,317. 9
10
11
Model II. Cecha populacji geeralej ma rozkład dwupuktowy z parametrem p. Próba o liczości 100. Wtedy przedział ufości dla wkaźika truktury p jet określoy przybliżoym wzorem P m u 1 α m 1 m < p < m + u 1 α m 1 m 1 α, gdzie m jet liczbą elemetów wyróżioych w próbie, a u α 1 jet wartością wyzaczoą z tablic dytrybuaty rozkładu ormalego N(0,1) taką, że Φ(u α 1 ) = 1 α. Przykład: W odażu opiii publiczej przeprowadzoym w 1999 roku otrzymao wyik: 570 pośród 1000 akietowaych w Polaków poparło wejście Polki do Uii Europejkiej, a pozotałych 430 oób było przeciwych. Przyjmując wpółczyik ufości 1 α = 0,95 kotruować przedział ufości dla frakcji p obywateli popierających w roku 1999 wejście Polki do UE. Mamy: m = 0,57, α = 0,05, 1 α = 0,975. 1
Z tablic rozkładu N 0,1 u 0,975 = 1,96. Więc P m u 1 α m 1 m < p < m + u 1 α m 1 m = P 0,57 1,96 0,57 1 0,57 1000 < p < 0,57 + 1,96 0,57 1 0,57 1000 = P(0,54 < p < 0,60) 0,95. Zatem mamy 95% pewości, że procet Polaków popierających w 1999 roku wejście Polki do UE jet liczbą z przedziału (54%; 60%). W gazecie przeczytalibyśmy, że 57% Polaków jet za przytąpieiem do UE i błąd odażu wyoi ±3%. 13
Przedział ufości dla wariacji Model I. Cecha populacji geeralej ma rozkład 𝑁 𝑚, 𝜎 o iezaych parametrach 𝑚 i 𝜎. Próba o liczości 𝑛 < 30 (50). Wtedy przedział ufości dla wariacji 𝜎 ma potać 𝑛𝑠 𝑛𝑠 𝑃 <𝜎 < =1 𝛼 𝛼 𝛼 𝜒 (1, 𝑛 1) 𝜒 (, 𝑛 1) lub rówoważie (𝑛 1)𝑠 (𝑛 1)𝑠 𝑃 <𝜎 < = 1 𝛼, 𝛼 𝛼 𝜒 (1, 𝑛 1) 𝜒 (, 𝑛 1) gdzie 𝜒 (𝑎, 𝑣) jet kwatylem rzędu 𝑎 rozkładu 𝜒 o 𝑣 topiach wobody wyzaczoym z tablic. 14
Model II. Cecha populacji geeralej ma rozkład N m, σ lub zbliżoy do ormalego o iezaych parametrach m i σ. Próba o liczości 30 (50, co ajmiej kilkadzieiąt). Wtedy przedział ufości dla odchyleia tadardowego σ ma potać P u α 1 1 + < σ < u α 1 1 1 α, gdzie u α 1 jet wartością wyzaczoą z tablic dytrybuaty rozkładu ormalego N(0,1) taką, że Φ(u α 1 ) = 1 α. 15
Przykład: Zaotowao atępujące czay (w godziach) rozwiązaia zadań w kokurie z programowaia przez ześciu loowo wybraych uczetików kokuru:,1,,7, 1,6, 1,8,,5, 1,9. Zajdź 95%-ową realizację przedziału ufości dla wariacji, zakładając rozkład ormaly czau rozwiązaia zadań przez loowo wybraego uczetika kokuru. Jet to zadaie dla modelu I. Obliczamy: Stąd 6 x =,1, (x i x ) = 0,9. = 6 i=1 (x i x ) 6 1 i=1 = 0,9 5 = 0,18. Z tablic kwatyli χ odczytujemy χ 1 α, 1 = χ 0,975, 5 = 0,831 χ α, 1 = χ 0,05, 5 = 1,835. 16
Zatem P ( 1) χ (1 α, 1) < σ < ( 1) χ ( α, 1) = P 5 0,18 0,831 < σ < 5 0,18 1,835 i 95%-ową realizacją przedziału ufości dla wariacji jet przedział 1,08 9000 831 < σ < 9000 1835 7,01. 17
18