Elementarne metody statystyczne 1

Transkrypt

1 Elemetare metody statystycze 1 Podstawowe iformacje o testach statystyczych. Testy istotości i przedziały ufości dla wsaźia strutury Testy statystycze Jeżeli H 0 jest testowaą hipotezą, H 1 hipotezą alteratywą, T X) - statystyą testową pewą fucją próby losowej X = X 1,..., X )), zaś K ozacza zbiór rytyczy, wtedy prawdopodobieństwa błędów I i II rodzaju, odpowiedio i β, defiiujemy astępująco: = P{T X) K H 0 prawdziwa}, β = P{T X) / K H 1 prawdziwa}. Wartość azywamy poziomem istotości testu. Testując hipotezę H 0 : θ = θ 0, defiiujemy fucję Mθ, K) = P{T X) K θ}. Fucję tę azywamy mocą testu. 1. Weryfiację hipotezy H 0 : p = 0. o wadliwości p pewego towaru przeprowadzamy za pomocą astępującego testu: jeżeli w próbie 5-elemetowej zaobserwujemy więcej iż jedą sztuę wadliwą, odrzucamy H 0 a orzyść alteratywy H 1 : p = 0.3. Zajdź, β oraz moc tego testu. Ja zmieią się te wielości, jeżeli H 1 : p = 0.5 i H 0 odrzucać będziemy dopiero przy przy 3 sztuach wadliwych?. Testujemy hipotezę H 0 : p = 0.5 wobec alteratywy H 1 : p = 0., gdzie p ozacza iezaą frację błędych wsazań pewego przyrządu pomiarowego. Test jest astępujący: jeśli w próbie losowej 10-elemetowej zaobserwujemy liczbę błędych wsazań poiżej 4, odrzucamy H 0 a orzyść H 1. Oblicz, β oraz moc testu. Zapropouj modyfiację testu bez zmiay hipotez) ta, by zwięszyć jego moc. Test istotości dla jedej populacji mała próba) Badaa cecha ma w populacji rozład zerojedyowy z iezaym parametrem p parametr p ozacza prawdopodobieństwo wystąpieia elemetu wyróżioego w populacji). Do weryfiacji hipotezy H 0 : p = p 0 wobec alteratywy a) H 1 : p p 0, b) H1 : p < p 0, c) H1 : p > p 0 służy statystya arc si arc si ) p 0 przybliżoy) N0, 1), gdzie ozacza liczebość próby, a - liczbę elemetów wyróżioych w próbie. Zbiory rytycze w przypadu olejych hipotez alteratywych są astępujące: a) K =, u 1 ] [u 1, ), b) K =, u 1 ), c) K = u 1, ), gdzie Φu 1 ) =, Φu 1 ) =. Test istotości dla jedej populacji duża próba) Gdy liczebość próby 100, wówczas statystyą testową jest p 0 p0 1 p 0 ) przybliżoy) N0, 1), przy czym przybliżeie jest wystarczająco dołade, gdy p Hipotezy alteratywe i zbiory rytycze ja w przypadu testu dla małej próby. 1

2 3. Badaiu statystyczemu poddao powierzchię mieszań w pewej wyodrębioej oolicy. Do próby wylosowao 15 mieszań i otrzymao astępujące wyii w m 3 ): 75, ; 46, 5; 38, 0; 56, 5; 56, 5; 4, 4; 80, 3; 6, 8; 6, 8; 45, 7; 89, 0; 39, 8; 45, 7; 45, 7; 84, 0. Czy a poziomie istotości = 0.05 moża uważać, że procet mieszań w tej oolicy o powierzchi powyżej 60 m 3 jest istotie wyższy iż 30? Jai będzie wyi testu, gdy poziom istotości wyiesie odpowiedio 0.01 i 0.1? 4. Celem badaia statystyczego było oreśleie częstości występowaia pewego typu objawów iepożądaych u pacjetów przyjmujących oreśloy le. Do próby losowej wylosowao 30 pacjetów, tórym podao le A, a astępie zebrao wywiad, otrzymując wyii 1 ozacza pojawieie się iepożądaych objawów, a 0 ich bra: 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1. Na poziomie istotości = , 0.1) zweryfiuj hipotezę o jedaowej częstości występowaia i iewystępowaia objawów iepożądaych u ogółu pacjetów leczoych leiem A. 5. Spośród 0 wylosowaych do próby mężczyz aż 16 pozytywie oceia pracę burmistrza. Wśród 15 aietowaych obiet procet poparcia dla burmistrza wyosi 60%. Przyjmując = 0.01 sprawdź, czy moża uważać, że poparcie dla burmistrza miasta ie przeracza 85% wśród mężczyz i 6% u obiet? 6. W ciągu 00 di obserwowao liczbę awarii istalacji wodo-aalizacyjej w pewym mieście i otrzymao astępujące wyii: Liczba awarii Liczba di Czy moża uważać, że miej iż 50% di to taie, w tórych rejestruje się przyajmiej awarie? Przyjąć poziom istotości = 0.1. Jai będzie wyi testu, jeśli hipotezę alteratywą sformułujemy astępująco: procet di z co ajmiej dwurotą awarią sieci jest róży od 50%? 7. Strutura wieu pracowiów pewej braży w Polsce, uzysaa a podstawie próby losowej, jest astępująca: Wie w latach Liczba pracowiów Niech p ozacza iezaą frację pracowiów tej braży poiżej 45 rou życia. Na poziomie istotości = 0.05 zweryfiuj hipotezę H 0 : p = 0.7 wobec alteratywy H1 : p > respodetów, losowo wybraych 150 obiet i 100 mężczyz, zapytao o zajomość pewej ważej historyczej daty. Jej zajomość cechowała 85 obiet i 65 mężczyz. Przyjmując = 0.01 zweryfiuj hipotezę, że w ażdej grupie zajomość tej daty w populacji geeralej jest wyższa iż 50%. Test istotości dla dwóch populacji mała próba) Badaa cecha ma w dwóch populacjach rozłady zerojedyowe z iezaymi parametrami p 1 i p odpowiedio. Do weryfiacji hipotezy H 0 : p 1 = p wobec alteratywy a) H 1 : p 1 p, b) H1 : p 1 < p, c) H1 : p 1 > p wyorzystujemy statystyę 1 arc si arc si 1 ) przybliżoy) N0, 1),

3 gdzie 1 i ozaczają liczebości prób z obu populacji, a 1 i - liczby elemetów wyróżioych w obu próbach. Zbiory rytycze w przypadu olejych hipotez alteratywych są idetycze, ja w przypadu testu dla pojedyczej populacji. Test istotości dla dwóch populacji duża próba) Gdy liczebości obu prób są duże 1 100, 100), wówczas statystyą testową jest ) : przybliżoy) N0, 1), gdzie = Hipotezy alteratywe i zbiory rytycze przyjmujemy ja w przypadu testu dla małej próby. 9. Dwie trzydziestoosobowe grupy chorych poddao leczeiu dwoma leami: pierwszą leiem A, a drugą leiem B. Wyraźa poprawa stau zdrowia po uracji wystąpiła u 13 osób w grupie pierwszej i 0 osób w grupie drugiej. Na poziomie istotości = 0.05 zweryfiować przypuszczeie, że le B jest sutecziejszy od leu A. 10. Stopy zwrotu acji dwóch spółe giełdowych A i B w momecie zamięcia dziesięciu losowo wybraych otowań w ciągu rou były astępujące: A : 1.0, 1.04, 0.98, 0.96, 1.01, 1.05, 1.1, 1.13, 0.86, 0.86, B : 1.07, 1.06, 1.03, 0.99, 0.90, 1.04, 1.06, 1.01, 1.01, Zweryfiować hipotezę, że obie spółi z jedaową częstością otowały stopę zwrotu powyżej Przyjąć poziomy istotości 0.01 i Badaiu statystyczemu poddao częstość występowaia braów w producji pewych elemetów w dwóch różych załadach A i B. W obu załadach wylosowao do próby po 60 elemetów i stwierdzoo wśród ich 3 elemety wybraowae w producji załadu A i 5 elemetów wybraowaych w producji załadu B. Na poziomie istotości = 0.01 zweryfiować hipotezę, że producja załadu B jest gorsza pod względem liczby elemetów wybraowaych iż producja załadu A. 1. W pewym rou a egzamiie wstępym z matematyi a wyższą uczelię spośród 60 absolwetów techiów 63 ie rozwiązało pewego zadaia, a w groie 1435 absolwetów liceów ogóloształcących zadaia tego ie rozwiązało 545 osób. Na poziomie istotości = 0.01 zweryfiować hipotezę o jedaowym stopiu opaowaia tej partii materiału, tórej dotyczyło zadaie u absolwetów obu typów szół. 13. Wysuięto hipotezę, że studeci studiów stacjoarych lepiej zdają egzamiy iż studeci studiów iestacjoarych. Z pierwszej grupy wylosowao do próby 150 osób, a z drugiej 50. Za ryterium ocey przyjęto procet studetów, tórzy zaliczyli sesję egzamiacyją w pierwszym podejściu. Spośród studetów studiów stacjoarych było to 107 osób, a spośród studetów studiów iestacjoarych - 11 osób. Na poziomie istotości = 0.1 zweryfiować wysuiętą hipotezę. 14. Badaie laboratoryje stężeia we rwi pewej substacji w dwóch grupach zawodowych dało astępujące wyii: Grupa A Stężeie substacji Liczba pracowiów

4 Grupa B Stężeie substacji Liczba pracowiów Na poziomie istotości = 0.05 zweryfiować hipotezę, że procet osób w grupie zawodowej A ze stężeiem substacji a poziomie 1.5 lub wyższym jest istotie miejszy iż w grupie zawodowej B. Przedział ufości dla procetu mała próba) Badaa cecha ma w populacji rozład zerojedyowy z iezaym parametrem p parametr p ozacza prawdopodobieństwo wystąpieia elemetu wyróżioego w populacji). Niech ozacza liczebość próby losowej, a liczbę elemetów wyróżioych w próbie. Przedział ufości dla p a poziomie ufości ma postać: p, + + 1)F [ +1),,1 ] + 1)F [+1), ),1 ] + + 1)F [+1), ),1 ] gdzie 1. Jeżeli = 0, wówczas dolą graicą przedziału jest 0, a jeżeli =, to górą graicą przedziału jest 1. Ozaczeie F a,b,) ozacza watyl rzędu rozładu F Sedecora z a, b) stopiami swobody. Przedział ufości duża próba) Gdy liczebość próby jest duża 100), wówczas przedział ufości dla prawdopodobieństwa p a poziomie ufości wygląda astępujuąco: p u 1 ), + u 1 Miimalą liczebość próby potrzebą do oszacowaia parametru p z błędem masymalym ie przeraczającym d > 0 obliczamy astępująco: [ u 1 mi = p p) ] + 1, jeśli zamy spodziewaą szacowaą) wartość parametru p. Jeśli ie zamy p, przyjmujemy za iloczy p p) ajwięszą jego wartość tj. 1. Wówczas mamy 4 mi = d [ u 1 4d ] W 10 losowo wybraych próbach laboratoryjych zaobserwowao 3, w tórych obece były pewe przeciwciała. a poziomie ufości = 0.90 zbudować przedział ufości dla fracji próbe, w tórych stwierdza się obecość przeciwciał w populacji geeralej. 16. Na 1 losowo wybraych samochodów zgłoszoych do oresowego przeglądu rejestracyjego w ai jedym ie stwierdzoo ustere w uładzie ierowiczym. Na poziomie ufości 0.95 zbudować przedział ufości dla odseta pojazdów zgłaszających się do przeglądu, w tórych występują usteri uładu ierowiczego. 17. Na poziomie ufości = 0.99 zbudować przedział ufości dla odseta palących studetów w pewym mieście. W próbie losowej 450 studetów zaobserwowao 13 osoby palące. 18. Zbadao dostępość sieci iteretowej w gospodarstwach domowych pewego miasta. W 4 )..,

5 próbie losowej liczącej 30 gospodarstw zalazło się 15 posiadających dostęp do Iteretu we własym domu. Na poziomie istotości 0.95 zbudować przedział ufości dla procetu gospodarstw domowych w tym mieście, w tórych jest dostęp do sieci iteretowej. Ja zmieią się graice przedziału ufości jeśli poziom ufości przyjmiemy a poziomach 0.90 i 0.99? 19. Ile elemetów ależy wylosować do próby, aby oszacować procet towaru z uszodzoym opaowaiem z błędem masymalym rówym 5%, jeżeli przypuszcza się, że procet te wyosi w populacji 10? Przyjąć poziom ufości = Ilu mieszańców pewego miasta ależy wylosować iezależie do próby, aby z błędem masymalym rówym 3% oszacować spodziewae poparcie dla adydata a prezydeta, jeżeli przypuszcza się, że jest oo rzędu 45%? Przyjąć = Ile osób ależy wylosować do próby, by oszacować frację osób z grupą rwi B Rh+ z błędem masymalym ie przeraczającym 5%, jeśli poziom ufości wyosi 0.90? 5