Wydział Elektryczny Zepół Automatyki (ZTMAiPC) LABORATORIUM KOMPUTEROWYCH UKŁADÓW STEROWANIA Ćwiczenie 1 Metody dykretyzacji tranmitancji ciągłej i projektowania regulatora dykretnego 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jet zapoznanie ię z metodami projektowania regulacji dykretnej i przetetowanie ich na drodze ymulacji komputerowej. 2. Metody dykretyzacji tranmitancji ciągłej 2.1 Metoda niezmienniczej odpowiedzi na wymuzenie chodkowe (zero-order-hold ZOH) Metoda ta opiera ię na wymaganiu, aby w chwilach próbkowania ygnały wejściowe i wyjściowe: ciągłe tranmitancji G() i dykretne jej odpowiednika G ZOH (z) były takie ame, przy założeniu, że tranmitancja ciągła jet terowana ygnałem chodkowym. Przekztałcenie opiuje wzór: ( ) z 1 G( ) GZOH z = Z z gdzie Z[G()/] jet tranformatą Z odpowiadającą tranformacie Laplace a G()/ zgodnie z Tabelą na ry.1. Metodę ZOH touje ię do dykretyzacji modelu obiektu terowanego z przetwornika C/A typu ZOH przy projektowaniu regulacji w dziedzinie czau dykretnego. Daje ona dokładny model tranmitancji dykretnej widzianej z zacików komputera w momentach próbkowania. 2.2 Aprokymacje wynikające z metod całkowania numerycznego Są to metody przybliżone, które wynikają z różnych aprokymacji pochodnej w równaniu różniczkowym odpowiadającym tramitancji ciągłej G(). Metoda Eulera różnic do przodu (metoda protokątów forward Euler) Dykretyzację przeprowadza ię przez podtawienie: G ( z ) = G ( ) FE z 1 = T Uwaga: Metoda forward Euler toowana ze zbyt dużym okreem próbkowania T może dać nietabilny odpowiednik dykretny tabilnej tranmitancji ciągłej. Metoda Eulera różnic wtecznych (metoda protokątów backward Euler) Dykretyzację przeprowadza ię przez podtawienie: G ( z ) = G ( ) BE z 1 = zt Metoda Tutina (metoda trapezów lub odwzorowania biliniowego) Dykretyzację przeprowadza ię przez podtawienie: G ( z) = G( ) T 2 z 1 = T z + 1 Ćwiczenie 1 Metody dykretyzacji tranmitancji ciągłej i projektowania regulatora dykretnego - 1-
Uwaga: Metoda Tutina zachowuje tabilność/nietabilność tranmitancji ciągłej, ale cechuje ię nieliniowym przekztałceniem kali pulacji ciągłych ω a na pulacje ω d tranmitancji dykretnej: 2 ω arctg at ω d = T 2 Podtawienia toowane w prezentowanych dykretyzacjach ą protymi rachunkowo przybliżeniami odwzorowania z=e T toowanego w metodzie odworowania zer i biegunów. Aprokymacje wynikające z metod całkowania numerycznego touje ię do dykretyzacji tranmitancji ciągłych regulatorów zaprojektowanych w dziedzinie czau ciągłego (metoda dykretnej emulacji regulacji analogowej). Nie czyni ię założeń co do formy ygnału wejściowego do pierwotnej tranmitancji ciągłej G() (tranmitancji regulatora). Metoda odwzorowania zer i biegunów (pole-zero matching) Metoda ta jet rozzerzeniem na tranmitancje odwzorowania z=e T biegunów tranformat ygnałów ciągłego i dykretyzowanego. W taki am poób odwzorowuje ię też kończone zera tranmitancji. Zera G() leżące w niekończoności (ich liczba odpowiada różnicy topni mianownika i licznika r=tl()-tm()) ą odwzorowywane na zera z=-1 tranmitancji dykretnej w liczniku G ZP (z) dopiuje ię czynnik (z+1) r zrównujący topnie jej licznika i mianownika. Wpółczynnik wzmocnienia tranmitancji G ZP (z) wybiera ię w taki poób, aby jej wzmocnienie odpowiadało wzmocnieniu tranmitancji ciągłej G() dla określonej czętotliwości, zwykle wzmocnieniu DC: G( ) = G ( z) = 0 ZP z= 1 Metodę tę touje ię również do dykretyzacji tranmitancji ciągłych regulatorów zaprojektowanych w dziedzinie czau ciągłego. 3. Metodologie projektowania regulacji dykretnej Na ry.2 przedtawione ą dwa podtawowe podejścia do projektowania kompenacji (regulacji) dykretnej dla obiektu, którego modelem jet tranmitancja ciągła G(). Metoda emulacji analogowej polega na zaprojektowaniu ciągłej tranmitancji kompenatora, a natępnie dokonaniu jej dykretyzacji. Stouje ię zwykle jedną z metod wynikajacych z całkowania numerycznego, tzn. metodę protokątów (Eulera) lub trapezów (przekztałcenie biliniowe). Itotne jet to, że przy takim projektowaniu nie bierze ię pod uwagę opóźnienia wnozonego przez przetwornik A/C (ektrapolator zerowego rzędu), tj. braku reakcji układu regulacji na zmiany ygnału terowanego y(t) pomiędzy chwilami próbkowania t n =nt. W związku z tym okre próbkowania mui być odpowiednio mały, a jakość regulacji dykretnej nie jet lepza, niż regulacja analogowa, której ona odpowiada. Jeżeli okre próbkowania T jet więkzy niż ok. 1/10 dominującej tałej czaowej obiektu, to nie wzięcie go pod uwagę może powodować itotne pogorzenie tabilności układu zamknietego. Alternatywne podejście polega na tym, że rozpoczyna ię od wyznaczenia modelu dykretnego (tranmitancji dykretnej) obiektu analogowego widzianego z zacików komputera dla założonego okreu próbkowania, a ntępnie projektuje algorytm regulacji dla dykretnego układu zamkniętego. Uwzględniając fakt, że obiekt jet terowany ygnałem chodkowym z przetwornika C/A, do dykretyzacji touje ię metodę równoważnej odpowiedzi na wymuzenie chodkowe (metodę ZOH, wzór (1)), która zapewnia w chwilach próbkowania t n = nt jednakowe wartości ygnału y(t) na wyjściu układu G() oraz ygnału y(n) na wyjściu jego dykretnego odpowiednika H(z). Wzięcie pod uwagę chodkowego przebiegu ygnału terującego u(t) powoduje, że można przyjąć dłużzy okre próbkowania, co zmniejza wymagania dotyczące mocy obliczeniowej proceora oraz zybkości zatoowanych przetworników. Co ważniejze, itnieje mozliwość toowania algorytmów regulacji, które nie mają odpowiednika analogowego, np. regulacji dead-beat. Ćwiczenie 1 Metody dykretyzacji tranmitancji ciągłej i projektowania regulatora dykretnego - 2-
Ry.1. Tabela tranformat Laplace a oraz tranformat Z odpowiedających obie ygnałów ciągłych i dykretnych (po próbkowaniu z okreem T) 4. Zadanie projektowe Zaprojektować cyfrowy kompenator I rzędu do modelu układu terowania ruchomej anteny atelitarnej śledzącej ygnały z atelity komunikacyjnego (ry.3). W uprozczonym modelu antena i części układu napędowgo mają moment bezwładności J oraz tłumienie B wynikające z SEM ilnika prądu tałego oraz z oporu aerodynamicznego. Równanie ruchu ma potać: Ćwiczenie 1 Metody dykretyzacji tranmitancji ciągłej i projektowania regulatora dykretnego - 3-
2 J d θ B d θ + = Tn + T 2 dt dt gdzie θ jet kątem nachylenia anteny (wielkością regulowaną), T n jet wypadkowym momentem napędowym (ygnałem terującym), zaś T z - momentem zakłócającym wywoływanym przez wiatr. Po wprowadzeniu oznaczeń: B / J = c, u = T / B, w = T / B n z z i zatoowaniu przekztałenia Laplace'a równanie przyjmuje potać: 1 θ ( ) = [ u( ) + wz ( ) ], ( / c + 1) kąd, przy zakłóceniu w z =0, otrzymujemy tranmitancję obiektu od u do θ potaci θ( ) 1 G( ) = = u( ) ( / c + 1) gdzie przyjmiemy c=0.2, czyli G( ) = 1/ (5 + 1). Sygnałem zadanym jet rzeczywity azymut atelity w=θ z. z a) w H a () u(t) G() y(t) dykretyzacja kompenatora y(t) A/C w H(z) ZOH C/A u(t) y(nt ) u(nt ) b) w y(nt ) H(z) u(nt ) ZOH 1 e T C/A u(t) G() H a () y(t) u(t) A/C dykretyzacja obiektu (ZOH) w u(n) y(n) H(z) G d (z) Ry.2. Metody projektowania kompenacji: a) emulacja regulacji analogowej projektowanie kompenatora analogowego, a natępnie jego dykretyzacja, b) projektowanie dykretne poprzedzone dykretyzacją obiektu terowanego z przetwornika C/A o charakterytyce ZOH (zero order hold) Ćwiczenie 1 Metody dykretyzacji tranmitancji ciągłej i projektowania regulatora dykretnego - 4-
u(n) w=θ z u + θ Σ z H(z) C/A Σ G() w z y=θ y(n) A/C Ry.3. Schemat układu regulacji śledzącej anteny atelitarnej Przyjąć zybkość zmian położenia atelity θ z (t)=0.01t [rad/] i zaproponować dykretną kompenację D(z) zapewniającą pełnienie natępujących wymagań co do jakości regulacji: 1. Błąd śledzenia e ut w tanie utalonym przy wymuzeniu θ z (t) jak wyżej 0.01rad. Oznacza to, że wpółczynnik uchybu prędkościowego k v 1, ponieważ def 0.01 Tz 0.01 z 1 G( ) eut = lim =, Gd ( z) = Z z 1 ( z 1) 1 + H ( z) G ( z) k z (T jet okreem próbkowania). [ ] 2. Przeregulownie M p przy wymuzeniu kokowym 16%. d Zgodnie z przybliżoną zależnością dla układu ocylacyjnego II rzędu ζ 0. 6( 1 / 100) co oznacza, że wymagany względny wpółczynnik tłumienia ζ 0.5 Ćwiczenie 1 Metody dykretyzacji tranmitancji ciągłej i projektowania regulatora dykretnego - 5- v M p, 3. Cza utalania ię odpowiedzi kokowej, tj. cza regulacji (z dokładnością 1%) t r 10. Ponieważ przyjmuje ię t = 4.6 / ( ζω ), więc w przybliżeniu wymagana pulacja drgań r n naturalnych ω n 0. 92 (przyjmować ω n 1). Odwzorowanie biegunów z płazczyzny S na Z opiuje wzór z = e T, więc z wymagania 3 wynika, że odległość biegunów zamkniętego nt układu dykretnego od początku układu wpółrzędnych z = r = e ζω, kąd przy T=1 dotajemy odległość r 0.6. 5. Program realizacji ćwiczenia Uruchomić program MATLAB (v.5.3). Z menu File Open można otworzyć model ymulacyjny (chemat blokowy).mdl lub program kryptowy.m. Program kryptowy można uruchomić bezpośrednio z edytora Matlab Editor poleceniem Tool Run. Symulację uruchamia ię (przerywa) za pomocą Ctrl+T, poleceniem Start/Stop z menu Simulation lub przycikiem / na belce okna modelu. Wykrey zapiuje ię do chowka poleceniem Edit Copy Figure. Parametry pozczególnych bloków można modyfikować w oknie paramtrów po dwukrotnym kliknięciu myzą na wybranym bloku chematu. Uwaga: Blok Tranfer Fcn S-to-Z-domain umożliwia automatyczną dykretyzację tranmitancji ciągłej G(), tzn. obliczenie parametrów jej dykretnego odpowiednika G d (z) dla zadanej metody (np. po każdej zmianie okreu próbkowania T): zoh - równoważności odpowiedzi na wymuzenie chodkowe (ektrapolacja zerowego rzędu), (1)
foh - równoważności odpowiedzi na wymuzenie kawałkami liniowe (ektrapolacja I rzędu), tutin - metoda Tutina (odwzorowania biliniowego), matched - metoda odpowiedniości zer i biegunów. Układ przedtawiony na ry.2 jet zamodelowany w pliku SIMULINKa danten.m w formie dwóch równoległych układów: z regulatorem dykretnym (u góry) oraz z regulatorem ciągłym dla porównania (u dołu). 1. Metody dykretyzacji tranmitancji układów ciągłych a) otworzyć chemat blokowy modelu ymulacyjnego dicretiz.mdl: >>dicretiz i zarejetrować odpowiedzi tranmitancji ciągłej G() układu ocylacyjnego II rzędu (z ζ=0.5 i ω n =1) 1 G( ) = 2 + + 1 i jej dykretnych odpowiedników G d (z) na wymuzenie: 1 kokowe, 2 harmoniczne o czętotliwości ω=1rad/ Przełącznik wyboru ygnału wejściowego przełącza ię po dwukrotnym kliknięcie myzką na obzarze bloku Manual Switch. Okno przebiegów ocylokopu Scope kopiuje ię do chowka poleceniem Edit Copy Figure. (W Edit Copy Option zaznaczyć Window metafile i White background.) W blokach tranmitancji dykretnych (zoh, tutin/matched, forward Euler) utawić okre próbkowania (Sample time) T=0.2. Kolory ygnałów: zielony ygnał z tranmitancj ciągłej niebieki ygnał z tranmitancji zdykretyzowanej metodą zoh, czerwony ygnał z tranmitancji zdykretyzowanej metodą tutin / matched magenta - ygnał z tranmitancji zdykretyzowanej metodą forward Euler, cyan ygnał wejściowy tranmitancji. b) powtórzyć ymulacje dla okreu próbkowania T=1 (pamiętać o zmianie okreu próbkowania w blokach wzytkich tranmitancji dykretnych. Porównać ygnały wyjściowe pozczególnych tranmitancji dykretnych z ygnałem wyjściowym tranmitancji ciągłej (dokładność odwzorowania) dla obu okreów próbkowania. Czy T=1 jet poprawnym wyborem w przypadku rozważanej tranmitancji ciągłej? 2. Projektowanie regulacji metodą dykretnej emulacji regulacji analogowej a) otworzyć chemat blokowy modelu ymulacyjnego danten.mdl: >>danten i zarejetrować chemat modelu (polecenie Edit Copy Model). b) zaprojektować kompenator ciągły o tranmitancji: / b + 1 H a ( ) = K / a + 1 1- z zerem b=0.2 dokładnie kaującym biegun c=0.2 tranmitancji obiektu oraz a=1. 2- z zerem b=0.25 położonym bliko bieguna c=0.2 tranmitancji obiektu oraz a=2. Zarejetrować linie pierwiatkowe i charakterytyki Bodego układu ciągłego. Z okna komend MATLABa, otworzyć plik kryptowy danten1.m (polecenie File Open M-file) i wpiać parametry H a () do zmiennych liczha, mianha - wektorów wpółczynników odpowiednio licznika i mianownika tranmitancji H a () w kolejności malejących potęg, np. liczha=[5, 1]; mianha=[1, 1]; w przypadku b1, gdzie H a ()=(5+1)/(+1). Uruchomić krypt z edytora (Tool Run) lub z okna komend: >>danten1 Ćwiczenie 1 Metody dykretyzacji tranmitancji ciągłej i projektowania regulatora dykretnego - 6- (2)
Na podtawie przebiegu linii pierwiatkowych i/lub wartości wylitowanych na ekranie w formie K biegun1 biegun2... prawdzić, dla jakich wartości K (w badanym zakreie) układ ciągły pełnia wymagania zadania dotyczące ζ i ω n. Wykre linii pierwiatkowych jet wykreślany z iatką (-grid) ζ=cont (półprote wychodzące z początku układu: od pionowej ζ=0 do poziomej ζ=1, z krokiem 0.1) i ω n =cont (półokręgi o promieniu równym ω n ). Należy utawić kuror w kztałcie krzyża w punkcie na linii pierwiatkowej pełniającym warunki (tj. ζ 0.5, ωn 1) i kliknąć myzką. Spowoduje to podanie w oknie komend Matlaba wartości biegunów i wółczynnika wzmocnienia K. Na podtawie charakterytyk czętotliwościowych Bodego określić zapa tabilności (zapa fazy powyżej -180º na wykreie charakterytyki fazowej dla ω c (moduł G d (ω c ) =0dB) i zapa modułu na wykreie charakterytyki amplitudowej dla ω π (faza ϕ(ω π )=-180º)). c) w modelu ymulacyjnym danten dokonać dykretyzacji kompenatora H a () H(z) dla wybranej wartości K metodą (wkazaną przez prowadzącego) 1- odwzorowania zer i biegunów ('matched'), 2- trapezów (Tutina: 'tutin'). Jet to realizowane automatycznie przez wpianie wektorów wpółczynników licznika (ang. numerator, w rozpatrywanym przypadku K*[5,1]) i mianownika (ang. denominator, [1,1]) tranmitancji ciągłej H a () i wybranie metody dykretyzacji oraz okreu próbkowania T jako parametrów bloku kompenatora Tranfer Fcn S-to-Z-domain ymulowanego modelu. Przełącznik wyboru regulatora (Pkt. 1 lub 2) ma byc utawiony w położenie Tranfer Fcn S-to-Zdomain (dwukrotne kliknięcie przełącza tan przełącznika). W oknie komend zadać wartośc wpółczynnika kalowania Sk ygnału regulacji w modelu danten dla odpowiedzi kokowej: >>Sk=0.2; Podłączyć na wejściu układu blok wymuzenia kokowego i zarejetrować odpowiedzi kokowe układu dla okreu próbkowania (zakłócenie w z =0, blok wzmacniacza K w = 1): 1- T=0.2 - zybkie próbkowanie (czętotliwość próbkowania Ω=20ω n =20rad/), 2- T=1 - wolne próbkowanie (Ω=6ω n =6rad/), Porównać jakość regulacji dykretnej dla obu okreów próbkowania z jakością regulacji ciagłej. Czy dla T=1 pełnia ona potawione wymagania? Przy zmianach parametrów odnotowywać tranmitancję H(z) podawaną na bloku Tranfer Fcn S- to-z-domain. Kolory ygnałów: czerwony wielkość regulowana regulatorem dykretnym, magenta - wielkość regulowana regulatorem ciągłym, niebieki ygnał terujący regulatora dykretnego, cyan ygnał terujący regulatora ciągłego. d) zarejetrować odpowiedzi na wymuzenie liniowo naratające θ z (t)=0.01t utawiając przełącznik na wymuzenie piłokztałtne dla okreów próbkowania jak wyżej, przy czym w oknie komend zadać wartośc wpółczynnika kalowania Sk ygnału regulacji w modelu danten dla odpowiedzi liniowoczaowej: >>Sk=1; e*) zarejetrować odpowiedzi na tałe zakłócenie (blok zakłócenia w z =1) przy zerowym ygnale zadanym (blok wzmacniacza K w = 0) dla okreów próbkowania jak wyżej. f) powtórzyć obliczenia z podpunktów 2.b-2.e dla zera b=0.25 i bieguna a=2 (liczha=[4, 1], mianha=[0.5, 1]). 3. Projektowanie regulacji dykretnej metodą linii pierwiatkowych na płazczyźnie z Zakładamy, że regulator będzie projektowany dla okreu próbkowania T=1. Ćwiczenie 1 Metody dykretyzacji tranmitancji ciągłej i projektowania regulatora dykretnego - 7-
a) otworzyć plik kryptowy danten2.m (polecenie File Open M-file) i wpiać parametry z q dykretnego kompenatora H ( z) = K zanotowane w pkt.1c dla T=1 do zmiennych liczh, d z p mianh - wektorów wpółczynników odpowiednio licznika i mianownika H(z) (bez wyłączonego przed nawia K d ), w kolejności malejących potęg z, np. liczh=[1-0.82]; mianh= [1-0.33],dla q=0.82, p=0.33. Uruchomić krypt z eytora lub z okna komend: >>danten2 Zarejetrować linie pierwiatkowe i charakterytyki Bodego układu w pełni dykretnego (z obiektem G d (z) zdykretyzowanym metodą równoważności kokowej - zero order hold). Na wykreie linii pierwiatkowych na płazczyźnie Z zaznaczyć jak w pkt.2 bieguny układu zamkniętego zapewniające możliwie najbardziej zbliżone do wymaganych wartości r, ζ i ω n poługując ię iatką z- grid (ry. 4). Dla T=1 otrzymujemy warunek ω n =1 3π/(10T). Odczytać potrzebny do ich uzykania wpółczynnik wzmocnienia K d. Czy dla wybranych parametrów T, q, p regulacja jet w tanie pełnić wymagania dla jakiejkolwiek wartości K d? Na podtawie charakterytyk czętotliwościowych Bodego określić zapa tabilności i wpółczynnik uchybu prędkościowego k v. Zwrócić uwagę na okreowość charakterytyk układu dykretnego. W modelu ymulacyjnym danten przełączyć przełącznik z wyjścia bloku Tranfer Fcn S-to-Zdomain na wyjście bloku Dicrete Tranfer Fcn. Wpiać do tego bloku odpowiednie parametry licznika Kd*[1 q] i mianownika [1 -p] nowego regulatora i zarejetrować odpowiedź kokową (Sk=0.2). b) przeunąć biegun regulatora do p=0.05 (dokonać edycji wektora mianh w programie danten2.m na [1-0.05]i takiej amej edycji parametrów bloku Dicrete Tranfer Fcn w modelu danten.mdl) i powtórzyć czynności z pkt. 3a. c) zarejetrować odpowiedź na wymuzenie liniowo naratające θ z (t)=0.01t utawiając przełącznik na wymuzenie piłokztałtne (Sk=1.0). Czy po modyfikacji parametru p regulacja w pkt. 3b-c jet w tanie pełnić potawione wymagania? d) przeunąć biegun tranmitancji regulatora do punktu p=-0.5 (zmiana znaku bieguna: mianh= [1 0.5]) i powtórzyć czynności z pkt. 3b z ymulacja odpowiedzi kokowej (Sk=0.2). Ocenić jakość regulacji. Zwrócić uwagę na wzrot początkowej amplitudy terowania. e) przeunąć biegun tranmitancji regulatora do punktu p=-0.8 (mianh=[1 0.5]) i powtórzyć czynności z pkt. 3d. Zaoberwować efekt "dzwonienia" (zmiany znaku co okre próbkowania) ygnału terującego u na wyjściu regulatora. 4. Projektowanie regulacji dykretnej dead-beat Zakładamy, że regulator dead-beat będzie projektowany dla obiektu ciągłego o tranmitancji θ( ) 1 G( ) = = 2 u( ) 10 + i okreów próbkowania T=1 i 2. W oknie komend Matlaba wpiać wpółczynniki G() i T : >>liczg=[1]; miang=[10 1 0]; >>T=1; i wyznaczyć jej dykretny odpowiednik G d (z) metodą ZOH: >>[liczgd, miangd]=c2dm(liczg,miang,t, zoh ) Wyznaczyć wpółczynniki tranmitancji regulatora dead-beat H(z): >>[liczh, mianh]=deadbeat(liczgd,miangd) Ćwiczenie 1 Metody dykretyzacji tranmitancji ciągłej i projektowania regulatora dykretnego - 8-
Pokazane w oknie komend wpółczynniki regulatora i okre próbkowania T wpiać do bloku Dicrete Tranfer Fcn modelu ymulacyjnego danten i przeprowadzić ymulację odpowiedzi kokowej. Powtórzyć obliczenia dla okreu próbkowania T=2 (od wpiania T=2). Porównać amplitudy ygnału terującego w obu przypadkach (pamietając o kalowaniu Sk=0.2) i prawdzić, czy nie natępuje ograniczenie terowania przez blok nieliniowy wzmacniacz z nayceniem Saturation. Ry. 4. Siatka z-grid liniii ζ=cont (krzywe wychodzące z punktu 1+j0), ω n =cont (krzywe promienite) oraz półokręgi r=cont na płazczyźnie Z. 6. Opracowanie prawozdania Opracować i przeanalizować wyniki ymulacji przeprowadzonych w ćwiczeniu. Porównać kuteczność rozpatrywanych metod projektowania regulacji. LITERATURA 1. Brzózka J.: Regulatory cyfrowe w automatyce, Wyd. MIKOM, 2002. 2. Brzózka J.: Regulatory i układy automatyki, Wyd. MIKOM, 2004. 3. Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej, WNT, 1974. 4. Mrozek B, Mrozek Z.: MATLAB 5.x SIMULINK 2.x, Poradnik użytkownika, Wyd. PLJ, 1998. 5. Oowki S.: Modelowanie układów dynamicznych z zatoowaniem języka SIMULINK, Oficyna Wyd. Politechniki Warzawkiej, Warzawa, 1997. 6. Papouli A.: Obwody i układy, WKiŁ, 1988. Opracował: Dr inż. Januz Baran Ćwiczenie 1 Metody dykretyzacji tranmitancji ciągłej i projektowania regulatora dykretnego - 9-