Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne - wyjaśniają tylko, co tu robię, Państwo nie muszą ich pisać (z wyjątkiem definiowania zmiennych). Wyniki mogą się nieco różnić w zależności od użytych zaokrągleń. Grupa G 1. (200 pkt) W pewnym banku na lokatę z kapitalizacją półroczną wpłacono 1500 jp. Po 2 latach wypłacono z konta 00 jp. Po latach na lokacie znalazło się 1910,17 jp. Przez pierwsze pół roku obowiązywała stopa procentowa roczna w wysokości 22%, następnie przez 2 lata stopa 10%, a po 2,5 roku zmieniła się na x% i utrzymywała się na tym poziomie do końca trwania lokaty. Jaka była przeciętna półroczna stopa procentowa w ciągu tych lat? Ile wynosiło x? Jak (tj. o ile i w którą stronę) należałoby zmienić nominalną roczną stopę procentową, aby po zmianie kapitalizacji na miesięczną warunki oprocentowania były równoważne warunkom początkowym tej lokaty (tj. stopie rocznej 22% z kapitalizacją półroczną)? Rozwiązanie Najpierw obliczam kwotę, która znajduje się na lokacie po 2 latach (po wypłacie 00 jp). W tym celu stosuję stopę względną, gdyż zmieniam tylko okres stopy, by dopasować go do ustalonego okresu kapitalizacji: przez pół roku była 11% półrocznie, potem przez 1,5 roku 5% półrocznie przy kapitalizacji półrocznej. Zatem: K 2 = 1500(1, 11)(1, 05) 3 00 = 1527, 56. Następnie przez pół roku obowiązuje stopa 5% półrocznie i w końcu x % półrocznie przez 3 półrocza 2 ( lata-2,5 roku), więc uzyskujemy równanie: 190, 17 = K = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję: x = 12. Teraz mogę po prostu obliczyć przeciętną stopę półroczną, zwyczajnie wstawiając wszystkie dane do wzoru (jako, że kapitalizacja jest półroczna), pamiętając, że półroczy było 8, a 12% rocznie to jest 6% półrocznie (znów zmieniamy tylko okres stopy, nie kapitalizacji): r prz = 8 1, 11 (1, 05) (1, 06) 3 1 6, 11%. Na koniec obliczam odpowiednią stopę efektywną (bo teraz zmieniam okres kapitalizacji). Stary okres kapitalizacji to 6 miesięcy, nowy okres kapitalizacji to miesiąc m = OK ef = 1, więc: OK 6 r ef = (1, 11) 1 6 1 1, 75%, przy czym jest to stopa o okresie miesiąc. Mam teraz zmienić okres stopy na rok. 1, 75% miesięcznie to nominalnie 12 1, 75% = 21% rocznie, a na lokacie nominalna stopa była 22%, więc należy ją obniżyć o 1 punkt procentowy. Odp: x wynosi 12, przeciętna półroczna stopa wynosi 6, 11%, a nominalną stopę roczną należałoby obniżyć o 1 punkt procentowy. 2. (200 pkt) Na lokatę z kapitalizacją kwartalną o nominalnej stopie procentowej rocznej 30% wpłacono 1200jp. W czasie obowiązywania lokaty inflacja zmieniała się następująco: w pierwszych 2 półroczach wynosiła kolejno: 7% i 10% półrocznie, w kolejnym roku 20% rocznie, a następnie aż do końca obowiązywania lokaty 2% miesięcznie. Po jakim czasie wartość nominalna kapitału na lokacie wyniesie co najmniej 5700 jp.? Jaka będzie wtedy wartość realna tego kapitału? Jeśli lokata zostanie zakończona w tym właśnie momencie, ile wyniesie przeciętna miesięczna stopa inflacji w czasie obowiązywania lokaty? Rozwiązanie Najpierw zajmnę się samą lokatą, bez uwzględniania inflacji. Kapitalizacja jest kwartalna, uzgadniam więc z nią okres stopy. Zatem stopa o okresie kwartalnym wynosi 30% = 7, 5% (bo w roku są kwartały). Obliczam czas trwania lokaty (n to liczba kwartałów jej trwania): 5700 = 1200(1, 075) n n 21, 55
2 Ponieważ kapitalizacja odbywa się co kwartał, w momencie danym przez 21,55 kwartału od rozpoczęcia lokaty nie ma jeszcze tyle kapitału na koncie. 5700 przekroczone zostanie dopiero po 22 kwartałach. W istocie, na koncie będzie wtedy nominalnie: K 22 = K nom = 1200(1, 075) 22 = 5890, 7075. Nieformalna uwaga: Ta ostatnia kwestia jest łatwa do przeoczenia i czysto techniczna, więc nie odejmowałem punktów, jeśli ktoś błędnie zakładał, że po 22 kwartałach na koncie było dokładnie 5700 jp. Teraz potrzebujemy obliczyć i c (a raczej, bo to mi jest potrzebne w obliczeniach): inflację całkowitą (22-kwartalną) podczas trwania lokaty. Wystarczy w tym celu odpowiednio wymnożyć wszystkie inflacje składowe. Czas wysokości inflacji na danym poziomie jest dany, z wyjątkiem tych ostatnich 2% miesięcznie. 22 kwartały 2 lata daje nam 1 kwartałów, czyli 2 miesiące - i przez tyle miesięcy obowiązywała 2-procentowa inflacja miesięczna. = (1, 07)(1, 1)(1, 2)(1, 02) 2 3, 26. Teraz mogę już obliczyć wartość realną kapitału po 22 kwartałach: K re = K nom = 1815, 52. Wreszcie, by obliczyć inflację przeciętną miesięczną, muszę znać liczbę miesięcy w 22 kwartałach (66) i otrzymam: i prz = 66 i c + 1 1 1, 8%. W ostatnim wzorze możemy też liczyć dookoła obliczając najpierw i 1 - przeciętną inflację miesięczną w pierwszym półroczu ((1 + i 1 ) 6 = 1, 07), i 2 - przeciętną inflację miesięczną w pierwszym półroczu ((1 + i 2 ) 6 = 1, 1), i 3 - przeciętną inflację miesięczną w pierwszym półroczu ((1 + i 3 ) 12 = 1, 2), i licząc zgodnie ze wzorem: i prz = 66 (1 + i 1 ) 6 (1 + i 2 ) 6 (1 + i 3 ) 12 (1, 02) 2 1 1, 8%, ale można tę procedurę uprościć zauważając, że (1 + i 1 ) 6 (1 + i 2 ) 6 (1 + i 3 ) 12 (1, 02) 2 = 1, 07 1, 1 1, 2 (1, 02) 2 =. Odp: 5700 jp. będzie osiągnięte po 22 kwartałach, wartość realna tej lokaty wyniesie wtedy 1815,52 jp., a przeciętna inflacja miesięczna wyniesie 1, 8%. Grupa H 1. (200 pkt) Na pewnej lokacie obowiązywała najpierw kapitalizacja ciągła z roczną stopą procentową 15%. Po dwóch latach kapitalizację zmieniono na półroczną, nie zmieniając opłacalności lokaty. Po kolejnym 1,5 roku, znów zmieniono kapitalizację - tym razem na miesięczną, obniżając jednocześnie nominalną stopę procentową roczną o 3 punkty procentowe. Wreszcie, po kolejnych 9 miesiącach znów zmieniono kapitalizację na roczną, nie zmieniając opłacalności lokaty. Jaka była nominalna roczna stopa procentowa w ostatnim okresie obowiązywania lokaty? Po jakim czasie od rozpoczęcia lokaty nominalna wartość kapitału na lokacie zwiększy się czterokrotnie? Rozwiązanie: Obliczmy stopy procentowe obowiązujące w kolejnych okresach trwania lokaty. Niech r 2 będzie nominalną stopą roczną obowiązującą w II okresie (po 2 latach). Jest ona równie opłacalna jak kapitalizacja ciągła ze stopą 15%, ale odpowiada półrocznemu okresowi kapitalizacji. Zatem musimy skorzystać ze wzoru na stopę efektywną (z uwzględnieniem kapitalizacji ciągłej): r ef1 = e 0,15 1 = 0, 1618; (1 + r 2 2 )2 1 = r ef1 r 2 = 0, 1558 i jest to stopa o okresie równym rok. Stopa nominalna roczna r 3 obowiązująca w III okresie jest po prostu o 3 punkty procentowe niższa niż stopa r 2 (nie ma tam nic o zachowaniu opłacalności), więc r 3 = 0, 1258. I wreszcie nominalna roczna stopa r obowiązująca w IV okresie jest równie opłacalna co stopa r 3 przy innej kapitalizacji, czyli jest to po prostu efektywna stopa roczna dla stopy miesięcznej r 3 12 :
3 r = (1 + r 3 12 )12 1 = 13, 33%. Teraz obliczam po kolei wartość kapitału w momentach zmiany modelu oprocentowania: K 2 = K 0 e 2 0,15 = 1, 399K 0 ; K 3,5 = K 2 (1 + r 2 2 )3 = 1, 6906K 0 ; K,25 = K 3,5 (1 + r 3 12 )9 = 1, 857K 0 ; I wreszcie uzyskuję równanie na długość trwania lokaty, gdzie n jest liczbą lat od ostatniej zmiany modelu oprocentowania do końca lokaty: K 0 = K,25 (1 + r ) n n = 6, 13. Ponieważ kapitalizacja odbywa się co rok, w momencie danym przez 6,13 roku od zmiany oprocentowania nie ma jeszcze tyle kapitału na koncie. K 0 przekroczone zostanie dopiero po 7 latach. Do ostatniej zmiany modelu oprocentowania upłynęły lata i 3 miesiące, więc po dodaniu 7 lat otrzymuję ostateczny wynik: 11 lat i 3 miesiące. Odp: W ostatnim okresie trwania lokaty obowiązywała stopa 13, 33%. Wartość kapitału na lokacie zwiększy się -krotnie po 11 latach i 3 miesiącach od jej rozpoczęcia. 2. (200 pkt) Na pewnej lokacie obowiązywała kapitalizacja kwartalna z nominalną stopą procentową roczną 8% w pierwszym półroczu, następnie 20% przez 3,5 roku i wreszcie 16% przez ostatnie 2 lata. Ile wynosiła przeciętna kwartalna stopa procentowa na tej lokacie w ciągu 6 lat jej trwania? W trakcie tych 6 lat wartość realna kapitału na lokacie wzrosła z 100 jp. na początku do 7358,6 jp. na końcu tego okresu. Inflacja roczna w pierwszych pięciu latach trwania lokaty wynosiła odpowiednio: 6%, 7%, 7%, 8%, 7%. Ile wynosiła w ostatnim, szóstym roku obowiązywania lokaty przeciętna kwartalna stopa inflacji oraz średnia kwartalna realna stopa zwrotu? Rozwiązanie Zacznę od kwestii najłatwiejszej: obliczenia przeciętnej kwartalnej stopy procentowej. W tym celu przeliczam wszystkie okresy stóp na kwartalne (zgodne z kapitalizacją, więc wystarczy obliczyć stopy względne). Wynoszą one odpowiednio: 8% = 2% przez pierwsze 2 kwartały, 20% = 5% przez następne 1 kwartałów i 16% = % przez ostatnie 8 kwartałów. Podstawiam do wzoru (pamiętając, że w sumie były 2 kwartały): r prz = 2 (1, 02) 2 (1, 05) 1 (1, 0) 8 1 =, 1%. Następnie obliczam wartość nominalną kapitału na lokacie po 6 latach: K nom = 100 (1, 02) 2 (1, 05) 1 (1, 0) 8 = 11558, 31 Korzystam ze związku na związek między kapitałem nominalnym, realnym i inflacją całkowitą (6-letnią) uzyskując: 11588, 31 7358, 6 = K re = = 1, 5707. Wiem, że i c - całkowita inflacja 6-letnia powstaje ze złożenia składowych inflacji rocznych, więc jeśli przez i 6 oznaczę inflację roczną w szóstym roku trwania lokaty to: (1, 06)(1, 07)(1, 07)(1, 08)(1, 07)(1 + i 6 ) = i 6 = 0, 12. i 6 to jest inflacja roczna, potrzebuję przeciętniej inflacji kwartalnej w szóstym roku: i 6,kw. Inflacja jest zjawiskiem złożonym, więc muszę przejść przez wzór na stopę efektywną: (1 + i 6,kw ) = 1, 12 i 6,kw = 2, 87%. Wreszcie, uwzględniając, że kwartalna stopa procentowa (przy kapitalizacji kwartalnej) w ostatnim roku wynosi r 6,kw = 16% = % i podstawiając do wzoru na realną stopę zwrotu dostaję:
r re,6,kw = r 6,kw i 6,kw 0, 0 0, 0287 = = 1, 01%. 1 + i 6,kw 1, 0287 Odp: Przeciętna kwartalna stopa procentowa w trakcie trwania lokaty to, 1%, inflacja kwartalna w ostatnim roku wyniosła 2, 87%, a realna kwartalna stopa zwrotu w ostatnim roku wyniosła 1, 01%. Grupa I 1. (200 pkt) Na lokacie z kapitalizacją kwartalną roczna stopa procentowa zmieniała się następująco: przez pierwsze 2 lata i 3 miesiące wynosiła 2%, przez kolejny rok 10%, a następnie aż do końca obowiązywania lokaty 12%. Wiedząc, że na lokatę wpłacono 1300 jp., a po 1,5 roku od rozpoczęcia wypłacono z niej 50 jp., kiedy na lokacie znajdzie się 2500 jp.? Zakładając, że w tym momencie lokata się zakończyła: jaka była przeciętna kwartalna stopa procentowa obowiązująca na lokacie przez cały okres jej trwania? Jak (tj. o ile i w którą stronę) należałoby zmienić nominalną roczną stopę procentową, aby po zmianie kapitalizacji na ciągłą warunki oprocentowania były równoważne warunkom początkowym tej lokaty (tj. stopie rocznej 2% z kapitalizacją kwartalną)? Rozwiązanie Obliczam wartość kapitału na koncie po 1,5 roku (przed wypłatą), 2,25 roku i 3,25 roku od rozpoczęcia: 0, 2 K 1,5 = 1300(1 + )6 = 18, 078; 0, 2 K 2,25 = (18, 078 50)(1 + )3 = 1660, 365; K 3,25 = 1660, 365(1 + 0, 1 ) = 1832, 7327. Teraz obliczam moment, gdy na lokacie znajdzie się co najmniej 2500 jp. Przez n oznaczam liczbę kwartałów od ostatniej zmiany oprocentowania (czyli od 3,25 roku od rozpoczęcia lokaty): 0, 12 2500 = K n +3,25 = K 3,25 (1 + )n n 10, 5. Ponieważ kapitalizacja odbywa się co kwartał, w momencie danym przez 10,5 kwartału od zmiany oprocentowania nie ma jeszcze tyle kapitału na koncie. 2500 przekroczone zostanie dopiero po 11 kwartałach. Do ostatniej zmiany modelu oprocentowania upłynęły 3 lata i 3 miesiące, czyli 13 kwartałów, więc po dodaniu 11 kwartałów otrzymuję ostateczny wynik: 2 kwartały, czyli 6 lat. Teraz wiem, że ostatnia stopa procentowa obowiązywała przez 11 kwartałów, więc po prostu wstawiam wszystkie dane (po przeliczeniu okresu wszystkich stóp na kwartalny) do wzoru na przeciętną stopę zwrotu: r prz = 2 (1, 06) 9 (1, 025) (1, 03) 11 1 =, 03%. By odpowiedzieć na ostatnie pytanie, przeliczam, za pomocą stopy efektywnej, kapitalizację kwartalną na roczną: r ef,roczna = (1, 06) 1 = 0, 2625, a następnie kapitalizację roczną na ciągłą: e ref 1 = 0, 2625 r e f = 23, 31%. Okresem tej stopy jest rok. Oczywiście, dwa ostatnie przeliczenia można zrobić naraz, ale rozbiłem je na dwie części dla lepszego zrozumienia. Ponieważ pytanie jest o zmianę stopy nominalnej, otrzymuję: 23, 31% 2% = 0, 69%. Odp: Wymagana kwota zostanie osiągnięta po 6 latach, w tym czasie przeciętna stopa zwrotu to, 03% kwartalnie, a stopa procentowa przy kapitalizacji ciągłej musi być zmniejszona o 0, 69 punktu procentowego by zachować opłacalność. 2. (200 pkt) Wartość realna kapitału wpłaconego na lokatę, na której obowiązywała kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 18% w ciągu 6 lat podwoiła się. W pierwszych kwartałach inflacja wynosiła 1%, 2%, 3% i % kwartalnie, a w kolejnych latach obowiązywania lokaty inflacja (roczna) wynosiła odpowiednio: 10%, 8%, 6%, 3%. Ile wyniosła inflacja roczna w ostatnim roku?
5 Ile wynosiła przeciętna półroczna stopa inflacji w całym okresie obowiązywania lokaty? Jaka była realna roczna stopa zwrotu w drugim roku trwania lokaty? Rozwiązanie: Najpierw obliczmy nominalną wartość kapitału na lokacie po 6 latach (72 miesiącach): 0, 18 K 6,nom = K 0 (1 + 12 )72 = 2, 9212K 0. Teraz, ze związku między wartością realną, nominalną i inflacją całkowitą obliczymy inflację całkowitą (i c ) 6-letnią w okresie obowiązywania lokaty. 2K 0 = K 6,re = K 6,nom = 1, 606. Wiemy, że i c jest złożeniem wszystkich inflacji w kolejnych okresach, więc jeśli przez i 6 oznaczymy roczną inflację obowiązującą w szóstym roku, to otrzymamy: = (1, 01)(1, 02)(1, 03)(1, 0)(1, 1)(1, 08)(1, 06)(1, 03)(1 + i 6 ) i 6 = 2, 0%. Przeciętną inflację półroczną łatwo obliczyć, pamiętając, że w 6 latach jest 12 półroczy, więc: i przec,p = 12 1 = 3, 21%. Tu można też liczyć dookoła przeliczając wszystkie składowe inflacje na półroczne, ale nie jest to niezbędne - patrz uwaga pod koniec zadania 2 w grupie G. Do obliczenia realnej stopy zwrotu w drugim roku potrzebuję inflacji w drugim roku (i 2 = 0, 1) oraz efektywnej nominalnej rocznej stopy zwrotu z tej lokaty r ef : r ef = (1 + Wstawiając do wzoru na r re dostaję: 0, 18 12 )12 1 = 19, 56%. 0, 1956 0, 1 r re = = 8, 69%. 1, 1 Odp: Inflacja roczna w szóstym roku wynosi 2, 0%, przeciętna inflacja półroczna przez 6 lat wynosi 3, 21%, a realna stopa zwrotu w drugim roku lokaty to 8, 69%.