Podstawowe człony dynamiczne dr hab. inż. Krzysztof Patan
Człon proporcjonalny Równanie w dziedzinie czasu Transmitancja y(t) = Ku(t) Y (s) = KU(s) G(s) = Y (s) U(S) = K Transmiancja widmowa G(s) = K G(jω) = K Przykład: G(s) = 2
Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b) (a) (b) Step Response Impulse Response 3 1 2.5.5 Amplitude 2 Amplitude 1.5.5 1.2.4.6.8 1 Time (sec) 1.2.4.6.8 1 Time (sec)
Charakterystyki Bodego Bode Diagram 7.5 Magnitude (db) 7 6.5 6 5.5 5 1 Phase (deg).5.5 1 1 1 1 Frequency (rad/sec)
Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram 1.5 Imaginary Axis.5 1 1.5.5 1 1.5 2 2.5 3 Real Axis
Człon inercyjny I rzędu Równanie różniczkowe Transmitancja T dy(t) dt Transmitancja widmowa G(s) = G(jω) = + y(t) = Ku(t) K 1 + T s K 1 + jt ω Przykład: zbiornik zasilany cieczą o swobodnym wypływie
Przykład: G(s) = 1 1 +.1s Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b) (a) (b) Step Response Impulse Response 1 1.8 8 Amplitude.6.4 Amplitude 6 4.2 2.1.2.3.4.5.6 Time (sec).1.2.3.4.5.6 Time (sec)
Charakterystyki Bodego Bode Diagram Magnitude (db) 1 2 3 4 Phase (deg) 45 9 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Frequency (rad/sec)
Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram.5 Imaginary Axis.5 1.5.5 1 Real Axis Ćwiczenie Wykreślić charakterystyki czasowe i częstotliwościowe dla systemu G(s) = 1 1.1s
Człon inercyjny II rzędu Równanie różniczkowe T 1 T 2 d 2 y(t) dt Transmitancja + (T 1 + T 2 ) dy(t) dt G(s) = Transmitancja widmowa G(jω) = K (1 + T 1 s)(1 + T 2 s) + y(t) = Ku(t) K (1 + jt 1 ω)(1 + jt 2 ω) Przykład: dwa zbiorniki połączone ze sobą, ciecz wpływa do pierwszego zbiornika i swobodnie wypływa z drugiego zbiornika
Przykład: G(s) = 2 (1 +.1s)(1 + s) Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b) (a) 2 1.5 Step Response (b) 1.6 1.4 1.2 Impulse Response Amplitude 1.5 1 2 3 4 5 6 Time (sec) Amplitude 1.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6 Time (sec)
Charakterystyki Bodego Bode Diagram Magnitude (db) 2 2 4 6 8 1 Phase (deg) 45 9 135 18 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Frequency (rad/sec)
Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram 1.5 1 Imaginary Axis.5.5 1 1.5 1.5.5 1 1.5 2 Real Axis
Człon oscylacyjny Równanie różniczkowe T 2 d2 y(t) dt + 2ξT dy(t) dt + y(t) = Ku(t) gdzie T stała czasowa, ξ współczynnik tłumienności, K wzmocnienie Transmitancja Transmitancja widmowa G(s) = G(jω) = Przykład: układ obrotowy K T 2 s 2 + 2ξT s + 1 K 1 T 2 ω 2 + j2ξt ω
Przykład: G(s) = 2 s 2 +.2s + 1 Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b) (a) (b) 3.5 Step Response 2 Impulse Response 3 1.5 2.5 1 Amplitude 2 1.5 Amplitude.5 1.5.5 1 1 2 3 4 5 6 Time (sec) 1.5 1 2 3 4 5 6 Time (sec)
Charakterystyki Bodego 4 Bode Diagram Magnitude (db) 2 2 4 Phase (deg) 45 9 135 18 1 1 1 1 1 Frequency (rad/sec)
Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram 15 1 Imaginary Axis 5 ω = ω = ω = 5 1 15 6 4 2 2 4 6 Real Axis Ćwiczenie Wykreślić charakterystyki częstotliwościowe dla systemu z poprzedniego zadania dla ξ =.1,.5, 1, 5
Człon różniczkujący (idealny) Równanie różniczkowe gdzie T d stała czasowa Transmitancja y(t) = T d du(t) dt G(s) = T d s Transmitancja widmowa G(jω) = jt d ω Przykład: G(s) = 2s
Charakterystyki Bodego 3 Bode Diagram Magnitude (db) 25 2 15 1 5 91 Phase (deg) 9.5 9 89.5 89 1 1 1 Frequency (rad/sec)
Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram 1 ω = 5 Imaginary Axis ω = 5 ω = 1 1.8.6.4.2.2.4 Real Axis Ćwiczenie Wykreślić charakterystyki czasowe idealnego członu różniczkującego
Człon całkujący (idealny) Równanie różniczkowe gdzie T i stała czasowa Transmitancja Transmitancja widmowa Przykład: G(s) = 2.1s T i dy(t) dt = Ku(t) G(s) = K T i s G(jω) = j K T i ω
Charakterystyki Bodego Bode Diagram 3 Magnitude (db) 25 2 15 1 5 89 Phase (deg) 89.5 9 9.5 91 1 1 1 Frequency (rad/sec)
Charakterystyka Nyquista 1 8 6 Nyquist Diagram ω = Imaginary Axis 4 2 2 4 6 ω = ω = 8 ω = 1 1.8.6.4.2.2.4 Real Axis Ćwiczenie Wykreślić charakterystyki czasowe idealnego członu całkującego
Człon opóźniający Równanie różniczkowe y(t) = u(t T ) gdzie T stała czasowa Transmitancja G(s) = e st Transmitancja widmowa Przykład: transport substancji G(s) = e jωt
Przykład: G(s) = e.1s Charakterystyki Bodego Bode Diagram 1 Magnitude (db).5.5 1 Phase (deg) 45 9 135 1 15 1 1 1 5 1 Frequency (rad/sec)
Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram 1.5 Imaginary Axis.5 1 1.5.5 1 Real Axis Ćwiczenie Wykreślić charakterystyki czasowe członu opóżniającego. Wykorzystać właściwości przekształcenia Laplace a
Człon całkujący (rzeczywisty) Równanie różniczkowe gdzie T stała czasowa Transmitancja Transmitancja widmowa T d2 y(t) dt 2 G(s) = G(s) = + dy(t) dt = Ku(t) K s(t s + 1) KT ω jk T 2 ω 3 ω Przykład: zlinearyzowany model silnika prądu stałego
Przykład: G(s) = 2 s(.1s+1) Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b) (a) Amplitude 3 25 2 15 1 5 Step Response 5 1 15 Time (sec) Amplitude (b) 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1.8.6.4.2 Impulse Response.1.2.3.4.5.6 Time (sec)
Charakterystyki Bodego 5 Bode Diagram Magnitude (db) 5 1 9 Phase (deg) 135 18 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Frequency (rad/sec)
Charakterystyka Nyquista 1 8 6 Nyquist Diagram ω = Imaginary Axis 4 2 2 4 6 ω = ω = 8 ω = 1 1.8.6.4.2 Real Axis
Człon różniczkujący (rzeczywisty) Równanie różniczkowe gdzie T stała czasowa Transmitancja Transmitancja widmowa T dy(t) dt + y(t) = K du(t) dt G(s) = Ks T s + 1 G(s) = Kω2 + jkω 1 T 2 ω 2 Przykład: model transformatora w biegu jałowym
Przykład: G(s) = 2s.1s+1 Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b) (a) Amplitude 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2 Step Response.1.2.3.4.5.6 Time (sec) Amplitude (b) 2 4 6 8 1 12 14 16 18 Impulse Response 2.1.2.3.4.5.6 Time (sec)
Charakterystyki Bodego 3 Bode Diagram Magnitude (db) 2 1 1 2 9 Phase (deg) 45 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Frequency (rad/sec)
Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram 1 5 Imaginary Axis ω = ω = ω = 5 1 5 5 1 15 2 Real Axis