Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe Logika rozmyta dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska http://torus.uck.pk.edu.pl/~beretam/ beretam@torus.uck.pk.edu.pl 1
Wyostrzanie Ostateczna, ostra wartość z Zbiór rozmyty C z jest C1 (0.1) z jest C2 (0.2) z jest C3 (0.6) Metoda Środka Ciężkości (Center of Gravity, Center of Area) 2
Wyostrzanie 1 Ostateczna, ostra wartość z 0 a b z Zbiór rozmyty C spełnia Metoda maksimum funkcji przynależności 3
Wyostrzanie 1 jest nazywany środkiem (ang. Center) zbioru rozmytego 0 a b z N liczba reguł k numer reguły spełnia zależność Metoda Center Average Defuzzification 4
Wyostrzanie 1 jest nazywany środkiem (ang. Center) zbioru rozmytego 0 a b z Metoda Center of Sums Defuzzification 5
Wnioskowanie rozmyte Wnioskowanie w stylu Mamdaniego. Wnioskowanie w stylu Takagi - Sugeno. 6
Wnioskowanie rozmyte Wnioskowanie w stylu Mamdaniego. IF x jest A1 AND y jest B2 THEN z jest Z1 A1, B2 oraz Z1 są wartościami lingwistycznymi opisywanymi za pomocą zbiorów rozmytych. 7
Wnioskowanie rozmyte Wnioskowanie w stylu Takagi - Sugeno. IF x jest A1 AND y jest B2 THEN z = f(x, y) A1 oraz B2 są wartościami lingwistycznymi opisywanymi za pomocą zbiorów rozmytych. z przyjmuje wartość zależną od x oraz y, np. wielomian pierwszego stopnia: z = a*x + b*y + c lub stała: z = 13 Tutaj w konkluzji reguły nie ma zbioru rozmytego! 8
Wnioskowanie rozmyte x1, x2 wartości ostre Główne etapy wnioskowani a rozmytego: Rozmywanie (Fuzzyfication) Sprawdzenie reguł rozmytych (Rule evaluaion) Agregacja odpowiedzi reguł rozmytych (Aggregation of the rule outputs) Wyostrzanie (Defuzzyfication) y wartość ostra 9
Wnioskowanie rozmyte Reguła 1: IF x jest A3 OR y jest B1 THEN z jest C1 Reguła 2: IF x jest A2 AND y jest B2 THEN z jest C2 Reguła 3: IF x jest A1 THEN z jest C3 10
Sterownik Takagi-Sugeno... Ogólna postać reguł Numer reguły Numer zmiennej wejściowej 11
Sterownik Takagi-Sugeno Krok 1: Obliczanie stopnia aktywacji reguł dla sygnału wejściowego (wektor stanu obiektu): 12
Sterownik Takagi-Sugeno Dla reguły 1 obliczamy: oraz stopień aktywacji reguły 1: 13
Sterownik Takagi-Sugeno Krok 2: Obliczamy odpowiedź reguły 1: 14
Sterownik Takagi-Sugeno Powtarzamy dla każdej reguły 1... N: 15
Sterownik Takagi-Sugeno Odpowiedź sterownika Takagi - Sugeno jest znormalizowaną sumą ważoną poszczególnych wyjść 16
Sterownik Takagi-Sugeno W przypadku liniowym bazę reguł sterownika można zapisać jako dla k = 1,..., N 17
Sterownik Takagi-Sugeno Przykład: 18
Sterownik Takagi-Sugeno 1 MAŁE DUŻE x1 19
Sterownik Takagi-Sugeno MAŁE 1 ŚREDNIE x2 20
Sterownik Takagi-Sugeno Wyznaczymy sygnał wyjściowy dla oraz 21
Sterownik Takagi-Sugeno 1 MAŁE DUŻE 0.75 0.3 x1 = 2 x1 22
Sterownik Takagi-Sugeno MAŁE 1 ŚREDNIE 0.7 0.2 x2 = 3 x2 23
Sterownik Takagi-Sugeno Wyznaczymy sygnał wyjściowy dla oraz Otrzymujemy: oraz (zamiast min może tu wystapić również iloczyn) 24
Sterownik Takagi-Sugeno Odpowiedź reguły 1: Odpowiedź reguły 2: Ostateczna odpowiedź sterownika: 25
Funkcje aktywacji Klasa s 26
Funkcje aktywacji Klasa s a = 120 b = 150 c = 180 27
Funkcje aktywacji Klasa pi 28
Funkcje aktywacji Klasa pi b = 30 c = 150 29
Funkcje aktywacji Klasa gamma 30
Funkcje aktywacji Klasa gamma a = 150 b = 180 31
Funkcje aktywacji Klasa t (trójkątna) 32
Funkcje aktywacji Klasa t (trójkątna) a = 130 b = 150 c = 170 33
Funkcje aktywacji Klasa L 34
Funkcje aktywacji Klasa L a = 150 b = 180 35
Funkcje aktywacji Trapezoidalna 36
Funkcje aktywacji Trapezoidalna a = 120 b = 140 c = 160 d = 180 37
Funkcje aktywacji Dzwonowa (ang. Bell-shaped) a cetrum b nachylenie c - szerokość 38
Funkcje aktywacji Dzwonowa (ang. Bell-shaped) a = 150 b = 5 c = 20 39
Funkcje aktywacji Dzwonowa (ang. Bell-shaped) a = 150 b = 20 c = 20 40
Funkcje aktywacji Dzwonowa (ang. Bell-shaped) a = 150 b = 5 c = 30 41
Funkcje aktywacji Funkcja Gaussa a centrum b - szerokość 42
Funkcje aktywacji Funkcja Gaussa a = 150 b = 20 43
Funkcje aktywacji Funkcja Gaussa a = 150 b = 80 44
Funkcje aktywacji Funkcje gładkie są wolniejsze w obliczeniach, jednak są różniczkowalne w każdym punkcie dziedziny. Jest to istotne podczas budowania systemów neuronowo-rozmytych, które mają być uczone metodami gradientowymi, gdzie występuje konieczność liczenia pochodnych cząstkowych. 45
Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych W przypadku przesłanek reguł z kilkoma jednostkowymi warunkami połączonymi operacją AND istnieje konieczność dokonania operacji przecięcia zbiorów rozmytych (iloczyn zbiorów rozmytych). W przypadku wystąpienia wielu reguł z wnioskami w postacie zbiorów rozmytych (styl Mamdaniego) istnieje konieczność zagregowania odpowiedzie wszystkich reguł, czyli dokonania sumy zbiorów rozmytych. Operacje te można zdefiniować na kilka sposobów. 46
Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych 47
Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych 48
Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych 49
Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych 50
Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych 51
Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych 52
Przecięcia i sumy zbiorów rozmytych Powyższe funkcje są przykładami T-norm oraz S-norm 53
Rozmyte implikacje Aby przeprowadzić rozmyte wnioskowanie, należy również zdefiniować rozmytą implikację, czyli sposób obliczania funckji przynależności wynikowego zbioru rozmytego danej reguły. 54
Iloczyn skalarny zbiorów rozmytych lub 55
Rozmyte implikacje Reguła typu minimum: Reguła typu iloczyn: Reguła Łukasiewicza: 56
Rozmyte implikacje Reguła typu max-min (reguła Zadeha): Reguła binarna: Reguła Goguena: 57
Rozmyte implikacje Reguła Sharpa: Reguła Godela: 58
Rozmyte implikacje Reguła probabilistyczna: Reguła ograniczonej sumy: 59
Rozmyte wnioskowanie Wnioskowaniem rozmytym z punktu widzenia matematyki nazywamy złożenie zbioru rozmytego (A') oraz rozmytej implikacji (A B). W wyniku otrzymujemy również zbiór rozmyty B'. operacja złożenia rozmyta implikacja 60
Rozmyte wnioskowanie Uogólniona rozmyta reguła wnioskowania modus ponens operacja T-normy Uogólniona rozmyta reguła wnioskowania modus tollens 61
Rozmyte wnioskowanie Aby przeprowadzićrozmyte wnioskowanie, należy zatem zdefiniować: T-normę wykorzystaną w operacji złożenia Sposób wykonywania iloczynu skalarnego zbiorów rozmytych Sposób wykonywania rozmytej implikacji Sposób agregacji zbiorów rozmytych będących wnioskami poszczególnych reguł (S-normę) Dodatkowo: Sposób rozywania Sposób wyostrzania 62
Rozmyte wnioskowanie Wszystkie te operacje się uprszaczają, jeśli przyjętym sposobem rozmywania jest singleton. Singleton to zbiór rozmyty, do którego jeden element (jedna wartość) należy w stopniu 1, a wszystkie inne w stopniu 0. Znacznie upraszcza to wykonanie operacji sup. 63