Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Strona 1 z 38 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko alicja@cbk.waw.pl 2 czerwca 2006

1 Omówienie danych 3 Strona główna Strona 2 z 38 2 Metody wyznaczania zmian fazy oscylacji dominujących 5 2.1 Metoda najmniejszych kwadratów........... 5 2.2 Transformata falkowa.................. 5 2.3 FTBPF+CD...................... 6 2.4 FTBPF+HT...................... 7 2.5 CD+FTLPF....................... 8 3 Metody wyznaczania zmian okresu 15 3.1 Okres z maksimum modułu transformaty falkowej.. 15 3.2 Okres ze zmian fazy................... 19 4 Metody wyznaczania zmian okresu zdudnienia oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego 26 4.1 Okres zdudnienia ze zmian okresu oscylacji Chandlera i rocznej......................... 26 4.2 Okres zdudnienia z długości łuku polhodii...... 26 4.3 Okres zdudnienia z długości promienia polhodii... 27 5 Wnioski 34 6 Cele pracy 36

1. Omówienie danych Strona główna Strona 3 z 38 Rysunek 1: Współrzędne bieguna ziemskiego w latach 1994-1997. Linia ciągła: średnie przemieszczenie bieguna w latach 1900-1996.

Strona 4 z 38 Rysunek 2: Współrzędne bieguna ziemskiego otrzymane poprzez połączenie danych IERS EOPC01(1950.0-1962.0) oraz EOPC04(1962.0-2005.6).

2. Metody wyznaczania zmian fazy oscylacji dominujących Strona główna Strona 5 z 38 2.1. Metoda najmniejszych kwadratów Dopasowanie modelu do współrzędnych bieguna ziemskiego z przedziału o danej długości, przesuwającego się wzdłuż całego przedziału czasowego danych. 2.2. Transformata falkowa W (t, T ) = 1 + f(t )ψ( t t T T )dt f - sygnał ψ - funkcja analizująca (falka podstawowa) t - parametr translacji T - parametr dylatacji (skali) 1 T - czynnik normalizujący

Dla ustalonego okresu T mean : Strona główna 2.3. FTBPF+CD A(t) = abs[w (t, T mean )] ϕ(t) = arg[w (t, T mean )] φ(t) = ϕ(t) 2πt T mean Wyznaczenie oscylacji o centralnej częstotliwości ω 0 przez zastosowanie filtru środkowoprzepustowego transformaty Fouriera: Strona 6 z 38 gdzie A(ω, ω 0 ) = x(t, ω 0 ) = F T 1 [F T (x(t)) A(ω, ω 0 )], 1 (ω ω 0 ) 2 /λ 2 dla ω ω 0 λ 0 dla ω ω 0 > λ jest paraboliczną funkcją przenoszenia, zaś λ - parametrem sterującym rozdzielczością częstotliwościową.

Pomnożenie oscylacji x(t, ω 0 ) przez zespoloną sinusoidę o centralnej częstotliwości ω 0 : Strona główna z(t, ω 0 ) = x(t, ω 0 )e iω 0t Strona 7 z 38 2.4. FTBPF+HT Wyznaczenie oscylacji o centralnej częstotliwości ω 0 przez zastosowanie filtru środkowoprzepustowego transformaty Fouriera. Utworzenie szeregu zespolonego, którego część rzeczywistą stanowi wyznaczona oscylacja, zaś część urojoną transformata Hilberta tej oscylacji: z(t, ω 0 ) = x(t, ω 0 ) + i H[x(t, ω 0 )].

2.5. CD+FTLPF Strona główna Pomnożenie sygnału x(t) przez sinusoidę zespoloną o częstotliwości ( ω 0 ): x(t, ω 0 ) = x(t) e iω 0t Strona 8 z 38 Filtracja uzyskanego sygnału x(t, ω 0 ) przy użyciu filtru dolnoprzepustowego transformaty Fouriera: gdzie z(t, ω 0 ) = F T 1 [F T (x(t, ω 0 )) A(ω)], A(ω) = 1 ω 2 /λ 2 dla ω λ 0 dla ω > λ jest paraboliczną funkcją przenoszenia, zaś λ - połową długości okna (λ > π/n).

Strona 9 z 38 Rysunek 3: Faza oscylacji Chandlera

Strona 10 z 38 Rysunek 4: Faza oscylacji Chandlera (współrzędna x)

Strona 11 z 38 Rysunek 5: Faza oscylacji Chandlera (współrzędna y)

Strona 12 z 38 Rysunek 6: Faza oscylacji rocznej

Strona 13 z 38 Rysunek 7: Faza oscylacji rocznej (współrzędna x)

Strona 14 z 38 Rysunek 8: Faza oscylacji rocznej (współrzędna y)

3. Metody wyznaczania zmian okresu Strona główna Strona 15 z 38 3.1. Okres z maksimum modułu transformaty falkowej Niech A(t, T ) = abs[w (t, T )]. Wówczas dla danego momentu czasu t okres oscylacji dominującej T (t) określamy jako T (t) = argmax[a(t, T )], gdzie T [T mean ɛ, T mean + ɛ].

Strona 16 z 38 Rysunek 9: Moduł transformaty falkowej Morleta (σ = 5).

Strona 17 z 38 Rysunek 10: Okres oscylacji Chandlera wyznaczony z widma transformaty falkowej Morleta dla różnych wartości parametru σ.

Strona 18 z 38 Rysunek 11: Okres oscylacji rocznej wyznaczony z widma transformaty falkowej Morleta dla różnych wartości parametru σ.

3.2. Okres ze zmian fazy Strona główna W ruchu harmonicznym dla dowolnego momentu czasu t pomiędzy fazą, częstością kołową i okresem zachodzą następujące zależności: ω(t) = dϕ(t) dt T (t) = 2π ω(t) które pozwalają na wyznaczenie zmian okresu oscylacji dominującej na podstawie znanych zmian fazy tej oscylacji. Strona 19 z 38

Strona 20 z 38 Rysunek 12: Faza oscylacji rocznej

Strona 21 z 38 Rysunek 13: Częstość kołowa (pulsacja) oscylacji rocznej

Strona 22 z 38 Rysunek 14: Okres oscylacji rocznej

Strona 23 z 38 Rysunek 15: Faza oscylacji Chandlera

Strona 24 z 38 Rysunek 16: Częstość kołowa (pulsacja) oscylacji Chandlera

Strona 25 z 38 Rysunek 17: Okres oscylacji Chandlera

Strona 26 z 38 4. Metody wyznaczania zmian okresu zdudnienia oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego 4.1. Okres zdudnienia ze zmian okresu oscylacji Chandlera i rocznej Jeżeli dla danego momentu czasu t, znamy wartość okresu oscylacji Chandlera T Ch (t) i okresu oscylacji rocznej T An (t), wówczas wartość okresu zdudnienia tych oscylacji dla tego momentu czasu możemy wyznaczyć ze wzoru: 1 T (t) = 1 T An (t) 1 T Ch (t) 4.2. Okres zdudnienia z długości łuku polhodii Innym sposobem na wyznaczenie okresu zdudnienia oscylacji Chandlera i rocznej jest znalezienie okresu oscylacji dominującej w szeregu czasowym długości łuku polhodii.

Znając wartości współrzędnych bieguna ziemskiego w momentach czasu t oraz (t 1) długość łuku polhodii wyznaczamy ze wzoru: L t = (x t x t 1 ) 2 + (y t y t 1 ) 2, t = 1, 2,..., n. Strona 27 z 38 4.3. Okres zdudnienia z długości promienia polhodii Znając średnie położenie bieguna ziemskiego x m t, yt m w momencie czasu t oraz aktualne położenie bieguna x t, y t w tym czasie, można obliczyć długość promienia polhodii: R t = (x t x m t ) 2 + (y t y m t ) 2, t = 1, 2,..., n. Okres oscylacji dominującej w szeregu czasowym R t jest okresem zdudnienia oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Strona 28 z 38 Rysunek 18: Długość łuku polhodii L t

Strona 29 z 38 Rysunek 19: Moduł transformaty falkowej Morleta długości łuku polhodii (σ = 0.4).

Strona 30 z 38 Rysunek 20: Długość promienia polhodii R t

Strona 31 z 38 Rysunek 21: Moduł transformaty falkowej Morleta długości promienia polhodii (σ = 0.4).

Strona 32 z 38 Rysunek 22: Okres zdudnienia oscylacji Chandlera i rocznej

Strona 33 z 38 Tabela 1: Współczynnik korelacji pomiędzy okresem zdudnienia a okresem oscylacji rocznej / Chandlera dla różnych wartości parametru σ. σ r(t beat, T An ) r(t beat, T Ch ) 2.0 0.941-0.641 2.1 0.946-0.613 2.2 0.948-0.591 2.3 0.946-0.575 2.4 0.942-0.568 2.5 0.935-0.569 2.6 0.926-0.577 2.7 0.916-0.589 2.8 0.904-0.604 2.9 0.892-0.619 3.0 0.880-0.633

5. Wnioski Strona główna Strona 34 z 38 Transformata falkowa, metoda najmniejszych kwadratów oraz metody będące kombinacjami filtru transformaty Fouriera z demodulacją zespoloną oraz transformatą Hilberta wykazują dość dużą zgodność pomiędzy wyznaczonymi zmianami faz oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Dla wszystkich metod bardzo dużą rolę odgrywa dobór parametrów. W zmianach częstości kołowej lub okresu otrzymanych z pierwszej pochodnej zmian fazy po czasie występują oscylacje wysokoczęstotliwościowe ze względu na to, że operacja różniczkowania jest filtrem górnoprzepustowym. Metoda wyznaczania maksimum modułu transformaty falkowej jest bardzo czasochłonna ze względu na konieczność wyznaczenia dla każdego momentu czasu dużej liczby wspołczynników falkowych.

Błędy wyznaczania chwilowych faz, okresów lub częstości kołowych można częściowo wyeliminować poprzez przedłużenie szeregu czasowego o jego prognozę. Na zmiany okresu zdudnienia wpływają głównie zmiany okresu oscylacji rocznej. Strona 35 z 38

6. Cele pracy Strona główna Strona 36 z 38 Uzyskanie większej zgodności pomiędzy wynikami dotyczącymi zmian okresu zdudnienia oscylacji Chandlera oraz rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego poprzez odpowiedni dobór parametrów dla zastosowanych metod obliczeniowych Wyznaczenie częstości kołowej i okresu oscylacji Chandlera i rocznej oraz okresu zdudnienia tych oscylacji w funkcji czasu poprzez zastosowanie metod: CD+FTLPF, FTBPF+CD, FTBPF+HT Badanie zależności pomiędzy okresem zdudnienia oscylacji rocznej i Chandlera we współrzędnych bieguna ziemskiego a zmianami fazy oscylacji rocznej w geofizycznej funkcji pobudzenia Wyjaśnienie przyczyn pobudzania oscylacji Chandlera

Wyjaśnienie przyczyn powstawania błędów prognozowania parametrów orientacji Ziemi poprzez badanie zmian faz najbardziej energetycznych oscylacji Strona 37 z 38

Dziękuję za uwagę Strona 38 z 38