Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36

Grupa klas odwzorowań (mapping class group) to pewna grupa stowarzyszona z powierzchnią (lub ogólniej, z dowolną przestrzenią topologiczną). Odgrywa ona ważną rolę w następujących działach matematyki: topologia teoria grup geometria analiza zespolona Badanie grup klas odwzorowań zostało zapoczątkowane w latach 20-tych XX w. przez Maxa Dehna i Jakoba Nielsena. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 2 / 36

Rozmaitości topologiczne Definicja n-wymiarową rozmaitością nazywamy przestrzeń topologiczną Hausdorffa, której każdy punkt posiada otwarte otoczenie homeomorficzne z otwartą kulą jednostkową w R n : U n = {x R n : x < 1}. Przykłady: 1 dowolny otwarty podzbiór R n 2 S n = {x R n+1 : x = 1} 3 Jeżeli M jest m-wymiarową rozmaitością, a N jest n-wymiarową rozmaitością, to iloczyn kartezjański M N jest (m + n)-wymiarową rozmaitością. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 3 / 36

Powierzchnie Definicja Powierzchnią nazywamy 2-wymiarową rozmaitość. Będą nas interesować wyłącznie powierzchnie spójne i zwarte. Przykłady: 1 sfera S 2 = {x R 3 : x = 1} 2 torus T 2 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 4 / 36

4 różne definicje torusa 1 iloczyn kartezjański dwóch okręgów 2 powierzchnia obrotowa w R 3 powstająca przez obrót okręgu (x 2) 2 + y 2 = 1 na płaszczyźnie xy wokół osi y 3 przestrzeń powstająca przez sklejenie naprzeciwległych boków kwadratu. 4 przestrzeń orbit R 2 /Z 2 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 5 / 36

Torus jako przestrzeń orbit Grupa Z 2 działa na płaszczyźnie R 2 za pomocą przesunięć: dla (x, y) R 2 i (a, b) Z 2. (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) Przestrzenią orbit tego działania nazywamy przestrzeń ilorazową R 2 /Z 2, powstającą przez utożsamienie wszystkich punktów płaszczyzny różniących się o przesunięcie o wektor z Z 2. (x, y) (x, y ) (x x, y y) Z 2 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 6 / 36

Torus jako przestrzeń orbit Grupa Z 2 działa na płaszczyźnie R 2 za pomocą przesunięć: dla (x, y) R 2 i (a, b) Z 2. (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) Przestrzenią orbit tego działania nazywamy przestrzeń ilorazową R 2 /Z 2, powstającą przez utożsamienie wszystkich punktów płaszczyzny różniących się o przesunięcie o wektor z Z 2. (x, y) (x, y ) (x x, y y) Z 2 Uwaga. Powyższe 4 definicje torusa są topologicznie równoważne, tzn. definiują homeomorficzne przestrzenie. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 6 / 36

(0, 1) (1, 1) (0, 0) (1, 0) Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 7 / 36

Płaszczyzna rzutowa Płaszczyzna rzutowa RP 2 jest to powierzchnia powstająca przez utożsamienie antypodycznych punktów na sferze S 2. RP 2 = S 2 / gdzie x x Rozważmy pierścień otaczający równik sfery: {(x, y, z) S 2 : z 1/4} Po utożsamieniu antypodycznych punktów powstaje z niego wstęga Möbiusa. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 8 / 36

Płaszczyzna rzutowa Płaszczyzna rzutowa RP 2 jest to powierzchnia powstająca przez utożsamienie antypodycznych punktów na sferze S 2. RP 2 = S 2 / gdzie x x Rozważmy pierścień otaczający równik sfery: {(x, y, z) S 2 : z 1/4} Po utożsamieniu antypodycznych punktów powstaje z niego wstęga Möbiusa. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 8 / 36

Orientacja Definicja Powierzchnię nazywamy nieorientowalną jeżeli zawiera wstęgę Möbiusa, a orientowalną w przeciwnym wypadku. Na powierzchni orientowalnej możemy ustalić, dla każdego podzbioru U homeomorficznego z otwartym dyskiem na płaszczyźnie, którą z dwóch możliwych orientacji okręgu zawartego w U uznajemy za dodatnią, w taki sposób, że jeżeli okrąg (wraz z otoczeniem U) będzie się poruszał w sposób ciągły po powierzchni, to będzie on przez cały czas zorientowany dodatnio. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 9 / 36

Suma spójna Mając dane dwie powierzchnie A i B, ich sumą spójną nazywamy powierzchnię A#B powstającą w następujący sposób: Wycinamy z obu powierzchni mały dysk, a następnie sklejamy powierzchnie ze sobą wzdłuż brzegów wyciętych dysków. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 10 / 36

Własności sumy spójnej Z dokładnością do homeomorfizmu, A#B nie zależy od wyboru dysków użytych w konstrukcji, ani od wyboru sklejenia. Suma spójna ma następujące własności, gdzie L = P należy rozumieć jako L jest homeomorficzne z P : A#B = B#A (A#B)#C = A#(B#C) A#S 2 = A Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 11 / 36

Klasyfikacja zwartych powierzchni Twierdzenie Dowolna spójna i zwarta powierzchnia jest homeomorficzna z jedną z następujących: 1 sfera S 2 2 suma spójna g torusów dla pewnego g 1 3 suma spójna g płaszczyzn rzutowych dla pewnego g 1 Powierzchnie z punktów 1 i 2 są orientowalne, a powierzchnia z punktu 3 jest nieorientowalna. Liczbę naturalną g występującą w punktach 2 i 3 nazywamy rodzajem powierzchni (przyjmujemy, że sfera ma rodzaj 0). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 12 / 36

Orientowalne, zwarte powierzchnie Będziemy oznaczać przez S g dowolną powierzchnię homeomorficzną z sumą spójną g torusów. Na mocy poprzedniego twierdzenia, dowolna spójna, zwarta i orientowalna powierzchnia jest homeomorficzna z S g dla pewnego g 0 (przyjmujemy S 0 = S 2 ). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 13 / 36

Homeomorfizmy zachowujące orientację Definicja Ustalmy dowolną orientację powierzchni S g. Mówimy, że homeomorfizm f : S g S g zachowuje orientację, jeżeli dla każdego podzbioru U S g homeomorficznego z otwartym dyskiem na płaszczyźnie i okręgu c U zorientowanego dodatnio, f (c) również jest zorientowany dodatnio. Wszystkie homeomorfizmy f : S g S g zachowujące orientację tworzą grupę z działaniem składania. Grupę tą oznaczamy Homeo + (S g ). Elementem neutralnym w Homeo + (S g ) jest identyczność id(x) = x. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 14 / 36

Homotopia Definicja Dwa ciągłe odwzorowania f 0, f 1 : X Y są homotopijne, jeżeli istnieje takie ciągłe odwzorowanie H : [0, 1] X Y, że H(0, x) = f 0 (x), H(1, x) = f 1 (x) dla każdego x X. Powyższe odwzorowanie H nazywamy homotopią między f 0 i f 1. Przykład. Niech l będzie dowolną prostą w R 3 przechodzącą przez punkt (0, 0, 0). Dla dowolnego ϕ [0, 2π) niech f l,ϕ Homeo + (S 2 ) będzie obrotem S 2 wokół osi l o kąt ϕ. Definiujemy H : [0, 1] S 2 S 2 wzorem H(t, x) = f l,tϕ (x). Takie H jest homotopią między f l,ϕ i identycznością. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 15 / 36

Klasy homotopii odwzorowań Homotopijność jest relacją równoważności w zbiorze ciągłych odwzorowań X Y. Jej klasy abstrakcji nazywamy klasami homotopii. Przykład. Rozważmy okrąg S 1 = {z C: z = 1}. Dowolne ciągłe odwzorowanie f : S 1 S 1 jest hometopijne z odwzorowaniem postaci z z n dla pewnego (jedynego) n Z. Liczbę n nazywamy stopniem f i oznaczamy deg(f ). Pojęcie stopnia uogólnia się na odwzorowania S n S n dla n > 1. Mamy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość { } klasy homotopii odwzorowań S n S n {liczby całkowite} f : S n S n jest homeomorfizmem deg(f ) = ±1. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 16 / 36

Grupa klas odwzorowań Wszystkie homeomorfizmy S g S g homotopijne z identycznością tworzą podgrupę normalną grupy Homeo + (S g ), którą oznaczamy Homeo 0 (S g ). Grupa klas odwzorowań powierzchni S g to grupa ilorazowa Mod(S g ) = Homeo + (S g )/Homeo 0 (S g ) Jej elementami są klasy homotopii homeomorfizmów zachowujących orientację. Przykład Jeżeli f : S 2 S 2 jest homeomorfizmem zachowującym orientację, to deg(f ) = 1, zatem f jest homotopijne z identycznością. Stąd Homeo + (S 2 ) = Homeo 0 (S 2 ), czyli Mod(S 2 ) jest grupą trywialną. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 17 / 36

Przykład nietrywialnego elementu Mod(S g ) Niech g 1. Powierzchnię S g możemy otrzymać przez sklejenie naprzeciwległych boków (4g + 2)-kąta foremnego. Obracając ten (4g + 2)-kąt wokół środka ciężkości o kąt 2nπ/(4g + 2) dla n = 1, 2,..., 4g + 1 otrzymujemy nietrywialne elementy Mod(S g ). Przykład dla g = 2: Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 18 / 36

Grupa SL 2 (Z) Definiujemy {( ) a b SL 2 (Z) = c d : a, b, c, d Z; ad bc = 1 } Jest to grupa z działaniem mnożenia macierzy. Każdej macierzy A SL 2 (Z) odpowiada odwzorowanie liniowe L A : R 2 R 2 (takie, że A jest macierzą L A w bazie standardowej) L A (x, y) = (x, y ) A [ ] x = y [ ] x y Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 19 / 36

Mod(S 1 ) SL 2 (Z) Rozważmy torus S 1 jako przestrzeń ilorazową R 2 /, gdzie (x, y) (x, y ) (x x, y y) Z 2 Dla dowolnego A SL 2 (Z) i dowolnych (x, y) R 2, (a, b) Z 2 mamy L A (x + a, y + b) = L A (x, y) + L A (a, b) L A (x, y), ponieważ L A (a, b) Z 2. Skoro L A zachowuje klasy abstrakcji relacji, możemy zdefiniować odwzorowanie L A : R 2 / R 2 / wzorem L A [x] = [L A (x)], gdzie [x] oznacza klasę abstrakcji w R 2 / punktu x R 2. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 20 / 36

Mod(S 1 ) SL 2 (Z) Własności: L A Homeo + (S 1 ) przyporządkowanie A L A definiuje homomorfizm grup SL 2 (Z) Homeo + (S 1 ) to znaczy L AB = L A L B dla A, B SL 2 (Z). Każdy homeomorfizm f Homeo + (S 1 ) jest homotopijny z L A dla pewnego A SL 2 (Z) L A i L B są homotopijne A = B Wniosek Grupy Mod(S 1 ) i SL 2 (Z) są izomorficzne. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 21 / 36

Generatory Definicja Mówimy, że grupa G jest generowana przez zbiór X G, jeżeli każdy jej element daje się zapisać w postaci iloczynu x a 1 1 x a 2 2 x n an, gdzie x i X i a i Z. Jeśli zbiór X jest skończony, to mówimy, że G jest skończenie generowana. Przykład. Dla każdego n 2, grupa SL n (Z) macierzy n n o współczynnikach całkowitych i wyznaczniku 1, jest generowana przez {T ij : 1 i j n}, gdzie T ij jest macierzą, której współczynniki na głównej przekątnej i na pozycji (i, j) są równe 1, a pozostałe współczynniki są równe 0. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 22 / 36

Generatory Mod(S 1 ) Grupa SL 2 (Z) jest generowana przez dwie macierze: A = ( ) 1 1 0 1 B = ( ) 1 0 1 1 Stąd wynika, że Mod(S 1 ) jest generowana przez klasy homotopii homeomorfizmów L A i L B. Proste y = 0 i x = 0 są niezmiennicze odpowiednio względem przekształceń L A i L B. Obrazem prostej y = 0 (odp. x = 0) na torusie S 1 = R 2 / jest krzywa zamknięta α (odp. β), homeomorficzna z okręgiem S 1, niezmiennicza względem L A (odp. L B ). Można pokazać, że L A (odp. L B ) jest homotpijne z twistem Dehna względem krzywej α (odp. β). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 23 / 36

Twist Dehna Niech α będzie krzywą zamkniętą (homeomorficznym obrazem okręgu) na zorientowanej powierzchni S g. Twistem Dehna (dodatnim) względem krzywej α nazywamy homeomorfizm T α : S g S g zdefiniowany następująco: 1 rozcinamy powierzchnię wzdłuż krzywej α, 2 skręcamy jeden z końców o 360 (w kierunku dodatnim względem ustalonej orientacji), 3 sklejamy z powrotem. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 24 / 36

Własności twistów Dehna Będziemy nazywać dodatnim twistem Dehna względem α i oznaczać T α dowolny homeomorfizm homotopijny z T α, jak również całą klasę homotopii (element Mod(S g )). Analogicznie definiuje się ujemny twist Dehna względem α. Jest to element odwrotny do T α w grupie Mod(S g ). Jeżeli α ogranicza dysk w S g, to twist T α jest homotopijny z identycznością, tzn. T α = 1 w Mod(S g ). W przeciwnym przypadku T α ma nieskończony rząd: n>0 T n α 1 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 25 / 36

Twisty Dehna jako generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Dehn) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez skończenie wiele twistów Dehna. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 26 / 36

Twisty Dehna jako generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Dehn) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez skończenie wiele twistów Dehna. Twierdzenie (Lickorish 1964) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez 3g 1 twistów Dehna. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 26 / 36

Generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Humphries 1979) Dla g > 1 minimalna liczba twistów Dehna generujących Mod(S g ) jest równa 2g + 1. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 27 / 36

Generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Humphries 1979) Dla g > 1 minimalna liczba twistów Dehna generujących Mod(S g ) jest równa 2g + 1. Twierdzenie (Wajnryb 1996) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez 2 elementy. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 27 / 36

Generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Humphries 1979) Dla g > 1 minimalna liczba twistów Dehna generujących Mod(S g ) jest równa 2g + 1. Twierdzenie (Wajnryb 1996) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez 2 elementy. Twierdzenie (Korkmaz 2003) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez 2 elementy skończonego rzędu. Rzędy tych elementów są równe 4 i 6 dla g = 1 6 i 10 dla g = 2 4g + 2 dla g 3 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 27 / 36

Geometria powierzchni Powierzchnie rodzaju 0 i 1 (sfera i torus) są bardzo wyjątkowe, z powodu geometrii. Twierdzenie (Uniformizacja powierzchni) Dla każdego g 0 istnieje zwarta orientowalna powierzchnia rodzaju g, wyposażona w metrykę riemannowską o stałej krzywiźnie K, przy czym K > 0 g = 0 K = 0 g = 1 K < 0 g 2 (metryka sferyczna) (metryka euklidesowa) (metryka hiperboliczna) Powyższa trychotomia znajduje swoje odzwierciedlenie we własnościach grupy klas odwzorowań. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 28 / 36

Skończone podgrupy Homeo + (S g ) i Mod(S g ). Dla dowolnego n N istnieje homeomorfizm S 1 S 1 rzędu n (np. obrót o kąt 2π/n). Natomiast jeżeli A SL 2 (Z) Mod(S 1 ) spełnia A n = I, to n {0, 1, 2, 3, 4, 6}. Twierdzenie Niech g 2 i załóżmy, że G < Homeo + (S g ) jest skończoną podgrupą. Wtedy obcięcie kanonicznego rzutowania Homeo + (S g ) Mod(S g ) do G jest różnowartościowe. Innymi słowy, każda skończona podgrupa Homeo + (S g ) jest izomorficzna z podgrupą Mod(S g ). Co z twierdzeniem odwrotnym? Czy każda skończona podgrupa Mod(S g ) jest izomorficzna z podgrupą Homeo + (S g )? Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 29 / 36

Realizacja Nielsena Złóżmy, że x Mod(S g ) ma skończony rząd k i niech f Homeo + (S g ) będzie dowolnym reprezentantem x. Wtedy f k jest homotpijne z identycznością. Czy można wybrać takie f, żeby f k było równe identyczności? Twierdzenie (Nielsen) Złóżmy, że g 2 i x Mod(S g ) ma skończony rząd k. Wtedy istnieje taki reprezentant f Homeo + (S g ), że f ma rząd k. Ponadto, można tak wybrać f, żeby było izometrią względem pewnej metryki hiperbolicznej na S g. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 30 / 36

Twierdzenie Kerckhoffa Steven Kerckhoff uogólnił w 1983 roku twierdzenie Nielsena dla dowolnej skończonej grupy. Twierdzenie (Kerckhoff) Złóżmy, że g 2 i G < Mod(S g ) jest skończoną podgrupą. Wtedy istnieje taka podgrupa G < Homeo + (S g ), że kanoniczne rzutowanie Homeo + (S g ) Mod(S g ) obcina się do izomorfizmu G G. Ponadto, można tak wybrać G, żeby była podgrupą izometrii względem pewnej metryki hiperbolicznej na S g. Innymi słowy, każda skończona podgrupa Mod(S g ) pochodzi od skończonej podgrupy Homeo + (S g ). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 31 / 36

Ograniczenia Hurwitza i Wimana Twierdzenie Kerckhoffa wraz z klasycznymi twierdzeniami Hurwitza (1893) i Wimana (1895) dotyczącymi izometrii powierzchni hiperbolicznych dają następujące górne ograniczenia na rząd dowolnej skończonej podgrupy Mod(S g ) i rząd skończonej podgrupy cyklicznej. Wniosek Złóżmy, że g 2 i G < Mod(S g ) jest skończoną podgrupą. Wtedy G 84(g 1), a jeżeli G jest cykliczna, to G 4g + 2. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 32 / 36

Grupy Hurwitza Twierdzenie Niech G będzie dowolną grupą skończoną. Wtedy G jest izomorficzna z podgrupą Mod(S g ) dla pewnego g 2. Wiadomo, że ograniczenie 84(g 1) jest osiągane dla nieskończenie wielu g oraz nie jest osiągane dla nieskończenie wielu g. Grupę skończoną G, która jest izomorficzna z podgrupą Mod(S g ) dla takiego g 2, że G = 84(g 1), nazywamy grupą Hurwitza Najmniejsza grupa Hurwitza ma rząd 168 (g = 3), a następna 504 (g = 7). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 33 / 36

Problem liniowości GL n (C) grupa macierzy nieosobliwych stopnia n o współczynnikach w C. Otwarty problem Niech g 3. Czy Mod(S g ) jest izomorficzna z podgrupą GL n (C) dla pewnego n? Mod(S 1 ) SL 2 (Z) < GL 2 (C) Mod(S 2 ) jest izomorficzna z podgrupą GL 64 (C) (Bigelow-Budney 2001). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 34 / 36

Problem liniowości GL n (C) grupa macierzy nieosobliwych stopnia n o współczynnikach w C. Otwarty problem Niech g 3. Czy Mod(S g ) jest izomorficzna z podgrupą GL n (C) dla pewnego n? Mod(S 1 ) SL 2 (Z) < GL 2 (C) Mod(S 2 ) jest izomorficzna z podgrupą GL 64 (C) (Bigelow-Budney 2001). Twierdzenie (Korkmaz 2011) Niech g 3 i n 3g 3. Wtedy Mod(S g ) nie jest izomorficzna z żadną podgrupą GL n (C). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 34 / 36

Koniec Dziękuję za uwagę! Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 35 / 36

Informacja o obrazkach wykorzystanych w tej prezentacji, które nie są mojego autorstwa i nie są w domenie publicznej: autorem obrazka na slajdzie 10 jest Oleg Alexandrov; autorem obrazka na slajdzie 26 jest Søren Fuglede Jørgensen; Oba obrazki na licencji Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 36 / 36