Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze«

Jarosªaw Mederski i Sªawomir Plaskacz Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze«materiaªy dydaktyczne dla studentów II-go roku matematyki specjalno± : matematyka w ekonomii i nansach. Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Toru«2009 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego

Spis tre±ci 1 Matematyka nansowa 3 1.1 Model dyskretny akumulacji kapitaªu.................. 3 1.1.1 Procent prosty.......................... 3 1.1.2 Procent skªadany......................... 3 1.1.3 Roczna efektywna stopa procentowa.............. 6 1.1.4 Dyskontowanie.......................... 8 1.1.5 Warto± obecna i warto± przyszªa strumienia pieni dza.... 9 1.1.6 Wewn trzna stopa zwrotu.................... 15 1.1.7 Ogólny plan spªaty kredytu................... 19 1.2 Ci gªy model akumulacji kapitaªu.................... 20 1.2.1 Proces ci gªej kapitalizacji odsetek............... 20 1.2.2 Ci gªy model akumulacji ze zmiennym w czasie nat»eniem oprocentowania.......................... 24 1.2.3 Warto± ko«cowa zmiennego strumienia kapitaªu przy akumulacji ci gªej............................ 25 1.3 Inacja................................... 27 2 Ubezpieczenia na»ycie 32 2.1 Tablice trwania»ycia........................... 32 2.1.1 Jednostajny rozkªad ±mierci................... 33 2.2 Ubezpieczenia na»ycie.......................... 33 2.2.1 Kontrakt ubezpieczeniowy ogólnego typu............ 35 2.3 Renty................................... 36 2.3.1 Renta ogólnego typu....................... 38 2.3.2 Renta pªatna cz ±ciej ni» raz w roku.............. 38 2.4 Skªadki netto............................... 38 2.5 Rezerwy netto............................... 40 2.5.1 Rezerwy netto - przykªady.................... 41 2.5.2 Kontrakt ubezpieczeniowy ogólnego typu............ 42 2.5.3 Zysk techniczny.......................... 43 2.6 Skªadki i rezerwy brutto......................... 44 2

Rozdziaª 1 Matematyka nansowa 1.1 Model dyskretny akumulacji kapitaªu 1.1.1 Procent prosty Obliczanie odsetek dla bankowca, urz dnika skarbowego, ksi gowej itp., odbywa si w oparciu o schemat nazywany procentem prostym. Odsetki O obliczamy maj c podan roczn stop procentow r, okres t (podany w dniach), za który odsetki s naliczane oraz kwot P, od której liczymy odsetki wedªug wzoru (1.1.1) O = t r 365 P W powy»szej formule przyj li±my umownie,»e rok ma 365 dni (bez podziaªu na lata przest pne i nieprzest pne). Przykªad 1.1. Odsetki od kwoty 100 zª przy rocznej stopie procentowej 24% za okres 30 dni wynosz 0, 24 O = 30 100 = 1, 97 365 Natomiast odsetki za okres 31 dni wynosz 2,04 zª. Przy obliczaniu liczby dni bierze si pod uwag faktyczn liczb dni (z uwzgl dnieniem 29 lutego w latach przest pnych). 1.1.2 Procent skªadany Kapitaª (ko«cowy) K b d cy sum kapitaªu pocz tkowego P oraz odsetek O wyra»a si jako K = P + O Odsetki O obliczamy w oparciu o stop procentow i oraz kapitaª pocz tkowy P jako iloczyn O = ip. Po podstawieniu dostajemy K = P + ip 3

Czyli (1.1.2) K = (1 + i)p Wspóªczynnik (1 + i) nazywany jest wspóªczynnikiem akumulacji. Najprostszy schemat akumulacji kapitaªu ilustrujemy na osi czasowej w postaci: i Rysunek 1.1.1: Akumulacja kapitaªu. Przykªad 1.2. Kapitaª pocz tkowy P = 1750 (zªotych) ulokowano na 5%. Ile wyniesie kapitaª wraz z odsetkami? Rozwi zanie: Odpowiadaj c na pytanie, standardowo obliczamy najpierw odsetki O = 0, 05 1750 = 87, 50, a nast pnie powi kszamy kapitaª pocz tkowy o odsetki, tzn. 1750 + 87, 50 = 1837, 50. Posªu»enie si formuª (1.1.2) pozwala (o ile posªugujemy si kalkulatorem) nieco szybciej uzyska wynik, bo obliczenie wspóªczynnika akumulacji 1 + i mo»na wykona "w pami ci": 1, 05 1750 = 1837, 50. Przykªad 1.3. Zainwestowano kapitaª pocz tkowy P = 1245 zªotych i w wyniku tej inwestycji uzyskano kapitaª ko«cowy K = 1295 zªotych. Obliczy stop zwotu dla tej inwestycji. Rozwi zanie: W równaniu (1.1.2) niewiadom jest stopa procentowa i, któr w tym kontek±cie nazywamy stop zwrotu (z inwestycji). Obliczamy najpierw wspóªczynnik akumulacji ze wzoru (1.1.2) 1 + i = K P = 1295 1, 040160643 1245 Podana dokªadno± rozwi zania zdecydowanie przekracza zwykªe potrzeby. Zazwyczaj w zupeªno±ci wystarcza podanie stopy procentowej z dokªadno±ci do dwóch miejsc po przecinku. Odpowied¹ brzmi i = 4, 02%. W powy»szych przykªadach pomini to czynnik czasu. W przypadku lokat bankowych odsetki mog by traktowane jako wynagrodzenie otrzymywane w zamian za prawo dysponowania kapitaªem. Tak jak czynsz za wynajmowane mieszkanie jest opªat za prawo dysponowania, wykorzystywania mieszkania. Z oczywistych powodów wysoko± tej opªaty zale»y od wysoko±ci ulokowanego kapitaªu oraz od dªugo±ci 4

okresu lokaty. Analogicznie w przypadku wynajmowania mieszkania wysoko± opªaty zale»y od wielko±ci mieszkania (oraz innych czynników takich jak: lokalizacja, standard, itp.) oraz od dªugo±ci okresu wynajmu. W sytuacjach realnych jest bardzo istotne, czy osi gamy stop zwrotu 4, 02% w ci gu roku, czy w ci gu 3 miesi cy. Okres, którego dotyczy podana stopa procentowa nazywamy okresem bazowym. Je-»eli nie b dziemy podawa okresu, którego dotyczy podawana stopa procentowa - okresu bazowego, to okresem tym domy±lnie jest rok. W procesie akumulacji kapitaªu bardzo istotn rol odgrywa operacja kapitalizacji odsetek. Polega na powi kszeniu kapitaªu o odsetki i naliczania w nast pnym okresie odsetek od powi kszonego kapitaªu. Je»eli kapitaª pocz tkowy P jest ulokowany na i procent, to po pierwszym okresie bazowym kapitaª b dzie wynosiª (1 + i)p. Zakªadamy,»e po pierwszym okresie nast puje kapitalizacja odsetek. Zatem wielko±ci, od której nalicza si odsetki w drugim okresie jest (1 + i)p. Zatem kapitaª po drugim okresie wyniesie (1 + i) ((1 + i)p ) = (1 + i) 2 P Zakªadaj c,»e kapitatalizacja odsetek nast puje po ka»dym kolejnym okresie, kapitaª K n po n-tym okresie wyniesie (1.1.3) K n = (1 + i) n P Przykªad 1.4. Ulokowano kapitaª pocz tkowy P = 100 zªotych na lokacie oprocentowanej 10% (rocznie). Kapitalizacja odsetek nast puje po ka»dym roku. Ile wyniesie kapitaª wraz z odsetkami po drugim roku? Rozwi zanie: Zgodnie ze wzorem (1.1.3) obliczamy kapitaª po drugim roku K 2 K 2 = 1, 1 2 100 = 121 Zauwa»my,»e stopa zwrotu w okresie dwóch lat wyniosªa 21%. Przy kapitalizacji odsetek po ka»dym okresie bazowym stóp procentowych nie dodajemy. Je»eli oprocentowanie w kolejnych okresach bazowych wynosi i 1, i 2,...,i n i kapitalizacja odsetek nast puje po ka»dym okresie, to kapitaª K n po n-tym okresie wyra»a si wzorem (1.1.4) K n = (1 + i 1 )(1 + i 2 )... (1 + i n )P Proces akumulacji mo»na prze±ledzi na Rysunku 1.1.2. Powy»sz formuª ªatwo uzyska indukcyjnie wykorzystuj c zale»no±ci: K 1 = (1 + i 1 )P, K j+1 = (1 + i j+1 )K j. Procesy, których po ka»dym okresie nast puje kapitalizacja odsetek opisujemy ilo±ciowo mno» c przez siebie wspóªczynniki akumulacji. 5

i i i Rysunek 1.1.2: Proces akumulacji. Przykªad 1.5. Zastosujemy formuª (1.1.4) do odpowiedzi na pytanie - o ile procent wzrosªa cena akcji spóªki X w okresie trzech miesi cy je»eli w pierwszym miesi cu wzrosªa o 10%, w drugim o 5%, a w trzecim o 15%? Rozwi zanie: Oznaczamy wyj±ciow cen akcji symbolem P 0, a P i niech oznacza cen akcji po i-tym miesi cu. Wówczas P 3 = (1 + 0, 15)P 2 = (1 + 0, 15)(1 + 0, 05)P 1 = (1 + 0, 15)(1 + 0, 05)(1 + 0, 10)P 0 Zatem P 3 = 1, 15 1, 05 1, 10 P 0 Wspóªczynnik akumulacji w okresie trzech miesi cy wynosi zatem 1,32825. Cena akcji wzrosªa zatem o 32,83% (w zaokr gleniu do dwóch miejsc po przecinku). Zauwa»my,»e dodaj c stopy procentowe 10%+5%+15%=30% popeªniamy bª d. Przykªad 1.6. W banku A oprocentowanie lokaty wynosi: w pierwszym roku 4% i w drugim roku 6%. W banku B oprocentowanie lokaty wynosi: w pierwszym roku 6%, w drugim roku 4%. W którym banku oprocentowanie lokaty dwuletniej jest korzystniejsze, je»eli kapitalizacja odsetek nast puje po ka»dym roku? Rozwi zanie: Odpowied¹ na to pytanie brzmi: banki A, B oferuj identyczne oprocentowanie w wysokosci 10, 24% w okresie dwuletnim. Na podstawie reguªy (1.1.4) otrzymujemy: 1, 1024 = 1, 04 1, 06 = 1, 06 1, 04. Zadanie 1.1.1. Jak nawy»sz kwot mo»na wpªaci na 2-miesi czn lokat oprocentowan 4,6 % w skali roku, tak aby nie zapªaci podatku od dochodów kapitaªowych (potocznie nazywanego podatkiem Belki)? 1.1.3 Roczna efektywna stopa procentowa Stopa procentowa i podana dla okresu rocznego nabiera innego znaczenia przy ró»nych okresach kapitalizacji odsetek. Zilustrujemy ten fakt na przykªadach liczbowych. 6

Przykªad 1.7. Policzmy kapitaª K po 12-tu miesi cach od kapitaªu P = 100 zª przy rocznej stopie procentowej 24% przy miesi cznej kapitalizacji odsetek 0, 24 K = (1 + 12 )12 100. Posªuguj c si nawet najprostszym kalkulatorem mo»emy ªatwo obliczy,»e K =126,82 zª. Przykªad 1.8. Policzmy kapitaª K po 12-tu miesi cach od kapitaªu P = 100 zª przy rocznej stopie procentowej 24% przy kwartalnej kapitalizacji odsetek 0, 24 K = (1 + 4 )4 100. Podobnie jak powy»ej obliczamy K =126,25 zª. Przykªad 1.9. Policzmy kapitaª K po 12-tu miesi cach od kapitaªu P = 100 zª przy rocznej stopie procentowej 24% przy rocznej kapitalizacji odsetek Oczywi±cie K =124 zª. K = (1 + 0, 24 1 )1 100. W ka»dym z powy»szych przykªadów mo»na zapyta o równowa»n stop procentow przy kapitalizacji odsetek po roku. W pierwszym przykªadzie stopa równowa»na równa si 26,82%, w drugim 26,25%, a w trzecim 24%. Mówimy,»e w pierwszym przykªadzie roczna efektywna stopa procentowa i eff = 26, 82%, w drugim i eff = 26, 25%, w trzecim i eff = 24%. W przypadku, gdy kapitalizacja odsetek nast puje n-krotnie w ci gu roku w równych odst pach czasu to kapitaª P w ci gu roku przy rocznej stopie procentowej i (n) wynosi (1.1.5) K = (1 + i (n) n )n P. Zatem roczna efektywna stopa procentowa i eff zadana jest przez równanie: równowa»na nominalnej stopie i (n) (1.1.6) 1 + i eff = (1 + i (n) n )n. Przykªad 1.10. Poda roczn efektywn stop procentow dla lokaty kwartalnej oprocentowanej 12,52% w skali roku. Rozwi zanie: 0, 1252 1 + i eff = (1 + ) 4 4 1 + i eff = 1, 1312 i eff = 13, 12% 7

Formuªa (1.1.6) mo»e po przeksztaªceniu sªu»y do obliczania nominalnej rocznej stopy procentowej i (n) równowa»nej stopie efektywnej i eff (1.1.7) i (n) = n((1 + i eff ) 1 n 1). Zadanie 1.1.2. Bank zmieniª nominalne oprocentowanie lokaty z 8% na 8,2% wydªu»aj c jednocze±nie okres kapitalizacji odsetek z kwartaªu do póª roku. Czy zmiana warunków tej lokaty jest korzystniejsza dla klientów banku? 1.1.4 Dyskontowanie Obliczanie warto±ci pocz tkowej kapitaªu P w oparciu o znajomo± stopy procentowej i oraz kapitaªu ko«cowego K nazywane jest dyskontowaniem. Proste przeksztaªcenie formuªy (1.1.2) prowadzi do wzoru (1.1.8) P = 1 1 + i K. Wspóªczynnik 1 1+i w (1.1.8) nazywany jest wspóªczynnikiem dyskontowania. Przykªad 1.11. Poda wysoko± rocznej lokaty oprocentowanej 15% je»eli kapitaª wraz z odsetkami na koniec roku wyniósª 138 zª. Rozwi zanie: P = 1 138 = 120. 1, 15 W podobny sposób mo»na przeksztaªci formuª (1.1.4). Dostajemy wzór 1 (1.1.9) P = ( 1 + i )n K. Przykªad 1.12. Jak kwot ulokowano na koncie oprocentowanym 10% rocznie, je»eli po 5 latach kapitaª wraz z odsetkami wynosi 209,37 zª. Rozwi zanie: 1 P = ( 1, 10 )5 209, 37 = 130. Przykªad 1.13. W Polsce minimalna warto± nominalna bonu skarbowego wynosi 10 tys. zªotych i najcz ±ciej s one emitowane na okres 13 tygodni, 26 tygodni i 52 tygodni. Je±li inwestor kupiª bon skarbowy 13-tygodniowy po cenie 9847 zª, to wspóªczynnik dyskontowania kapitaªu ko«cowego K = 10000 zª. o warto±ci pocz tkowej P = 9847 zª. wynosi i = K P P = 10000 9847 9847 = 0, 016. 8

Podstawow charakterystyk, która okre±la dochód z inwestycji w bon skarbowy, jest stopa rentowno±ci bonu skarbowego okre±lona wzorem: r = i 360 t = K P P 360 t, gdzie i jest wspóªczynnikiem dyskontowania kapitaªu ko«cowego (warto±ci nominalnej bonu) K o warto±ci pocz tkowej (cena bonu skarbowego) P, za± t jest liczb dni do wykupu bonu skarbowego. W naszym przykªadzie stopa rentowno±ci bonu skarbowego wynosi r = 0, 016 360 = 6%. 13 7 Zadanie 1.1.3. Oblicz stop rentowno±ci bonów skarbowych: 13-tygodniowy po cenie 9800 zª, 52-tygodniowy po cenie 9300 zª. Zadanie 1.1.4. Jak cen zakupu 26-tygodniowych bonów skarbowych powinien zgªosi bank w swojej ofercie, aby osi gn rentowno± tej inwestycji w skali roku na poziomie 8%? 1.1.5 Warto± obecna i warto± przyszªa strumienia pieni dza Typowe operacje bankowe odbywaj si wieloetapowo. Przykªadem klasycznym jest spªata kredytu oraz systematyczne oszcz dzanie. Spªata odbywa si zazwyczaj w wielu ratach. Tak»e kredyt mo»e by udzielany stopniowo, w transzach. Z punktu widzenia kredytodawcy jak i kredytobiorcy operacja udzielenia i spªaty kredytu jest zatem ci giem wpªat oraz wypªat odbywaj cych si w ró»nych terminach. Zaªó»my»e, kredyt w wysoko±ci P udzielony jest w caªo±ci jednorazowo, a raty w wysoko±ci R 1, R 2,..., R n kredytu spªacane s w równych odst pach czasu, w których oprocentowanie wynosi i. Zaznaczamy nad osi czasow wpªaty (wielko±ci dodatnie), a pod osi wypªat (wielko± ujemna). i i i Rysunek 1.1.3: Spªata kredytu. Plan spªat musi prowadzi do sytuacji, w której po wpªaceniu ostatniej raty zadªu-»enie zmniejsza si do zera. Powszechnie stosowana jest przy spªacie kredytu zasada,»e z ka»dej raty w pierwszej kolejno±ci spªacane s odsetki, a dopiero pozostaªa cz ± raty przeznaczana jest na spªat zadªu»enia. Je»eli zadªu»enie po wpªacie k-tej raty 9

oznaczymy Z k oraz wyj±ciowe zadªu»enie Z 0 = P, to powy»sz zasad mo»emy zapisa nast puj co (1.1.10) Z k+1 = (1 + i)z k R k+1 Je»eli spªata zadªu»enia ma nast pi po wpªaceniu n-tej raty, to zadªu»enie Z n po wpªaceniu n-tej raty musi wynosi zero, tzn. Z n = 0. Przykªad 1.14. Przedstawiamy plan spªat kredytu 1200 zª oprocentowanego 24% w skali roku i spªacanego w 12 ratach (Tabela 1.1.1). Ka»da rata skªada si z raty kapitaªowej 100 zª oraz odsetek od niespªaconej cz ±ci kredytu naliczonych za okres ostatniego miesi ca. Zastosowany przy tworzeniu planu spªat schemat obliczania Tabela 1.1.1: Plan spªaty kredytu. Numer raty Zadªu»enie po wpªaceniu Odsetki Rata Zadªu»enie po poprzedniej raty wpªaceniu raty 1 1200 zª 24 zª 124 zª 1100 zª 2 1100 zª 22 zª 122 zª 1000 zª 3 1000 zª 20 zª 120 zª 900 zª 4 900 zª 18 zª 118 zª 800 zª 5 800 zª 16 zª 116 zª 700 zª 6 700 zª 14 zª 114 zª 600 zª 7 600 zª 12 zª 112 zª 500 zª 8 500 zª 10 zª 110 zª 400 zª 9 400 zª 8 zª 108 zª 300 zª 10 300 zª 6 zª 106 zª 200 zª 11 200 zª 4 zª 104 zª 100 zª 12 100 zª 2 zª 102 zª 0 zª zadªu»enia po spªacie kolejnych rat nazywany jest retrospektywnym. Przykªadowo, zadªu»enie po wpªaceniu 5-tej raty wynosi 700 zªotych. Wielko± t otrzymali±my w tabeli w oparciu przebieg spªaty kredytu w okresie poprzedzaj cym interesuj cy nas moment. Z formuªy (1.1.10) wnioskujemy Z k = (1 + i)z k 1 R k = (1 + i) ((1 + i)z k 2 R k 1 ) R k = = (1 + i) 2 Z k 2 (1 + i)r k 1 R k = = (1 + i) 2 ((1 + i)z k 3 R k 2 ) (1 + i)r k 1 R k =... = (1 + i) k 1 ((1 + i)z 0 R 1 ) (1 + i) k 2 R 2... (1 + i) 2 R k 2 (1 + i)r k 1 R k, a wi c (1.1.11) Z k = (1 + i) k P (1 + i) k 1 R 1 (1 + i) k 2 R 2... (1 + i)r k 1 R k. 10

Formuªa (1.1.11) stanowi tak zwany retrospektywny sposób obliczania zadªu»enia Z k po wpªaceniu k-tej raty kredytu. Z warunku Z n = 0 otrzymujemy zale»no± (1 + i) n P = (1 + i) n 1 R 1 + (1 + i) n 2 R 2 +... + (1 + i) 2 R n 2 + (1 + i)r n 1 + R n Dziel c obie strony przez (1 + i) n dostajemy (1.1.12) P = 1 1 + i R 1 1 1 + ( 1 + i )2 R 2 +... + ( 1 + i )n R n Warunek wyst puj cy w równo±ci (1.1.12) jest warunkiem równowa»nym warunkowi Z n = 0. Zatem warunkiem spªaty kredytu w wyniku realizacji planu spªat jest równo± sumy rat kredytu zdyskontowanych na moment udzielenia kredytu oraz kwoty udzielonego kredytu. Wyra»enie wyst puj ce po prawej stronie równo±ci (1.1.12) nazywamy warto±ci obecn strumienia pieni dza R 1, R 2,... R n. Przykªad 1.15. Kredyt 1500 zª oprocentowany 2% miesi cznie (tzn. 24% rocznie) spªacany jest w trzech ratach miesi cznych wynosz cych kolejno : 530 zª, 520 zª, 510 zª. Wykonuj c plan spªat mo»emy ªatwo si przekona,»e po wpªaceniu ostatniej raty zadªu»enie wyniesie 0 zª (Tabela 1.1.2). Plan spªat mo»emy tak»e zwerykowa Tabela 1.1.2: Plan spªaty kredytu. Numer raty Zadªu»enie po wpªaceniu Odsetki Rata Zadªu»enie po poprzedniej raty wpªaceniu raty 1 1500 zª 30 zª 530 zª 1000 zª 2 1000 zª 20 zª 520 zª 500 zª 3 500 zª 10 zª 510 zª 0 zª posªuguj c sie równo±ci (1.1.12). Suma zdyskontowanych rat kredytu wynosi ( ) 2 ( ) 3 1 1 1 1, 02 230 + 520 + 510 519, 61 + 499, 81 + 480, 58 = 1500, 1, 02 1, 02 czyli równa si kwocie udzielonego kredytu. Zale»no± (1.1.10) mo»emy równowa»nie wyrazi równo±ci (1.1.13) Z k = 1 1 + i (Z k+1 + R k+1 ) Korzystaj c z faktu,»e Z n = 0 oraz z (1.1.13) mo»emy kolejno obliczy Z n 1, Z n 2,..., Z 0. Mianowicie Z n 1 = 1 1 + i R n 11

I ogólnie Z n 2 = 1 1 + i (Z 1 n 1 + R n 1 ) = ( 1 + i )2 R n + 1 1 + i R n 1 1 1 1 (1.1.14) Z k = ( 1 + i )n k R n + ( 1 + i )n k 1 R n 1 +... + ( 1 + i )1 R k+1 Formuªa (1.1.14) stanowi tak zwany prospektywny sposób obliczania Z k - zadªu»enia po wpªaceniu k-tej raty kredytu. Zauwa»my,»e Z k jest sum zdyskontowanych na moment wpªacenia k-tej raty rat R k+1, R k+2,... R n. Przejd¹my do policzenia kapitaªu K zebranego w drodze systematycznego oszcz dzania. Przyjmujemy,»e wpªaty dokonywane s w równych odst pach czasu, w których oprocentowanie jest staªe i wynosi i. Kapitalizacja odsetek nast puje po ka»dej wpªacie. Wysoko± kolejnych wpªat równa si R 1, R 2,... R n. Oszcz dno±ci po dokonaniu k-tej wpªaty oznaczamy O k. Oczywi±cie O 1 = R 1 (1.1.15) O k+1 = (1 + i)o k + R k+1 Zatem O 2 = (1 + i)r 1 + R 2 Wnioskuj c indukcyjnie otrzymuje si O 3 = (1 + i) 2 R 1 + (1 + i) 1 R 2 + R 3 (1.1.16) O n = (1 + i) (n 1) R 1 + (1 + i) (n 2) R 2 +... + (1 + i)r n 1 + R n Zatem kapitaª K zgromadzony po dokonaniu n-tej wpªaty K = O n jest sum poszczególnych wpªat zakumulowanych na moment dokonania ostatniej wpªaty. Kapitaª K nazywany jest warto±ci przyszª strumienia pieni dza R 1, R 2,..., R n. Pomimo ró»nic w interpretacji strumienia pieni dza R 1, R 2,..., R n przy spªacie kredytu oraz w systematycznym oszcz dzaniu istnieje ±cisªy zwi zek mi dzy warto±ci obecn P dan przez (1.1.12) oraz warto±ci przyszª K dan przez (1.1.16) (1.1.17) K = (1 + i) n P Zatem strumie«pieni dza R 1, R 2,..., R n z jednej strony jest równowa»ny warto±ci pocz tkowej P, z drugiej warto±ci ko«cowej K. Nale»y pami ta,»e kwoty P i K s ró»nie datowane, co najlepiej wida na osi liczbowej (Rysunek 1.1.4). Moment datowania warto±ci obecnej P oddziela n przedziaªów czasowych od momentu datowania warto±ci przyszªej K, co pozwala pogl dowo wyja±ni zwi zek mi dzy P i K. Szczególnym przypadkiem strumienia pieni dza jest strumie«równych rat. Wyst puje cz sto zarówno w planach spªaty kredytu, jak i w systematycznym oszcz dzaniu. W przypadku równych rat mo»emy znacznie upro±ci formuª podaj ca warto± ko«cow i warto± obecn strumienia pieni dza. Zacznijmy od wyprowadzenia wzoru na warto± ko«cow. Oznaczmy wielko± pojedynczej raty R, tzn. 12

i i i Rysunek 1.1.4: Strumie«pieni dza. R 1 = R 2 =... = R n = R. Wówczas zale»no± (1.1.16) mo»emy przeksztaªci do postaci K = R((1 + i) n 1 + (1 + i) n 2 +... + (1 + i) + 1) Stosuj c wzór na sum sko«czonego ci gu geometrycznego dostajemy (1.1.18) K = R (1 + i)n 1 i Warto± pocz tkow strumienia równych rat mo»na ªatwo wyrazi stosuj c (1.1.18) oraz (1.1.17) (1.1.19) P = R (1 + i)n 1 (1 + i) n i Przykªad 1.16. Zastosujemy wzór (1.1.19) do policzenia kwoty udzielonego kredytu P, który oprocentowany jest w skali roku 12% i spªacany jest w 6 ratach miesi cznych po 150 zª. Rozwi zanie: P = 150 1, 016 1 (1, 01) 6 0, 01 = 869, 3 Znaj c wysoko± udzielonego kredytu P ilo± rat n oraz oprocentowanie i (oprocentowanie w okresie dziel cym wpªat kolejnych rat) mo»emy przeksztaªci (1.1.19) do postaci (1.1.20) R = P (1 + i)n i (1 + i) n 1 Przykªad 1.17. Policzy wysoko± raty kwartalnej R kredytu udzielonego w wysoko±ci 25 000 zª., oprocentowanego rocznie 16% i spªacanego w o±miu ratach kwartalnych. Rozwi zanie R = 25000 (1, 04)8 0, 04 (1, 04) 8 1 13 = 3713, 20

Przykªad 1.18. Kredyt udzielony w wysoko±ci 100 000 USD spªacany jest w 10- ciu równych ratach rocznych. Oprocentowanie roczne kredytu wynosi 5,2%. Poda zadªu»enie po wpªaceniu 8-mej raty. Rozwi zanie: Pierwszy sposób policzenia niespªaconej cz ±ci kredytu polega na sporz dzeniu tabeli z planem spªat. Nie jest to skomplikowane, ale je»eli nie posªugujemy si arkuszem kalkulacyjnym, to zabierze sporo czasu. Poni»ej przedstawiamy plan spªat wykonany w Excel'u (Tabela 1.1.3). Drugi sposób opiera si na formule prospektywnej (1.1.14). Tabela 1.1.3: Plan spªaty kredytu w równych ratach. Nr raty Zadªu»enie po wpªaceniu Odsetki Rata Zadªu»enie po poprzedniej raty wpªaceniu raty 1 100000 zª 5200 zª 13 076,54 zª 92 123,46 zª 2 92 123,46 zª 4 790,42 zª 13 076,54 zª 83 837,34 zª 3 83 837,34 zª 4 359,54 zª 13 076,54 zª 75 120,35 zª 4 75 120,35 zª 3 906,26 zª 13 076,54 zª 65 950,07 zª 5 65 950,07 zª 3 429,40 zª 13 076,54 zª 56 302,93 zª 6 56 302,93 zª 2 927,75 zª 13 076,54 zª 46 154,15 zª 7 46 154,15 zª 2 400,02 zª 13 076,54 zª 35 477,62 zª 8 35 477,62 zª 1 844,84 zª 13 076,54 zª 24 245,92 zª 9 24 245,92 zª 1 260,79 zª 13 076,54 zª 12 430,17 zª 10 12 430,17 zª 646,37 zª zª 13 076,54 zª 0 zª Zadªu»enie po wpªaceniu 8-mej raty jest równowa»ne dwóm pozostaªym do spªacenia ratom. Poniewa» rata R = 13076, 54, to Z 8 = 13076, 54 1, 0522 1 = 24245, 92 1, 052 2 0, 052 (W Excel'u u»yjemy funkcji PPMT(0,052;9;10;-100000)+PPMT(0,052;10;10;-100000)). Zadanie 1.1.5. Kredyt udzielony w wysoko±ci 35 000 zª spªacany jest 24 równych ratach miesi cznych. W momencie udzielenia kredytu oprocentowanie roczne wynosiªo 19,6%. Po wpªaceniu 16-tej raty oprocentowanie zmniejszyªo si do 18,9%. Poda wysoko± pierwszych 16-tu rat oraz ostatnich 8-miu. Zadanie 1.1.6. Klient mo»e spªaca kredyt w systemie ratalnym co miesi c kwot 650 zª przez okres 5 lat. Oprocentowanie roczne kredytu wynosi 18%. Na jak kwot mo» zosta udzielony kredyt? Zadanie 1.1.7. W systemie sprzeda»y ratalnej towar kosztuj cy 2559 zª mo»na naby pªac c w momencie zakupu 30% ceny towaru, a nast pnie wpªacaj c 10 rat miesi cznych po 200 zª ka»da. Dost pny kredyt bankowy w równych ratach oprocentowany jest 13,5% rocznie, ale bank pobiera 3% prowizji przy jego udzieleniu. Czy 14

bardziej opªaca si skorzysta z oferty agencji sprzeda»y ratalnej, czy wzi kredyt bankowy? Zadanie 1.1.8. Jak kwot nale»y mie na rachunku bankowym, aby przez dwa lata móc pobiera z niego 1000 zª. na koniec ka»dego kwartaªu? Nominalne oprocentowanie rachunku wynosi 6%. 1.1.6 Wewn trzna stopa zwrotu Do analizy przepªywów pieni»nych stosowany jest powszechnie wska¹nik nazywany wewn trzn stop zwrotu, który b dziemy w skrócie nazywa IRR od nazwy angielskiej Internal Rate of Return. W szczególno±ci mo»na go stosowa do oceny kosztu kredytu, jak równie» efektywno±ci inwestycji. Przykªad 1.19. Przeanalizujemy strumie«pieni dza zwi zany z kosztami budowy, a nast pnie modernizacji biurowca oraz zysków z wynajmu powierzchni biurowej i ze sprzeda»y budynku. W pierwszym roku realizacji inwestycji koszty wyniosªy 1 200 000 zª, w drugim 2 800 000 zª. W ci gu nast pnych 5-ciu lat zysk po opodatkowaniu z tytuªu wynajmu biur wynosiª rocznie 200 000 zª. W kolejnym roku przeprowadzono modernizacj, której koszt przekroczyª o 500 000 zª przychody z wynajmu. W trakcie kolejnych 4 lat zysk netto z wynajmu wynosiª 300 000 zª rocznie. W ostatnim roku budynek sprzedano za sum 3 500 000 zª. Oznacza b dziemy symbolem W k koszty lub zyski w k-tym roku inwestycji. Wydatki b dziemy brali ze znakiem minus, a zyski ze znakiem plus. Powy»sze dane zebrane s w Tabeli 1.1.4. Wewn trzn stop zwrotu Tabela 1.1.4: Tabela przepªywów pieni»nych. Lp. W k Warto± zdyskontowana 1-1200000 -1200000 2-2800000 -2724000,39 3 200000 189290,26 4 200000 184152,41 5 200000 179154,01 6 200000 174291,28 7 200000 169560,54 8-500000 -412395,52 9 300000 240721,19 10 300000 234187,37 11 300000 227830,88 12 300000 221646,93 13 3500000 2515693,06 nazywamy stop procentow i, przy której suma zdyskontowanych wpªat/wypªat z 15

uwzgl dnieniem znaku równa si zero. Moment, na który dyskontujemy mo»na usytuowa dowolnie. Najcz ±ciej sytuujemy go na osi czasowej w tym momencie, w którym odbywa si pierwszy przepªyw (wpªata lub wypªata). Obliczenie IRR wymaga zastosowania metod numerycznych. W praktyce mo»na wykorzysta funkcje wbudowane w arkusz kalkulacyjny Excel (funkcja IRR). W powy»szym przykªadzie wewn trzna stopa zwrotu wynosi 2,79%. Ostatnia kolumna w powy»szej tabeli podaje zdyskontowan warto± przepªywów pieni»nych. Zsumowanie kwot z tej kolumny powinno da w wyniku zero. W praktyce dostajemy kwot okoªo 130, co przy tej skali inwestycji jest wystarczaj co dobrym przybli»eniem. Formalnie IRR dla strumienia pieni dza (ang. Cash Flow) P 1, P 2,... P n deniujemy jako stop procentow i, przy której zachodzi równo± (1.1.21) P 1 + 1 1 + i P 1 1 2 + ( 1 + i )2 P 3 +... + ( 1 + i )n 1 P n = 0 Problem wyznaczenia IRR z matematycznego punktu widzenia sprowadza si do wyznaczenia pierwiastka wielomianu P 1 + P 2 x + P 3 x 2 +... + P n x n 1 = 0 Dla n 1 5 zadanie to mo»na rozwi zywa wyª cznie metodami numerycznymi, co w dobie powszechnego stosowania elektronicznych narz dzi obliczeniowych nie stanowi wi kszego problemu. Zastosujemy wska¹nik IRR do odpowiedzi na pytanie postawione w Zadaniu 1.1.7 z poprzedniego paragrafu. W tym celu nale»y okre±li przepªywy pieni»ne w obu opcjach kredytowania zakupu towaru. Zakªadamy,»e kupuj cy dysponuje gotówk 767,70 zª (30% ceny towaru) niezb dn do zakupienia towaru na raty. Brakuj ca do peªnej ceny towaru kwota to 1791,30 zª. Aby uzyska tak kwot z banku, nale»y uwzgl dni pobieran 3% prowizj. Zatem nale»y wyst pi o kredyt w wysoko±ci 1846,70 zª. Przy oprocentowaniu rocznym 13,5% spªata tego kredytu nast pi w 10 ratach po 196,29 zª ka»da. W poni»szej Tabeli 1.1.5 zestawiamy przepªywy pieni»ne w przypadku kredytowania zakupu przez agencj kredytow i przez bank. Zwró my uwag,»e pierwsza kwota (kredyt) jest w obu przypadkach brana ze znakiem minus. W wariancie pierwszym IRR wynosi 2,06% ( stopa miesi czna). Dla kredytu bankowego IRR wynosi 1,70% (stopa miesi czna). Zatem koszt kredytu udzielonego przez agencj mierzony (obiektywnie) roczn efektywn stop procentow wynosi 27,66%, natomiast dla kredytu bankowego roczna efektywna stopa procentowa wynosi 22,40%. Nale»y podkre±li,»e w wielu krajach, tak»e w Polsce jest obowi zek ustawowy informowania klienta o koszcie kredytu mierzonym roczn efektywn stop procentow. Rzeczywista roczna stopa oprocentowania pozwala klientowi oceni ofert banku, poniewa» oprócz oprocentowania uwzgl dnia ona wszystkie obci zaj ce go koszty kredytu, np. prowizje. Na podstawie ustawy z dnia 20 lipca 2001 r. o kredycie 16

Tabela 1.1.5: Tabela przepªywów pieni»nych. Lp. System ratalny Kredyt bankowy 1-1791,30-1846,70 2 200 196,29 3 200 196,29 4 200 196,29 5 200 196,29 6 200 196,29 7 200 196,29 8 200 196,29 9 200 196,29 10 200 196,29 11 200 196,29 konsumenckim (Dziennik Ustaw z 2001 r. nr 100 poz. 1081) rzeczywista roczna stopa oprocentowania i obliczana jest zgodnie z nast puj cym wzorem: (1.1.22) Σ K=m K=1 przy nast puj cych oznaczeniach: A K (1 + i) t K = Σ K =m K =1 K - numer kolejnej wypªaty raty kredytu, K - numer kolejnej spªaty kredytu lub kosztów, A K - kwota wypªaty raty kredytu K, A K - kwota spªaty kredytu lub kosztów K, m - numer ostatniej wypªaty raty kredytu, m - numer ostatniej spªaty kredytu lub kosztów, A K (1 + i) t K, t K - okres, wyra»ony w latach lub uªamkach lat, mi dzy pierwsz wypªat i kolejnymi wypªatami, pocz wszy od 2 do wypªaty m, t K - okres, wyra»ony w latach lub uªamkach lat, mi dzy pierwsz wypªat kredytu i kolejnymi spªatami kredytu lub kosztów, pocz wszy od 1 do spªaty m. Ponadto wynik oblicze«i podaje si z dokªadno±ci do co najmniej jednego miejsca po przecinku, przy czym je»eli cyfra wyst puj ca po wybranym przez obliczaj cego miejscu po przecinku jest mniejsza ni» 5, cyfr t pomija si, za± gdy jest wi ksza albo równa 5, cyfr poprzedzaj c zwi ksza si o 1. 17

Przykªad 1.20. Kredyt o wysoko±ci 1000 zª b dzie spªacony jedn rat w wysoko±ci 1250 zª po upªywie 1,5 roku. Wówczas przyjmujemy: m = 1, K = 1, A 1 = 1000, t 1 = 0, m = 1, K = 1, A 1 = 1250, t 1 = 1, 5 i równanie (1.1.22) przyjmuje posta : 1000 (1 + i) = 1250 0 (1 + i). 1,5 Rozwi zaniem tego równania jest i = 3 1, 5625 1 0, 1603971, a zatem rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu wynosi 16, 04%. Zaªó»my,»e istnieje jednostka czasu ω, zwana okresem bazowym taka,»e okresy wypªat t K i spªat t K (dla K = 0,...m, K = 0,...m ) kredytu stanowi caªkowit wielokrotno± okresu bazowego. Wówczas t K = n K ω, t K = n K ω, gdzie n K, n K s nieujemnymi liczbami caªkowitymi. Zatem równanie (1.1.22) mo»e by zapisane w postaci: (1.1.23) Σ K=m K=1 A K ((1 + i) ω ) n K + Σ K =m K =1 A K ((1 + i) ω ) n K = 0. Przyjmuj c (1 + i) ω = 1 + i, powy»sze równanie przyjmuje posta równania (1.1.21), tzn. i jest wewn trzn stop zwrotu dla odpowiedniego strumienia pieni dza. Przykªad 1.21. W Przykªadzie 1.20 okresem bazowym jest póªroku (ω = 0, 5). St d mo»na obliczy wewn trzn stop zwrotu dla strumienia pieni dza -1000, 0, 0, 1250, która wynosi i = 7, 72% (w Excelu funkcja IRR(-1000,0,0,1250)). St d rzeczywista roczna stopa oprocentowania i = (1 + i ) 1/ω 1 = 1, 0772 2 1 = 0, 16035984 = 16, 04%. Ostateczny wynik w arkuszu kalkulacyjnym Excel mo»emy otrzyma za pomoc funkcji EFFECT(2*IRR(-1000,0,0,1250);2). Zauwa»my,»e je»eli przyjmiemy za okres bazowy jeden miesi c (ω = 1 12 ), to rzeczywista roczna stopa oprocentowania dla strumienia pieni dza -1000, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1250 jest taka sama jak powy»ej i wynosi 16, 04%. Natomiast wewn trzna stopa zwrotu dla tego strumienia jest równa 1, 25%. Przykªad 1.22. Kredyt z Przykªadu 1.20 zostaª wypªacony w dwóch ratach po 500zª na pocz tku i po upªywie póª roku. Wówczas przyjmujemy: m = 2, K = 1, A 1 = 500, t 1 = 0, K = 2, A 2 = 500, t 2 = 0, 5, m = 1, K = 1, A 1 = 1250, t 1 = 1, 5 i równanie (1.1.22) przyjmuje posta : 500 (1 + i) + 500 1250 = 0 (1 + i) 0,5 (1 + i). 1,5 Rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu wynosi 19, 45% (w Excelu: EFFECT(2*IRR(- 500,-500,0,1250);2)). 18

Przykªad 1.23. Nadal rozwa»amy kredyt z Przykªadu 1.20. Zakªadamy,»e na pocz tku bank pobraª prowizj w wysoko±ci 3% caªo±ci kredytu. Wówczas przyjmujemy: m = 1, K = 1, A 1 = 500, t 1 = 0, m = 2, K = 1, A 1 = 0, 03 1000 = 30, t 1 = 0, K = 2, A 2 = 1250, t 2 = 1, 5 i równanie (1.1.22) przyjmuje posta : 1000 (1 + i) = 30 0 (1 + i) + 1250 0 (1 + i). 1,5 Rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu wynosi 18, 42% (w Excelu: EFFECT(2*IRR(- 970,0,0,1250);2)). Przykªad 1.24. Kredyt z Przykªadu 1.20 spªacamy przez 1,5 roku (18 miesi cy) co miesi c w wysoko±ci 1250 = 69, 44 zª. Wówczas rzeczywista stopa oprocentowania 18 tego kredytu wynosi 33, 89%. Przykªad 1.25. Kredyt z Przykªadu 1.20 spªacamy przez 1,5 roku (18 miesi cy) co kwartaª w wysoko±ci 400 zª. Wówczas rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu wynosi 20, 34%. Zadanie 1.1.9. Jaka powinna by staªa rata kredytu z Przykªadu 1.20 spªacanego co kwartaª w staªej wysoko±ci tak, aby rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu wynosiªa 16, 04%? Zadanie 1.1.10. Bank udziela kredytu w wysoko±ci 3000 zª na okres 5 miesi cy i pobiera prowizj w wysoko±ci 5%. Kredyt spªacany jest w dwóch ratach po 1600 zª. po trzecim i pi tym miesi cu. Jaka jest rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu? Zadanie 1.1.11. Czy w kredycie z Zadania 1.1.10 korzystniejsza jest oferta, w której klient spªaca kredyt w jednej racie po 5 miesi cach w wysoko±ci 3250 zª? Zadanie 1.1.12. Jaka jest prowizja banku w kredycie z Zadania 1.1.10, je±li rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu wynosi 24%? 1.1.7 Ogólny plan spªaty kredytu Przyjmiemy,»e kredyt udzielony w wysoko±ci P spªacany jest w n ratach R 1, R 2,..., R n. Oprocentowanie kredytu jest zmienne i w kolejnych okresach wynosi i 1, i 2,..., i n. Oznaczymy zadªu»enie po wpªaceniu k-tej raty symbolem Z k, które obliczy si (1.1.24) Z k = (1 + i k )Z k 1 R k Schemat ten mo»emy zilustrowa na osi czasowej Wspóªczynnik dyskontowania w okresie, mi dzy spªat (k 1)-szej i k-tej raty oznaczamy v k, v k = 1 1 + i k 19

i 1 i 2 i n Rysunek 1.1.5: Ogólny plan spªaty kredytu. To»samo± (1.1.24) mo»emy zapisa w postaci (1.1.25) Z k 1 = v k Z k + v k R k Przyjmuj c,»e spªata kredytu nast puje po spªaceniu n-tej raty, tzn. Z n = 0 oraz korzystaj c z zale»no±ci (1.1.25) otrzymujemy (1.1.26) Z k 1 = v k R k + v k v k+1 R k+1 +... + v k v k+1... v n R n i w szczególno±ci (1.1.27) P = Z 0 = v 1 R 1 + v 1 v 2 R 2 +... + v 1 v 2... v n R n To»samo± (1.1.27) mo»na interpretowa jako równo± kwoty udzielonego kredytu P oraz jego sumy zdyskontowanych na moment udzielenia kredytu rat. Zadanie 1.1.13. Udzielono kredytu na kwot 10 000 zª w równych miesi cznych ratach na okres trzech lat. W pierwszym roku oprocentowanie kredytu wynosiªo 10%, w drugim 15%, za± w trzecim roku 20%. Ile wyniosªa rata kredytu? Czy korzystniej jest wzi kredyt ze staª roczn stop oprocentowania równ 15%? 1.2 Ci gªy model akumulacji kapitaªu Praktyczny problem wyceny warto±ci obligacji w dowolnym momencie mi dzy emisj, a wykupem prowadzi do modelu kapitalizacji odsetek w sposób ci gªy, nazywanego tak»e procesem ci gªej akumulacji. Proces ci gªej akumulacji charakteryzuje wielko± nazywana nat»eniem oprocentowania (ang. force of interest), która odgrywa analogiczn rol jak stopa procentowa przy kapitalizacji dyskretnej. Dla modelu ci gªego akumulacji kapitaªu wyprowadzony jest caªkowy wzór na warto± ko«cow ci gªego strumienia pieni dza. 1.2.1 Proces ci gªej kapitalizacji odsetek Roczna obligacja o warto±ci nominalnej 100 zª jest oprocentowana 19.2% rocznie. Niech w(t) oznacza warto± obligacji w chwili t, a czas t wyra»ony jest w latach, 20

tzn. w(0) oznacza warto± obligacji w chwili emisji (w(0) = 100) oraz w(1) oznacza warto± obligacji w chwili wykupu, czyli po roku (w(1) = 119, 2). Naszym celem jest okre±lenie uczciwej ceny (ang. fair value) obligacji w dowolnym momencie t (0, 1), czyli miedzy emisj, a wykupem. Zacznijmy od wyznaczenia w( 1 ). W pierwszej 2 chwili mogªoby si wydawa,»e skoro odsetki za okres roku wynosz 19,2 zª, to za okres póªroczny powinny wynosi 9,6 zª. Przyjmijmy,»e w( 1 ) = 109, 6. Stopa zwrotu 2 i 1 osi gni ta w pierwszej poªowie roku wynosi i 1 = 9, 6%, bo 1 + i 1 = 109, 6 100 = 1, 096 a stopa zwrotu i 2 osi gni ta w drugiej poªowie roku równa si i 2 = 8, 76%, bo 1 + i 2 = 119, 2 109, 6 = 1, 0876 Zatem inwestor, który kupiª obligacj w poªowie roku za cen 109,6 zª, uzyskaªby ni»sza o prawie 1% stop zwrotu. Uczciwa cena powinna gwarantowa obu inwestorom t sam stop zwrotu, tzn. w(1/2) w(0) = w(1) w(1/2) Nie jest trudno policzy,»e powy»szy warunek oznacza w(1/2) = 109, 18. W dalszej cz ±ci powy»sze pytanie o uczciw cen uogólnimy na dowolny moment t (0, 1). Jest to w istocie pytanie o przebieg funkcji w(t) w przedziale (0, 1). Uczciwo± ceny polega ma na tym, aby wzrost warto±ci obligacji w czasie od t do t + t dawaª t sam stop zwrotu co wzrost warto±ci obligacji w czasie od t do t + t, tzn. (1.2.1) w(t + t) w(t) = w(t + t) w(t ) dla dowolnych t, t (0, 1) takich,»e t + t, t + t (0, 1). Wªasno± wyra»on formuª (1.2.1) b dziemy nazywa zasad fair value. Oznacza to,»e warto± wyra»enia ( ) w(t + t) ln w(t) nie zale»y od wyboru t. Pozwala nam to okre±li funkcj δ( ) wzorem ( ) w(t + t) (1.2.2) δ( t) = ln w(t) dla t (0, 1 t). Zauwa»my,»e funkcja δ( ) ma dwie wªasno±ci (1.2.3) δ(0) = 0 21

oraz (1.2.4) δ( t 1 + t 2 ) = δ( t 1 ) + δ( t 2 ) Wªasno± (1.2.4) wynika z równo±ci w(t + t 1 + t 2 ) w(t) = w((t + t 2) + t 1 ) w(t + t 2 ) w(t + t 2) w(t) oraz wªasno±ci funkcji logarytmicznej (ln(a b) = ln a + ln b). Z wªasno±ci (1.2.3) i (1.2.4) (oraz ci gªo±ci) wynika,»e δ( ) jest funkcj liniow, tzn. istnieje wspóªczynnik a taki,»e δ( t) = a t Dla t = 1 mamy a = δ(1) Natomiast δ(1) mo»na wyznaczy znaj c w(1) oraz w(0) ( ) w(1) δ(1) = ln w(0) Poniewa» δ( t) = δ(1) t, to przyjmuj c w (1.2.2) t = 0 dostajemy St d e δ( t) = w( t) w(0) (1.2.5) w( t) = w(0)e δ(1) t W rozwa»anym przykªadzie w(0) = 100 oraz ( ) 119, 2 δ(1) = ln = ln(1, 192) 0, 1756 100 Mo»emy zatem sprawdzi,»e w(1/2) = 100e 0,1756 1 2 109, 18 Funkcja w(t) zadana wzorem (1.2.5) okre±laj ca uczciw cen zadana jest w istocie dwoma parametrami: w(0) oraz δ(1). Wielko± w(0) jest pocz tkow warto±ci P zainwestowanego kapitaªu. Natomiast δ(1) (od tej chwili oznaczany krótko δ) mo»emy równowa»nie wyrazi jako (1.2.6) δ = ln(1 + i) 22

bo w(1) w(0) = 1 + i W rozwa»anym przykªadzie i = 19, 2%. Parametr δ dany przez (1.2.6) nazywamy nat»eniem oprocentowania (ang. force of interest) i. Zasada fair value (1.2.1) oznacza,»e mo»emy poprawnie okre±li stop zwrotu i( t) w okresie t ze wzoru 1 + i( t) = w(t + t) w(t) W szczególno±ci, dla t = 1 n oraz k < n mamy Wnioskuj c indukcyjnie dostajemy 1 + i( 1 n ) = w( k+1 n ) w( k n ) w(1) = (1 + i( 1 n ))n w(0) Zatem warto± ko«cow w(1) otrzymujemy kapitalizuj c n-krotnej odsetki po ka»dym okresie dªugo±ci 1 przy stopie procentowej i( 1 ). Stopa i(1) jest zatem roczn efektywn stop procentow, i(1) = i eff, odpowiadaj c rocznej stopie nominalnej n i( 1 ) n n n oraz n-krotnej kapitalizacji w ci gu roku w równych odst pach czasu. Poniewa» to 1 + i eff = (1 + i( 1 n ))n i( 1 n ) = (1 + i eff) 1 n 1 Je»eli i (n) oznacza roczn nominaln stop procentow odpowiadaj c n-krotnej kapitalizacji odsetek w ci gu roku równowa»n stopie efektywnej i eff, to St d (porównaj (1.1.3)) i( 1 n ) = i (n) n i (n) = (1 + i eff) 1 n 1 1 n Zauwa»my,»e δ = ln(1 + i eff ) jest granic ci gu i (n) (sprawd¹ to!). Zatem δ mo-»emy traktowa jako nominaln stop procentow przy ci gªej kapitalizacji odsetek równowa»n stopie efektywnej i eff. 23

Przykªad 1.26. Poda uczciw warto± (fair value) bonu skarbowego 26 tygodniowego w dniu 31 grudnia, który zostaª zakupiony 15 listopada za cen 90,91 zª. Warto± nominalna bonu to 100 zª. Rozwi zanie: Przyjmujemy,»e okresem jednostkowym (bazowym) jest okres inwestycji, czy 182 46 dni. Od 15 listopada do 31 grudnia mija 46 dni, czyli okresu bazowego. Stopa 182 zwrotu i w okresie bazowym dana jest przez Czyli 1 + i = 100 90, 91 δ = ln( 100 90, 91 ) Formuªa (1.2.5) w nowych oznaczeniach ma posta St d w(t) = w(0)e δt w( 46 ) = 93, 13 182 Czyli uczciwa cena bonu w dniu 31 grudnia powinna wynosi 93,13 zª. Zadanie 1.2.1. Oblicz warto± kapitaªu 1000 zª. po trzech latach, je±li nominalna stopa procentowa wynosi 18% i okres kapitalizacji odsetek jest: a. roczny, b. póªroczny, c. miesi czny, d. ci gªy. Zadanie 1.2.2. Jak zmieni si warto± obligacji w chwili t, gdy zwi kszymy dwukrotnie nat»enie oprocentowania? 1.2.2 Ci gªy model akumulacji ze zmiennym w czasie nat»eniem oprocentowania W poprzednim paragrae opisali±my warto± ko«cow kapitaªu przy staªym w czasie nat»eniu oprocentowania δ. Teraz przyjmiemy,»e nat»enie oprocentowania jest funkcj zale»n od czasu. Zacznijmy od przypadku, gdy funkcja δ(t) jest przedziaªami staªa. Przedziaª [0, T ] dzielimy na odcinki o ko«cach 0 = t 0 < t 1 < t 2 <... < t n = T. W przedziale [t i 1, t i ] siªa stopy procentowej jest staªa i równa si δ i. Niech w(t) oznacza zakumulowany kapitaª pocz tkowy w(0) w chwili t. Ze wzoru (1.2.5) dostajemy w(t i ) = w(t i 1 )e δ(t i t i 1 ) 24

Wnioskuj c indukcyjnie dostajemy w(t ) = w(t n ) = w(t n 1 )e δ n(t n t n 1 ) = w(t n 2 )e δ n 1(t n 1 t n 2 ) e δ n(t n t n 1 ) =... Zatem w(0)e δ 1(t 1 t 0 ) e δ 2(t 2 t 1 )...e δ n(t n t n 1 ) (1.2.7) w(t ) = w(0)e δ 1(t 1 t 0 )+δ 2 (t 2 t 1 )+...+δ n(t n t n 1 ) Poniewa» caªka z funkcji staªej δ(t) = δ i na przedziale [t i 1, t i ] równa si dªugo±ci przedziaªu pomno»onej przez δ i, tzn. ti t i 1 δ(t)dt = δ i (t i t i 1 ) to (1.2.8) T 0 δ(t)dt = δ 1 (t 1 t 0 ) + δ 2 (t 2 t 1 ) +... + δ n (t n t n 1 ) Wzór (1.2.7) mo»emy przeksztaªci do postaci (1.2.9) w(t ) = w(0)e T 0 δ(t)dt Tak»e w przypadku, gdy funkcja δ(t) nie jest przedziaªami staªa to formuªa (1.2.9) wyra»a warto± ko«cow kapitaªu. Gdy δ(t) jest funkcj ci gª to dla odpowiednio drobnego podziaªu funkcja δ(t) jest na odcinkach [t i 1, t i ] bliska staªej δ i = δ(t i ). Zatem suma wyst puj ca po prawej stronie we wzorze (1.2.8) jest dobrym przybli»eniem caªki T δ(t)dt. Czytelnik znaj cy teori caªki Riemanna rozpozna sumy 0 Riemanna we wzorze (1.2.8). Znaj c warto± ko«cow kapitaªu w(t ) oraz funkcj δ(t) na przedziale (0, T ) mo-»emy wyrazi warto± pocz tkow wzorem (1.2.10) w(0) = w(t )e T 0 δ(t)dt. Zadanie 1.2.3. Oblicz warto± kapitaªu 1000 zª. po póª roku inwestycji, je±li okresem bazowym jest rok oraz nat»enie oprocentowania wyra»one jest wzorem δ(t) = 0.1 + 0.2t, t [0, 1]. Jakie powinno by staªe nat»enie oprocentowania, aby po roku inwestycji otrzyma tak sam warto± ko«cow kapitaªu? 1.2.3 Warto± ko«cowa zmiennego strumienia kapitaªu przy akumulacji ci gªej Kolejnym krokiem w kierunku stworzenia modelu, który byªby na tyle bogaty, aby znajdowa zastosowanie do opisu rzeczywistych procesów nansowych jest uwzgl dnienie dopªywu, b d¹ odpªywu kapitaªu. W modelu dyskretnym zasilanie zewn trzne 25

oznaczaªo kolejne wpªaty (b d¹ wypªaty). W modelu ci gªym strumie«pieni dza opisuje zmienna w czasie pr dko± przepªywu. Pr dko± przepªywu wyra»amy w jednostkach pieni»nych na jednostk czasu, np. zªoty/rok. Je»eli wpªaty odbywaj si ze staª pr dko±ci p to kwota wpªacona w czasie t równa si p t. Przyjmijmy,»e w czasie od t i 1 do t i przepªyw pieni dza odbywa si ze staª pr dko±ci p i oraz siªa stopy procentowej jest w tym okresie staªa i równa si δ i. Kwota przepªywu w przedziale czasu [t i 1, t i ] równa si p i (t i t i 1 ). Niech w(t) oznacza kapitaª w chwili t. Przyjmiemy dla uproszczenia,»e kwota przepªywaj ca w czasie [t i 1, t i ] zasila kapitaª jednorazowo w momencie t i 1. Zatem... St d w(t 1 ) = (w(t 0 ) + p 1 (t 1 t 0 ))e δ 1(t 1 t 0 ) w(t 2 ) = (w(t 1 ) + p 2 (t 2 t 1 ))e δ 2(t 2 t 1 ) w(t n ) = (w(t n 1 ) + p n (t n t n 1 ))e δn(tn t n 1) w(t ) = w(0)e δ 1(t 1 t 0 )+δ 2 (t 2 t 1 )+...+δ n(t n t n 1 ) + p 1 e δ 1(t 1 t 0 )+...+δ n(t n t n 1 ) (t 1 t 0 )+ p 2 e δ 2(t 2 t 1 )+...δ n(t n t n 1 ) (t 2 t 1 ) +... p n e δn(tn t n 1) (t n t n 1 ) Wyra»enie po prawej stronie w powy»szej równo±ci jest sum Riemanna caªki w nast puj cym wzorze (1.2.11) w(t ) = w(0)e T 0 δ(t)dt + T 0 p(t)e T t δ(s)ds dt Wzór (1.2.10) jest przypadkiem szczególnym wzoru (1.2.11). Wystarczy wzi przepªywy zerowe, p = 0. Przykªad 1.27. Zakªadamy,»e pr dko± przepªywu jest staªa p(t) p oraz nat»enie oprocentowania tak»e jest staªe δ(t) δ. Jaka jest warto± ko«cowa strumienia wpªat dokonanych w czasie [0, T ]? Rozwi zanie: Ze wzoru (1.2.11) Czyli Po obliczeniu caªki dostajemy w(t ) = T 0 pe T t δds dt T w(t ) = p e (T t)δ dt 0 w(t ) = p et δ 1 δ 26

W szczególno±ci dla T = 1 w(1) = p i δ Wniosek 1.28. Kapitaª w wysoko±ci 1 oprocentowany w sposób ci gªy z nat»eniem oprocentowania δ jest równowa»ny po czasie 1 jednostajnemu strumieniowi wpªat z pr dko±ci p dan wzorem p = (1 + i) δ i, gdzie i = e δ 1 jest efektywn stop zwrotu odpowiadaj c oprocentowaniu ci gªemu z nat»eniem δ. Zadanie 1.2.4. Fundusz inwestycyjny zaªo»ono w chwili t = 0 z wpªat pocz tkow równ 100 zª. Stan funduszu w chwili t wynosi w(t). Na rachunek dokonywane s w sposób ci gªy wpªaty z roczn intensywno±ci p(t) = 2 + t. Ci gªe nat»enie oprocentowania ±rodków na rachunku wynosi δ(t) = 0.2 + 0.1t. Ile wynosi stan funduszu w chwili t = 1? 1.3 Inacja W latach 90-tych XX wieku wyst powaªa w Polsce wysoka, dwucyfrowa inacja. Staªy wzrost cen powodowaª znaczne zmniejszanie si siªy nabywczej pieni dza. Problem ten zostaª w Polsce opanowany i obecnie inacja w skali roku nie przekracza 2%-3%. Jednak»e nawet tak nisk inacj nale»y uwzgl dnia w przypadku analizujemy zjawiska i zagadnienia, których czas trwania przekracza 5-10 lat. Ubezpieczenia na»ycie, ubezpieczenia emerytalne, czy te» kredyty hipoteczne maj dªugoterminowy horyzont czasowy. Rachunek nansowy uwzgl dniaj cy inacj opiera si na poj ciu realnej stopy procentowej. Istot tego poj cia ilustruje nast puj cy pogl dowy przykªad. Przykªad 1.29. Zaªó»my,»e ulokowano równowarto± 100 kwintali»yta na lokacie rocznej, której oprocentowanie wynosiªo 26%. Przyjmijmy,»e cena kwintala»yta w momencie zaªo»enia lokaty wynosiªa 100 zª, a po roku wzrosªa o 20 % do 120 zª. Je»eli inacj rozumie b dziemy jako wzrost ceny»yta, to w ci gu roku inacja wyniosªa 20%. Elementarne obliczenia prowadz do wniosku,»e po roku kapitaª wraz z odsetkami wyniesie 12 600 zª. Jest to równowarto± 105 kwintali»yta wedªug ceny kwintala»yta 120 zª. Licz c w jednostkach obiektywnych - kwintalach»yta - stopa zwrotu z tej inwestycji wynosi zatem 5%. Zale»no± mi dzy stop inacji i i = 20%, stop efektywn i = 26% oraz stop rzeczywist i r = 5% okre±la tzw. wzór Fishera (1.3.1) 1 + i = (1 + i i ) (1 + i r ) Chc c zatem okre±li realn stop zwrotu i r dla inwestycji, której efektywna stopa zwrotu wynosi i oraz stopa inacji w czasie trwania inwestycji wynosi i i, korzystamy 27

ze wzoru (1.3.2) 1 + i r = 1 + i 1 + i i Wyja±nienia wymaga jeszcze kwestia rozumienia i obliczania stopy inacji. W Polsce instytucj, która oblicza stopy inacji oraz podaje je do publicznej wiadomo±ci jest Gªówny Urz d Statystyczny. Punktem wyj±cia jest przyj cie koszyka dóbr. Je»eli W p oznacza ª czny koszt nabycia wybranego koszyka dóbr na pocz tku rozwa»anego okresu oraz W k oznacza ª czny koszt nabycia tego samego koszyka dóbr na ko«cu rozwa»anego okresu, to wska¹nik inacji 1 + i i wyra»a si jako 1 + i i = W k W p W Polsce podstawowym wska¹nikiem inacji jest wska¹nik cen podstawowych towarów i usªug konsumpcyjnych. Wyst puje on w ró»nych wariantach: ±redniorocznej, grudzie«do grudnia, miesi c do miesi ca, dla gospodarstw domowych pracowników, dla gospodarstw domowych pracowników u»ytkuj cych gospodarstwo rolne, itd. Przy analizowaniu konkretnego zjawiska nale»y starannie dobra wska¹nik uwzgl dniaj c, o ile to mo»liwe, algorytm jego obliczania przez GUS. Instytucje nansowe oferuj swoje produkty zazwyczaj na terenie caªego kraju i dla ró»nych grup klientów. Z tego wzgl du nie jest zazwyczaj mo»liwe uwzgl dnianie ró»nych koszyków dóbr do obliczania wska¹nika inacji przy tworzeniu lub analizowaniu produktów. Tabela 1.3.1: Stopy inacji w Polsce w oparciu o wska¹nik cen towarów i usªug konsumpcyjnych. 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 35,3 32,2 27,8 19,9 14,9 11,8 7,3 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 10,0 5,4 1,9 0,8 3,3 2,0 0,9 Wysoka i zmieniaj ca si inacja wpªywa na wysoko± i zmienno± oprocentowania depozytów i kredytów bankowych. Z oczywistych powodów oprocentowanie depozytu musi przewy»sza stop inacji. W przeciwnym wypadku oszcz dzanie wi zaªoby si ze strat, co w rezultacie oznaczaªoby zanik depozytów bankowych. Podstawowym ¹ródªem nansowania kredytów s depozyty bankowe. Zatem oprocentowanie kredytów tak»e musi by wy»sze od stopy inacji. Przy udzielaniu kredytu nale»y przedstawi plan jego spªaty okre±laj cy wysoko± i termin wpªaty kolejnych rat. Jest to praktycznie niewykonalne w warunkach niepewno±ci w odniesienie do wysoko±ci oprocentowania. Dªugoterminowe kredyty s podstawowym ¹ródªem nansowania budownictwa mieszkaniowego (kredyty hipoteczne). Ich brak w latach 90-tych byª przyczyn wieloletniego zastoju tej bran»y. Dla zilustrowania trudno±ci z zaplanowaniem spªat kredytu w warunkach wysokiej i zmiennej inacji rozwa»my nast puj cy przykªad. 28

Przykªad 1.30. Przyjmijmy,»e kredytu w wysoko±ci 100 000 zªotych udzielono 1 stycznia 1993 roku. Spªata odb dzie si w 10 ratach rocznych. Oprocentowanie kredytu jest zmienne. Stopa oprocentowania w ka»dym roku jest ustalana w oparciu o stop inacji oraz stop realn równ 5 %. Przyjmijmy,»e spªata odbywa si przy staªej racie kapitaªowej. Plan spªat wygl daªby nast puj co: Porównuj c wysoko± Tabela 1.3.2: Plan spªaty kredytu przy staªej racie kapitaªowej. Rok Stopa inacji Oprocentowanie Zadªu»enie na Odsetki Rata kredytu pocz tku roku 1 35,3% 42,07% 20 000,00 zª 8 413,00 zª 10 413,00 zª 2 32,2% 38,81% 18 000,00 zª 6 985,80 zª 8 985,80 zª 3 27,8% 34,19% 16 000,00 zª 5 470,40 zª 7 470,40 zª 4 29,9% 36,40% 14 000,00 zª 5 095,30 zª 7 095,30 zª 5 14,9% 20,65% 12 000,00 zª 2 477,40 zª 4 477,40 zª 6 11,8% 17,39% 10 000,00 zª 1 739,00 zª 3 739,00 zª 7 7,3% 12,67% 8 000,00 zª 1 013,20 zª 3 013,20 zª 8 10,0% 15,50% 6 000,00 zª 930,00 zª 2 930,00 zª 9 5,4% 10,67% 4 000,00 zª 426,80 zª 2 426,80 zª 10 1,9% 7,00% 2 000,00 zª 139,90 zª 2 139,90 zª rat kredytu ze ±rednim wynagrodzeniem w gospodarce narodowej, które w roku 1993 wynosiªo 320 zª, a w roku 2002 wynosiªo 2098 zª (1706 zª bez skªadki na ubezpieczenie spoªeczne pªaconej przez pracownika) widzimy,»e w pierwszym roku spªaty kredytu roczna rata to ponad 26,6 miesi czne wynagrodzenia przeci tne, a w ostatnim roku spªaty to tylko 1,3 przeci tnych wynagrodze«. Alternatywnym planem spªat jest zaplanowanie rat w wielko±ciach realnych (sta- ªych), a nast pnie ich coroczna waloryzacja o wska¹nik inacji. Zaªó»my,»e spªata kredytu udzielonego w wysoko±ci P zaplanowana jest w ratach r 1, r 2,..., r n. Zakªadamy,»e oprocentowanie kredytu jest staªe oraz równe realnej stopie procentowej i r. Oznaczamy zadªu»enie po wpªaceniu kolejnych rat z 1, z 2,..., z n. Przyjmujmy,»e z 0 = k. Zatem z k = (1 + i r ) z k 1 r k dla k = 1, 2,..., n. Równowa»nie mo»emy zapisa t równo± jako z k 1 = vz k + vr k Zakªadamy,»e spªata kredytu nast puje po wpªaceniu ostatniej raty kredytu, tzn. z n = 0. Zachodzi zatem (1.3.3) P = vr 1 + v 2 r 2 +... + v n r n, gdzie v = 1 1+i jest wspóªczynnikiem dyskontowania. 29

Zaªó»my,»e stopy inacji w kolejnych okresach wynosz ii 1, ii 2,..., ii n. Przyjmijmy,»e oprocentowanie efektywne kredytu jest zmienne i wynosi w kolejnych okresach ie 1, ie 2,...,ie n, gdzie 1 + ie k = (1 + i r ) (1 + ii k ) dla k = 1, 2,..., n Przyjmijmy,»e faktycznie spªacane raty kredytu R 1, R 2,..., R n s zwaloryzowanymi o wska¹nik inacji ratami wst pnie wyliczonymi r 1, r 2,..., r n. Czyli (1.3.4) R k = (1 + ii 1 )(1 + ii 2 )... (1 + ii k )r k Zauwa»my,»e v k r k = v 1 v 2... v k R k gdzie v s = 1 1 1+ie s =. Zatem (1+i r)(1+ii s) (1.3.5) P = v 1 R 1 + v 1 v 2 R 2 +... v 1 v 2... v n R n Zatem spªata kredytu nast puje po wykonaniu przedstawionego planu spªat. Pozostaje pytanie o dostosowanie tak skonstruowanego planu spªat do mo»liwo- ±ci nansowych kredytobiorcy. W tym celu przyjmiemy identyczne jak poprzednio warunki oprocentowania kredytu, kwot kredytu i liczb rat. Przyjmiemy,»e spªata odbywa si w realnie równych ratach kapitaªowych. Wyj±ciowy plan spªat zawiera kolumna druga, w której raty zostaªy obliczone przy zaªo»eniu staªego oprocentowania w wysoko±ci 5%. Faktycznie pªacone raty s ju» zwaloryzowane o narastaj cy wska¹nik inacji podaje kolumna 5. Tabela 1.3.3: Plan spªaty kredytu w realnie równych ratach kapitaªowych. Rok Rata Oprocentowanie Wska¹nik Rata zwalo- Zadªu»enie k nominalna r k efektywne ie k inacji ryzowana R k faktyczne Z k 1 3 000,00zª 42,07% 135,3% 4 059,00zª 20 000,00 zª 2 2 900,00zª 38,81% 178,9% 5 187,13zª 24 354,00 zª 3 2 800,00zª 34,19% 228,6% 6 400,56zª 28 618,66 zª 4 2 700,00zª 36,40% 296,9% 8 017,39zª 32 002,81 zª 5 2 600,00zª 20,65% 341,2% 8 870,80zª 35 632,85 zª 6 2 500,00zª 17,39% 381,4% 9 536,11zª 34 118,45 zª 7 2 400,00zª 12,67% 409,3% 9 822,95zª 30 515,54 zª 8 2 300,00zª 15,50% 450,2% 10 355,03zª 24 557,38 zª 9 2 200,00zª 10,67% 474,5% 10 439,67zª 18 008,75 zª 10 2 100,00zª 7,00% 483,5% 10 154,48zª 9 490,61 zª 11 0,00 zª Zaproponowany plan spªat obarczony jest pewnymi wadami. Patrz c na wysoko± faktycznego zadªu»enia widzimy,»e przez pierwszych 5 lat ro±nie ono pomimo regularnego pªacenia rat. Wzrost wynika oczywi±cie ze sªabn cej siªy nabywczej waluty 30