WpłyW parametrycznej niepewności modelu na zmiany WspółczynnikóW Wzmocnień automatycznej stabilizacji samolotu Jerzy Graffstein Instytut Lotnictwa Streszczenie Jakość automatycznej stabilizacji dla wybranych praw sterowania jest zależna od wartości współczynników wzmocnienia. W pracy zaproponowano metodykę syntezy praw sterowania wykorzystującą całkowo-kwadratowy wskaźnik jakości. Przy tak przyjętej metodzie decydujący wpływ na wartość omawianych współczynników ma dynamika sterowanego obiektu i otaczające go środowisko. Poprawność wyznaczenia tych wartości zależy od jakości matematycznego modelu rozważanego obiektu. Wskazano czynniki determinujące niepewność modelu. Pokazano wpływ wy branych właściwości obiektu na zmiany wartości parametrów automatycznej stabilizacji. Omówiono sposób wyliczania zakresu zmian tych parametrów. Przedstawiono i omówiono przykłady wyników obliczeń zakresu zmian badanych współczynników dla różnego stopnia niepewności modelu. WSTĘP Sposób działania automatycznej stabilizacji i jej efektywność zależy w sposób istotny od struktury praw sterowania i wartości współczynników wzmocnienia. Dla przyjętej formy praw sterowania decydujący wpływ na wartość współczynników ma dynamika automatycznie stabilizowanego obiektu. Poprawność wyznaczenia tych współczynników dla rozważanej metody zależy od jakości matematycznego modelu ruchu danego obiektu. Przy ocenie matematycznego modelu bierzemy przede wszystkim pod uwagę zgodność z zachowaniem rzeczywistego obiektu podobieństwo reakcji wywołanej zmianami wartości sterujących. Do istotniejszych źródeł powodujących niezgodności z rzeczywistym obiektem należy zaliczyć: uproszczenia matematycznego opisu modelu dynamiki określane jako niepewność strukturalna, błędy identyfikacji modelu wpływające na wartości parametrów matematycznych równań nazywane niepewnością parametryczną, pominięcie oddziaływań o charakterze wewnętrznych zakłóceń pochodzących od różnego rodzaju systemów pokładowych np. urządzenia pilotażowo-nawigacyjne, układ sterowania, układ napędu, itp., uproszczenia opisu wpływu zakłóceń zewnętrznych pochodzących od warunków otoczenia np. ruch powietrza, oblodzenie, opady itp. WPŁYW PARAMETRYCZNEJ NIEPEWNOŚCI MODELU NA ZMIANY... 65
Wymagania stawiane przy tworzeniu matematycznego modelu dotyczą uzyskania najlepszej dokładności odwzorowania reakcji nie tylko na sygnały sterujące ale również na zakłócenia zewnętrzne i wewnętrzne. Badając wpływ różnych źródeł niezgodności modelu na wartości współczynników praw sterowania należy uwzględnić najbardziej niekorzystne przypadki ale jednocześnie takie, które mogą wystąpić w rzeczywistych warunkach. metoda Wyliczania WSPóŁczynnikóW PraW STeroWania automatycznie STabilizoWaneGo SamoloTu Sterowanie stabilizujące ruch samolotu w rozważanym przypadku odbywa się w czterech kanałach: pochylania, odchylania, przechylania i prędkości według poniżej przedstawionych praw sterowania: Ogólny, nieliniowy model dynamiki ruchu zapisany w formie [7], [10], [3]: (macierze opisano w [7], [10]) można poddać linearyzacji wokół chwilowego punk - tu równowagi, określonego przez wektory x 0 i u 0 tak, że f (x 0, u 0 ) = 0 i wybranego w otoczeniu typowych warunków eksploatacji. Otrzymany model liniowy o postaci, dobrze odzwierciedla zachowanie rozważanego obiektu w pewnym otoczeniu punktu (x 0, u 0 ). Gdzie x = [U, V, W, P, Q, R, z 1, F, Q, W] T wektor zmiennych stanu, u = [d L, d H, d L, d T ] T wektor sterowań (kątowe położenia trzech powierzchni sterowych i położenie manetki gazu) oraz macierze stanu: a = [A ij ] iî{1,...,n}, jî{1,...,n} Î R [n n] i sterowania b = [B ij ] iî{1,...,n}, jî{1,...,m} Î R [n m] są określone jako odpowiednie pochodne cząstkowe f = [f 1,,f n ] T przy czym przybliżone wartości ich elementów można obliczyć z zależności [4], [7]: (1) (2) (3) (4) (5) (5) Wykorzystując zlinearyzowany matematyczny model dynamiki samolotu rozwiązano algebraiczne równanie Riccatiego [1], [4] i [9]: (6) spełniające warunek minimalizacji całkowego wskaźnika jakości [7]: gdzie Q w i R w oraz N w są dodatnio określonymi wagowymi macierzami. Odzwierciedlają one z jednej strony udział w procesie jakość sterowania (np. wielkość uchybu i czas regulacji) a z dru - giej strony ilości energii wydatkowanej w procesie sterowania. W pracy przyjęto, że macierze Q w i R w oraz N w posiadają tylko nie zerowe elementy diagonalne i są wyliczane wg zależności: (7) 66 PRACE INSTYTUTU LOTNICTWA Nr 202
gdzie: x imax maksymalny zakres zmian i-tej wartości zmiennej stanu, u imax maksymalny zakres zmian i-tej wartości zmiennej sterującej. Wyliczona z równania (7) symetryczna macierz P pozwala na wyznaczenie współczynników k WS zgodnie z: Zgodnie z (9) wyliczone współczynniki wzmocnień praw sterowania automatycznej stabilizacji samolotu o nominalnych parametrach masowych (1050 kg) i aerodynamicznych lecącego poziomo na wysokości 200 m, z prędkością 50 m/s zamieszczono w tabeli 1. Podane wartości wykorzystano w pracy jako punkt odniesienia dla omawianych badań. Tab. 1. Współczynniki wzmocnień (8) (9) 0.3041 0.1764-1.7733 0.1152-13.658 0.0316 0.075-1.928-0.1881-0.3219 0.0107 1.083-0.3166 6.2263 2.4792 452.1 23.5-177.1-3.9-140.1 Współpraca układu automatycznej stabilizacji ruchu samolotu z elementami stanowiącymi jego wyposażenie została w sposób schematyczny pokazana na rysunku 1. Rys. 1. Ogólny schemat funkcjonowania automatycznej stabilizacji lotu Zgodnie z przedstawioną strukturą uchyb stanowi różnicę pomiędzy zmiennymi zadanymi a wartościami zmierzonymi przez systemy pomiarowe. Na podstawie wartości tych uchybów WPŁYW PARAMETRYCZNEJ NIEPEWNOŚCI MODELU NA ZMIANY... 67
prawa sterowania wyznaczają sygnały służące do sterowania układami wykonawczymi. Wspomniane układy zapewniają odpowiednie położenie kątowe powierzchni sterowych samolotu i regulację układu napędowego. Na zachowanie się obiektu automatycznie stabilizowanego mają wpływ zakłócenia pochodzące od niepewności modelu (oznaczone symbolem D) i czynniki pochodzące od otoczenia, w którym odbywa się ruch obiektu. WPŁyW ParameTryczneJ niepewności modelu na WSPólczynniki Wzmocnień PrzykŁady elementarne Parametryczna niepewność modelu spowodowana jest ograniczoną dokładnością identyfikacji matematycznego modelu i błędami pochodzącymi z przyjętych uproszczeń. Należy przede wszystkim uwzględnić błędy identyfikacji wartości sił i momentów sił aerodynamicznych i masowych oraz sterujących. Wynika to z problemów związanych z określeniem współczynników pochodnych aerodynamicznych C ajk oraz momentów bezwładności J ij, masy m, położenia środka masy x cs dla rozważanego obiektu. W równaniu (5) opisującym matematyczny model ruchu samolotu następujące macierze są funkcjami wyżej wymienionych parametrów:,,. Tego typu zależności po zlinearyzowaniu modelu (5) wywołują zmiany elementów macierzy stanu a i b. To pociąga za sobą odpowiednie zmiany współczynników k WS wyliczanych z równań (6) do (9). Na dynamikę stabilizowanego obiektu mają wpływ różnego rodzaju czynniki: odkształcenia konstrukcji płata skrzydła, stateczników oraz powierzchni sterowych powodujące zmianę charakterystyk aerodynamicznych samolotu, zmiany wielkości parametrów masowych samolotu wynikające ze zużycia paliwa oraz jego przemieszczania a także niedokładnej znajomości położenia dodatkowych ładunków w różnych obszarach samolotu [7], różnice pomiędzy zmiennymi sterującymi zadawanymi a realizowanymi wynikające z od - kształceń, luzów i niedokładności mechanicznych elementów systemów wykonawczych oraz opóźnienia reakcji serwomechanizmów [5], błędy i opóźnienia systemów pomiarowo-wyliczających [6], zakłócenia pochodzące od pracy układu napędowego. Ponadto na obiekt działają zewnętrzne zakłócenie wpływające na przebieg ruchu między innymi przemieszczanie się otaczającego powietrza, które w zależności od charakteru określane jest jako np. wiatr lub turbulencja. Rys. 2. Wpływ niepewności modelu (zmienne masowe) na współczynniki wzmocnienia 68 PRACE INSTYTUTU LOTNICTWA Nr 202
Pełna lista wszystkich parametrów wpływających w różnym stopniu na zmiany współczynników wzmocnienia jest dłuższa od podanej powyżej [7]. Większość najistotniejszych czynników można podzielić na trzy oddzielne grupy: zmienne opisujące ruch obiektu, zmiany i niedokładności charakterystyk aerodynamicznych oraz zmiany i błędy danych masowych. Rys. 3. Wpływ niepewności modelu (zmienne aerodynamiczne) na współczynniki wzmocnienia W początkowym etapie pracy badano wrażliwość współczynników wzmocnienia na nie - pewność modelu oddzielnie dla poszczególnych odchyleń wartości aerodynamicznych i ma sowych. Przykładowe wyniki takich obliczeń pokazano na wykresach (rys. 2 3) gdzie błąd wybranych parametrów mieścił się przeważnie w przedziale Widoczne jest duże zróżnicowanie oddziaływania na wzmocnienia nie tylko co do wartości ale i kształtu przebiegu Występuje nieliniowy charakter a także zmiany w przybliżeniu liniowe. Pokazana na wykresie zmiany masy samolotu (rys. 2) wywołują nieliniowe zachowanie współczynników wzmocnienia dla współczynnika widoczny jest punkt siodłowy. Naj - większą wrażliwość na zmiany masy odnotowuje się dla współczynnika. Błędy momentów bezwładności wywołują w przybliżeniu liniowe zmiany wzmocnień w zilustrowanych kanałach: pochylania, przechylania i odchylania. Zmiany współczynników spowodowane niepewnością modelu aerodynamicznego mają także w przybliżeniu linowy charakter. Analiza stopnia wpływu tego ostatniego typu niepewności modelu wskazuje na bardzo duże zróżnicowanie. Współ - czynnik ulega dużym wahaniom wywołanym zmianami pochodnej aerodynamicznej (momentu odchylania po wychyleniu lotek), ale jest znacznie mniej wrażliwy na błędy pochodnej (momentu odchylania po prędkości przechylania). Przed stawio ne wyżej przykłady po - zwalają na ogólne zorientowanie się w jaki sposób elementy niepewności modelu wpływają na parametry automatycznej stabilizacji. Nie zaprezentowano kompletu uzyskanych wyników ponieważ wymaga to zamieszczenia zbyt dużej ilości wykresów (240 charakterystyk) co prze - kracza sensowną objętość artykułu. metoda i PrzykŁady zintegrowanego badania zmian WSPóŁczynnikóW Wzmocnienia dla ParameTryczneJ niepewności modelu Oddzielne badanie wpływu poszczególnych parametrów modelu na zmianę współczynników wzmocnienia [7] nie pozwala na jednoczesne oszacowanie zakresu zmian tych współczynników w wyniku istnienia niepewności w rzeczywistych warunkach stabilizowanego lotu. Z drugiej strony podejście globalne polegające na badaniu wszystkich czynników niepewności jednocześnie jest zadaniem skomplikowanym. Przystępując do próby rozwiązania omawianego zadania WPŁYW PARAMETRYCZNEJ NIEPEWNOŚCI MODELU NA ZMIANY... 69
analizowano oddziaływanie całej grupy parametrów aerodynamicznych i całej grupy masowej oraz obu tych grup jednocześnie. W ten sposób kolejne współczynniki można opisać jako funkcje: Ostatecznie w dalszej części pracy ograniczono się do analizy jednoczesnego (zintegrowanego) wpływu całej wybranej grupy zmiennych aerodynamicznych i masowych. Istnieje pewna ilość metod, które mogą posłużyć do wyliczenie największych zmian współczynników wzmocnienia jakie wystąpią dla danego poziomu niepewności modelu. Jedną z nich opisano w pracy [2] ale w pracy wybrano metodę polegającą na przebadaniu wszystkich możliwych kombinacji wartości minimalnych i maksymalnych badanych parametrów. Ta metoda stanowi kompromis pomiędzy stopniem złożoności i jakością wyników. W powyższej metodzie posługujemy się wartością maksymalnego odchylenia od wartości nominalnej każdego badanego parametru określonych symbolem. Jest to spodziewany błąd z jakim wyznaczono współczynniki aerodynamiczne i dane masowe na drodze obliczeniowej albo eksperymentalnej (dmuchania tunelowe lub badania w locie oraz badania naziemne). W dalszych rozważaniach rozpatrywano różne poziomy tego błędu z przedziału Obliczenia z wykorzystaniem przyjętej metody dla wszystkich 15 współczynników wzmocnie - nia praw sterowania (1-4) przeprowadzono na przykładzie niedużego samolotu o masie 1050 kg i lecącego na wysokości 200 m z prędkością 50 m/s. Rys. 4. Rozkład wartości współczynników i dla grupy zmiennych aerodynamicznych 70 PRACE INSTYTUTU LOTNICTWA Nr 202
Rys. 5. Rozkład wartości współczynników i dla grupy zmiennych masowych wzmocnienia W dalszej części pracy pokazano na wybranych przykładach maksymalne zakresy zmian współczynników zależne od wielkości błędu wybranych parametrów aerodynamicznych i masowych. Do dalszych rozważań wybrano 10 współczynników aerodynamicznych, masę samolotu, przesunięcie środka masy wzdłuż osi x i 4 momenty bezwładności (10): dla których ilość możliwych niepowtarzających się kombinacji uwzględnianych w obliczeniach dla każdego współczynnika wzmocnienia w przyjętej metodzie wynosiła N = 65536. Oddzielnie badany wpływ błędów grupy parametrów masowych wymaga N = 64 kombinacji a dla analizowanej grupy współczynników aerodynamicznych ilość ta wynosi N = 1024. Charakterystyczną cechą otrzymanych wyników jest nierównomierny rozkład wartości współczynników oraz ograniczona ilość poziomów w zależności od badanego współczynnika. Rys. 6. Rozkład wartości współczynników i dla obu grup jednocześnie WPŁYW PARAMETRYCZNEJ NIEPEWNOŚCI MODELU NA ZMIANY... 71
Rys. 7. Procentowe zmiany wybranych współczynników w funkcji obu grup jednocześnie Na rysunku 4 pokazano uzyskane za pomocą przyjętej metody (dla ) wartości współczynnika od zmian parametrów aerodynamicznych skupione w trzech obszarach. Ten sam współczynnik (rys. 5) dla zmiennych masowych grupuje swoje wartości w dwóch obszarach, ale dla badanych jednocześnie obu typów parametrów (rys. 6) skupiony jest w 4 strefach. Drugi z przykładowo pokazanych współczynników posiada bardziej regularny obraz z większą liczbą wartości (rys. 6). Dla obu współczynników obserwowana jest podobna prawidłowość najmniej poziomów wartości osiągają dla zmian parametrów masowych, więcej dla aerodynamicznej a najwięcej dla przypadku jednoczesnych zmian w obu grupach. Rys. 8. Procentowe zmiany wybranych współczynników w funkcji zmiennych aerodynamicznych 72 PRACE INSTYTUTU LOTNICTWA Nr 202
Rys. 9. Procentowe zmiany wybranych współczynników w funkcji zmiennych masowych W rozważanej metodzie procentowe zmiany wartości poszczególnych współczynników wzmocnienia w funkcji poziomu niepewności modelu (dla założonego przedziału zmian) przyjmują w zależności od wybranego współczynnika różne przebiegi i szeroką gamę maksymalnych wartości. Dla skrajnych przypadków pokazanych na wykresie (rys. 8) maksymalna zmiana współczynnika jest poniżej 0.3% a dla współczynnika osiąga 1100% (rys. 8). Jednoczesne zmiany w obu badanych grupach powodują wzrost maksymalnych wartość współczynników a w skrajnym przypadku do poziomu 1300% (rys. 7). Wyraźnie mniejsze wahania badanych współczynników wywołują niedokładności parametrów masowych wszystkie maksymalne wartości poniżej 72% (rys. 9). Procentowe zmiany badanych wielkości wskazują w wielu przypadkach na brak symetrii względem osi Oy. Szczególnie wyraźnie obserwuje się to zjawisko na przykładzie współczynników (rys. 7 i 8). Takie zachowanie powoduje konieczność analizy zmian współczynników oddzielnie dla błędów z ich dolnego i oddzielnie dla górnego zakresu. Rys. 10. Porównanie zmian współczynników: i w funkcji różnych grup zmiennych WPŁYW PARAMETRYCZNEJ NIEPEWNOŚCI MODELU NA ZMIANY... 73
Rys. 11. Porównanie zmian współczynników: i w funkcji różnych grup zmiennych Porównanie zmian na rysunkach 10 i 11 wybranych współczynników świadczy o dużym zróżnicowaniu wrażliwości parametrów stabilizacji na niepewność modelu. Błędy parametrów aerodynamicznych mają dominujący wpływ i nadają przebiegom wzmocnień charakter nieliniowy. Udział parametrów masowych w przebiegach wzmocnień jest mniejszy i bardziej zróżnicowany, dla współczynnika przy dodatnich zmianach parametrów nie obserwuje się wpływu. Biorąc pod uwagę częściej spotykany zakres błędów parametrów masowych i aerodynamicznych mieszczący się w przedziale maksymalne procentowe zmiany wszystkich współczynników wzmocnień z wyjątkiem jednego nie przekraczają 100%. Zaprezentowana metoda pozwala na uzyskanie najszerszego zakresu zmian współczynników wzmocnień przy uwzględnieniu najbardziej niekorzystnych sytuacji, które mogą wystąpić w rzeczywistych warunkach dla wybranego obiektu. WnioSki ( K V Φ ) W oparciu o analizę wyników uzyskanych z cyfrowych obliczeń można wyciągnąć następujące wnioski stanowiące istotne wskazówki przy analizie algorytmów automatycznej stabilizacji ruchu samolotu: 1. Parametryczna niepewność modelu posiada zróżnicowany wpływ na wartości współczynników wzmocnień w całym ich zbiorze i poszczególnych kanałach automatycznej stabilizacji. 2. Zwiększenie ilości badanych czynników niepewności powoduje znaczny wzrost ilości kombinacji i niezbędnych obliczeń. 3. Jednoczesne uwzględnienie obu grup parametrów powoduje zwiększenie zakresu zmian analizowanych wzmocnień w porównaniu z przedziałami otrzymywanymi oddzielnie dla każdej z badanych grup. 4. Dla wszystkich wzmocnień wpływ błędów parametrów masowych jest mniejszy niż danych aerodynamicznych. 5. W badaniach skutków niepewności modelu na wartości współczynników wzmocnień niezbędna jest analiza wpływu oddzielnie dla błędów z ich dolnego i oddzielnie dla górnego zakresu. 74 PRACE INSTYTUTU LOTNICTWA Nr 202
literatura [1] athans m., Falb P.: Sterowanie optymalne, wstęp do teorii i jej zastosowania. WNT, Warszawa 1969. [2] avanzini G.: Trajectory tracking for a helicopter model. The Aeronautical Journal, No. 2, 2000, pp. 69-76. [3] baarspul m.: Review of Flight Simulation Techniques. Progress in Aerospace Sciences, vol. 27, No.1, Pergamon Press, 1990. [4] Graffstein J., krawczyk m.: Możliwości uproszczeń układu automatycznego sterowania małym samolotem bezpilotowym. Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, Mechanika Nr 56, T 2, Rzeszów, 2001. [5] Graffstein J.: Wpływ dynamiki układu wykonawczego na ruch automatycznie sterowanego obiektu. Materiały XI Ogólnopolskiej Konferencji Mechanika w lotnictwie, PTMTiS, Warszawa 2004. [6] Graffstein J.: Wpływ dynamiki pomiaru prędkości kątowej na ruch automatycznie sterowanego obiektu. Monografia Automatyzacja i eksploatacja systemów sterowania i łączności, Gdynia 2005. [7] Graffstein J.: Wpływ charakterystyk obiektu i przebiegu jego ruchu na parametry układu stabilizacji lotu. Materiały XI Ogólnopolskiej Konferencji Mechanika w lotnictwie, PTMTiS, Warszawa, 2008, s. 109-126. [8] Graffstein J.: Metoda sterowania samolotem i jej dokładność podczas ruchu wzdłuż zadanej trajektorii. Zeszyty Naukowe Akademia Marynarki Wojennej, Nr 177B Gdynia, 2009, s. 79- -88. [9] kaczorek T.: Teoria sterowania. PWN. Warszawa, t. 1, 2, 1981. [10]Maryniak J.: Ogólny model matematyczny sterowanego samolotu. Mechanika w Lotnictwie, PTMTiS, Warszawa 1992. J. Graffstein an influence of model ParameTric uncertainty on Gain FacTorS VariaTion in aircraft automatic STabilizaTion Abstract A quality of automatic stabilisation, assessed for selected control laws, depends on gain parameters values. In the method of control law synthesis with integral quadratic quality index is proposed. In case of such a method, the dynamics of considered object and environment has a decisive impact on values of discussed parameters. Correctness of assessment of these values depends on the quality of mathematical model of the object. Factors generating the model uncertainty are identified. An influence of selected features of the object on variations of automatic stabilisation parameters is showed. Method for computing the range of these parameters variations are discussed. Results of computations of the range of parameters variations are presented for several levels of model uncertainty. WPŁYW PARAMETRYCZNEJ NIEPEWNOŚCI MODELU NA ZMIANY... 75