kład 5. Podstaoe adaia idetikacji
Model jest proscoą repreetacją sstem casie i prestrei storoą amiare romieia acoaia sstem recistego Zesta róań opisjącc bada proces o Zależości statce o łasości damice róaia różickoe różicoe o Modele probabilistce Zesta pradic dań logicc o ieda eksperta
3
iki: ioski i ipote metod projektoaia metod arądaia algortm steroaia metod diagostce odiesieie ikó do obiekt Eekt: oa ieda oe obiekt procedr arądaia rądeia sterjące aparatra pomiaroo- -kotrola jaisko proces obiekt ekspermet iki badac Cel: poaie projektoaie arądaie steroaie diagostka itp. model doskoaleie (popraa) model poróaie 4
Zadaie idetikacji proces toreia model matematcego obiekt a podstaie obiekt ejście Obiekt idetikacji jście Idetikator MODEL 5
. Określeie obiekt idetikacji. Określeie klas modeli 3. Orgaiacja ekspermet 4. aceie algortm idetikacji 5. koaie idetikatora 6
Obiekt idetikacji ejście jście akłóceia mierale akłóceia iemierale 7
Aalia jaisk Aalia dac pomiaroc t t t t Model arbitral Model opart a ied eksperta 8
Obiekt klasie modeli Obiekt idetikacji Carakterstka obiekt 9
bór optmalego model Obiekt idetikacji Ocea różic pomięd jściem obiekt i model Carakterstka obiekt Model Model 0
Obiekt statc Y Carakterstka obiekt
Damic plat T t) T tt YT ( t t t T ) 0 0 ( Discrete tpe observatios t t Damic discrete tpe plat t t t T 0 t ) Y ( t ). ( Y.
Ciągł obiekt damic Dla sgał ejścioego lb brac cilac ejść i jść t T t 0 t t 0 0 t T t 0 rejestrjm odpoiedi sgał jścio t t t T obserjem odpoiedio ciąg 0
Ekspermet pas o Sgał ejścioe : t t są tlko obseroae Ekspermet akt T t 0 T t 0 0 0 0 o Sgał ejścioe : t t mogą bć 0 aprojektoae (aplaoae) 4
ejście Obiekt idetikacji jście Idetikator Y MODEL Y Seria pomiaroa ejść iki pomiaró jść Algortm idetikacji 5
a Y Q( a) ( a ) a * 6
Algortm idetikacji o Program komptero o Realiacja sprętoa 7
Zadaie idetikacji proces toreia model matematcego obiekt a podstaie obiekt aceie parametró carakterstki obiekt Estmacja parametró carakterstki obiekt bór optmalego model problem determiistc bór optmalego model problem probabilistc 8
9 acaie Parametró Obiekt
Obiekt Idetikacji Zaa carakterstka obiekt Obiekt klasie modeli ie jest aa carakterstka obiekt bór Optmalego model Pomiar be akłóceń Pomiar akłóceiami Obiekt determiistc Obiekt loso aceie parametró carakterstki obiekt Estmacja parametró carakterstki obiekt bór optmalego model problem determiistc bór optmalego model problem probabilistc 0
D e t e r m i i s t c L o s o Obiekt klasie modeli Y Metod: ajmiejsc kadrató Maksmalej iarogodości Baes a m ( ) Y d Y Y bór optmalego model Obiekt idetikacji Peła iormacja Regresja I rodaj Regresja II rodaj * Q * ( ) iepeła iormacja Estmacja skaźika jakości Estmacja parametró rokład Estmacja rokład * mi Q Y Model jest optmal: dla adaej serii pomiaroej prjętego model prjętego skaźika jakości idetikacji Y
Obiekt Idetikacji
Sormłoaie problem Carakterstka statca obiekt: aa kcja ektor ejść ektor jść R Y R S L Y prestreń ejść prestreń jść R iea parametr carakterstki obiekt R prestreń parametró ( ) 3
Pomiar: Y 4
Pkt pomiaroe pokrają się pktami carakterstki obiekt atem dla każdego pomiar pradie jest róaie: aartm apisie ma oo postać: Oacając pre: kład róań prjmje postać: ( ) Y d 5
Y d Y Y - kcja odrota ględem - Algortm idetikacji Licba koiecc pomiaró spełia arek: L R Y 6
Prkład Model T gdie: ( ( ) ) (R) ( () () R) Z arkiem: R 7
Dla daego model kład róań ikając pomiaró ma postać: A artej postaci : lb Y R d R T T T T R Y T R T R R 8
gdie: d R R arek idetikoalości: det T 0 R Algortm idetikacji ma postać: R T Y T Y R R R R 9
Scegól prpadek: carakterstka liioa. tm prpadk kład róań ma postać: Y T R T R a algortm idetikacji: T T R YR R Y R arkiem idetikoalości: det 0 R 30
3 Estmacja parametró model
Obiekt Idetikacji Zaa carakterstka obiekt Obiekt klasie modeli ie jest aa carakterstka obiekt bór Optmalego model Pomiar be akłóceń Pomiar akłóceiami Obiekt determiistc Obiekt loso aceie parametró carakterstki obiekt Estmacja parametró carakterstki obiekt bór optmalego model problem determiistc bór optmalego model problem probabilistc 3
D e t e r m i i s t c L o s o Obiekt klasie modeli Y Metod: ajmiejsc kadrató Maksmalej iarogodości Baes a m ( ) Y d Y Y bór optmalego model Obiekt idetikacji Peła iormacja Regresja I rodaj Regresja II rodaj * Q * ( ) iepeła iormacja Estmacja skaźika jakości Estmacja parametró rokład Estmacja rokład 33 * mi Q Y Model jest optmal: dla adaej serii pomiaroej prjętego model prjętego skaźika jakości idetikacji Y
iemierale ielkości losoe Zakłóceia poiaroe ejście e Obiekt idetikacji jście Sstem pomiaro ik pomiar Estmata parametró Algortm estmacji 34
Zakłóco pomiar ielkości icej
Obiekt determiistc akłóco pomiar jścia gdie: algortm estmacji estmata parametr
Pomiar jścia obiekt akłóceiami pomiaromi m 37
iemieral loso parametr obiekcie gdie: Y algortm estmacji estmata parametr
iemieral loso parametr obiekcie ora akłóco pomiar jścia iemierale ielkości losoe Zakłóceia poiaroe ejście e Obiekt idetikacji jście Sstem pomiaro ik pomiar Estmata parametró Algortm estmacji 39
40
Sormłoaie problem Opis sstem pomiaroego: v gdie: v V aa kcja ajemie jedoaca ględem : Z V v v Prkład kcji : v V prestreń pomiaró( dim dim L )
Sormłoaie problem Zakłóceia pomiaroe: artość mieej losoej prestrei kcja gęstości rokład pradopodobieństa mieej Z obseroa ektor ielkości artość mieej losoej kcja gęstości rokład pradopodobieństa mieej iki pomiaró: V v v v R R
Poskjem algortm estmacji: V Możlie roiąaia: o Metoda ajmiejsc kadrató o Metoda maksmalej iarogodości o Metod Baes a
Założeia: v E Var akłóceia addte 0 artość ocekiaa akłóceń osi ero skońcoa ariacja akłóceń Empirca ariacja akłóceń: Var V v Algortm estmacji otrmjem miimalijąc empircą ariacje akłóceń: V Var V mi Var V Algortm estmacji: v
Metoda maksmalej iarogodości Założeia: v sstem pomiaro opisa jest doolą kcją ajemie jedoacą ględem Postać kcji gęstości rokład pradopodobieństa akłóceń jest aa kcja gęstości rokład pradopodobieństa obseroaej mieej losoej gdie: J v v v J - Jacobia macier prekstałceia odrotego. gdie: J v v v kcja iarogodości ma postać: L V v v v J
Metoda maksmalej iarogodości Algortm estmacji otrmjem ik maksmaliacji kcji iarogodości: V L V max L V
Metoda maksmalej iarogodości Prkład Opis akłóceń: 0 or or 0 0 v Opis sstem pomiaroego: v v 0
Prkład Macier Jakobiego: J v d v v dv kcja gęstości rokład pradopodobieństa obseroaej mieej losoej: v v 0 or or v 0 v 0
Prkład kcja iarogodości: 0 or 0 0 or v v V L v v V L max 0 max or or
Prkład Algortm estmacji: v V max Iterpretacja: v max max max
Założeia: v sstem pomiaro opisa jest doolą kcją ajemie jedoacą ględem R obseroa ektor ielkości artość mieej losoej Postacie kcji gęstości rokładó pradopodobieństa ora są ae. Daa jest kcja strat gdie jest artością estmat obseroaej ielkości. Rko: gdie: R V d E L V L V V L V łąc rokład pradopodobieństa V V V V R d dv gdie jest arkoą a bregoą kcją gęstości rokład pradopodobieństa
Problem: R mi R R r L V V d V gdie: V d dv V EL V L V V r rko arkoe Problem sproada się do astępjącego adaia : d V r V mi r V
cost J v d J v J v d v v d V V V v v V V V pomiaroej serii dla daej cost d J v J v V Gdie kcja gęstości rokład pradopodobieństa a posteriori:
Prkład Opis akłóceń: Rokład pradopodobieństa: exp exp m Opis sstem pomiaroego: v v v kcja strat: L
Prkład Macier Jakobiego: v dv d v v J kcja gęstości rokład pradopodobieństa obseroaej mieej: exp v v v kcja gęstości rokład pradopodobieństa a posteriori v m J v V ' exp exp
Prkład v m J v V exp Dla kcji strat: L rko arkoe: v m J v V d V V L V L E V r d exp kcja gęstości rokład pradopodobieństa a posteriori po prekstałceiac:
Prkład ik miimaliacji rka arkoego otrmjem algortm estmacji: Dsksja: o mała licba pomiaró m m V pomiar beartościoe o v - dobre pomiar v
Pomiar jścia obiekt akłóceiami pomiaromi m 58
Sormłoaie problem Carakterstka statca obiekt: Opis sstem pomiaroego: gdie: ik pomiar kcja ajemie jedoaca ględem dim dim L : Y Z prestreń pomiaró Zakłóceia pomiaroe - artość mieej losoej - prestreń akłóceń Z kcja gęstości rokład pradopodobieństa akłóceń a - artość mieej losoej a A - prestreń parametró kcja gęstości rokład pradopodobieństa parametró a a iki pomiaró: 59
Poskjem algortm estmacji: Możlie podejścia: o Metoda ajmiejsc kadrató o Metoda maksmalej iarogodości o Metod Baes a 60
Prpadek jedomiarom jściem L Założeia: akłóceia addte E 0 Var artość ocekiaa akłóceń róa ero skońcoa ariacja akłóceń Estmator metodą ajmiejsc kadrató otrmjem miimalijąc empircą ariację akłóceń : Var Algortm estmacji otrmjem ik roiąaia adaia: Var mi Var 6
Prpadek ielomiarom jściem dekompojem a adań jedomiarom jściem: L L () () () () () () () () ( ) L (L) (L) (L) 6
Prkład T ropatram prkładie empirca ariacja akłóceń ma postać: T Var ik miimaliacji pożsego otrmjem algortm estmacji: T 63 T
Założeia Carakterstka statca obiekt: akłóceia pomiaroe są ieależą artością mieej losoej dla której a jest gęstość rokład pradopodobieństa Dla adaej serii ejść pomiar jść sposób akładaia się akłóceń a mieroe jście opisai jest kcji która jest ajemie jedoaca ględem akłóceń - aa kcja otrmjem iki akłócoego 64
ik maksmaliacji kcji iarogodości otrmjem algortm estmacji: kcja iarogodości ma postać: L L max J L 65 Zakłócoe iki pomiaró jścia są artościami mieej losoej której kcję gęstości rokład pradopodobieństa ależ poiąać sstemem pomiarom ora obiektem idetikacji. Zmiea losoa jest ikiem prekstałceia mieej losoej sstemie pomiarom ględieiem carakterstki obiekt tj.: atem kcję gęstości rokład pradopodobieństa mieej losoej acam: J gdie: J - macier Jacobiego J
Prkład T Gęstość rokład pradopodobieństa akłóceń: exp m Opis sstem pomiaroego: T Macier Jakobiego: d d J T 66 T Carakterstka statca obiekt:
Prkład Gęstość rokład pradopodobieństa : exp T m kcja iarogodości: T m L exp T m L exp Algortm estmacji: T m 67
Prkład Carakterstka statca obiekt: ( ) 0 kcja gęstości pradopodobieństa akłóceń: Dodatkoe ałożeie: 0 0 or or 0 0 Opis sstem pomiaroego: 68
Prkład Macier Jakobiego: Gęstość rokład pradopodobieństa obseroaego jścia : 0 or 0 0 or d d J 69
Prkład kcja iarogodości: 0 or 0 0 or L L max or 0 max or 70
Prkład Algortm estmacji: max Iterpretacja: max max max 7
Założeia Carakterstka statca obiekt: akłóceia pomiaroe są ieależą artością mieej losoej dla której a jest gęstość rokład pradopodobieństa sposób akładaia się akłóceń a mieroe jście opisai jest kcji która jest ajemie jedoaca ględem akłóceń L - adaa jest kcja strat Dla adaej serii ejść pomiar jść - aa kcja R - ektor parametró jest artością mieej losoej dla której kcja gęstości rokład pradopodobieństa - jest aa - gęstość rokład pradopodobieństa a priori otrmjem iki akłócoego 7 R
Rrko podjęcia decji: R d E L L d d gdie jest łącą gęstością rokład pradopodobieństa ektora parametró ora ikó pomiaró dla adaej serii pomiaroej ejść ależ acć algortm estmacji któr miimalije rko cli: R mi R Zaażm że 73
d L E L r d Rko podjęcia decji prjmie postać d d L R Rko arkoe: ik miimaliacji pożsego otrmjem algortm estmacji: r r mi 74
d Poostaje acć arkoą gęstość rokład pradopodobieństa (rokład pradopodobieństa a posteriori): atem: arko rokład obseroaej mieej losoej raża się orem: J J d J J 75 Biorąc pod agę carakterstkę obiekt ora opis sstem pomiaroego obseroaa miea losoa ma postać: d gdie: Ostatecie:
Metoda średiej a posteriori Specjala postać kcji strat: T L Rko arkoe: T T T T d E E E r otrmjem algortm estmacji: E r 0 grad d E 76 ik miimaliacji pożsego tj.:
Metoda maksmalego pradopodobieństa a posteriori Specjala postać kcji strat: L Rko arkoe: d r max J J max takie że: J 77 Algortm estmacji otrmjem ik maksmaliacji rokład pradopodobieństa a posteriori tj.: Ostatecie
Prkład Carakterstka statca obiekt: ( ) Gęstość rokład pradopodobieństa akłóceń: Gęstość rokład pradopodobieństa a priori: Opis sstem pomiaroego: kcja strat: L exp exp m 78
Prkład Macier Jakobigo: d d J Gęstość rokład pradopodobieństa obseroaego jścia: exp Gęstość rokład pradopodobieństa a posteriori m m J exp exp exp 79
Prkład o - Mała licba (kilka pomiaró) ik maksmaliacji pożsego otrmjem algortm estmacji: m Dsksja: o m pomiar mało artościoe pomiar dobrej jakości 80 Dża licba pomiaró
Pomiar obiekt losoo miem parametrem
Sormłoaie problem Carakterstka obiekt: Loso parametr obiekt: R ajemie jedoaca kcja ględem Zaa kcja gęstości rokład pradopodobieństa L dim artość mieej losoej prestrei Y dim L Pomiar: Y Algortm estmacji: R L Y
Założeie: Carakterstka obiekt: ~ E 0 Var Metoda ajmiejsc kadrató miimalije empircą ariacje Var Y Algortm estmacji otrmjem roiąjąc adaie: ~ Y Var Y mi Var Y
Założeia: Dla adaego ejścia jście jest mieroe artość mieej losoej Sekecja J kcją gęstości rokład pradopodobieństa jest ciągiem artości mieej losoej kcja gęstości rokład pradopodobieństa mieej losoej kcja iarogodości: Estimatio algoritm: L gdie J J jest macierą Jakobiego Y Y L Y max L Y J
Gęstość rokład pradopodobieństa a posteriori : d Y Y L Y E L Y r d Założeia: jest artością mieej losoej o kcji gęstości rokład pradopodobieństa Dodatkoo akładam że J d J J Y Algortm estmacji: Y r Y r Y mi
Pomiar jścia akłóceiami ora losoo mie parametr obiekt m
Założeia: miee losoe takie że E 0 Empirca ariacja: Var Var ~ E 0 iki pomiaró są artościami mieej losoej: E 0 Algortm estmacji otrmjem ik roiąaia adaia: ~ Var Var Y Var mi Var
Założeia: jest artością mieej losoej jest artością mieej losoej Dla adaego o kcji gęstości rokład pradopodobieństa są artościami mieej losoej są artościami mieej losoej kcja ie jest ajemie jedoaca ględem dlatego dodajem i kosekecji otrmjem: Prekstałceie odrote: o kcji gęstości rokład pradopodobieństa
kcja gęstości pradopodobieństa obseroaej artości d J J d Y Y kcja iarogodości: d J J L Y Algortm estmacji: L L Y max J J J
Założeia: Dodatkoo akładam że Jest artością mieej losoej o rokładie Dla staloego parametr ora ejścia artości jść są artościami mieej losoej pod arkiem że ora ejście jest róe. jest artością mieej losoej kosekecji są artościami mieej losoej pod arkiem że o kcji gęstości pradopodobieństa J d J J d Y Y
kcja gęstości rokład pradopodobieństa a posteriori: d d J J d J J Y Y Algortm estmacji otrmjem roiąjąc adaie: r r mi Rko arkoe: d L E L r d
9