Układy równań i równania wyższych rzędów

Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem była funkcja jednej zmiennej y = y(x) o wartościach rzeczywistych Obecnie zajmiemy się układami równań różniczkowych zwyczajnych Definicja Układem równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu rozwikłanym względem y, y 2,, y n nazywamy układ równań postaci y = f (x, y, y 2,, y n ), y 2 = f 2 (x, y, y 2,, y n ), y n = f n (x, y, y 2,, y n ), gdzie f, f 2,, f n są funkcjami n + zmiennych Rozwiązaniem układu nazywamy n funkcji (jednej zmiennej) y = y (x), y 2 = y 2 (x),, y n = y n (x) spełniających ten układ dla x (a, b) Zagadnieniem Cauchy ego nazywamy problem wyznaczenia takiego rozwiązania układu, które spełnia warunek początkowy y (0) = y (x 0 ), y (0) 2 = y 2 (x 0 ),, y n (0) = y n (x 0 ) Wprowadzając oznaczenia y y (x) y (x) f (x, y) y 2 y =, y(x) = y 2 (x), y 2(x) f 2 (x, y) y (x) =, F (x, y) = y n (x) y n(x) f n (x, y) y n układ równań możemy zapisać w postaci wektorowej y (x) = F (x, y) (lewą stronę często zapisuje się również w postaci dy dx ), gdzie F : X Rn, X R R n

2 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Twierdzenie 2 Jeśli odwzorowanie F : a, b V V, gdzie V jest otwartym podzbiorem przestrzeni R n, jest ciągłe i spełnia warunek F (x, y () ) F (x, y (2) ) L y () y (2) L>0 x a,b y (),y (2) V (warunek Lipschitza względem drugiego argumentu), to układ równań różniczkowych y (x) = F (x, y) z warunkiem początkowym y(x 0 ) = y (0) ma dokładnie jedno rozwiązanie określone w pewnym otoczeniu punktu x 0 Dowód Szkic Równanie y (x) = F (x, y(x)) możemy przekształcić do postaci ˆ x x 0 y (t)dt = ˆ x x 0 F (t, y(t))dt y(x) y(x 0 ) = ˆ x = F (t, y(t))dt y(x) = y (0) + F (t, y(t))dt, x 0 x 0 x y (x) y 2 (x) gdzie dla y(x) = mamy 0 y (t)dt x x x 0 y x (t)dt = 0 y 2 (t)dt Niech T będzie odwzorowaniem określonym wzorem (T (y)) (x) = y (0) + x x y n (x) x 0 y n (t)dt x 0 F (t, y(t))dt Z założeń twierdzenia wynika, że istnieje taki przedział x 0 ε, x 0 + ε, że ˆ x T : C ( x 0 ε, x 0 + ε, R n ) C ( x 0 ε, x 0 + ε, R n ), T (y)(x) = y (0) + ˆ x x 0 F (t, y(t))dt jest odwzorowaniem zwężającym Punkt stały tego odwzorowania jest rozwiązaniem równania różniczkowego spełniającego warunek początkowy Wniosek 3 Jeśli odwzorowanie F o składowych f, f 2,, f n i pochodne cząstkowe f j y i odwzorowania F są ciągłe w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y (0) ) R n+, to zagadnienie Cauchy ego ma dokładnie jedno rozwiązanie określone w pewnym otoczeniu punktu x 0 2 Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Zajmiemy się szczególnym przypadkiem układu, gdy odwzorowanie F jest określone wzorem F (x, y) = Ay + b(x) (tzn F jest liniowe względem y), gdzie A jest macierzą kwadratową stopnia n, b : (a, b) R n, tzn b = [ b b 2 b n ] T, gdzie bi : (a, b) R Definicja 4 Układ y = Ay + b(x) nazywamy układem równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Jeśli b(x) 0, to układ nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku układ nazywamy niejednorodnym C ( x 0 ε, x 0 + ε, R n ) oznacza zbiór funkcji ciągłych f : x 0 ε, x 0 + ε R n

Układy równań różniczkowych zwyczajnych 3 2 Układy jednorodne Zajmiemy się najpierw rozwiązywaniem układu jednorodnego y = Ay W przestrzeni M n n (R) mamy normę określoną wzorem A = sup y = Ay, gdzie y = y 2 + y 2 n Twierdzenie 5 (własności normy macierzy) Jeśli A = sup y = Ay, to: a) Ay A y dla każdego y R n, A M n n, b) AB A B dla każdego A, B M n n Odwzorowanie F : a, b R n R n określone wzorem F (x, y) = Ay spełnia warunek Lipschitza ze stałą L = A Dowód Z własności normy wynika, że dla każdego y, y 2 R n F (x, y ) F (x, y ) = Ay Ay 2 = A (y y 2 ) A y y 2 Zauważmy, że przestrzeń M n n (R) jest przestrzenią skończenie wymiarową, a więc jako przestrzeń unormowana jest przestrzenią zupełną Twierdzenie 6 Szereg S(A) = k=0 k! Ak jest zbieżny Dowód Wykażemy, że ciąg sum częściowych S n (A) = n k=0 k! Ak jest ciągiem Cauchy ego, tzn pokażemy, że spełniony jest warunek S n+m (A) S n (A) ε ε>0 N ε n>n ε m N Z własności normy wynika, że n+m S n+m (A) S n (A) = k! Ak k=0 k=0 n+m n+m = k=n+ k! Ak k! Ak k=n+ = n+m A k k! k! Ak k=n+ n+m k=n+ k! A k Szereg liczbowy k=0 k! A k jest zbieżny (do e A ), zatem jest ciągiem Cauchy ego Wynika stąd, że ciąg S n (A) jest ciągiem Cauchy ego, w konsekwencji szereg S(A) = k=0 k! Ak jest zbieżny Definicja 7 Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n Funkcją wykładniczą macierzy A nazywamy macierz e A = k! Ak, gdzie A 0 = I, A k = A } A {{ A} k razy k=0

4 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Z podanej definicji wynika, że dla dowolnej liczby x R mamy e xa = x k k=0 k! Ak Twierdzenie 8 Jednorodny układ n równań różniczkowych liniowych y = Ay z warunkiem początkowym y(x 0 ) = y (0) ma dokładnie jedno rozwiązanie określone dla wszystkich x R y(x) = e (x x 0)A y (0) Wzór podany w twierdzeniu 8 można uprościć korzystając z wartości własnych macierzy A Twierdzenie 9 Niech λ, λ 2,, λ k będą wartościami własnymi macierzy kwadratowej A stopnia n o krotnościach algebraicznych odpowiednio równych n, n 2,, n k, gdzie n + n 2 + + n k = n, Z j = {z Z n : (A λ j I) n j z = 0} dla j =, 2, k Wówczas równanie różniczkowe y = Ay z warunkiem początkowym y(x 0 ) = y (0) ma rozwiązanie postaci y(x) = k j= n j e λ j(x x 0 ) m=0 (x x 0 ) m (A λ j I) m y (0,j), m! gdzie y (0,j) Z j dla j =, 2,, k, y (0) = y (0,) + y (0,2) + + y (0,k) Uwagi Równanie det (A λi) = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego y = Ay 2 Podprzestrzenie liniowe Z j = {z Z n : (A λ j I) n j z = 0} nazywamy podprzestrzeniami własnymi macierzy A 3 Jeśli wszystkie wartości własne są liczbami rzeczywistymi, to możemy przyjąć Z j = {z R n : (A λ j I) n j z = 0}, czyli Z j jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R n 4 Rozkład y (0) = y (0,) + y (0,2) + + y (0,k), gdzie y (0,j) Z j dla j =, 2,, k, jest wyznaczony jednoznacznie 5 Nawet jeśli macierz A ma nierzeczywiste wartości własne, to rozwiązanie układu jest rzeczywiste 6 Rozwiązanie ogólne układu y = Ay (bez podanych warunków początkowych) można zapisać w postaci y(x) = k j= n j e λ x jx m m! (A λ ji) m C (j), m=0 gdzie C (j) Z j

Układy równań różniczkowych zwyczajnych 5 Przykład 0 2 Wyznaczymy rozwiązanie układu równań dy dx = y + y 2 + 2y 3, dy 2 dx = y 2 + y 3, dy 3 dx = 2y 3, z warunkiem początkowym y (0) =, y 2 (0) = 2, y 3 (0) = 2 Rozwiązanie Macierz układu ma postać A = 0 Jej wartościami własnymi 0 0 2 są pierwiastki wielomianu charakterystycznego w A (λ) = det(a λi) macierzy A Rozwiązując równanie w A (λ) = 0, otrzymujemy λ = o krotności algebraicznej, n = 2 i λ 2 = 2 o krotności algebraicznej n 2 = Wyznaczamy podprzestrzenie niezmiennicze Z, Z 2 R 3, macierzy A Dla λ = mamy 2 2 0 0 0 0 3 (A I) 2 = 0 0 0 = 0 0 0 0 2 0 0 0 0 Stąd otrzymujemy (A I) 2 z = 0 z = α, z 2 = β,z 3 = 0, gdzie α, β R Dla λ 2 = 2 mamy 2 0 0 A 2I = 0 2 0 0 = 0, 0 0 2 0 0 0 0 0 a więc (A 2I) z = 0 z = 3γ, z 2 = γα, z 3 = γ, gdzie γ R Rozkładając warunek α początkowy na wektory z podprzestrzeni niezmienniczych, otrzymujemy 2 = β + 0 3γ 2 3 γ α = 2, β =, γ =, czyli y (0,) =, y (0,2) = Rozwiązanie układu γ 0 ma zatem postać 2 2 0 0 2 3 y(x) = e x + x 0 0 0 + e 2x, 0 0 0 2 0 0 0 czyli postać 2 3 y(x) = e x + x 0 + e 2x 0 0 2 Przykład z książki K Maurin, Analiza, cz I, elementy, PWN 99

6 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Składowe rozwiązania są odpowiednio równe y (x) = (x 2)e x + 3e 2x, y 2 (x) = e x + e 2x, y 3 (x) = e 2x c 2 { dy dx Przykład Wyznaczymy rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych = y y 2, dy 2 = y dx + y 2 Rozwiązanie Wartościami własnymi macierzy A są liczby zespolone λ = + i, λ 2 = i[ o ] krotnościach [ ] algebraicznych n = n 2 = i wektorach własnych odpowiednio i równych, Rozwiązanie ogólne ma zatem postać y(x) = e i (+i)x C () +e ( i)x C (2), gdzie wektory [ C ] (), C (2) [ spełniają ] warunki [ ] (A[ ] λ I) C () = 0, (A λ 2 I) C (2) = 0, czyli C () c i = = C, C (2) c2 = = C 2, dla C i, C 2 Z Składowe rozwiązania możemy zatem zapisać w postaci c 22 y (x) = C ie (+i)x + C 2 e ( i)x, y 2 (x) = C e (+i)x + Ci 2 e ( i)x Dla warunków początkowych y (0) =, y 2 (0) =, otrzymujemy układ równań liniowych { C i + C 2 = C + C 2 i = C = 2 2 i, C 2 = 2 + 2 i Wstawiając wyznaczone wartości do wzorów na rozwiązanie ogólne i korzystając ze wzorów Eulera, otrzymujemy y (x) = C ie (+i)x + C 2 e ( i)x = 2 ex (( i) i(cos x + i sin x) + ( + i) (cos x i sin x)) = = 2 ex ( i(cos x + i sin x) ii(cos x + i sin x) + (cos x i sin x) + i(cos x i sin x)) = = 2 ex ( i cos x + sin x + cos x + i sin x + cos x i sin x + i cos x + sin x) = = e x (cos x + sin x) Podobnie można wykazać, że y 2 (x) = e x (sin x cos x) W przypadku układu dwóch równań różniczkowych można rozwiązanie ogólne wyznaczać korzystając z poniższego twierdzenia Twierdzenie 2 Niech det (A λi) = 0, gdzie A jest macierzą kwadratową stopnia 2, będzie równaniem charakterystycznym równania y = Ay a) Jeśli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste λ, λ 2, to równanie y = Ay ma rozwiązanie ogólne postaci y (x) = [ y (x) y 2 (x) ] = e λ x [ c c 2 ] [ + e λ 2x c2 c 22 ]

Układy równań różniczkowych zwyczajnych 7 b) Jeśli równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek podwójny λ = λ = λ 2, to równanie y = Ay ma rozwiązanie ogólne postaci [ ] ( [ ] [ ]) y (x) y (x) = = e λx c c2 x + y 2 (x) c) Jeśli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki zespolone λ = α+iβ, λ 2 = α iβ, to równanie y = Ay ma rozwiązanie ogólne postaci [ ] ( [ ] [ ]) y (x) y (x) = = e αx c c2 cos (βx) + sin (βx) y 2 (x) Uwaga Stałe c, c 2, c 2, c 22 wyznaczamy korzystając z wyjściowego układu równań i z podanych warunków początkowych y (x 0 ) = y (0), y (x 0 ) = y (0) 2 Przykład 3 Wyznaczymy rozwiązanie układu równań { dy dx = 2y + y 2, dy 2 dx = y + 2y 2, spełniające warunek początkowy y (0) = 2, y 2 (0) = 4 Rozwiązanie Macierz współczynników układu jest równa A = równanie charakterystyczne ma postać 2 λ 2 λ = 0 λ2 4λ + 3 = 0 c 2 c 2 c 22 c 22 [ 2 2 ], a więc Pierwiastkami równania kwadratowego są liczby λ =, λ 2 = 3 Rozwiązaniem ogólnym są zatem funkcje y (x) = c e x +c 2 e 3x, y 2 (x) = c 2 e x +c 22 e 3x Wyznaczymy stałe c, c 2, c 2, c 22 Zauważmy, że dy = c dx e x + 3c 2 e 3x, dy 2 = c dx 2e x + 3c 22 e 3x Stąd mamy { c e x + 3c 2 e 3x = 2 (c e x + c 2 e 3x ) + c 2 e x + c 22 e 3x, c 2 e x + 3c 22 e 3x = c e x + c 2 e 3x + 2 (c 2 e x + c 22 e 3x ), Porównując stałe przy funkcjach e x i e 3x, otrzymujemy c = 2c + c 2, 3c 2 = 2c 2 + c 22, c 2 = c + 2c 2, 3c 22 = c 2 + 2c 22, czyli { c + c 2 = 0, c 2 c 22 = 0 Uwzględniając warunki początkowe mamy x (0) = c +c 2 = 2, x 2 (0) = c 2 +c 22 = 4, c + c 2 = 0 c a więc stałe wyznaczamy z układu 2 c 22 = 0, otrzymując c c + c 2 = 2 =, c 2 =, c 2 + c 22 = 4 c 2 = 3, c 22 = 3 Rozwiązaniem układu spełniającym zadany warunek początkowy są więc funkcje

8 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów y (x) = e x + 3e 3x, y 2 (x) = e x + 3e 3x 22 Układy niejednorodne Zajmiemy się obecnie rozwiązywniem układów niejednorodnych y = Ay + b(x), gdzie b(x) 0 Rozwiązanie bedziemy wyznaczali metodą uzmienniania stałych Twierdzenie 4 Rozwiązanie ogólne układu y = Ay + b(x) jest sumą rozwiązania ogólnego układu jednorodnego y = Ay i rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego y = Ay + b(x) Twierdzenie 5 Jeśli funkcje y (x), y 2 (x),,y n (x) są rozwiązaniem układu y = Ay, to dla dowolnych stałych C, C 2,, C n funkcja y(x) = C y (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) jest rozwiązaniem układu y = Ay Ponadto, jeśli dla pewnego x 0 R wektory y (x 0 ), y 2 (x 0 ),,y n (x 0 ) są liniowo niezależne, to: a) dla każdego x R wektory y (x), y 2 (x),,y n (x) są liniowo niezależne, b) funkcja y(x) = C y (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) jest rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego Rozwiązania układu niejednorodnego y = Ay + b(x) będziemy szukali w postaci y(x) = n j= C j(x)y j (x), gdzie funkcje y (x), y 2 (x),,y n (x) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu jednorodnego, tzn y j = Ay j dla j =, 2,, n Obliczając pochodną funkcji y(x), otrzymujemy y (x) = C j(x)y j (x) + C j (x)y j(x) = C j(x)y j (x) + C j (x)ay j (x) = = j= j= C j(x)y j (x) + A j= j= C j (x)y j (x) = j= j= C j(x)y j (x) + Ay(x) Wstawiając do równania niejednorodnego mamy równość n j= C j(x)y j (x) = b(x) y j (x) Zauważmy, że y j : R R n y 2j (x), zatem y j (x) =, gdzie y ij : R R Układ y nj (x) n j= C j(x)y j (x) = b(x) ma zatem postać C (x)y (x) + C 2(x)y 2 (x) + + C n(x)y n (x) = b (x), C (x)y 2 (x) + C 2(x)y 22 (x) + + C n(x)y 2n (x) = b 2 (x), C (x)y n (x) + C 2(x)y n2 (x) + + C n(x)y nn (x) = b n (x) Wyznacznik tego układu (nazywany wyznacznikiem Wrońskiego) jest w każdym punkcie x różny od zera Z układu tego wyznaczamy zatem jednoznacznie funkcje C j(x) i po scałkowaniu otrzymujemy funkcje C j (x) j=

Układy równań różniczkowych zwyczajnych 9 Przykład 6 Wyznaczymy rozwiązanie układu { y = 2y + 2y 2 + x, y 2 = 2y y 2 + x [ ] 2 2 Rozwiązanie Macierz układu A = ma wartości własne λ 2 = 2, λ 2 = 3 [ ] [ ] 2 i wektory własne odpowiednio z =, z 2 2 = Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego ma zatem postać y(x) = C e 2x + C [ ] [ ] [ ] 2 e 2 2 e 3x 2x, tzn y (x) = 2e 2x, [ ] 2e 3x y 2 (x) = Przyjmując y(x) = C (x)y (x) + C 2 (x)y 2 (x) otrzymujemy układ e 3x równań względem pochodnych C (x), C 2(x) postaci { C (x)e 2x + 2C 2(x)e 3x = x, 2C (x)e 2x + C 2(x)e 3x = x Stosując wzory Cramera, otrzymujemy C (x) = 5 xe2x, C 2(x) = 3 5 xe 3x, a stąd C (x) = ( xe2x) dx = 5 0 xe2x + 20 e2x + D, C 2 (x) = 3 5 xe 3x dx = 5 xe 3x 5 e 3x + D 2 Ostatecznie mamy y(x) = ( ) [ ] 0 xe2x + e 20 e2x + D 2x 2e 2x + ( ) [ ] 5 xe 3x 2e 5 e 3x + D 3x 2 e 3x = [ = x + D ] 2 2 e 2x + 2D 2 e 3x 2D 6 e 2x + D 2 e 3x { y Przykład 7 Wyznaczymy rozwiązanie układu = 3y y 2 +, y 2 spełniającego = 2y + x, warunek początkowy y (0) =, y 2 (0) = Rozwiązanie Rozwiążemy równanie jednorodne nie wyznaczają [ explicite ] baz podprzestrzeni niezmienniczych Wartościami własnymi macierzy A = są liczby 3 2 0 λ =, λ 2 = 2 Rozwiązanie równania jednorodnego możemy zatem zapisać w postaci y (x) = c e x + c 2 e 2x, y 2 (x) = c 2 e x + c 22 e 2x Obliczając pochodne tych funkcji i wstawiając do równania jednorodnego, otrzymujemy zwiazki między stałymi c 2 = 2c oraz c 2 = c 22 Przyjmując C = c oraz C 2 = c 2 rozwiązanie układu jednorodnego zapisujemy w postaci y (x) = C e x +C 2 e 2x, y 2 (x) = 2C e x +C 2 e 2x Uzmienniamy teraz stałe przyjmując y (x) = C (x)e x + C 2 (x)e 2x, y 2 (x) = 2C (x)e x + C 2 (x)e 2x Po zróżniczkowaniu, wstawieniu do równania niejednorodnego i redukcji, otrzymujemy układ równań względem niewiadomych C (x), C 2(x) postaci { C (x)e x + C 2(x)e 2x =, 2C (x)e x + C 2(x)e 2x = x

0 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Kontynuując rozwiązanie i uwzględniając warunek początkowy, otrzymujemy rozwiązanie y (x) = 2e x + 5 4 e2x x 3, y 2 4 2 (x) = 5 4 e2x 4e x 3 3 x, które możemy 4 2 zapisać również w postaci wektorowej [ 2e y(x) = x + 5 4 e2x x ] 3 2 4 5 4 e2x 4e x 3 3x 4 2 2 Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynikach wyższych rzędów Definicja 8 Równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci a n y (n) + a n y (n ) + + a y + a 0 y = b(x), gdzie a n 0 Jeśli b(x) 0 równanie nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku równanie nazywamy niejednorodnym Stosując podstawienie y = y, y 2 = y, y 3 = y,, y n = y (n ) równanie n-tego rzędu sprowadzamy do układu równań liniowych pierwszego rzędu postaci y = y 2, y 2 = y 3, Macierz tego układu ma postać y n = a n ( a n y n a y 2 a 0 y + b(x)) A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a n a 0 a n a a n a 2 a n a n a jej wielomian charakterystyczny jest równy det (A λi) = ( ) n ( λ n + a n a n λ n + + a n a λ + a n a 0 ) Zauważmy, że (λ n + an a n λ n + + an a λ + an a 0 ) = 0 a n λ n +a n λ n + +a λ+a 0 = 0 Definicja 9 Równanie a n λ n + a n λ n + + a λ + a 0 = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego a n y (n) + a n y (n ) + + a y + a 0 y = b(x),

2 Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynikach wyższych rzędów Zwróćmy uwagę, że równanie charakterystyczne otrzymujemy z równania różniczkowego podstawiając λ k za y (k) Równania liniowe wyższych rzędów możemy rozwiązywać korzystając z metod przedstawionych w porzednich paragrafach o układach równań różniczkowych liniowych Jednoznaczne rozwiązanie otrzymamy przyjmując warunki początkowe postaci y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y () 0,, y (n ) (x 0 ) = y (n ) 0 Przykład 20 Rozwiążemy równanie y + y 2y = 0 z warunkami początkowymi y(0) =, y (0) =, y (0) = 2 Równanie charakterystyczne λ 3 + λ 2 2λ = 0 ma pierwiastki λ = 2, λ 2 = 0, λ 3 = Rozwiązanie ogólne ma zatem postać y = C e 2x + C 2 e 0x + C 3 e x = C e 2x + C 2 + C 3 e x Uwzględniając warunki początkowe, otrzymujemy y (x) = 2 + 2 e 2x Równanie różniczkowe niejednorodne a n y (n) + a n y (n ) + + a y + a 0 y = b(x) rozwiazujemy metodą uzmienniania stałych Stosując podstawienie y = y, y 2 = y, y 3 = y,, y n = y (n ) sprowadzamy równanie n-tego rzędu do układu równań liniowych y = Ay + b(x), gdzie b(x) = [ 0 0 b(x) ] T Przypomnijmy, że rozwiązanie ogólne układu jednorodnego możemy zapisać w postaci y(x) = C j (x)y j (x), czyli w postaci y y (x) y 2 (x) y n (x) y 2 = C y 2 (x) + C y 22 (x) 2 + + C y 2n (x) n y n (x) y n2 (x) y nn (x) y n j= Korzystając z równości y = y, y 2 = y, y 3 = y =,, y n = y (n ), otrzymujemy y y (x) y 2 (x) y n (x) y y (x) y 2(x) y n(x) y (n ) = C y (n ) (x) + C 2 y (n ) 2 (x) + + C n y (n ) n (x) Zatem w przypadku rozwiązywania równania niejednorodnego n-tego rzędu metodą uzmienniania stałych C, C 2,, C n, układ równań C (x)y (x) + C 2(x)y 2 (x) + + C n(x)y n (x) = b (x), C (x)y 2 (x) + C 2(x)y 22 (x) + + C n(x)y 2n (x) = b 2 (x), C (x)y n (x) + C 2(x)y n2 (x) + + C n(x)y nn (x) = b n (x)

2 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów względem pochodnych stałych ma w rozważanym przypadku postać C (x)y (x) + C 2(x)y 2 (x) + + C n(x)y n (x) = 0, C (x)y (x) + C 2(x)y 2(x) + + C n(x)y n(x) = 0, C (x)y (n ) (x) + C 2(x)y (n ) 2 (x) + + C n(x)y (n ) n (x) = b(x) a n, (numer wiersza w tych funkcjach możemy pominąć) Przykład 2 Rozwiążemy równanie y 2y y + 2y = x Rozwiązanie Równanie charakterystyczne λ 3 2λ 2 λ + 2 = 0 ma pierwiastki λ =, λ 2 =, λ 3 = 2 Rozwiążanie ogólne równania jednorodnego jest postaci y(x) = C e x +C 2 e x +C 3 e 2x, czyli y (x) = e x, y 2 (x) = e x, y 3 (x) = e 2x Uzmienniając stałe otrzymujemy uklad równań względem C (x) C 2(x),C 3(x), C (x)e x + C 2(x)e x + C 3(x)e 2x = 0, C (x)e x + C 2(x)e x + 2C 3(x)e 2x = 0, C (x)e x + C 2(x)e x + 4C 3(x)e 2x = x Stąd C (x) = 6 xex, C 2(x) = 2 xe x, C 3(x) = 3 xe 2x, a więc C (x) = 6 xex 6 ex + D, C 2 (x) = 2 xe x + 2 e x D 2, C 3 (x) = 6 xe 2x 2 e 2x + D 3 Stąd otrzymujemy y(x) = x + + D 2 4 e x + D 2 e x + D 3 e 2x