Górnitwo i Geoinżynieria Rok 3 Zezyt 008 Roman Kinah* METODY OCENY NIEZAWODNOŚCI KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH PRZY NIEPEŁNYCH PARAMETRACH** 1. Wprowadzenie Oblizenie niezawodnośi kontrukji jej geometryznyh wymiarów i dokonania analizy mehaniznyh harakterytyk wymaga dyponowania danymi z pomiarów. W praktye uzykanie odpowiedniego zbioru jet trudne. Szzególnie odzuwa ię to podza wykonywania pomiarów na jednotkowym obiekie hoć i w tym przypadku można w przybliżeniu oenić jego niezawodność. Najzęśiej trzeba oenić niezawodność pojedynzego obiektu przy znanym albo zęśiowo znanym jego rozkładzie obiążenia []. Przy pomoy tehnik pomiarowyh można utalić parametry kontrukji nośność wymiary geometryzne ale tylko w graniah przedziału który określa ię błędem pomiarów. O rozkładzie parametrów w środku tego przedziału zazwyzaj ni nie wiadomo ponieważ tylko niektóre bardzo preyzyjne urządzenia pomiarowe poiadają ertyfikat z podaniem rozkładu błędu. Ih wykorzytanie w budownitwie jet ogranizone dlatego zadowalamy ię wartośią względnej (lub abolutnej) niedokładnośi wielkość której ogólnie mówią może być uzależniona od wartośi mierzonego parametru. Dane wejśiowe przedtawione ą w potai przedziału w którym znajduje ię z pewnym prawdopodobieńtwem zmierzona wartość parametru. Ozywite jet że uwzględniają ten przedział wkazane jet wykorzytanie opraowanyh przez autora metod analizy przedziałowej [3 6]. Po oblizeniu z ih wykorzytaniem konieznej wytrzymałośi kontrukji (w przedziałowym przedtawieniu) możemy porównać ją z obiążeniem i otrzymać przybliżoną oenę niezawodnośi. * Wział Górnitwa i Geoinżynierii Akademia Górnizo-Hutniza Kraków ** Wykonano w ramah pray tatutowej nr 11.11.100.588 187
Artykuł zawiera wyniki porównania metod przedziałowyh Monte Carlo oraz linearyzaji otrzymanyh przy wykonaniu oeny niezawodnośi łupa żelbetowego o kwadratowym przekroju.. Oena dokładnośi i wiarogodnośi metody przedziałowej W elu porównania i oeny dokładnośi metody przedziałowej zotało rozwiązane zadanie oblizenia nośnośi łupa żelbetowego metodą Monte Carlo (MMC) oraz linearyzaji. Oblizenie wkazuje że wyniki otrzymane metodami hitogramowymi MMC oraz linearyzaji praktyznie ą bardzo zbliżone z kolei metoda przedziałowa hoć daje zawyżoną oenę przedziału i wymaga mniejzej lizby danyh wejśiowyh jednak jet zybza i bardziej uniweralna. Z tego powodu jet bardziej przatna do zerokiego wykorzytania przez inżynierów. Przy zatoowaniu metody przedziałowej traimy dokładność wkutek tego że nawet kiedy znamy niektóre rozkłady wartośi whodząyh do wzoru wejśiowego nie możemy tej wiedzy wykorzytać ponieważ niemożliwe ą operaje pomiędzy lizbami z któryh jedne opiane ą rozkładem a inne przedziałem. Należy wtedy wzytkie zmienne prowadzić do potai przedziałowej o w itoie oznaza aprokymaje funkji gętośi rozkładu funkją Heaviide a [7]. Te problemy nie powtają przy korzytaniu z MMC która może połązyć faktyzne funkje rozkładu w znanyh przypadkah z równomiernym rozkładem prawdopodobieńtwa dla wartośi o któryh naza wiedza jet ogranizona. Z punktu widzenia matematyki odnośnie dokładnośi metody pozukiwania niezawodnośi kontrukji każda para z niżej wymienionyh metod zapewnia jednakową dokładność wyników w kolejnośi: 1) analityzna oraz MMC; ) przedziałowa oraz linearyzaji. Natomiat ze względu na łatwość wykonywania oblizeń i ih praktyznego zatoowania ta kolejność itotnie zmienia ię: 1) metoda Monte Carlo jeżeli nie uwzględniamy zau na wykonywanie oblizeń; ) metoda przedziałowa (hitogramowa); 3) metoda linearyzaji toowana w przypadku kiedy znany jet wzór końowy (zakładają że teraz wzytkie zadania praktyzne rozwiązywane ą przy pomoy metod numeryznyh ta metoda jet nieprzatna); 4) metoda analityzna nie jet toowana w zagadnieniah praktyznyh. Dwie pierwze metody można wykorzytać zawze dlatego też metoda przedziałowa może być wykorzytana jako przybliżona metoda określenia pozątkowej niezawodnośi kontrukji budowlanyh oraz do utalenia wpółzynnika zapau przy niedotateznej lizbie danyh wejśiowyh do ozaowania modeli tatytyznyh. 188
3. Metoda oblizeń niezawodnośi łupa żelbetowego Przekroje żelbetowyh łupów zwykłyh ą najzęśiej kwadratowe lub protokątne (ry. 1) rzadziej innyh kztałtów [1]. Oblizanie przekrojów według nośnośi graniznej opiera ię na założeniu że uma ił zewnętrznyh działająa na przekrój żelbetowego łupa nie powoduje w nim przekrozenia oblizeniowej wytrzymałośi betonu na śikanie f ani oblizeniowej wytrzymałośi tali zbrojeniowej f. Nośność przekrojów żelbetowyh łupów śikanyh oiowo przy e 0/h < 0035 nieuzwojonyh określa ię według wzoru: N f A + f A (1) gdzie: f wytrzymałość oblizeniowa tali na śikanie f wytrzymałość oblizeniowa betonu na śikanie A pole powierzhni przekroju poprzeznego zbrojenia A = bh pole powierzhni przekroju poprzeznego żelbetu b zerokość przekroju poprzeznego żelbetu h wyokość przekroju poprzeznego żelbetu (oznazenie przyjęto wg [8]). Ry. 1. Shemat i przekroje łupa żelbetowego Porównamy wyniki jakie otrzymujemy przy rozwiązywaniu najprotzego zadania różnymi metodami: przedziałową hitogramową metodą Monte Carlo oraz linearyzaji. Polega to na rozwiązaniu najprotzego zadania jednooiowego entralnego śikania żelbetonowego łupa (ry. 1) który ma wytrzymałość N oblizoną według wzoru (1). 189
Wartośi zmiennyh przyjęte warunkowo jako lizby loowe o rozkładzie normalnym przedtawiono w tabeli 1. TABELA 1 Wartośi oblizeniowe Oznazenie parametru Średnie wartośi C var [%] f MPa 30 1 f MPa 365 6 A m 13 5 b m 50 5 h m 50 15 Wzytkie omawiane metody ą przeznazone do oblizeń w różnyh warunkah nieokreślonośi i nie można porównywać ih między obą ponieważ pojęiem prawdopodobieńtwa operują tylko metody Monte Carlo i hitogramowa [3 6] a metody przedziałowe i linearyzaji nie operują niezawodnośią (jako prawdopodobieńtwem) wyznazają tylko granie zmiany zukanego parametru. Jednak w tym przypadku można oblizyć przedziałowy i hitogramowy wpółzynnik zapau wytrzymałośi. (W metodzie hitogramowej obliza ię niezawodność jednak z małym błędem wywołanym ogranizoną lizbą danyh wejśiowyh dla któryh ta metoda jet przeznazona [5]). Wtępnie przyjmujemy że w wyniku przeprowadzonyh badań udało ię otrzymać kilka wartośi wzytkih zmiennyh (we wzorze (1)) na podtawie któryh nie można wyznazyć rodzaju rozkładu ani jego parametrów a jedynie przedział w którym znajdują ię dane wartośi. W elu wykonania oblizeń metodą przedziałową wzór (1) opraowano w programie napianym w języku PASCAL. Ponieważ w modelu wytępują zmienne typu PGit program zotał uzupełniony o proedury pozwalająe na zapianie zmiennyh hitogramowyh (przedział także uważa ię za zmienną hitogramowego typu w której lizba łupków jet równa 1). Dodatkowo do programu dodaje ię moduł wprowadzenia wyprowadzenia o pozwala na jego wykorzytanie do oblizeń przedziałowyh i hitogramowyh. Trzeba tylko przy wprowadzeniu zmiennyh zakładać lizbę łupków hitogramu i wykonywać odpowiednie reguły (uma gętośi we wzytkih łupkah równa ię 1 gętość dodatnia itd.). Podza kompilaji do programu automatyznie dodawane ą moduły programowe niezbędne do oblizeń przedziałowyh i hitogramowyh a także przedtawienia tandardowyh funkji języka PASCAL [6]. 190
4. Analiza porównawza metod oblizenia przy ogranizonej lizbie danyh Po wykonaniu oblizeń z podanymi zmiennymi metodą przedziałową otrzymano wytrzymałość łupa żelbetowego w graniah od 6750 do 8700 kn. Wykonano analizę zgodnośi otrzymanego wyniku z metodą linearyzaji. Odhylenie ΔN jako średnia kwadratowa odhyleń dla każdej zmiennej obliza ię wg wzoru: N = N( f A f A ) f + N( f A f A ) A + A + N ( f A f A ) f + N( f A f A ) A f. () Jak widać nawet dla tak protego zadania wzór () przybiera komplikowaną potać matematyzną. W takim przypadku przy nieliznyh danyh badań doświadzalnyh metody przedziałowe ą niezatąpione. Kolejne wartośi lizbowe pokazują że najwiękzy udział na wynik ΔN ma zmienność wytrzymałośi betonu a nie zbrojenia. Oblizenia podano we wzorah (3). N( f A f A ) = 365 MPa; N( f A f A ) = 30MPa; N( f A f A ) = 00013; N( f A f A ) = 0097; ( ) N f A f A f = 0115; (3) ( ) N f A f A A = 0045; N( f A f A ) f 4 = 78 10 ; ( ) 4 N f A f A A = 5055 10. 191
W każdym przypadku końowe odhylenie wyniku nigdy nie przekraza wartośi zadanej wzorem (4): N = N( f A f A ) f + N( f A f A ) f + f + N ( f A f A ) A + N( f A f A ) A A. (4) W wyniku oblizeń otrzymano podziewaną wartość ΔN = 401 MPa przy średniej wartośi naprężenia śikania w przekroju poprzeznym łupa wywołanego obiążeniem N σ N( f A f A) = 37 MPa. Teoretyznie jeżeli wartośi ekperymentalne nigdy nie będą przekrazać przyjętyh poprzednio przedziałów to wartość ΔN nie przekrozy 599 MPa. Metodą przedziałową otrzymano odhylenie ΔN = 60 MPa od wartośi średniej które odpowiada z dokładnośią do 0001 otrożnej oenie. Rozpatrzymy teraz porównanie metody hitogramowej z metodą Monte Carlo (MMC). Podza oblizeń zakłada ię że baza doświadzalna jet więkza i pozwala na utalenie rodzaju przedziału (w tym przypadku normalny) generowanego w MMC. W metodzie hitogramowej nie przyjmuje ię żadnyh założeń jedynie buduje ię łupki hitogramów danyh wejśiowyh na podtawie wyników badań doświadzalnyh. Nie rozważa ię również optymalizaji budowy hitogramu z wyników danyh doświadzalnyh (zerokość różnyh łupków i ih lizby). Niżej podano wyniki rozwiązania zadania metodą Monte Carlo oraz metodą hitogramową w elu ih porównania. Na ryunku przedtawiono hitogram wytrzymałośi żelbetowego łupa na jednotkę powierzhni oblizoną w MPa. Ry.. Hitogram rozkładu wytrzymałośi łupa żelbetowego Na ryunku 3 przedtawiono hitogram doświadzalnego obiążenia zewnętrznego również podanego w MPa. 19
Ry. 3. Hitogram rozkładu obiążenia zewnętrznego Na ryunku 4 przedtawiono wykre hitogramowego wpółzynnika zapau wytrzymałośi K łupa żelbetowego obiążonego zmiennym obiążeniem jak na ryunku. Ry. 4. Wpółzynnik hitogramowy zapau wytrzymałośi K Jego oblizenie polega na dzieleniu hitogramu wytrzymałośi łupa (ry. ) na hitogram obiążenia (ry. 3) według reguł hitogramowego dzielenia [5]. Oznaza to że każdy łupek hitogramu przyjęto jako przedział z równomiernym rozkładem i pewną wartośią prawdopodobieńtwa która jet proporjonalna do jego wyokośi. Każdy łupek wytrzymałośi pomnożono albo podzielono przez każdy łupek obiążenia według reguł lizb przedziałowyh a wynik końowy otrzymano z umowania wykreów. Takie zynnośi wykonuje ię z każdym łupkiem oobno. Suma prawdopodobieńtw hitogramów albo jej powierzhnia wynoi 1. Hitogramy nośnośi i obiążenia na ryunkah i 3 mają harakter rozkładu normalnego natomiat hitogramowy wpółzynnik zapau ma wygląd peyfizny (patrz ry. 4). Nielizny odetek przypadków jet mniejzy od 1 a niekiedy wpółzynnik zapau wytrzymałośi ięga wartośi 55. Na podtawie hitogramowego wpółzynnika zapau można oblizyć niezawodność kontrukji wyznazają powierzhnię która znajduje ię po prawej tronie od wartośi K = 1 na ryunku 4. Wynik taki zawiera mniej informaji ponieważ przedtawiony jet jedną lizbą a nie funkją. 193
Niezawodność oblizona na podtawie analizy hitogramowego wpółzynnika zapau wytrzymałośi równa ię 095. Wyniki badań przedtawiono w tabeli. TABELA Wyniki porównania metod oblizeń niezawodnośi Metoda oblizeń Średnie wartośi naprężeń [MPa] Oblizona niezawodność Linearyzaji 85 095 Przedziałowa 77 094 Hitogramowa 99 095 Monte Carlo 93 0959 Analiza wyników porównań podanyh w tabeli wkazuje że MMC daje niezawodność 0959. Oznaza to że różnia oblizeń metodą hitogramową i MMC nie przekraza 1%. Dla wyznazenia parametrów ogonów taka dokładność zazwyzaj jet niewytarzająa ale metoda analizy hitogramowej była opraowana właśnie dla przypadków z ogranizoną lizbą danyh wejśiowyh tylko do oeny poziomu bezpiezeńtwa niezawodnośi. Zwraa uwagę fakt że praktyznie nie itnieją na tyle dokładne dane wejśiowe aby można było w pełni wykorzytywać metody analityzne. 5. Wnioki 1) W artykule przedtawiono przedziałową i hitogramową metodę oblizenia niezawodnośi. Są one oparte na uwzględnieniu pozątkowej niejednorodnośi materiałów i zmiennośi obiążeń oraz wymiarów geometryznyh i ih możliwej zmianie w zaie. Charakteryzują ię one niedokładnośią matematyznego modelu kontrukji i toowane ą przy niedotateznej lizbie danyh wejśiowyh (otrzymanie więkzej ilośi danyh jet niemożliwe lub nieekonomizne). ) Metody powyżze i ih rozwiązania matematyzne i programowe ą uniweralne przatne do rozwiązywania zagadnień praktyznyh w przeiwieńtwie do metod analityznyh które mają ogranizone zatoowanie użytkowe. 3) Możliwość takiej adaptaji itniejąyh hematów oblizeniowyh tworzonyh na podtawie tradyyjnego podejśia do oblizenia wytrzymałośi która jet jedną z harakterytyk niezawodnośi kontrukji powoduje że metody te powinny być dotępne dla inżynierów bez pejalnego przygotowania. Pozwoli im to oenić niezawodność kontrukji i ih kładowyh elementów oraz pomoże wyodrębnić najbardziej zawodne w elu ih wzmonienia. 194
4) Przy ogranizonej wiedzy o parametrah wytrzymałośiowyh materiału oraz wymiarah geometryznyh kontrukji przedtawione przedziałowe i hitogramowe wpółzynniki zapau podają więej informaji niż klayzne pojęie niezawodnośi. LITERATURA [1] Grabie K.: Projektowanie kontrukji betonowyh i żelbetowyh według metody tanów graniznyh. Warzawa PoznańPWN 1977 [] Murzewki J.: Podtawy projektowania i niezawodność kontrukji. Kraków 001 [3] Kinah R.: Etimation of Reliability of Building truture by Men of the Method of Interval alulation. Materiały XLIV Konferenjі naukowej. Tom III. Krynіa. 1998.. 101 107 [4] Kinah R.: Creating oftware for reliability alulation of reinfored onrete truture. Proeeding of the 13th FIP Congre. Amterdam. Vol. 1998. 83 87 [5] Kinah R.: Appliation of interval and hitogram method to the tak of reliability of building truture. Proeeding of the 14th FIP Congre Praha vol. 1999. 535 536 [6] Kinah R.I:. Invere problem of reliability for reinfored onrete ontrution. Brazil 000. 3 40 [7] Shary S.P.: Algebrai Approah in the Outer Problem for Interval Linear Equation. Reliable Computing. No. 3 1997. 103 135 [8] Staroolki W.: Kontrukje żelbetowe: wg PN-B-0364:00. T.. Warzawa PWN 007 195