DSM Rachunek prawdopodobieństwa

DSM Rachunek prawdopodobieństwa notatki do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania 1 Podstawy teorii prawdopodobieństwa Przestrzeń probabilistyczna Doświadczenie losowe to proces, którego efektem jest rezultat. Wszystkie możliwe rezultaty (wyniki) są znane przed rozpoczęciem doświadczenia losowego, ale nie wiemy, który wynik otrzymamy w konkretnym doświadczeniu. Klasyczne doświadczenia losowe, służące do rozważań teoretycznych (a) rzut symetryczną monetą (możliwe są dwa rezultaty: orzeł lub reszka); (b) rzut sześcienną kostką do gry (możliwych jest 6 wyników: 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek); (c) wyciągnięcie jednej karty z potasowanej talii (możliwe są 52 wyniki: konkretna karta jedna z 13: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,W,D,K,A w jednym z 4 kolorów pik, kier, karo, trefl ); (d) wyciągniecie kuli o określonym kolorze z urny (możliwe wyniki zależą od liczby i kolorów kul w urnie). W rzeczywistości spotykamy inne wydarzenia, które możemy uznać za doświadczenia losowe, np. wyprodukowanie wadliwego towaru, czas między kolejnymi telefonami do centrali, płeć nowonarodzonego dziecka, kolor następnego samochodu, liczba osób wsiadających do windy na kolejnym piętrze itp. Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego nazywamy przestrzenią probabilistyczną dla tego doświadczenia (lub zbiorem zdarzeń elementarnych, przestrzenią próbek) i oznaczamy zwykle gracką literą Ω lub gotycką S. (a) Przestrzeń probabilistyczna dla doświadczenia polegającego na jednokrotnym rzucie symetryczną monetą jest zbiorem S = {orzeł, reszka}. (a) Przestrzeń probabilistyczna dla doświadczenia polegającego na jednokrotnym rzucie sześcienną kostką do gry jest zbiorem S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. (c) Przestrzeń probabilistyczna dla doświadczenia polegającego na mierzeniu czasu w sekundach do następnego połączenia telefonicznego w centrali jest zbiorem S = {t : t Z t 0}. 1

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 2 (d) Przestrzeń probabilistyczna dla doświadczenia polegającego na zliczeniu liczby odwiedzin danej strony internetowej jest zbiorem: S = N. Zdarzenia losowe Gdy znamy przestrzeń probabilistyczną nie musimy więcej odwoływać się do doświadczenia losowego interesujące stają się zdarzenia, czyli to co może wydarzyć się gdy zostanie wykonane doświadczenie losowe. A wydarzyć się może... jakiś wynik doświadczenia losowego, np. to, że następne połączenie w centrali telefonicznej nastąpi najwcześniej po 8 sekundach, albo że dana strona internetowa zostanie odwiedzona w ciągu dnia przez co najmniej 22 000 internautów lub, że wyrzucimy parzystą liczbę oczek na kostce albo wyciągniemy pika z talii kart. Jak widać zdarzeniem może stanowić jeden lub kilka wyników, elementów przestrzeni probabilistycznej. Zatem zdarzeniem losowym nazywamy podzbiór zbioru możliwych wyników doświadczenia losowego, a więc podzbiór przestrzeni probabilistycznej. Zdarzenia jednoelementowe nazywamy zdarzeniami elementarnymi (zdarzenie elementarne nie ma żadnych składowych). (a) Wyrzucenie orła w pojedynczym rzucie symetryczną monetą jest zdarzeniem losowym (elementarnym): {orzeł} {orzeł, reszka}. (b) Wyrzucenie parzystej liczby oczek sześcienną kostką jest zdarzeniem losowym: {2, 4, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6}. (c) Oczekiwanie na następne połączenie w centrali telefonicznej mniej niż 10 sekund jest zdarzeniem losowym {t : t Z 0 t < 10} {t : t Z t 0}. Częstość i prawdopodobieństwo Przestrzeń probabilistyczna jest znana, czyli znamy wszystkie możliwe wyniki doświadczenia losowego. Niestety nie znaczy to, że wiemy, z całą pewnością, jaki będzie wynik następnego eksperymentu. Jednak w takich doświadczeniach można zauważyć regularność, jeżeli eksperyment jest wykonywany bardzo wiele razy. Na przykład, jeżeli będziemy wielokrotnie rzucać kostką do gry, to oczekujemy, że (po bardzo wielu rzutach) każda ścianka pojawi się podobną liczbę razy. Zatem każda liczba oczek powinna wypaść mniej więcej w jednej szóstej wszystkich rzutów. Czyli relatywna częstość: stosunek liczby sukcesów do liczby wszystkich rzutów powinien dążyć do jednej szóstej (gdzie sukces to wyrzucenie ustalonej liczby oczek). Tę zależność można uznać za definicję prawdopodobieństwa. Definicja. Prawdopodobieństwo zdarzenia A to relatywna częstość zajścia tego zdarzenia w bardzo wielu powtórzeniach doświadczenia, czyli P (A) = mn gdzie m n n jest liczbą przypadków, w których zaszło m n zdarzenie A, a n liczbą wszystkich wykonanych prób. (Formalnie: P (A) = lim n n ).

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 3 Wprost z tej definicji wynika podstawowa własność prawdopodobieństwa: dla każdego zdarzenia A: 0 P (A) 1. (a) Prawdopodobieństwo tego, że w rzucie symetryczną monetą wypadnie orzeł jest równe P (orzeł) = 1 2 bo (można oczekiwać, że) w dużej liczbie rzutów połowę razy wypadnie orzeł, a połowę reszka. (b) Prawdopodobieństwo tego, że w jednokrotnym rzycie kostką wypadnie 3 jest równe P (3) = 1 6 bo (można oczekiwać, że) w dużej liczbie rzutów każda ścianka wypadnie tyle samo razy, a więc w jednej szóstej rzutów wypadną 3 oczka. Tabela przedstawia zestawienie studentów pierwszego roku WZ, których uczyłem w semestrze zimowym (liczby trochę poprawione). DSM (M) DSFRiU (F) razem kobiety (k) 60 45 105 mężczyźni (m) 9 45 razem 96 54 150 Losujemy jedną osobę spośród tych studentów. Przestrzeń probabilistyczna (przykładowa): S = {km, kf, mm, mf}. owe zdarzenia: wylosowaną osobą jest kobieta k = {km, kf}, wylosowaną osobą jest student/ka finansów F = {kf, mf}. owe prawdopodobieństwa (każda osoba ma jednakowe szanse w losowaniu): P (k) = 105 = 0, 7, 150 P (F) = 54 = 0,, P (mm) = = 0, 24. 150 150 Własności prawdopodobieństwa Jeżeli zdarzenie A nigdy nie występuje, bez względu na liczbę wykonanych eksperymentów, to P (A) = 0 bo relatywna częstość jest równa zero. Takie zdarzenie nazywamy niemożliwym. Z drugiej strony, jeżeli zdarzenie A zachodzi zawsze to jego relatywna częstość jest równa 1, a więc P (A) = 1, takie zdarzenie nazywamy zdarzeniem pewnym. (a) Wyrzucenie liczby oczek mniejszej niż 7, przy jednokrotnym rzucie zwykłą kostką jest zdarzeniem pewnym (bo liczba oczek na każdej ściance jest mniejsza niż 7). Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe 1. (b) Przy rzucie dwiema kostkami suma oczek zawsze jest większa lub równa 2, zatem prawdopodobieństwo zdarzenia suma oczek na dwóch kościach jest równa 1 jest równe 0. (c) Ogólnie, jeżeli S jest przestrzenią probabilistyczną, to P (S) = 1 (S jest zdarzeniem pewnym).

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 4 (d) Ogólnie, S dla każdej przestrzeni probabilistycznej S. Zawsze wtedy P ( ) = 0. W przykładzie ze studentami obliczyliśmy P (k) = 0, 7. Jeżeli m = {mm, mf} jest zdarzeniem wylosowany został mężczyzna to P (m) = 45 = 0, 3. Zauważmy, że 0, 7 + 0, 3 = 1, a więc zdarzenie 150 wylosowano kobietę lub mężczyznę jest zdarzeniem pewnym, a zdarzenia wylosowano mężczyznę i wylosowano kobietę wzajemnie się uzupełniają (w sumie tworzą całą przestrzeń probabilistyczną i nie mają wspólnych elementów). Wtedy P (k) = 0, 7 = 1 0, 3 = 1 P (m). Tak jest zawsze. Niech P (A) będzie prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A i niech A oznacza zdarzenie: nie zachodzi zdarzenie A. Wtedy P (A ) = 1 P (A). Rozpatrzmy zdarzenie (wracamy do przykładu ze studentami): wylosowano mężczyznę ze studiów menedżerskich lub kobietę z finansów, czyli mm kf = {mm, kf}. P (mm kf) = +45 = 0, 54. 150 Porównajmy ten wynik z prawdopodobieństwami zdarzeń mm i kf. Zauważmy, że zdarzenia mm i kf mają następującą własność: jeżeli zajdzie jedno z nich, to na pewno nie zajdzie drugie (mówimy, że zdarzenia takie wzajemnie się wykluczają). Mamy: P (mm) = 45 = 0, 24 i P (kf) = = 0, 3, a wiec 150 150 P (mm) + P (kf) = 0, 24 + 0, 3 = 0, 54 = P (mm kf). Taka własność zachodzi dla dowolnych wzajemnie wykluczających się zdarzeń: jeżeli A B = to P (A B) = P (A) + P (B). Można rozszerzyć tę własność na kilka wzajemnie wykluczających się zdarzeń. Jeżeli zdarzenia A 1, A 2,..., A n wzajemnie wykluczają się, to znaczy, że jeżeli zajdzie jedno z nich to już na pewno nie zajdzie drugie to P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) +... + P (A n ). Obliczamy prawdopodobieństwo tego, że w jednokrotnym rzucie kostką wypadnie parzysta liczba oczek, czyli zdarzenia A = {2, 4, 6}. Zauważmy, że A = 2 4 6 i, że zdarzenia wypadła konkretna liczba oczek wzajemnie wykluczają się. Zatem P (A) = P (2 4 6) = P (2) + P (4) + P (6) = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 3 6 = 1 2. Jeżeli zdarzenia nie wykluczają się, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń nie jest sumą ich prawdopodobieństw. Na przykład zdarzenie A = w jednokrotnym rzucie kostką wypadła parzysta liczba oczek nie wyklucza zdarzenia B = w jednokrotnym rzucie kostką wypadła liczba mniejsza niż 4. P (A) = 1 2 (patrz przykład wyżej), a P (B) = P (1 2 3) = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 1 2. Suma prawdopodobieństw tych zdarzeń jest równa jeden, a nie jest to zdarzenie pewne (może wypaść 5 oczek). Ponieważ A = {2, 4, 6} i B = {1, 2, 3, 4} to obliczając prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń musimy wziąć pod uwagę, że zdarzenie elementarne 2 występuje i w jednym i drugim zdarzeniu, a więc sumując prawdopodobieństwa zdarzeń A i B wliczmy je podwójnie. Zauważmy, że P (A B) = P ({2, 4, 6} {1, 2, 3}) = P ({1, 2, 3, 4, 6}) = 5 6 = 1 2 + 1 2 1 = P (A) + P (B) P (2). 6

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 5 Wykorzystując tę obserwację można sformułować wzór ogólny. Jeżeli A 1 i A 2 są zdarzeniami to P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A 1 A 2 ). ZADANIA Zadanie 1. Wyznaczyć przestrzeń probabilistyczną dla opisanych doświadczeń losowych. (a) Odczytanie 77 litery z losowo wybranej polskiej powieści. (b) Zapisanie inicjałów losowo wybranej osoby z tej grupy. (c) Zapisanie płci nowo urodzonych bliźniaków w kolejności urodzin. (d) Jednoczesny rzut dwiema rozróżnialnymi kośćmi i zapisanie wyniku na każdej z nich. (e) Jednoczesny rzut dwiema nierozróżnialnymi kośćmi i zapisanie sumy oczek na obu. (f) Pierwszy ruch (białymi) w partii szachów. (g) Rejestracja figury wykonującej pierwszy ruch w partii szachów. (h) Rejestracja czasu oczekiwania na autobus na przystanku. (i) Rejestracja czasu schnięcia wypranej koszuli. (j) Pomiar odległość na jaką oszczepnik rzuci oszczepem w zawodach lekkoatletycznych. (k) Pomiar wagi następnej przechodzącej osoby. (l) Pomiar prędkości samochodu dokonany przez patrol policji drogowej. Zadanie 2. Wypisać wszystkie możliwe zdarzenia. (a) Doświadczenie losowe: pojedynczy rzut sześcienną kostką do gry. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. (b) Doświadczenie losowe: dwukrotny rzut monetą. S = { orzeł, reszka, orzeł, orzeł, reszka, reszka, reszka, orzeł }. (c) Doświadczenie losowe: ruch w grze kamień-nożyce-papier. S = {,, }. Zadanie 3. Wypisać wszystkie wyniki (podzbiór przestrzeni probabilistycznej) sprzyjające opisanemu wydarzeniu (czyli wskazać odpowiednie zdarzenie losowe). (a) Wypadła parzysta liczba oczek na sześciennej kostce. (b) Wylosowano figurę pik z talii kart. (c) W dwukrotnym rzucie monetą otrzymano dwa razy ten sam wynik. (d) Następne połączenie miało miejsce nie więcej niż 5 sekund po poprzednim.

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 6 (e) Zawodnik w pchnięciu kulą pobił rekord Europy (23,06), ale nie pobił rekordu świata (23,12). (f) Wylosowano punkt na płaszczyźnie, który należy do koła o promieniu 1 i środku w (0, 0). Zadanie 4. W torbie z żelkami jest 12 żelków czarnych, 8 czerownych, 10 żółtych i 5 zielonych. Wybierasz jednego żelka... (a) Opisać na czym polega to doświadczenie. (b) Opisać przestrzeń probabilistyczną dla tego doświadczenia. (c) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowany żelek jest czarny, zielony, czerwony lub żółty, czerwony lub czarny. (d) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowany żelek nie jest żółty, nie jest czerwony. (e) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowany żelek jest biały, nie jest biały. Zadanie 5. O pewnej rodzinie wiadomo, że ma dwoje dzieci. (a) Opisz przestrzeń probabilistyczną. (b) Oblicz prawdopodobieństwo, że w tej rodzinie jest dokładnie jedna córka. (c) Oblicz prawdopodobieństwo, że w tej rodzinie jest co najmniej jedna córka. (d) Oblicz prawdopodobieństwo, że w tej rodzinie są dokładnie dwie córki. Zadanie 6. Wyciągasz jedną kartę z potasowanej standardowej talii kart. (a) Opisz przestrzeń probabilistyczną. (b) Oblicz prawdopodobieństwo, że karta jest czarna, kierem, damą. (c) Oblicz prawdopodobieństwo, że karta jest 2, Q. (d) Oblicz prawdopodobieństwo, że karta jest niższa niż 5 (as jest najwyższą kartą), wyższa niż 8. (e) Oblicz prawdopodobieństwo, że karta nie jest figurą, asem, treflem. Zadanie 7. Rzucono trzema identycznymi monetami. (a) Opisz przestrzeń probabilistyczną. (b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadły dokładnie dwa orły, wypadły co najmniej dwa orły, wypadły trzy orły. (c) Oblicz prawdopodobieństwo, że nie ma żadnego orła, jest dokładnie jedna reszka.

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 7 Zadanie 8. Przestrzeń probabilistyczna składa się z 5 wzajemnie wykluczających się zdarzeń: A, B, C, D i E, przy czym prawdopodobieństwa tych zdażeń są następujące: P (A) = 0,20, P (B) = 0,15, P (C) = 0,25, P (D) = 0,30, P (E) = 0,10. Niech F = {A, B, C}, G = {A, C, E}, H = {D, E}. Obliczyć: (a) P (F), (b) P (G), (c) P (H), (d) P (B ), (e) P (F G), (f) P (G H), (g) P (F H), (h) P (F G). Zadanie 9. Przestrzeń probabilistyczna składa się z czterech zdarzeń elementarnych (wzajwemnie wykluczających się): V, X, Y, Z, przy czym P (V) = 0,2, P (X) = 0,1, P (Y) = 0,4 i P (Z) = 0,3. Niech A = {V, X, Y}, B = {X, Z}, C = {V, Y, Z}. Obliczyć: (a) P (A), (b) P (A ), (c) P (B), (d) P (C), (e) P (C ), (f) P (A B), (g) P (B C), (h) P (A C). Zadanie 10. Tabela pokazuje 10 tyś. klientów banu skategoryzownych według rodzaju konta (osobiste O, firmowe F) oraz ryzyka kredytowego (niskie N, średnie S i wysokie W). Typ konta Ryzyko kredytowe Razem Niskie Średnie Wysokie Osobiste 2400 00 1600 7600 Firmowe 650 950 800 2400 Razem 3050 4550 2400 10000 Wylosowano jedno konto (każde miało taką samą szansę) (a) Opisz przestrzeń probabilistyczną (zdarzeń elementarnych). (b) Opisz zdarzenie: wylosowano konto firmowe. (c) Opisz zdarzenie: wylosowano konto osobiste o wysokim rysyku kredytowym. (d) Czy zdarzenie w następujących zbiorach są wzajemnie wykluczające się? czy wypełniają całą przestrzeń probabilistyczną? {O, N, S, W}, {ON, FN, OS, FS, W}, {O, F, W}, {F, ON, OW, FN, FW}, {ON, FN, OS, FW}. (e) Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowane konto jest (a) w średniej kategorii ryzyka kredytowego, (b) kontem osobistym, (c) jest kontem firmowym z wysokim ryzykiem kredytowym, (d) kontem osobistym o niskim ryzyku kredytowym.

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 8 2 Zdarzenia i zbiory Operacje teoriomnogościowe na zdarzeniach. Niech S będzie przestrzenią probabilistyczną i niech A, B i C będą zdarzeniami. Wtedy A S, B S, C S, A B = B A, A B = B A, A \ B A, A A = A A = A, (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C), [DIAGRAMY VENNA] A = S \ A, = S, S =, (A ) = A, (A B) = A B, (A B) = A B ZADANIA Zadanie 11. Na standardowym diagramie Venna dla trzech zbiorów zaznacz: (a) A B C, (b) A B C, (c) (A B) C, (d) A (B C), (e) B (A C ), (f) (A B) C Zadanie 12. Niech S = {poniedziałek, wtorek, środa, czwartek, piątek, sobota, niedziela} oraz A = {poniedziałek, wtorek, środa, czwartek, piątek} i B = {piątek, sobota, niedziela}. Wyznacz nastepujące zbiory (a) A B, (b) A B, (c) B, (d) A, (e) A B, (f) A B. Zadanie 13. S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} oraz A = {0, 2, 4, 5, 9} i B = {1, 2, 7, 8, 9}. Wyznacz następujące zbiory. (a) (A B), (b) (A B), (c) (A B ), (d) (A B ).

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 9 3 Kombinatoryka [Wyjaśnienie podstawowej zasady mnożenia] Rozpatrujemy grę: rzut kostką, a potem rzut monetą. Ile jest możliwych wyników? [Drzewo gry] Twierdzenie.Jeżeli zostaje wykonanych N doświadczeń jedno po drugim, w których jest możliwe odpowiednio n 1, n 2,..., n N różnych wyników, to w całym doświadczeniu możemy uzyskać n 1 n 2 n 3... n N róznych wyników. (a) W grze: rzut kostką rzut monetą mamy 6 możliwych wynków rzutu kostką i 2 możeliwe wyniki rzutu monetą, a więc w całej grze jest mozliwe 6 2 = 12 różnych wyników. (b) Grupy studneckie na WZ mają oznaczenie: litera dwie cyfry (jeżeli pierwszą jest 0 to zwyczajowo nie piszemy jej). Ile grup można w ten sposób oznaczyć? Litera może być jedną z 26, a cyfra jedną z 10, zatem różnych oznaczeń jest 26 10 10 = 2600. (c) W grupie C11 jest 23 studentów, C12 22, C13 25, C14 23. Ile różnych reprezentacji pojednym przedstawicielu z każdej grupy można utworzyć? Można utworzyć reprezentacji. n(c11) n(c12) n(c13) n(c14) = 23 22 25 23 = 290950 Permutacje Permutacja n elementowa to ciąg wszystkich elementów z n elementowego zbioru. Na przykład jeżeli rozpatrujemy litery A, B i C to ABC, BAC są przykładami permutacji. Wszystkich permutacji tych liter jest 6: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Liczbę wszystkich permutacji n elementowych można wyznaczyć korzystając z zasady mnożenia. Najpier wybieramy jedne elment można to zrobić na n sposobów. Potem wybieramy drugi element można to zrobić na n 1 sposobów, bo tyle elementów w zbiorze pozostało (elementy w permutacji nie mogą się powtarzać). Czyli mamy n (n 1) wyborów dwóch elementów. Trzeci element można wybrać na n 2 sposobów (bo dwa elementy już zostały zabrane), czyli mamy n(n 1)(n 2) możliwośic wyboru 3 elementów. Analogicznie dalej otrzymamy, że n elementów (czyli wszystkie) można wybrać na sposobów. P n = n(n 1)(n 2)... 2 1 = n! (a) Wszystkich permutacji trech liter jest P 3 = 3 2 1 = 6.

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 10 (b) Dwa elementy można ułożyć w koljeności na P 2 = 2 1 = 2 sposoby. (c) Wszystkich studentów z tej grupy (23 osoby) można ustawić w rzędzie na P 23 = 23 22 21... 2 1 = 23! = 25 852 016 738 884 976 640 000 sposobów. Wariacje bez powtórzeń Jeżeli mamy uporządkować tylko r sporód n różnych elementów to nazywamy to wariancją bez powtórzeń. Liczba wariancji bez powtórzeń wyraża się liczbą np r = n(n 1)(n 2)... (n r + 1) = n! (n r)!. Wzór ten powstaje gdy w procedurze obliczania wszystkich permutacji zatrzymamy się po wybraniu r elementów. Na wyścigach konnych można obstawić tzw. triplę trzy konie w kolejności miejsc jakie zajma na mecie. Jeżeli w gonitwie wystepuje 8 koni to triplę można obstawić na 8 P 3 = 8 7 6 = 3 sposobów. Kombinacje Kombinacja o długości r ze zbioru n elementowego to podzbiór r elementowy zbioru n elementowego. Na przykład kombinacją czteroelementową ze zbioru liter alfabetu łacińskiego jest GLOB. Aby obliczyć ile jest kombinacji rozpatrzmy zbiór {A, B, C, D} i wszystkie wariacje bez powtórzeń z tego zbioru ABC ACB BAC BCA CAB CBA ABD ADB BAD BDA DAB DBA ACD ADC CAD CDA DAC CDA BCD BDC CBD CDB DBC DCB Zauważmy, że w każdym rzedzie jest tylko jedna kombinacja (wszystkie mają te same elementy, a w zbiorze kombinacja jest zbiorem kolejność elementów jest nieistotna. Zatem mamy tylko 4 kombinacje 3 elementowe w tym zbiorze. Łatwo zauważyć, że tę liczbe otrzymujemy dzieląc liczbę wariancji bez powtórzeń przez liczbę możliwych przestawień, czyli liczbę permutacji. Zatem nc r = n(n 1)(n 2)... (n r + 1) 1 2... r = n! (n r)!r! = ( n r ). (a) W zbiorze 4 elementowym jest 4 C 3 = 4! (4 3)!3! = 4! 1!3! = 4 kombinacji długości 3. 52! (b) W brydżu możemy otrzymać jedną z 52 C 13 = = 635 013 559 600 rąk; w pokerze (52 13)!13! 52 C 5 = = 2 598 960. 52! (52 5)!5!

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 11 Wariacje z powtórzeniami Wariacja z powtórzeniami to ciąg r elementów wybrany ze zbioru n elementowego gdy elementy mogą się powtarzać. W takim przypadku pierwszy element można wybrać na n sposobów, drugi na n sposobów (bo może powtórzyć się z poprzednim. Następny znowu na n sposobóe. Zatem trzy elementowy ciąg można wybrac na n n n = n 3 sposobów. Ogólnie, gdy wybieramy r elementowy ciąg to możemy to zrobić na n r sposobów. Korzystając z alfabetu polskiego można napisać 32 5 = 33 554 432 wyrazy 5-cio literowe (ile z nich jest sensownych?). ZADANIA Zadanie 14. Reguła mnożenia (a) Kupujemy 2 pary spodni, 3 koszule i 2 pary butów. Ile nowych strojów możemy skomponować? (b) Numer seryjny profuktu składa się z dwóch spółgłosek (alfabet łaciński), trzech cyfr i samogłoski. Ile produktów można oznaczyć różnymi numerami? (c) Rzucamy jednocześnie złotówką, dwójką i pięciozłotówką. Ile różnych układów możmy otrzymać? (d) Inastalujemy oprogramowanie na nowym komputerze. Wybieramy: przeglądarkę (IE, Firefox, Chrome), pakiet biurowy (MS Office, OpenOffice) i klienta poczty (Thunderbird, MS Live, The Bat!, Pegasus Mail). Ile kongiguracji możnautworzyć? (e) Na ile sposobów mogę posadzić w pierwszej łąwce kobietę z mężczyzną? (f) Toyotę Corrolla mogę wybrać z jednym z 4 silników, w jednym z 6 kolorów i jedną z 2 tapicerek. Ile jest różnych wersji tego samochodu? (g) Kanapkę w restauracji FreshPoint można samemu wybrać: długą lub krótką, na jaznym lub ciemnych chlebie, jedno z 9 wypełnień, jedne z 4 zestawów jarzyn. Ile róznych kanapek oferuje FreshPoint? Zadanie 15. Permutacje (a) Na ile sposobów można ustawić w kolejce mężczyzn (kobiety) z tej grupy? (b) W windzie, która moze zatrzymać się na 5 piętrach jest 5 osób i każda wysiada na innym piętrze. Ile jest możliwych sposobów wysiadania? (c) Kabaret przygotował 7 różnych skeczy. Ile jest możliwych scenariuszy występu, w któtym poakzane zostaną wszystkie skecze (oczywiście każdy tylkojedne raz)? (d) Zawodnikom jednej drużyny przyporzadkowano numery od 1 do n. Można to było zrobić na 5040 sposobów. O jakiej grze zespołowej jest mowa? (e) Ile jest liczb, w których wystepują wszystkie cyfry? (liczba nie moze zaczynac się do 0).

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 12 Zadanie 16. Wariacje bez powtórzeń (a) Na konkurs na prezesa, dyrektora i kierownika wpłynęło łacznie 12 aplikacji. Ile zarządów można wybrać? (a) W loterii fantowej sprzedno 100 losów (każdy los kupiła inna osoba). Ile jest możliwości rodzielenie 4 nagród: piłka do piłki nożnej, piłak do siatkówi, piłka plażowa, piłeczka pingpongowa? Zadanie 17. Kombinacje (a) Jak wygrać w Lotto? Obstawić wszystkie kombinacje, a ile ich jest? (b) W loterii fantowej sprzedno 100 losów (każdy los kupiła inna osoba). Ile jest możliwości rodzielenie 4 nagród: w postaci piłki tenisowej każda? (c) Ile uścusków dłoni trzeba wymienić by wszyscy w tej grupie się przywitali? (d) W ekstraklasie każdy gra z każdym u siebie i na wyjeździe. Ile meczy trzeba rozegrać? (e) Załoga następnego lotu w kosmos ma składać się z 3 doświadczonych kosmonautów. W tej chwili jest 8 osób, które już były w kosmosie. Ile załóg można skompletować? Zadanie 18. Wariacje z powtórzeniami (a) Ile jest różnych numerów ISBN (13 cyfr w grupach: 978-kraj(83)-wydawca-numer-cyfra kontrolna)? Poprawnych? (b) Ile jest różnych 5 cyfrowych liczb parzystych? (liczba nie zaczyna się od 0). (c) Rzucamy 6 razy kostką do gry. Każdy rzut wyznacza kolejną cyfrę liczby 6 cyfrowej (od lewej do prawej). Ile liczb większych od 500000 może w ten sposób powstać? Zadanie 19. Numer seryjny banknotu składa się z dwóch liter (alfabet łaciński) i 7 cyfr. Ile jest różnych takich numerów? Zadanie 20. Numery rejestracyjne w Warszawie mają postać WB12345 lub WB1234A czyli litera W, dowolna litera, cyfra, cztery cyfry lub litery. Ile jest takich numerów? Zadanie 21. Dziesięciu posłów 6 z partii Koalicja i 4 z partii Opozycja zajmuje tę samą, 10 miejscową ławę poselską. Każda partia siedzi obo siebie. Na ile sposobów mogą usiąść?

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 13 4 Prawdopodobieństwo klasyczne Ze schematem prawdopodobieństwa klasycznego mamy do czynienia, gdy przestrzeń probabilistyczna jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne mają takie samo prawdopodobieństwo. (a) Doświadczenie losowe: jednokrotny rzut kostką można rozpatrywać jako schemat klasyczny, bo zdarzenia elementarne, poszczególne wyniki, są jednakowo proawdopodobne (przy uczciwej kostce). (b) Doświadczenie losowe: rejestracja płci następnego noworodka można rozpatrywać jako schemat klasyczny, bo zdarzenia elementarne (urodziła się dziewczynka, urodził się chłopiec) są jednakowo prawdopodobne. (c) Doświadczenie losowe: kolor nastepnego przejeżdżającego samochodu nie jest schematem klasycznym, bo prawdopodobieństwo każdego zdarzenia elementarnego zależy od ilości samochodów w danym kolorze (żółtych jest znacznie mniej niż czarnych i srebrnych). W schemacie klasycznym prawdodpodobieństwo dowolnego zdarzenia zależy od liczby jego elementów. Jeżeli A S i przez n(a) oznaczamy liczbe elementów w zbiorze A to P (A) = n(a) n(s). (Paradoks de Méré) Chevalier de Méré twierdził, że: skoro szansa na dwie jedynki w rzucie dwiema kośćmi jest 6 razy mniejsza niż szansa na wyrzucenie jednej jedynki w jednokrotnym rzucie kostką (sprawdzić!) to, aby wyrównać szanse trzeba rzucić 6 razy dwiema kośćmi. Zatem szansa na wygraną w zakładach jedynka w czterech rzutach jedną kością jest taka sama jak jedynki na obu kościach w 24 rzutach dwiem kośćmi. Dlaczego przegrywał w zakładach na dwie kości? W 4 rzutach kością mamy 6 4 możliwych wyników. Stosujemy schemat klasyczny, a więc trzeba obliczyć liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu co najmniej jedna jedynka w czterech rzutach. Wygodniej będzie obliczyć liczbe wyników, w których nie ma żadanej jedynki bo to jest po prostu 5 4. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A: nie ma żadnej jedynki w czterech rzutach jest równe P (A) = 54 6 4 0,48 Zdarzenie z gry de Méré: co najmniej jedna jedynka w czterech rzutach jest uzupełnieniem zdarzenia A, a więc P (M 1 ) = 1 P (A) = 1 0,48 = 0,52. Prawdopodobieństwo wygranej w drugiej grze obliczamy podobnie. W dwóch rzucie dwiema kośćmi możliwych jest wyników, a w 24 rzutach 24. Ponieważ tylko jeden układ kości sprzyja wygranej (jedynka na obu kościach) to mamy 35 wyników niesprzyjających, a więc w 24 rzutach w 35 24 przypadków przegrywamy. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia M 2 : w 24 rzutach przynajmniej raz wypadną jedynki na obu kościach można obliczyć tak P (M 2 ) = 1 P (M 2 ) = 1 3524 1 0,51 = 0,49. 24 Kawaler de Méré przegrywał bo gra była niesprawiedliwa: P (M 1 ) > P (M 2 ).

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 14 Obliczyć prawdopodobieństwo, tego że co najmniej dwie osoby z tej grupy urodziły się tego samego dnia roku (dzień i miesiąc). ZADANIA Zadanie 22. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia 6 w Lotto? A piątki? Zadanie 23. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania spośród wszystkich liczb trzycyfrowych (na początku nie ma zera) liczby, której suma cyfr jest równa 3? Zadanie 24. W pudełku jest 90 śrub dobrych i 10 wadliwych. Wykorzystano 10 z nich. Jakie jest prawdopodobieńśtwo, że wszystkie były dobre? Zadanie 25. Windą zatrzymującą się na 6 piętrach jadą 4 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, tego że każda wysiądzie na innym piętrze? Zadanie 26. Test ma 10 pytań, na które odpowiada się tak lub nie. Zaliczamy tekst, gdy odpowiemy poprawnie na 9 (8) pytań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zaliczymy skreślając odpowiedzi losowo? Zadanie 27. Zakład pracy zatrudnia 200 osób, z których 60 to kobiety. Dwie osoby (wybrane losowo) dostaną premię. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie osoby są kobietami?, a że są różnej płci? są mężczyznami? Zadanie 28. Mam w kieszeni 5 monet 1 zł, 4 po 50 gr, 3 po 20 gr i 2 po 10 gr. Wyjmuję jedną z kieszeni (losowo). Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest warta co najmniej 30 groszy? 90 gr? 2 zł? Zadanie 29. Wśród 100 studentów jest 40 głupków i 60 kompletnych głupków. Losowo zostaje wybrana delegacja 3 studnetów (mają zanieść petycje do Rektora). jakie jest prawdopodobieństwo, że w delgacji jest więcej głupków niż kompletnych głupków? Zadanie 30. Zagadnienie rozmieszczenia: rozmieszczamy r kul w m komórkach. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że do wskazanej komórki trafi dokładnie k kul? Zadanie 31. Mamy n = a + b elementów dwóch rodzajów i zakładamy, że elementy każdego rodzaju są miedzy sobą nierozróżnialne. Na ile sposobów można je uporządkować (ustawić w ciąg)? Zadanie 32. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz w pokera dostanie kartę z róznymi wartościami? Zadanie 33. Prezes zabiera w podróż służbową 12 koszul: 4 oficjalne i 8 sportowych, z kórych 3 z długim rękawem i 5 z krótkim. Rozkłada je losowo do dwóch walizek i... jedna z nich ginie w czasie podróży. Jakei jest prawdopodobieństwo, że stracił wszystkie koszule do garnituru? wszystkie nieoficjalne z długim rękawem? Zadanie 34. Dziki zachód, banda 10 rewolwerowców (pięciu Smith ów, czterech Johns ów i jeden Casidy) posprzeczała się ze soba nawzajem i doszło do strzelaniny. 3 zostało trafionych (a każdy miał równą szanę zostać trafionym). Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafieni mieli różne imiona?

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 15 Zadanie 35. W rzędzie musze posadzić 5 studentów na kolokwium. Jeżeli Maciej usiądzie obok Agaty to będzie ściągał (Agata na to pozwala). Studenci siadają losowo. jakie jest prawdopodobieństwo, że maciej nie będzie siedział obok Agaty? Zadanie. Dziesięć papryczek chili rozmieszczamy losowo na dziesięciu pizzach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na każdej pizzy będzie papryczka? Zadanie 37. W szafie są 4 pary butów. Wyciągamy (losowo) dwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to para? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród czterech wyciągniętych jest para? Zadanie 38. (do domu) Wylosowano 4 litery ze słowa PRAWDOPODOBIEŃSTWO. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) Wszytkie litery są takie same? (b) Są dwie pary takich samych liter? (c) Żadna litera się nie powtarza?

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 16 5 Prawdopodobieństwo warunkowe Otocznie, warunki w jakich zachodzą zdarzenia i inne zdarzenie wpływają na nasze postrzeganie innych zdarzeń. Na przykład widzimy, że ktoś leży bez ruchu na trawie i staramy sie zgadnąć jakie jest prawdopodobieństwo, że jest martwy gdy wokół się nie dzieje to nie mamy żadnych przesłanek by oszacować to prawdopodobieństwo. Ale jeżeli tuż przed tym usyszeliśmy huk i widzimy obok zamaskowanego człowieka z dymiącym pistoletem w dłoni... to prawdopodobieństwo wzrasta! Przyjmijmy, że w pewnym badaniu społecznym sześciuset osobom zadano pytanie: Czy twoim zdaniem w telewizji jest pokazywane za dużo przemocy?. Wyniki tej ankiety przedstawia poniższa tabela (z podziałem na płeć osób badanych): tak nie nie mam zdania RAZEM kobiety 256 45 19 320 mężczyźni 162 95 23 280 RAZEM 418 140 42 600 Na podstawie tej tabeli możemy obliczać różne prawdopodobieństwa. Na przykład, prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba z tej grupy uważa, że w telewizji jest za dużo przemocy wynosi P (T ) = 418 280 0,7, a prawdopodobieństwo, że wylosujemy mężczyznę P (M) = 0,47 (dalej będziemy 600 600 oznaczać zdarzenia: wylosowano mężczyznę M, kobietę K, osoba odpowiedziała tak T, nie N, nie mam zdania Z). Prawdopodobieństwo, że kobieta odpowiedziała tak wynosi P (T K) = 256 = 0,8, bo 256 kobiet spośród 320 odpowiedziało twierdząco w tym przypadku nie intersują nas mężczyźni. Zwróćmy uwagę na 320 notację tego zdarzenia: T K oznacza osoba odpowiedziała tak pod warunkiem, że była kobietą. Aby obliczyć to prawdopodobieństwo zmieniliśmy przestrzeń probabilistyczną: obliczaliśmy szansę wylosowania osoby odpowiadającej tak tylko ze zbioru 350-elementowego, a nie z całej 600-elementowej przestrzeni probabilistycznej. W pudełku są 4 monety: 3 uczciwe i jedna mająca reszkę na obu stronach. Wbieramy losowo jedną z monet i rzucamy. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadła reszka? Obliczamy to z drzewa prawdopodobieństw: korzeń uczciwa 3 4 orzeł 1 2 dwie reszki 1 4 reszka 1 2 reszka 1 Stąd P (reszka) = 3 4 1 2 + 1 4 1 = 5 8. (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucano monetą z dwiema reszkami jeżeli wiadomo, że wypadła reszka? Wkład monety z dwiema reszkami w wyrzucenie reszki to 1 4, zatem P (moneta z dwiema reszkami reszka) = Ten przykład pokazuje, że (w przypadku schematu klasycznego) P (A B) = A B B 1 4 5 8 = 2 5.

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 17 a po podzieleniu licznika i mianownika przez liczbę elementów przestrzeni probabilistycznej otrzymujemy (wzór na prawdopodobieństwo warunkowe) P (A B) = P (A B). P (B) Ten wzór jest zawsze prawdziwy (nie tylko w schemacie klasycznym) i oczywiście pod warunkiem, że zdarzenie B jest możliwe (nie jest niemożliwe). ZADANIA Zadanie 39. Korzystając z tabeli dotyczącej ankiety o przemocy w telewizji oblicz (a) P (N) (b) P (K) (c) P (N K) (d) P (K N) (e) P (T M) (f) P (M T ) (g) P (T M) (h) P (N K ) (i) P (T M ) (j) które zdarzenie N K, N K czy N K jest uzupełnieniem zdarzenia N K? Zadanie 40. Rzucono 3 kości do gry. Jeżeli na żadnej z nich nie wypadła ta sama ilość oczek to jakie jest prawdopodobieństwo, że na choć jednej wypadła szóstka? Zadanie 41. Bombonierka składa się z 7 czekoladek mlecznych i 4 gorzkich. Zjadamy dwie z nich (najpierw jedną potem drugą). Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga czekoladka była gorzka jeżeli pierwsza była mleczna? [ 2 5 ] Zadanie 42. Rzucamy dwukrotnie kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej sumy jeżeli w pierwszym rzucie wypadło (a) 5 oczek [ 1 2 ] (b) 6 oczek [ 1 2 ] Zadanie 43. Z talii kart losujemy kolejno 3 (bez zwracania). Jakie jest prawdopodobieństwo, trzecia karta jest kierem jeżeli dwie pierwsze były (a) kierami [ 11 13 50 ] (b) pikami [ 50 ] Zadanie 44. Na wyświetlaczu z jednakowym prawdopodobieństwem może pojawić sie cyfra 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lub 9. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze pojawiła sie liczba pierwsza gdy (a) nie mamy żadnych dodatkowych informacji [ 4 9 ] (b) wiemy że pojawiła się liczba nieparzysta. [ 3 5 ] Zadanie 45. Łucznik trafia w tarczę z prawdopodobieństwem 0,95, a spośród strzał, kóre trafiają w tarczę 80% nie trafia w dziesiątkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łucznik strzelając raz trafi w dziesiątkę? [0,19] Zadanie 46. Tabela zawiera dane o wypadkach drogowych spowodowanych przez kierujących w podziale według wieku (dane dotyczą roku 2011, według Komenry Głownej Policji). wiek liczba wypadków populacja 0 17 1 076 7 140 156 18 24 7 261 3 886 691 25 39 10 928 9 099 015 40 59 7 891 10 563 034 60+ 3 470 7 511 141

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 18 Pblicz prawdopodobieństwo, że (a) obywatel spowodował wypadek, (b) osoba młoda (poniżej 25 lat) spowodowała wypadek, (c) osoba miała wypadek, zakładając że ma mniej niż 25 lat, (d) osoba starsza (60 i więcej) spowodowała wypadek. Zadanie 47. Na pewien wydział pewnej uczelni (który ma dwa kierunki): płeć kierunek A kierunek B kandydowało przyjęto kandydowało przyjęto kobiety 200 100 450 150 mężczyźni 400 200 150 50 Obliczyć prawdopodobieństwo, że (a) kadnydat został przyjęty, (b) kandydat został przyjęty jeżeli kandydatem była kobieta, (c) kandydat został przyjety jeżeli kandydatem był mężczyzna, (d) czy można podejrzewać dyskryminację? Zadanie 48. Próbka 800 kart pamięci do aparatów z taśmy produkcyjnej została zbadana przez kontrolera jakości. 6GB 12 GB 32 GB Razem sprawna 156 350 204 710 wadliwa 24 40 26 90 RAZEM 180 390 230 800 Losowo wybrana zostaje jedna karta. Obliczyć prawdopodobieństwa, że (a) ma pojemność 6 GB, (b) jest wybrakowana, (c) jest sprawna i ma pojemność 32 GB, (d) jest wybrakowana o pojemności 6 GB, (e) jest sprawna pod warunkiem, że ma pojemność 12 GB, (f) ma pojemność 6 GB, pod warunkiem, że jest sprawna, (g) ma pojemność 32 GB pod warunkiem, że jest wybrakowana. Zadanie 49. Gramy w nastepującą grę: rzut kością, jeżeli wypadło 2, 3, 4 lub 5 to to jest wynik, jeżeli wypadło 1 lub 6 to rzucamy drugi raz i wynikiem jest suma oczek z obu rzutów. A wynikiem gracza jest 5, 6, 7, 8 lub 9. B były dwa rzuty. Obliczyć (a) P (A) [ 1 3 ] (b) P (A B) [ 1 2 ] (c) P (B A ) [ 1 4 ]. Zadanie 50. W pewnejpopulacji jest 50% mężczyzn, 10% osób mających co najmniej 80 lat, a wśród nich 70% kobiet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ktoś poniżej 80 lat jest kobietą? [A jest kobietą, B ma co najmniej 80 lat; P (A B) = 0,7 i P (B) = 0,1 stąd P (A B) = 0,07 oraz P (B ) = 0,9 i P (A B ) = 0,43 bo P ((A B) (A B )) = 0,5 i zdarzenia A B i A B wykluczają się. Stąd P (A B ) = 0,43/0,90]

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 19 Zadanie 51. Ankieta wykazała, że wśród 100 osób 23% ogląda kanał TVA, 70% kanał TVB i 40% kanał TVC. Nikt z oglądających kanał TVA nie ogląda TVC, ale 30% widzów TVB ogląda TVA i 20% widzów TVB ogląda TVC. Obliczyć przawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba z tej setki (a) ogląda kanały TVA i TVB, [0,21] (b) ogląda kanały TVB i TVC, [0,14] (c) ogląda TVA lub TVC ale nie ogląda TVB. [0,3]

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 20 6 Prawdopodobieństwo całkowite Wzór na pradwopodobieństwo całkowite można wyrazic filozoficnie : całość jest sumą swoich części [RYSUNEK - całość jest sumą części] W paczkach chrupek sa pieniądze (tradycyjna promocja :-)). W sklepie jest 80% chrupek naturalnych i 20% cebulowych. W 1% naturalnych i 5% cebuowych są prezenty promocyjne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierając losowo trafimy na prezent? Niech A będzie zdarzeniem znaleźliśmy prezent, N chrupki naturalne, C chrupki cebulowe. Wtedy A = (A N) (A C). Ponieważ zdarzenia A N i A C się wykluczają, to P (A) = P (A N) + P (A C), a stąd (stosując wzór na iloczyn prawdopodobieństw) mamy: P (A) = P (N)P (A N) + P (C)P (A C) Teraz można obliczyć szukane prawdopodobieństwo: P (A) = 0,8 0,01 + 0,2 0,05 = 0,018. Wzór, który powstał w przykładzie można uogólnić na n zadarzeń. Twierdzenie. (Wzór na prawdopodobieństwo całkowite) Niech B 1, B 2, B 3,..., B n będą zdarzeniami wazajemnie wykluczającymi się, i takimi, ża zwsze zachodzi choć jedno z nich, i każde ma niezerowe prawdopodobieństwo (B 1 B 2... B n = Ω, B k B m = dla k, m n i P (B k ) > 0 dla k n) to dla dowolnego zdarzenia A Ω: n P (A) = P (B k )P (A B k ). k=1 ZADANIA Zadanie 52. Zamówione zabytkowe wazy (z epoki Ming ) przywiezione zostały w 3 skrzyniach: w jednej 10, w drugiej 15. W transporcie obie skrzynie zostały uszkodzone: w pierwszej pękły lub wyszczerbiły się 3 wazy, a w drugiej 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana waza jest niepełnowartościowa? Zadanie 53. Fabryka współpracuje z dwoma kooperantami dostarczającymi śruby. Od kooperanta I pochodzi 40%, a do kooperanta II 60% śrub. Wady ma 0,2% śrub od kooperanta I i 0,1% od kooperanta II. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybana śruba jest dobra. Zadanie 54. 80% tych, którzy są dobrzy z matematyki I jest dobrych z rachunku prawdopodobieństwa, ale tylko 30% tych, którzy mają kłopoty z matematyką I jest dobrych z rachunku prawdopodobieństwa. Jeżeli 40% (90%) jest dobrych z matematyki I to jak wielu jest dobrych z rachunku prawdopodobieństwa? Zadanie 55. W pewenym mieście są 4 zakłady usługowe. 1 3 mieszkańców korzysta z zakładu Z 1, 1 4 z zakładu Z 2, 1 5 z

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 21 Z 3 i 1 z Z 6 4 pozostali nie korzystają z tych usług i nikt nie korzysta z dwóch zakładów. Na pytanie czy jesteś zadowolony z usług swojego zakładu odpowiedzi tak udzieliło 20% osób, kóre korzystają z Z 1, 40% z Z 2, 60% z Z 3, 80% z Z 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba korzysta z tych usług i jest z nich zadowolona? Zadanie 56. Rzucamy kostką raz, a potem tyle razy ile wypadło za pierwszym razem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzutach dodatkowych) poza pierwszym) wypadną same jedynki? Nie wypadnie żadna jedynka? Zadanie 57. Firma ubezpieczeniowa (ubezpieczenia samochodowe) klasyfikuje kierowców jako A (niskie ryzyko) B (srednie ryzyko) i C (wysokie ryzyko) spowodowania wypadku. Według ocen 30% ubezpieczonych to A, a 50% to B. Prawdopodobieństwo, że kierowca z grupy A spowoduje wypadek w ciągu roku jest równe 0,01, dla keirowców z grup B i C to prawdopodobieństwo wynosi odpowiednio 0,03 i 0,06. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany kierowca (a) jest w klasie C i będzie miał wypadek w ciagu 12 miesięcy; (b) będzie miał wypadek w ciagu 12 miesięcy; (c) jeżeli miał wypadek w ciagu 12 miesięcy od kupienia polisy, był w klasie C.

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 22 7 Wzór Bayesa Rozważając prawdopodobieństwo warunkowe można pytanie sformułować tak: wiemy, że zaszło zdarzenie B, jakie jest prawdopodobieństwo, że zajdzie zdarzenie A? Można jednak, i to jest ważne z punktu widzenia zastosowań zadac pytanie odwrotne zaobserwowaliśmy właśnie zdarzenie A, jakie jest prawdopodobieńśtwo, że wcześniej zaszło zdarzenie B? Aby znaleźć dopowiedź zauważmy, że ze wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń wynika, że P (A)P (A B) = P (B)P (B A), a stąd P (B A) = P (B)P (A B) P (A) Jeżeli zamiast jednego zdarzenia B mamy serię wykluczających się zdarzeń B 1, B 2,..., B n, które na pewno zaszły (pokrywają całą przestrzeń probabilistyczną) to z powyższego wzoru wynika następujące twierdzenie. Twierdzenie. (Wzór Bayesa) Niech B 1, B 2, B 3,..., B n będą zdarzeniami wazajemnie wykluczającymi się, i takimi, ża zawsze zachodzi choć jedno z nich i każde ma niezerowe prawdopodobieństwo (B 1 B 2... B n = Ω, B k B m = dla k, m n i P (B k ) > 0 dla k n) to dla dowolnego zdarzenia A Ω o niezerowym prawdopodobieństwie: P (B 1 A) = P (B 1 )P (A B 1 ) nk=1 P (B k )P (A B k ). Matematycznie wzór Bayesa jest przeformułowaniem wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe, ale jest wygodny ze wzgledu na zastosowania. Aby zbadać efektywność procedury badań przesiewowych obliczymy prawdopodobieństwo fałszywego wyniku negatywnego (osoba jest chora, ale test dał wynik niegatywny) i fałszywego wyniku pozytywnego (osoba jest zdrowa, ale wynik jest pozytywny). Niech T + oznacza zdarzenie: test dał wynik pozytywny, T test dał wynik negatywny, Z osoba jest zakażona, Z osoba nie jest zakażona. Czułość testu to prawdopodobieństwo, że dla osoby zakażonej wynik będzie pozytywny, czyli P (T + Z) (niech w przykładzie P (T + Z) = 0,98). Swoistość testu to prawdopodobieństwo, że dla osoby, kóra nie jest zakażona test da wynik negatywny, czyli P (T Z ) (przyjmujemy tu P (T Z ) = 0,99. Jeżeli założymy, że w całej populacji 2 osoby na milion są zakażone (czyli P (Z) = 0,000002) to jakie jest prawdopodobieństwo błedów fałszywego zakażenia i fałszywego zdrowia? Prawdopodobieństwo fałszywego wyniku pozytywnego to P (Z T + ) i korzystając z reguły Bayesa mamy P (Z T + ) = P (Z )P (T + Z ) P (Z )P (T + Z ) + P (Z)P (T + Z) = 0,999998 0,01 0,999998 0,01 + 0,000002 0,98 0,999804. Prawdowpodobieństwo fałszywego wyniku negatywnego to P (Z T ). Obliczając podobnie mamy P (Z T ) = P (Z)P (T Z) P (Z)P (T Z) + P (Z )P (T Z ) = 0,000002 0,02 0,000002 0,02 + 0,999998 0,99 0,00000004.

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 23 ZADANIA Zadanie 58. Różne choroby moga mieć takei same objawy. Załóżmy, że choroby A, B i C mają takie same objawy H i że żadna inna choroba nie ma takich objawów, ponadto choroby wykluczają sie (nie można zachorować na dwie z nich). Wykazano, że P (A) = 0,01, P (B) = 0,005, P (C) = 0,02 oraz, że P (H A) = 0,90, P (H B) = 0,95, P (H C) = 0,75. pojawia sie osoba mająca objawy H. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest chora na A? Zadanie 59. Wsród 10 000 mężczyzn 500 jest daltonistami, a wśród 10 000 koiet tylko 25. Z grupy 100 mężczyzn i 400 kobiet wybieramy losowo jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, tego, że wybrana osoba jest kobietą, jezeli wiemy, że nie odróżnia kolorów? Zadanie 60. Z dwóch kostek jedna jest uczciwa, a na drugiej 6 wypada z prawdopodobieństem 1. Rzucono dwukrotnie losowo wybrana kostką i wypadły 2 szóstki. Jakie jest prawdopodobieńśtwo tego, ze rzucono kostką 5 niesymetryczną? Zadanie 61. Firma przeprowadziła badania wewnetrzne i okazało się, źe spośród osób mieszkających dalej niż 2 kilometry od miejsa pracy 90% dojeżrża samochodem, z pozostałych tylko 50% używa na codzień samochodu. Jeżeli 75% zatrudnionych mieszka dalej niż 2 kilometry od pracy wyznacz (a) Jaka jest proporcja osób dojeżdżających do pracy samochodem (b) Prawdopodobieństwo tego, że pracownik dojeżdżający do pracy samochodem mieszka dalej niż 2 kilometry. Zadanie 62. W fabryce są trzy maszyny produkujace komponenty. 10% części wyprodukoanych przez maszynę I jest wadliwych oraz 5% i 1% części wyprodukowanych prez maszyny, odpowiednio II i III jest wadliwych. Maszyna I produkuje 50% ogólnej produkcji, II 30% i III 20%. (a) Losowo wybrany produkt ma wadę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że został wyprodukowany przez maszynę I, nie został wyprodukowany przez maszynę II. (b) Losowo wybrany produkt jest dobry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że zostałzrobiony przez maszynę I. Zadanie 63. 4 akwizytorów A. B, C i D odwiedza, odpowiednio 30%, 30%, 15% i 25% mieszkań na danym osiedlu (kazde mieszkanie jest odwiedzane tylko przez jednego akwizytora). Akwizytorom udaje się sprzedać coś odpwiednio w 1%, 1,5%, 3% i 2% mieszkań. jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym mieszkaniu jest coś kupionego u akwizytora? Załóżmy, że w losowo wybranym mieszkaniu jest coś od akwizytora, jakei jest prawdopodobieństwo, że zostało to sprzedane przez A?

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 24 Zadanie 64. Test wykrywający doping u sportowców ma nastepującą charakterystykę: jeżeli zawodnik stosował doping to test będzie pozytywny na 90%. Jeżeli zawodnik nie uzywał dopingu to test da wynik pozytywny w 20%. Załóżmy, że p procent sportowców używa dopingu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany zawodnik używa dopingu gdy wynik testu był pozytywny? Zadanie 65. Załóżmy prosty model pogody w kwietniu: każdy dzień jest aslbo słoneczny albo deszczowy. Prawdopodobieństwo, że po dniu słonecznym nastapi kolejny dzień słoneczny jest równe 0,8, a prawdopodobieństwo, że po dniu deszczowym nastapi dzień słoneczny jest równe 0,4. prawdopodobieństw, ze 1 kwietnia będzie słoneczny jest równe 0,75. (a) Oblicz prawdopodobieństwo, że 2 kwietnia będzie słoneczny, 3 kwietnia będzie słoneczny. (b) Jakie będzie prawdopodobieństwo, że 3 kwietnia będzie słonecznym jeżeli wiadomo, że 1 kwietnia był słoneczny. (c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1 kwietnia był słoneczny jeżeli 3 kwietnia był słoneczny. Zadanie 66. Dane policyjne podają, że w danym mieście 20% wszystkich przestępstw wiąże się z przemocą (rozboje, gwałty, moderstwa...), a pozostałe 80% nie (kradzieże, fałszerstwa, oszustwa itp.). 90% rozbojów jest zgłaszane na policję, a tylko 70% pozostałych. Na policję zostaje zgłoszone przestepstwo, jakie jest prawdopodobieństwo, że wiąże się z przemocą? Zadanie 67. Przypuśmy, że 5% osób wypełniający PIT roczny celowo popełnia błąd, aby nie zapłacić pełnych podatków. Poandto przyjmijmy, że 2% popełnia błędy nieświadomie (bo nie umieją poprawnie wypełnić PIT-u). Spośród oszukujay 80% powie kontrolerowi, że to bład nieświadmy, bo nie umieją wypełnić zeznania podatkowego. Załóżmy, że w zeznaniu jest błąd i wypełniająca osoba mówi, że nie umie wypełnić formularza. jakie jest prawdopodobieństwo, że ta osoba celowo oszukuje Urząd Skarbowy?

DSM Rachunek prawdopodobieństwa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 25 8 Zdarzenia niezależne Rozdaję dwie karty (ze standardowej, dobrze potasowanej talii kart) bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga karta jest pikiem? Obliczamy to korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite bo mamy rozkład przestrzeni na dwa zdarzenia: pierwsza karta jest pikiem i pierwsza karta nie jest pikiem. Zatem P (2 ) = P (1 )P (2 1 ) + (1 P (1 ))P (2 (1 ) ) = 13 52 12 51 + 39 52 13 51 = 1 4. Założmy teraz, że jeden z graczy podejrzał pierwszą kartę był to. Jakie prawdopodobieństwo drugiego pika może obliczyć ten gracz? P (2 1 ) = 12 0.235 < 0.25 51 Jak widać podejrzenie pierwszej karty wpłynęło na prawdopodobieństwo koloru drugiej. Teraz załóżmy, że gracz podejrzał kartę i zobaczył, że jest to walet. Jakie jest teraz prawdopodobieństwo, że druga karta jest pikiem? Prawdopodobieństwo całkowite: walet może być pik lub nie: P (2 1J) = P (1J )P (2 1J ) + P (1J )P (2 1J ) = 1 4 12 51 + 3 4 13 51 = 51 4 51 = 1 4. Tym razem podgladanie nic nie dało. Dlaczego? Bo zdarzenie nie zależało od wysokości karty, a więc zdarzenia były niezależne. Rozważmy teraz grę w kości: rzucamy dwa razy po kolei. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem będzie szóstka? Oczywiście 1. A jeżeli gracz podejrzał wynik pierwszego rzutu i okazało się, że 6 była to szóstka? Także 1, bo 6 P (6w2-gim 6w1-szym) = P (6w2-gim 6w1-szym) P (6w1-szym) = 1 6 = 1 6 Zatem P (w2-gim) = P (6w2-gim 6w1-szym), a to oznacza, że wynik pierwszego rzutu nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego rzuty. Zatem te zdarzenia są niezależne. Definicja.Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi jeżeli P (A B) = P (A) P (B) Zauważmy, że jeżeli zdarzenia A i B są niezależne to P (A B) = P (A B) P (A)P (B) = = P (A) i analogicznie P (B A) = P (B). Te trzy warunki są równoważne (jeżeli zachodzi jeden z nich to prawdziwe są P (B) P (B) wszystkie). Niezależność zdarzeń nie ozancza ich rozłączności, a wręcz przeciwnie zdarzenia rozłączne, o niezerowych prawdopodobieństwach nie mogą być niezależne, bo jeżeli są możliwe to P (A B) = P (A)P (B) 0. W szczególności jest oczywiste, że zdarzenia uzupełniające się nie są niezależne. Telemarketer dzwoni do ludzi namawiając ich na coś (np. przeprowadzenie badań w nowo powstałej przychodni...). Prawdopodobieństwo, że osoba do której dzwoni zgodzi się przyjść na te badania wynosi 0,15. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dwóch kolejnych rozmowach uda się namówić odbiorców na badania?