XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie doświadczalne ZADANIE D Nazwa zadania: Prędość chwilowa uli Zaproponuj metodę pomiaru prędości chwilowej stalowej uli poruszającej się po zadanym torze. Wyorzystaj zaproponowaną metodę do pomiaru prędości uli staczającej się z równi pochyłej bez poślizgu. Możesz orzystać z następujących przedmiotów: 1. Stalowa ula. Folia aluminiowa 3. Nożyczi 4. Klej lub taśma lejąca 5. Linija ze salą milimetrową 6. Bateria ondensatorów o pojemności C 3 pf 7. Źródło prądu stałego 8. Woltomierz o dużym i znanym oporze wewnętrznym 9. Oporni deadowy 1. Przewody do połączeń, roodyli itp. 11. wyłącznii eletryczne 1. Materiał ograniczający tor np. szyba szlana, loci drewniane 13. Papier milimetrowy i półlogarytmiczny UWAGA! Stosuj napięcia do 5 V. Zachowaj dużą ostrożność przy rozładowywaniu ondensatora. ROZWIĄZANIE ZADANIA D Część teoretyczna 1. Metoda pomiaru czasu Prędość chwilowa jest z definicji równa v= S/ t, gdzie S oznacza drogę przebytą w bardzo małym odstępie czasu t. Zestaw dostępnych w zadaniu przedmiotów sugeruje by do wyznaczenia czasu przelotu uli wyorzystać pomiar
napięcia na rozładowującym się ondensatorze. W tym celu rozważmy obwód ja na rys.1. W obwodzie tym zamnięcie wyłącznia W1 powoduje naładowanie ondensatora C. Gdy ustali się napięcie na ondensatorze U = U otwieramy wyłączni W1 i zamyamy wyłączni W, co powoduje rozładowywanie się ondensatora przez opór R+R. Ponieważ opór woltomierza Rv jest z założenia bardzo duży Rv>> R+R możemy całowicie zaniedbać rozładowywanie się ondensatora przez opór Rv. W dowolnej chwili czasu t rozładowywanie się ondensatora jest więc opisane przez równania: Q = CU U J = dq = J R + R dt gdzie Q oznacza ładune zgromadzony na ondensatorze. U napięcie na ondensatorze, J -- prąd rozładowania. Rozwiązując ten uład równań otrzymujemy dq dt dq Q Całując ostatnie równanie dostajemy a stąd = = Q R + R C dt R + R C t lnq = + const. R + R C t Q = Aexp R + R C Stałą A znajdujemy z warunu początowego dla t = : U = U, Qt = = CU. Stąd dowolnej chwili czasu ładune zgromadzony na ondensatorze wynosi prąd rozładowania ondensatora napięcie na ondensatorze Q = CU J = U R + R exp exp t R + R C t R + R C
U = U t exp R + R C Jeżeli zamniemy obwód ondensatora na czas r to po tym czasie napięcie na ondensatorze wsazywane przez woltomierz będzie równe U t = U exp R +. R C Rejestrując napięcie początowe i ońcowe na ondensatorze można więc wyznaczyć czas, w tórym obwód rozładowania był zamnięty U τ = + 1 R R C ln U Jeżeli stalowa ula przelatująca przez odpowiednio zrobioną przerwę w obwodzie będzie zamyać ten obwód na czas t= r, to mierząc napięcie na ondensatorze przed i po przejściu uli będziemy mogli wyznaczyć czas t. Do wyznaczenia prędości potrzebna będzie jeszcze znajomość drogi S przebytej w tym czasie przez ulę. Pomiaru tej drogi można doonać za pomocą liniji, a doładny sposób pomiaru będzie zależeć od onstrucji przerwy w obwodzie.. Wyznaczenie prędości uli staczającej się po równi bez poślizgu. W ruchu uli staczającej się bez poślizgu z równi pochyłej musi występować tarcie, gdyż, bez tarcia ula nie obracałaby się, a tylo poruszałaby się ruchem postępowym, a więc wystąpiłby poślizg. Tarcie jest więc tarciem statycznym. Ruch tai występuje dla małych ątów nachylenia równi, a zares tych ątów można znaleźć z warunu na tarcie statycznet fn, gdzie siła nacisu uli na równię N = mg cosα, a f oznacza współczynni tarcia. Aby znaleźć prędość uli staczającej się z równi można rozwiązać równania ruchu lub sorzystać z zasady zachowania energii. a Równania ruchu uli rys. gdzie m oznacza masę uli, R promień uli, I moment bezwładności uli względem osi przechodzącej przez jej środe, a przyspieszenie środa uli, v prędość liniową środa uli, ε przyspieszenie ątowe ruchu obrotowego uli, w prędość ątową uli. Równania te są prawdziwe dla ątów α dla tórych T mg cos α. Z równań otrzymujemy przyspieszenie
mg sinα a = m + I / R Dla prędości początowej v = O uli puszczonej swobodnie z równi spełnione jest równanie Sa = v /. Droga S przebyta przez ulę wzdłuż równi wynosi S = h / sinα gdzie h oznacza zmianę wysoości uli na równi. Stąd wadrat prędości uli staczającej się bez poślizgu z równi i obniżającej przy tym swoją wysoość o h wynosi v g h = 1+ I / mr Ponieważ moment bezwładności uli względem osi przechodzącej przez jej środe wynosi I = mr otrzymujemy 5 v 1 = g h 7 3 Jeśli znamy współczynni tarcia uli o równię, to możemy znaleźć dla jaich ątów α α α prawdziwa jest równość 3. Siła tarcia T z równań wyraża się wzorem Dla ąta granicznego α mamy mg sinα T = 1+ mr / I T = fn, a więc tan α = f 1 + mr /. I b Zasada zachowania energii Wzór 3 można otrzymać również z zasady zachowania energii: mv Iω mg h = + Sita tarcia nie wyonuje pracy, ponieważ nie występuje poślizg i prędość puntu, do tórego przyłożona jest siła tarcia wynosi zero. Część doświadczalna 1. Konstrucja przerwy w obwodzie Do budowy przerwy w obwodzie zamyanej na róti odcine czasu przez przelatującą ulę wygodnie jest użyć pasów folii aluminiowej. Można naleić te pasi na szybę szlaną, tóra uniesiona z jednego ońca będzie stanowić równię pochylą. Kontat eletryczny pomiędzy przelatującą uli a folią nie będzie dosonały, ale, ja poażemy W dalszej części opisu, opór R tego złącza można oszacować doświadczalnie. Przerwę mogą więc stanowić dwa pasi folii aluminiowej rozsunięte na odległość mniejszą niż np. 1 mm odległość ta zależy od promienia użytej uli. Przy taiej onstrucji łatwo jest oreślić drogę przebywaną przez ulę będzie to po prostu szeroość pasa folii. Trudno jest jedna nawet przy doładnym wypoziomowaniu równi, puszczać ulę ta by za ażdym razem
przeleciała doładnie przez ta wąsą przerwę. W opisanym poniżej doświadczeniu przerwę sonstruowano ja poazuje rys.3. Na szybę nalejono dwa pasi folii A i B w odległości 1 mm od siebie. Do tych pasów podłączono za pomocą roodylów dalszą część obwodu z rys.1. Kontat uzysiwano poprzez wąsi pase C zwarty z folią A, lecz uniesiony nad pasień B na wysoość ooło 1 mm. Kulę puszczano ta by przelatywała przez folię B, a tym samym docisając folię C do folii B zamyała obwód eletryczny.. Dobór parametrów obwodu W doświadczeniu użyto baterii ondensatorów o pojemności ooło 1 µ F, woltomierza cyfrowego o oporze wewnętrznym Rv = 1 M Ω i opornicy deadowej umożliwiającej zmianę oporu R od ilu omów do ilu megaomów. Kondensator ładowano napięciem stałym V przy zamniętym wyłączniu W1. Stała czasowa RvC= l s dostatecznie zabezpieczała przed rozładowaniem się ondensatora przez opór woltomierza. Warune ten był spełniony taie dla 3 4 razy mniejszej stałej RvC. Gdy zamnięty był wyłączni W ondensator mógł rozładowywać się poprzez przerwę w obwodzie zamyaną przez przelatującą ulę. Opór tego złącza oznaczono na rysi przez R. Opór R opornicy deadowej należało ta dobrać, żeby przelot uli przez złącze powodował zauważalne rozładowanie ondensatora. Wyznaczenie czasu przelotu uli wymaga doładnej znajomości oporu R + R oraz pojemności C ondensatora. Rzeczywista pojemność ondensatora może różnić się od nominalnej o 1%. Można jedna tę pojemność wyznaczyć doświadczalnie. 3. Doładne wyznaczenie pojemności ondensatora Znając doładną wartość oporu wewnętrznego woltomierza jest ona zwyle podana na obudowie miernia można wyznaczyć pojemność C ondensatora. W tym celu na leży mierzyć napięcie Ut na ondensatorze rozładowującym się przez opór Rv przy otwartych obu wyłączniach w pewnych odstępach czasu. Następnie wyreślamy wartości log Ut w zależności od czasu. Powinniśmy dostać linię prostą opisaną równaniem log Ut = log U- t log e/rvc. Można użyć do tego papieru półlogarytmicznego. Ze współczynnia ierunowego tej prostej rys.4 możemy wyznaczyć C. W omawianym przypadu otrzymano C= 18,6±, µ F. 4. Wyznaczenie oporu złącza R Aby wyznaczyć opór R złącza przeprowadzamy pomiary napięcia U przed i napięcia U
I po przelocie przez złącze uli stalowej spuszczanej z jednej wysoości na równi zmieniając opór R opornicy deadowej od O do Ω. Tym razem log U / U = t loge /[ C R + R ],a więc 1 log U / U C = R + R tlog e Wyreślamy zależność 1/logU /U od oporu R i przeprowadzamy linię prostą przez punty doświadczalne rys.5. Z puntu przecięcia estrapolowanej prostej z osią odciętych oreślamy wartość R. Otrzymano R = 6 ± 1 Ω. Wartość ta uwzględnia taże opór przewodów. R[ Ω ] 5. Pomiary czasu przelotu uli Znając wartości C i R+R możemy przystąpić do pomiaru czasu przelotu uli przez złącze. Pomiary te przeprowadzamy dla ustalonego oporu R, tóry w omawianym przypadu wynosił R=OO Ω. Wartość tego oporu została dobrana ta, by przelot uli o szuanej, lecz oreślonej prędości powodował spade napięcia na ondensatorze o ooło połowę. Stała czasowa w obwodzie rozładowania ondensatora wynosiła więc C R+R=65, ms. Pomiary napięć U i U na ondensatorze przeprowadzano dla ilu wysoości h powyżej złącza i dla dwóch ątów nachylenia równi α =5,4 oraz 13. Dla ażdego przypadu pomiary wyonywano ilarotnie i obliczano średnią wartość U/U oraz odchylenie
standardowe. Otrzymano dobrą powtarzalność wyniów gdy równia była wypoziomowana. 6. Pomiar drogi S przebytej przez ulę w czasie t. W przypadu zastosowanego złącza rys.3 Droga S jest to odcine toru uli, na tórym pozostaje ona w ontacie eletrycznym z wąsim pasiem C folii aluminiowej. Odcine ten jest dłuższy od szeroości pasa, gdyż ula stya się z pasiem zbliżając się do niego i oddalając ja poazuje rys.6. Odległość z można wyznaczyć doświadczalnie, sprawdzając iedy wystąpi ontat uli z pasiem C rozpoczynający rozładowywanie ondensatora. Można też obliczyć tę odległość dla wysoości pasa nad szybą równej d i promienia uli R. Łatwo zobaczyć, że x = R -R-d = Rd-d. W omawianym doświadczeniu dla uli o R=l,43 cm, d=,l cm obliczono więc x=,53 cm. Dla pasa o szeroości z=,3 cm droga S = z+x = 1,36 cm. Wyznaczając tę odległość doświadczalnie znajdujemy S=1,3 ±, 1 cm. 7. Analiza uzysanych wyniów Uśrednione wynii poszczególnych serii pomiarowych przedstawione są w tabeli 1. Na wy resie rys.7 przedstawiono uzysaną doświadczalnie zależność wadratu prędości uli od różnicy wysoości h dla obu ątów. Wartości h wyznaczono jao h = L sinα, gdzie poszczególne odcini L zaznaczono na szybie, a ich długość zmierzono liniją. Zależność teoretyczną wzór 3 przedstawiono linią prostą. Zgodnie z tą zależnością wynii pomiarów prędości nie powinny zależeć od ąta nachylenia równi.
Ocena błędów Błąd pomiaru napięcia na ondensatorze oreślono z rozrzutu wyniów wielorotnych pomiarów powtarzanych w tych samych warunach. Jest on znacząco więszy od błędu związanego z doładnością miernia możemy wobec tego pominąć. Błędy oreślenia pojemności C ondensatora oraz oporu R złącza oreślono z wyresów prowadząc proste o najwięszym i najmniejszym nachyleniu przez punty doświadczalne z zaznaczonymi błędami. Błąd pomiaru czasu t obliczono jao Błąd pomiaru drogi δ t C = + t C R R + R U + U S oceniono na δ S =,1cm. Błąd wyznaczenia prędości obliczono jao v δ S δ t = + v S t U + U Na błąd oreślenia prędości wpływają głównie błędy R / R + R oraz δ S / S. Wielość R / R + R można zmniejszyć zwięszając znany opór R. Opór ten nie może być jedna zbyt duży, gdyż ondensator rozładowywałby się zbyt wolno, co z olei zmniejszałoby doładność pomiaru napięcia na ondensatorze po przelocie uli. Można to sompensować poprzez zwięszenie szeroości pasa folii aluminiowej, a więc tym samym drogi S i czasu trwania ontatu t. Działanie taie spowodowałoby dodatowo zmniejszenie błędu δ S / S. Wtedy jedna pomiar prędości będzie odbywał się w dłuższym czasie t. Będziemy więc przechodzić od pomiaru prędości chwilowej do pomiaru prędości średniej. Należy, więc wybrać waruni optymalne. Puntacja: Metoda pomiaru czasu,5 p
Równania ruchu uli,5 p Zasada zachowania energii,5 p Konstrucja przerwy w obwodzie,5 p Dobór parametrów obwodu,5 p Doładne wyznaczenie pojemności ondensatora,5 p Wyznaczenie oporu złącza -,5 p Pomiary czasu przelotu uli 1 p Analiza uzysanych wyniów,5 p Ocena błędów 1 p Źródło: Zadanie pochodzi z Dru OF Komitet Oręgowy Olimpiady Fizycznej w Szczecinie www.of.szc.pl