Przekształcenia całkowe Wykład 1
Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie Laplace a -przekształcenie Laplace a i jego podstawowe własności, - wyznaczanie obszaru (transformaty Laplace a) gdy znany jest oryginał, -przekształcenie odwrotne względem przekształcenia Laplace a i jego własności,
Przekształcenia całkowe - wyznaczanie oryginału gdy znana jest transformata Laplace a (metoda rozkładu na ułamki proste, metoda splotu), - wyznaczanie rozwiązania równań różniczkowych rzędu n oraz układów równań różniczkowych liniowych przy danych warunkach początkowych, -równania całkowe (układy) typu splotu. 3. Szeregi Fouriera -wprowadzenie, -rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera.
Przekształcenia całkowe Literatura: 1. Kącki E., Siewierski L. Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami Warszawa 1975. 2. Kącki E. Równania rócznikowe cząstkowe w elektrotechnice Warszawa 1971. 3. Ditkin W.A., Prudnikow A.P. Przekształcenia całkowe i rachunek operatorowy Warszawa 1964.
1. Wprowadzenie Liczbą zespoloną nazywamy liczbę postaci: z = a+ bi gdzie: a - część rzeczywista (realis Re) liczby zespolonej, b część urojona (imaginarius Im) liczby zespolonej, i jednostka urojona. np.: z = 2+ 2 i, z = 3 i, z = i.
Postać liczby z = a+ bi nazywamy postacią algebraiczną lub kanoniczną. Podstawowa własność jednostki urojonej: i 2 = 1 1= i Interpretacją geometryczną liczby zespolonej jest punkt na płaszczyźnie zespolonej, którego odcięta równa jest wartości części rzeczywistej liczby zespolonej, a rzędna części urojonej tejże liczby.
Położenie punktu (a, b) jest również wyznaczone przez długość r promienia wodzącego punktu (a, b) i kąt φ jaki ten promień tworzy z osią odciętych. Wartością bezwzględną (modułem ) liczby zespolonej z = a+ bi nazywamy następującą liczbę: 2 2 z = a+ bi = a + b = r np. z = + i z = + = 2 2 2 2 2 2 8
Własności wartości bezwzględnej liczby zespolonej z z z ± z z + z 1 2 1 2 1 2 z z = z z 1 2 1 2 z z 1 = z z 1 2 2 Liczbę sprzężoną do liczby zespolonej nazywamy liczbę: np. z z = a+ bi z = a bi z = 2+ 2i z = 2 2 i, z = 3 i z = 3+ i
Własności sprzężenia liczb zespolonych: z = z z z = z 2 z ± z = z ± z 1 2 1 2 z z = z z 1 2 1 2 z1 z1 z2 z = 2 z2, 0
2. Działania algebraiczne na liczbach zespolonych Dla liczb zespolonych w postaci kanonicznej działania wykonujemy tak, jak na wielomianach W(i) nad ciałem liczb rzeczywistych, zatem zakładając istnienie dwóch liczb zespolonych z1 = a+ bi oraz z2 = c+ di działania arytmetyczne definiuje się następująco: Dodawanie: np. 1 2 ( a+ bi) + ( c+ di) = a+ c+ ( b+ d) i z = 2+ 2 i, z = 1 3i 1 2 ( ) ( ) ( ) z + z = 2+ 2i + 1 3i = 2 1+ 2 3 i= 1 i
Odejmowanie: ( a+ bi) ( c+ di) = a c+ ( b d) i z1 z2 = 2+ 2i 1 3i = 2+ 1+ 2+ 3 i= 3 5i np. ( ) ( ) ( ) Mnożenie: 2 ( a + bi) ( c + di) = ac + ad i + bci + bd i = ( ) ( 1) ( ) = ac + ad + bc i + bd = ac bd + ad + bc i
np. ( ) ( ) ( ) z1 z2 = 2+ 2i 1 3i = 2+ 6+ 6 2 i= 4 8i Dzielenie: Przy dzieleniu musimy wyrugować urojoność z mianownika poprzez pomnożenie licznika i mianownika przez liczbę sprzężoną z mianownikiem. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a+ bi a + bi c di ac + bd + bc ad i = =, c+ di 0 2 2 c+ di c+ di c di c + d
np. 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) z 2 6 2 6 1 2+ 2i 2+ 2i 1+ 3i + + i = = = = z 1 3i 1 3i 1+ 3i 1 + 3 8+ 4i 8 4 = = + i 10 10 10
3. Postaci liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej: np. z = 2 3i z = a+ bi a= Re z b= Im z Postać trygonometryczna liczby zespolonej: = ( cosϕ + sinϕ ) lub z = r( cosϕ + isinϕ ) z z i
gdzie: z - moduł z liczby zespolonej (długość promienia wodzącego), φ -kąt pomiędzy osią biegunową a promieniem wodzącym (argument liczby zespolonej). a a a cosϕ = = = r z a + b 2 2 b b b sinϕ = = = r z a + b 2 2
Przykład 1 Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną z = 1 + i. z = + = 2 2 1 1 2 1 2 cosϕ = = 2 2 π ϕ = 1 2 4 sinϕ = = 2 2 z π π = 2 cos + isin 4 4
Postać wykładnicza liczby zespolonej: z = ze ϕ i lub z = r e ϕ i Przykład 2 Przedstaw w postaci wykładniczej liczbę zespoloną z = 1+ i 3. ( ) 2 z = + = = 2 1 3 4 2
cosϕ = sinϕ = z = π 3 2 i e 1 2 ϕ = 3 2 π 3
4. Wzory Moivre a Wzory Moivre a opisują mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Zakładając istnienie dwóch liczb zespolonych z1 = r( cosϕ1+ isinϕ1) oraz z2 = R( cosϕ2 + isinϕ2) odpowiednie działania algebraiczne definiuje się następująco: Mnożenie: r cosϕ + isinϕ R cosϕ + isinϕ = ( 1 1) ( 2 2) = rr[ cos( ϕ + ϕ ) + isin ( ϕ + ϕ )] 1 2 1 2
Dzielenie: ( cosϕ1+ sinϕ1) ( cosϕ + sinϕ ) r i r = + R i R 2 2 ( ϕ ϕ ) isin ( ϕ ϕ ) [ cos ] 1 2 1 2 Potęgowanie: [ ( cos sin )] n n r ϕ + i ϕ = r ( cos nϕ + isin nϕ ) 1 1 1 1
Przykład 3 Obliczyć 1+ i korzystając ze wzorów Moivre a ( ) 10
z = 1+ i z = + = 2 2 1 1 2 1 2 cosϕ = = 2 2 π ϕ = 1 2 4 sinϕ = = 2 2 π π = [ ( cosϕ + sinϕ) ] = 2 cos + sin = 4 4 10 10 z z i i 10
10 1 10 10 2 π π = 2 cos + isin = 4 4 5 5 5 = 2 cos π + isin π = 2 2 5 π π = 2 cos 2π + + isin 2π + = 2 2 5 π π 5 = 2 cos + isin = 2 i = 32i 2 2 0 1
5. Wzory Eulera zi Wzory Eulera określają zależność między i zi e = cos z+ isin z cos sin z z = = e e zi zi + e 2 e 2i zi zi e sin z, cos z.
6. Pierwiastkowanie liczb zespolonych Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną, której n-ta potęga równa się tejże liczbie zespolonej z. Liczba 0 ma przy dowolnym n jeden pierwiastek n-tego stopnia równy 0. ( ϕ ϕ ) z = z cos + isin 0 n N Jeżeli i, to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n tego stopnia z liczby zespolonej z.
Są nimi liczby: dla k 2 2 n ϕ + kπ ϕ + kπ wk = z cos + isin n n = 0,1,2,..., n 1 Pierwiastkami n-tego stopnia z jedności są liczby: 2kπ 2kπ ε k = cos + isin n n dla k = 0,1,2,..., n 1
Wyciąganie pierwiastka stopnia n, gdzie daje zawsze n różnych wartości. W interpretacji geometrycznej punkty w k są wierzchołkami n-kąta foremnego mającego środek w punkcie (0,0). Przykład 4 4 Wyznaczyć wszystkie pierwiastki zespolone 1 oraz podać ich interpretację geometryczną.
z = 1 z = 1 cosϕ = 1 ϕ = π sinϕ = 0 2k 2k w n ϕ + π ϕ + π k = z cos + isin, n n n= 4, k = 0,1, 2,3 π π 2 2 = 1 cos + sin = + 4 4 2 2 4 w0 i i
π + 2π π + 2π 3π 3π = 1 cos + sin = cos + sin = 4 4 4 4 4 w1 i i π π π π 2 2 = cos π + isin π = cos + isin = + i 4 4 4 4 2 2 π + 4π π + 4π 5π 5π = 1 cos + sin = cos + sin = 4 4 4 4 4 w2 i i π π π π 2 2 = cos π + + isin π + = cos isin = i 4 4 4 4 2 2
π + 6π π + 6π 7π 7π = 1 cos + sin = cos + sin = 4 4 4 4 4 w3 i i π π π π 2 2 = cos 2π + isin 2π = cos isin = i 4 4 4 4 2 2
Interpretacja geometryczna
Wszystkie pierwiastki zespolone tworzą czworokąt foremny kwadrat, którego środek znajduje się w punkcie (0,0) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (tzw. płaszczyźnie Gaussa). Długość boku tego kwadratu wynosi 2. Promień okręgu, w który wpisany jest ten kwadrat równy jest z czyli 1. 4 1
Przekształcenia całkowe Dziękuję za uwagę