ANDRZEJ SERUGA, WOJCIECH POITASKI GRANICZNE NAPRĘŻENIA STAI SPRĘŻAJĄCEJ W EEMENTACH ZGINANYCH SPRĘŻONYCH CIĘGNAMI BEZ PRZYCZEPNOŚCI IMIT STRESS OF COMPRESSING STEE IN BENT EEMENTS COMPRESSED WITH BONDESS TENSION MEMBERS Streszzenie Abstrat W artykule rzedstawiono inormaje dotyząe elementów i konstrukji srężonyh ięgnami bez rzyzenośi. Omówiono arametry mająe wływ zarówno na rzyrost narężeń w stali srężająej, jak i nośność na zginanie elementu. Przedstawiono równania szaująe rzyrost narężeń zaleane rzez różnyh autorów. Pokazano wyniki trzeh testów laboratoryjnyh, które orównano z zaleeniami normowymi i teoriami naukowów zajmująyh się owyższym zagadnieniem. Słowa kluzowe: kablobeton, beton srężony, ięgna bez rzyzenośi In this aer there are resented some inormations about members and strutures restressed with unbonded tendons. There are disussed arameters whih inluene both stress inrease in restressing steel and the lexural aaity o the member. Predition equations or stress inrease suggested by dierent investigators are demonstrated. There are shown results o three laboratory tests whih are omared with odes reommendations and theories roosed by researhers dealing with the matter given above. Keywords: ost-tensioning, restressed onrete, unbonded tendons Dr hab. inż. Andrzej Seruga, ro. PK, mgr inż. Wojieh Politalski, Instytut Materiałów i Konstrukji Budowlanyh, Wydział Inżynierii ądowej, Politehnika Krakowska.
0 Oznazenia A ole rzekroju betonu A t ole roziąganej strey rzekroju betonu A ole rzekroju zbrojenia srężająego oznazenie wg PN [] A A s,min minimalne ole rzekroju zbrojenia roziąganego wg PN [] A s,min A s ole rzekroju zbrojenia roziąganego wg PN [] A s A' s ole rzekroju zbrojenia śiskanego wg PN [] A s b szerokość rzekroju b w szerokość środnika w rzekroju teowym wysokość śiskanej strey rzekroju wg PN [] x d odległość skrajnego włókna śiskanego od środka iężkośi kabla wyadkowego d s odległość skrajnego włókna śiskanego od środka iężkośi zbrojenia A s d' s odległość skrajnego włókna śiskanego od środka iężkośi zbrojenia A' s e mimośród kabla wyadkowego wsółzynnik tyu obiążenia E moduł srężystośi betonu E moduł srężystośi stali srężająej E s moduł srężystośi stali zwykłej ' wytrzymałość harakterystyzna betonu na śiskanie wg PN [] k e eektywne narężenie w stali srężająej oznazenie wg EC- [] σ m narężenie w stali srężająej w SGN wg EC- [] σ mt u wytrzymałość harakterystyzna stali srężająej na roziąganie wg PN [] k y harakterystyzna grania lastyznośi stali srężająej wg PN [] 0,k y harakterystyzna grania lastyznośi stali zbrojeniowej wg PN [] yk h wysokość rzekroju h grubość ółki w rzekroju teowym I r moment bezwładnośi rzekroju zarysowanego I g moment bezwładnośi rzekroju brutto roziętość rzęsła a długość obszaru stałyh momentów 0 długość rzegubu (obszaru) lastyznego,(n 0 ) długość obiążonyh rzęseł,(n ) długość ięgien omiędzy zakotwieniami r romień bezwładnośi Δε ikyjny wzrost odkształeń oza dekomresję na oziomie kabla wyadkowego Δε wzrost odkształeń w stali srężająej oza eektywne srężenie Δ wzrost narężeń w stali srężająej oza eektywne srężenie ε e odkształenie w betonie na oziomie włókna wyadkowego od e ε u granizne odkształenie betonu ε e odkształenie w stali srężająej wywołane eektywnym srężeniem ε granizne odkształenie w stali srężająej ε s granizne odkształenie w stali zwykłej wsółzynnik redukji rzyzenośi w stanie graniznym nośnośi Ω u
. Ogólne wiadomośi dotyząe konstrukji srężonyh bezrzyzenośiowo.. Historia i zastosowanie Konstrukje kablobetonowe miały zastosowanie w różnyh dziedzinah budownitwa, jednak najbardziej dynamizny rozwój odnotowano w USA i w Australii w zakresie wykonawstwa betonowyh łyt stroowyh o stałej grubośi, który rzyadł na ołowę lat 50. Zastosowanie ięgien w rozwijająej się wtedy metodzie odnoszenia stroów zyniło wykonane w ten sosób elementy lżejszymi i rozwiązywało roblem ugięć i zarysowań wystęująyh w elementah żelbetowyh. W latah 967 976 w USA [4] zbudowano 3 mln m stroów. Od 960 r. odnotowuje się ierwsze wykorzystanie ięgien bezrzyzenośiowyh do realizaji łyt stroowyh. T.Y. in odaje w ray [5], że w 99% wykonanyh w USA stroów wrowadzono ięgna bez rzyzenośi. M. Shuak w ray [6] rezentuje wyniki dokonanej oeny stanu tehniznego ięgien bez rzyzenośi używanyh w USA do 977 r. Jak wynika z rzytozonyh rzez niego danyh, w latah 965 98 wykonano 56 mln m stroów z zastosowaniem ięgien bez rzyzenośi. Są one nadal owszehnie używane w USA w budownitwie ogólnym. Jak odaje B.O. Aalami [7], roznie rzybywa 0 mln m łyt stroowyh z ih wykorzystaniem. We Franji ięgna bez rzyzenośi zostały użyte o raz ierwszy w realizaji budynków w 970 r. Potem bardzo wolno rzehodziły do innyh gałęzi budownitwa. W 983 r. odnotowano ierwsze realizaje ięgien kotwionyh w grunie, a nastęnie mostów, zbiorników i silosów z ięgnami bez rzyzenośi. Stosunkowo wysoki koszt ięgien bez rzyzenośi wykonanyh z ojedynzyh slotów hronionyh arainą lub smarem w osłone HDPE był zynnikiem hamująym ih zastosowanie. Sytuaja ta jednak zazęła ulegać zmianie z hwilą ojawienia się systemów wieloslotowyh. Jako rzykład może osłużyć system VORSPANN TECHNIK VT CMM (Comat Multi Mono) [8] umożliwiająy wrowadzanie, 3 i 4 slotów uormowanyh w asma o szerokośi 4,4; 6,8 i 9, m w ojedynzej osłone lub o szerokośi 5,; 7,5 i 9,9 m w odwójnej osłone. Cięgno w ojedynzej osłone ojawia się wewnątrz konstrukji, natomiast w odwójnej osłone na zewnątrz konstrukji... Wady i zalety Do zalet ięgien bez rzyzenośi należą: małe tarie, zabeziezenie stali srężająej w trakie realizaji, możliwe leze ułożenie ięgien (mniejsze romienie wygięia w konstrukjah kołowyh nawet, m), eliminaja iniekji oraz znaząe eekty ekonomizne, omimo że elementy konstrukyjne srężone ięgnami bez rzyzenośi harakteryzują się w orównaniu z elementami srężonymi ięgnami rzyzenośiowymi mniejszą nośnośią na zginanie i śinanie, mniejszą odornośią na zmęzenie i wstrząsy sejsmizne oraz mniejszym beziezeństwem ogniowym w konstrukjah iągłyh [5, 9]. Do odstawowyh wad ięgien bez rzyzenośi należą: brak ełnego zauania do ewnośi zakotwienia oraz wrażliwość na korozję. W Jaonii rzerowadzono jednak obszerne rae badawze dotyząe trwałośi i zabeziezenia ięgien. Nie wykazywały one objawów uszkodzenia korozyjnego o 5-letnim okresie oddziaływania owietrznego środowiska wody morskiej [0]. Na odstawie wyników badań rzerowadzonyh w USA, Jaonii i Holandii za główne rzyzyny korozji uznano enetraję wilgoi do ięgna rzez osłonkę, owłokę ohronną lub zakotwienie. Korozji ięgien można jednak zaobiegać:
stosują wodoszzelne osłonki, wytrzymałe i odorne na otaria lub uszkodzenia odzas transortu, montażu i betonowania, nieosiadająe ołązeń na długośi, używają smarów nierzeuszzalnyh dla wilgoi i niezawierająyh związków agresywnyh w stosunku do stali srężająej, zwraają szzególną uwagę na korozję w streie zakotwień, która może być wywołana obenośią hlorku wania w betonie lub zarawah stosowanyh do wyełniania wnęk w zakotwieniah, enetrają wody morskiej i hlorków, zawartośią wolnyh siarzków w kruszywie lekkim lub rądami błądząymi. Na uwagę zasługuje akt, że nie zanotowano rzyadku katastroy konstrukji srężonej ięgnami bez rzyzenośi w wyniku korozji ięgien..3. Różnie w ray konstrukji srężonej ięgnami z rzyzenośią i bez rzyzenośi.3.. Shemat ray elementu rętowego Istotną różnią omiędzy zahowaniem się elementu srężonego ięgnami z rzyzenośią a elementu srężonego ięgnami bez rzyzenośi jest shemat ray ustroju o zarysowaniu. Elementy strunobetonowe, jak i kablobetonowe z rzyzenośią wykazują, dzięki wsółray betonu i stali srężająej, tendenję do owstawania rys o stosunkowo niewielkiej szerokośi i małym rozstawie. Kablobetonowe elementy srężone ięgnami bez rzyzenośi wykazują tendenję do owstawania w streie maksymalnyh momentów jednej rysy, która wraz ze wzrostem obiążenia bardzo szybko zwiększa swoją szerokość i zasięg. Prowadzi to do zmiany shematu ray konstrukji z elementu zginanego na łuk ze śiągiem i gwałtownego wzrostu ugięć. Jesteśmy jednak w stanie zaobiegać temu niekorzystnemu zjawisku orzez zastosowanie niewielkiej owierzhni rzekroju zbrojenia asywnego, którego obeność ma korzystny wływ na zahowanie się belki o zarysowaniu. Minimalna owierzhnia zbrojenia zwykłego zaleana w aragraie 8.9 ACI Code [3], bez względu na klasę zastosowanego betonu i stali, wynosi A s,min = = 0,004 A t (o rzy założeniu A t = 0,5 A i d = 0,85 h wynosi 0,004 b d). W PN [] minimalna owierzhnia zbrojenia określona jest w aragraah 4.8 i 6.. W zginanym elemenie o rzekroju rostokątnym waha się ona w graniah 0,004 b d < A s,min < < 0,007 b d (odowiednio: dla elementów z betonu B30 zbrojonyh stalą klasy A-IIIN i elementów z betonu B60 zbrojonyh stalą klasy A-III)..3.. Nośność na zginanie konstrukji srężonej W elu określenia nośnośi rzekroju srężonego ięgnami bez rzyzenośi otrzebna jest znajomość sił działająyh w interesująym nas rzekroju, a wię siły śiskająej w betonie i zbrojeniu śiskanym oraz siły roziągająej w zbrojeniu roziąganym i w ięgnah bez rzyzenośi. W tym elu możemy zastosować znaną z Polskiej Normy [], jak i z EC- [] analizę rzekrojów zginanyh, zależnośi omiędzy odkształeniami i narężeniami oraz równania równowagi. W tym miejsu ojawia się jednak roblem związany z określeniem narężeń wystęująyh w stali srężająej, a o za tym idzie sił, które możemy rzedstawić za omoą oniższyh równań: według konwenji oznazeń wystęująyh w EC- σ mt =σ m +Δσ,US () według konwenji oznazeń wystęująyh w ACI 38M-0 = e +Δ ()
3 gdzie: σ mt i narężenie w ięgnie w stanie graniznym, σ m i e narężenie w ięgnie srężająym o wszystkih stratah, Δσ,US i Δ zmiana narężenia w ięgnie wywołana dodatkowym obiążeniem. O ile wyznazenie narężenia eektywnego o wszystkih stratah nie nastręza większyh roblemów, to określenie wzrostu narężeń wywołanego rzyłożeniem do elementu obiążeń wykrazająyh oza iężar własny nie jest zadaniem tak łatwym. Sowodowane jest to tym, że zmiana odkształeń w ięgnah bez rzyzenośi ma harakter globalny, a nie lokalny, jak w rzyadku ięgien z rzyzenośią. W ięgnah z rzyzenośią, rzy założeniu idealnej rzyzenośi stali do betonu, zmiana odkształenia w stali srężająej jest równa zmianie odkształenia betonu na oziomie ięgna wyadkowego. Natomiast w ięgnah bez rzyzenośi, rzy założeniu ominięia taria omiędzy ięgnami a osłonką i wynikająej z tego równośi narężeń na ałej długośi ięgna, odkształenie ięgna w dowolnym rzekroju jest równe średniemu odkształeniu betonu na oziomie ięgna wyadkowego, na długośi ięgna omiędzy zakotwieniami..4. Postęowanie rzy ormułowaniu równań szaująyh granizne narężenia w ięgnah bez rzyzenośi w stanie graniznym nośnośi Od kilkudziesięiu lat rowadzone są badania dotyząe zahowania się konstrukji z ięgnami bez rzyzenośi. Badania te możemy odzielić na dwie gruy. Pierwsza i zarazem stanowiąa większą zęść rzerowadzonyh badań to doświadzenia. Na odstawie otrzymanyh wyników zostają wykreślone krzywe obrazująe związek wzrostu narężeń z badanymi arametrami. Kolejnym krokiem jest stworzenie równań oisująyh te zależnośi. Ze względu na złożoność zagadnienia i dużą lizbę arametrów mająyh wływ na wzrost narężeń w ięgnah bez rzyzenośi, jak również ogranizoną bazę danyh testowyh, wyrowadzone w ten sosób równania okazywały się mało dokładne i dawały stosunkowo duży rozrzut wyników. Ih rzerowadzenie nie było jednak bezowone, onieważ dzięki nim wyodrębniono gruę arametrów mająyh istotny wływ na rzyrost narężeń. Zebrano i oraowano dość dużą lizbę wyników, które stanowiły odstawę do dalszyh rozważań teoretyznyh (68 rzebadanyh elementów [5] stan na 003 r.). Drugą gruę stanowią analizy. Wyrowadzenie równania orzedzone jest zęsto stworzeniem numeryznego modelu MES stosująego analizę nieliniową i mająego na elu weryikaję rzyjętej teorii. Kolejnym krokiem jest oraowanie stosunkowo rostego równania oisująego zależność wzrostu narężeń od rzyjętyh arametrów. W razie braku zgodnośi wyników testowyh z wyrowadzonym równaniem stosuje się zęsto analizę regresyjną mająą na elu korektę równania wyjśiowego orzez wrowadzenie odowiednih wsółzynników.. Prae doświadzalne Poniżej rzedstawiono wływ badanyh arametrów na rzyrost narężeń w ięgnah bez rzyzenośi: e eektywne srężenie według niektóryh badazy nie ma wływu na wartość Δ, natomiast według innyh Δ maleje wraz z jego wzrostem,
4 ' wytrzymałość betonu na śiskanie Δ rośnie wraz z jej wzrostem, ρ stoień zbrojenia srężająego Δ maleje wraz z jego wzrostem, ω s wskaźnik roziąganego zbrojenia zwykłego należy zaewnić minimalną owierzhnię zbrojenia w elu właśiwej ray elementu i rozkładu rys. Powyżej tej graniznej wartośi Δ maleje wraz z jego wzrostem, ω' s wskaźnik śiskanego zbrojenia zwykłego Δ rośnie wraz z jego wzrostem, /d stosunek roziętośi do wysokośi użyteznej rzekroju Δ maleje wraz z jego wzrostem, ty obiążenia rzebadano trzy najzęśiej wystęująe tyy obiążeń: dwie siły skuione w odległośi ⅓ roziętośi od odór, obiążenie równomierne oraz siłę skuioną w środku roziętośi. Największy rzyrost narężeń Δ zaobserwowano rzy ierwszym z wymienionyh tyów obiążeń, natomiast najmniejszy rzy ostatnim, shemat obiążeń rzyrost narężeń zależy od arametru, który jest ilorazem długośi rzęseł obiążonyh do ałkowitej długośi elementu n 0 /n lub /. Inne badania wykazują, że rzy jednakowej długośi rzęseł istnieje także różnia wynikająa z rodzaju obiążonego rzęsła (wewnętrzne lub zewnętrzne [6]). W tabeli wymieniono w kolejnośi hronologiznej ważniejsze rae doświadzalne wraz z zakresem rzebadanyh arametrów mająyh wływ na narężenia granizne w ięgnah bez rzyzenośi. Tabela ista autorów ważniejszyh ra doświadzalnyh i rzebadanyh rzez nih arametrów izba Rok Autorzy rzebadanyh elementów bez Przebadane arametry rzyzenośi 3 4 956 Janney, Hognestad 8 Stoień zbrojenia srężająego i zwykłego i MHenry 96 Warwaruk, Sozen i Siess 4 Stoień zbrojenia srężająego i zwykłego, wytrzymałość betonu na śiskanie oraz rodzaj obiążenia 969 Pannell 38 Stoień zbrojenia srężająego i zwykłego, ozątkowe srężenie oraz stosunek roziętośi do wysokośi 97 976 978 98 Mattok, Yamazaki i Kattula Tam i Pannell Burns, Charney i Vines Cooke, Park i Yong 7 8 9 Minimalny stoień zbrojenia zwykłego, stoień zbrojenia srężająego i zwykłego, trasa ięgna oraz iągłość elementu Stoień zbrojenia srężająego i zwykłego, ozątkowe srężenie, klasy użytyh materiałów oraz stosunek roziętośi do wysokośi elementu Stoień zbrojenia srężająego i zwykłego, ozątkowe srężenie oraz shemat obiążeń Stoień zbrojenia srężająego oraz stosunek roziętośi do wysokośi elementu
5 d. tab. 3 4 985 Du i Tao Stoień zbrojenia srężająego i zwykłego, wytrzymałość betonu na śiskanie 987 Stoień zbrojenia srężająego i zwykłego, Chakrabarti 33 wytrzymałość betonu na śiskanie, stosunek roziętośi i Whang do wysokośi i srężenie eektywne 989 Chouinard 6 Stoień zbrojenia zwykłego 99 Harajli 6 Stoień zbrojenia srężająego i zwykłego, stosunek 004 i Kanj Hani Nassi i Ozgur Ozkul roziętośi do wysokośi i ty obiążenia Stoień zbrojenia srężająego i zwykłego, stosunek roziętośi do wysokośi i wytrzymałość betonu na śiskanie 3. Prae analityzne Znaznie leze wyniki od wsomnianyh wześniej ra doświadzalnyh rzyniosły rae analityzne. Do najważniejszyh z nih należą te rzerowadzone rzez zesoły badazy: M. Harajli i S. Hijazi [],.H. ee, J.H. Moon i J.H. im [] oraz A. Naaman i F. Alkhairi [3 5]. 3.. M. Harajli i S. Hijazi Przed wyrowadzeniem równania na rzyrost narężeń w ięgnah bez rzyzenośi Harajli [] stworzył analityzny model stosująy analizę nieliniową. Oarty był on na trzeh undamentalnyh założeniah: zależność narężeń od odkształeń w materiałah składowyh rzebiega wg odowiednih krzywyh (σ = F(ε) lub = F(ε)); zgodność odkształeń w rzekroju orzeznym wg rys. ; narężenie w stali srężająej rzy dowolnym oziomie rzyłożonego obiążenia jest stałe na długośi (ominięto siły taria). Rys.. Rozkład odkształeń w rzekroju orzeznym belki Fig.. Strain distribution aross the deth o beam setion
6 Z owyższyh założeń wyrowadzono oniższe równania, na odstawie któryh oblizono rzyrost narężeń w ięgnie bez rzyzenośi A e + e ε e = A E r (3) e ε e = (4) E d ε Δ ε = (5) N ( Δε + ε ) e Δl = l n= l n (6) Δ Δ ε = (7) ε = ε + Δε (8) e = ε ) (9) F( Jak wynika z owyższyh równań, wartość narężeń w ięgnah bez rzyzenośi zależy od takih zynników, jak: harakterystyka rzekroju, wartość siły srężająej, trasa ięgna, wytrzymałość użytyh materiałów oraz rzyłożonyh obiążeń zewnętrznyh. Dokonano róby rzedstawienia tyh arametrów za omoą analityznego modelu uwzględ- Rys.. Rzezywisty i idealizowany rozkład krzywizny Fig.. Atual and idealized urvature distribution
7 niająego stosunek roziętośi do wysokośi oraz ty obiążenia. Pozątkowo rzyjęto model belki wolnoodartej, a nastęnie rozszerzono go na belki iągłe. Na rysunku rzedstawiono zęśiowo srężony element z ięgnem bez rzyzenośi oddany działaniu dwóh sił skuionyh oddalonyh od siebie o a. inia rzerywana rzedstawia ozekiwany rozkład krzywizny określony rzy założeniu, że owstałe w bele rysy ohodzą od zginania i wraz ze wzrostem obiążenia ozostają ionowe. To założenie jest ważne jedynie w tym obszarze elementu, gdzie momenty ozostają stałe (a siły orzezne jako ohodna momentów są równe zero). Jednak rysy rostoadłe do trajektorii narężeń głównyh roziągająyh ojawiają się również na ozostałej zęśi rzęsła (o długośi Z) odlegająej równozesnemu działaniu zginania i śinania. Z testów rzerowadzonyh na elementah żelbetowyh i srężonyh wynika, że rysy (ierwszorzędnego znazenia) rostoadłe do głównyh narężeń roziągająyh mają tendenję do owstawania w obszarze stałyh momentów owiększonym o odległość równą w rzybliżeniu d/, gdzie d jest wysokośią użytezną rzekroju. Stąd też analiza nieliniowa i odowiadająy jej rozkład krzywizny owinny uwzględnić wływ rys rostoadłyh do głównyh narężeń roziągająyh, tak jak narysowano linią iągłą na rys.. Dla elów analizy nieliniowej rzyjęto, że odległość omiędzy działająymi siłami skuionymi zostaje owiększona i wynosi a + d. To założenie uwzględnia wływ stosunku roziętośi do wysokośi elementu na szaowane wyniki wzrostu narężeń. To samo zjawisko może być ujęte w rostszy sosób rzez użyie ojęia ekwiwalentnego rzegubu lastyznego. Długość rzegubu lastyznego jest równa długośi obszaru, na którym owstały rysy (ierwszorzędnego znazenia) rostoadłe do głównyh narężeń roziągająyh. Rysy wewnątrz rzegubu lastyznego dążą do salenia, owodują, że jego właśiwośi są zależne razej od wewnętrznego niż od zewnętrznego momentu działająego w rzekroju. Długość rzegubu lastyznego jest równa obszarowi stałyh momentów, oszerzonemu na zewnątrz o długość wynosząą. W niniejszej analizie rzyjęto wyrażenie Corleya określająe długość tego oszerzenia, zmodyikowane rzez Mattoka i wynosząe = 0,5 d + 0,05 Z (0) Stąd też ałkowita długość rzegubu lastyznego owstałego rzy ierwotnym zarysowaniu może zostać wyrażona w nastęująy sosób = + () 0 a 0 = a + d + 0, Z () gdzie: d użytezna wysokość rzekroju, długość oszerzenia rzegubu lastyznego oza obszar stałyh momentów, a długość obszaru stałyh momentów, 0 długość rzegubu lastyznego, Z odległość omiędzy siłą skuioną a odorą. Jak wynika z owyższyh wzorów, długość rzegubu lastyznego zależy od roziętośi elementu, wysokośi użyteznej rzekroju oraz odległośi omiędzy siłami skuionymi. W rzyjętym modelu ostawiono sobie za el uwzględnienie nie tylko arametru, jakim jest stosunek roziętośi do wysokośi, lez również tyu rzyłożonego obiążenia.
8 Do najzęśiej sotykanyh tyów obiążenia należą: obiążenie siłą skuioną w środku roziętośi, dwoma siłami skuionymi w ⅓ oraz w ⅔ roziętośi oraz obiążenia równomierne. O ile oblizenie długośi rzegubu lastyznego rzy dwóh ierwszyh tyah obiążenia nie srawia kłootu, to ojawia się ytanie, w jaki sosób zamodelować obiążenie równomierne. Wyniki badań okazały, że najleze odzwieriedlenie obiążenia równomiernego daje jego zamodelowanie za omoą dwóh sił skuionyh odległyh od siebie o / 6 roziętośi rzęsła. Po odowiednih rzekształeniah można wyrazić długość rzegubu lastyznego wzorem 0,95 0 = d + 0,05 + (3) d gdzie: = / a wsółzynnik zależny od tyu rzyjętego obiążenia, = dla ojedynzej siły skuionej w środku roziętośi, = 6 dla obiążenia równomiernego, = 3 dla dwóh sił skuionyh w ⅓ oraz w ⅔ roziętośi. Dzielą owyższe wyrażenie rzez roziętość elementu, otrzymamy względną długość obszaru lastyznego 0 0, 95 = + 0,05 + (4) d Jeśli zgodzimy się z założeniem, że wartość odkształeń betonu na oziomie ięgna wyadkowego (a o za tym idzie odkształeń i narężeń w stali srężająej) zależy od względnej długośi rzegubu lastyznego, to można wyiągnąć nastęująe wnioski: wraz ze wzrostem wsółzynnika maleje rzyrost narężeń w stali srężająej; wraz ze wzrostem roziętośi maleje rzyrost narężeń w stali srężająej. Kolejnym krokiem było zbadanie uzyskanyh wyników z rezultatami otrzymanymi z rzetestowanyh belek wolnoodartyh. Badanymi arametrami były: stosunek roziętośi do wysokośi, ty obiążenia (ojedynza siła skuiona i rostoliniowa trasa kabla, dwie siły skuione i rostoliniowa trasa kabla oraz obiążenia równomierne i arabolizna trasa kabla), rodzaj rzekroju rostokątny i teowy, trzy wytrzymałośi betonu na śiskanie ( ' = 35, 48 i 6 MPa), dwie klasy zbrojenia srężająego ( u = 86 i 60 MPa), trzy wskaźniki zęśiowego srężenia (PPR = 0,4; 0,7;,0), ięć wskaźników zbrojenia (ω e = 0,08 0,5), dwa wskaźniki stali śiskanej (γ = 0,5; 0,5), trzy stonie srężenia eektywnego ( e = 0,5; 0,6 i 0,7 u ). Wykreślono kilkanaśie krzywyh obrazująyh zależność narężenia w ięgnah bez rzyzenośi od odanyh arametrów. Najmniejszy rozrzut wyników otrzymano rzy wykreślaniu krzywyh zależnośi stosunku wzrostu narężeń do narężeń niszząyh ięgno (Δ / u ); od stosunku wysokośi strey śiskanej betonu do wysokośi użyteznej rzekroju (/d ). Stąd też wyjśiowe równanie szaunkowe będąe liniowym rzybliżeniem dolnej graniy otrzymanyh wyników ma ostać e =α β (5) u d
9 gdzie: α = 0,40; β = 0,70 dla dwóh sił skuionyh w ⅓ roziętośi ( = 3), α = 0,5; β = 0,44 dla obiążenia równomiernego ( = 6), α = 0,0; β = 0,8 dla ojedynzej siły skuionej ( = ), w którym indeks odowiada /d =. Wydłużenie ięgna Δl (6) zależy głównie od lastyznego odkształenia ojawiająego się w obszarze niesrężystym belki. Stąd też z użyiem ojęia równoważnej długośi obszaru lastyznego wzrost odkształenia Δε (8) jest liniowo roorjonalny do 0 / (4). Ponieważ większość szaowanyh wyników mieśi się w obszarze srężystym omiędzy e a y, to można właśiwie założyć, że wzrost narężeń Δ jest również liniowo roorjonalny do 0 /. Należy zauważyć, że jest to jedynie rzybliżenie, onieważ krzywa narężenie odkształenie stali srężająej nie jest idealnie liniowa w obszarze srężystym i nie ma wyraźnie zdeiniowanej graniy lastyznośi. Używają tego rzybliżenia, równanie (5) może zostać uogólnione dla belek wolnoodartyh o dowolnym stosunku roziętośi do wysokośi w nastęująy sosób e =γ α β u d = e +γ u α β d gdzie γ jest stosunkiem 0 / wyrażonym z zastosowaniem równania (4) dla dowolnego odanego stosunku roziętośi do wysokośi do zastęzego /d =. We wsółzynniku tym uwzględniono również arametr, jakim jest shemat obiążeń w elementah iągłyh. Uzyniono to rzy założeniu, że rzed owstaniem rzegubów lastyznyh w rzęsłah owstaną rzeguby lastyzne nad odorami, o sowoduje, że ojedynze rzęsła będą się zahowywać jak belki wolnoodarte. Shemat obiążeń jest uwzględniony rzez wrowadzenie wsółzynnika będąego stosunkiem lizby obiążonyh rzęseł n 0, dająyh maksymalny moment w danym rzekroju do ałkowitej lizby rzęseł n. Równoważnie n 0 /n rerezentuje stosunek długośi rzęseł obiążonyh do ałkowitej długośi elementu omiędzy zakotwieniami. Dla elementów wolnoodartyh n 0 /n =. Ostateznie wsółzynnik γ wyrażony jest wzorem n0 0 n n0 γ = = + 0 0,95 n 0,05 + = d d Biorą od uwagę akt, że odany wzór inżynierski został zaroonowany jako równanie normowe i owinien sełniać kryteria beziezeństwa, do jego wyrowadzenia rzyjęto wsółzynniki odowiadająe najbardziej niekorzystnemu rzyadkowi, a wię sile skuionej w środku roziętośi. To znazy: =, α = 0,0 oraz β = 0,8. Proonowany wzór inżynierski ma trzy ostai w zależnośi od odejśia roonowanego rzez autora: (6) (7) (8)
0 Podejśie I równowaga sił w rzekroju Podejśie to wymaga oblizenia ołożenia osi obojętnej (wysokośi śiskanej strey betonu ), wykorzystują równanie równowagi gdzie A + A A = 0,85 b β + C dla β > h (9) s y s y w C = 0,85 ( b b ) h (0) w w którym b, b w, h i C są odowiednio szerokośią ółki, szerokośią środnika, grubośią ółki i siłą śiskająą w betonie skrzydełek. Podstawiają wartość z równania (7) dla =, α = 0,0 oraz β = 0,8 do równania (9), uzyskujemy nastęująe ogólne wyrażenie na a stąd ( ) A e +γs u + As y A s y C = dla β > h u 0,85 β bw +,8 γs A d,0 n0 γ s = 0,+ n d () () = e +γs (,8 ) y (3) d Dla rzekrojów rostokątnyh i ozornie teowyh (β h ): C = 0; b w = b. Nominalna nośność na zginanie może zostać oblizona z użyiem nastęująyh równań M = A d + A d A d 0,85 b n s y s s y s dla β h (rzekrój rostokątny lub ozornie teowy) ( β ) ( β ) hj n s y s s y s 0,85 w 0,85 ( w) M = A d + A d A d b b b (5) dla β > h (rzekrój rzezywiśie teowy). Gdy w oblizeniah uwzględniamy zbrojenie śiskane, to w elu zaewnienia jego ulastyznienia w równaniu () należy brać wartość oniższego wyrażenia A + A A s y s y b d 0,7 i d 0,5d s (4) (6)
Podejśie II bezośrednie wylizenie wartośi Po odowiednih rzekształeniah, o wstawieniu z równania równowagi () wartośi do równania (3) otrzymamy nastęująe wyrażenie na narężenia w ięgnah bez rzyzenośi, +γ d ( ) β e s u s = e +γs u ρ + ωs ωs y d gdzie: ω s i ω s ' są odowiednio wskaźnikami zwykłego zbrojenia roziąganego i śiskanego zgodnie z normą ACI 38M-05 [3]. Gdy w oblizeniah uwzględniamy zbrojenie śiskane, to w elu zaewnienia jego ulastyznienia w równaniu (7) należy brać wartość oniższego wyrażenia +γ d ρ + ω ω ( ) 0,7 i d 0,5 e s u s s s s d d Podejśie III metoda zgodnośi odkształeń Używają najdokładniejszego odejśia zgodnośi odkształeń, długośi ekwiwalentnego obszaru lastyznego (3), równań oisująyh wydłużenie ięgna bez rzyzenośi (3) (8) oraz równowagi sił w rzekroju (9), wyrowadzono nastęująe równanie gdzie 0 0,85 β bw d ε u ( A A ) + C = + A 0 A ε εe ( εe εu ) 0 0,95 n0 = 0,05 + + n d s s y w którym ε u = 3 (za ACI Code [3]). Dla rzekrojów rostokątnyh i ozornie teowyh C = 0 i b w = b. Równanie to jest odobne do tego wyrowadzonego dla elementów z ięgnami rzyzenośiowymi, z tą jednak różnią, że zamiast o / należy rzyjmować. 3...H. ee, J.H. Moon i J.H. im Autorzy ray [] zaroonowali równanie rojektowe służąe do oblizania narężeń w ięgnah bez rzyzenośi otrzymane w ten sosób, że główne arametry i ih kombinaje zostały uzyskane z ray teoretyznej, a nastęnie wykorzystują analizę regresyjną dobrano do nih odowiednie wsółzynniki. W ray teoretyznej wykorzystano nastęująe założenia: zgodność odkształeń w rzekroju wg rys., stałość narężeń na długośi ięgna (ominięto wływ taria ięgna o osłonkę), zależność narężenie odkształenie oraz wykorzystano równanie równowagi momentów, które rzedstawiono w oniższej ostai β β β β,85 b β ( d ) = A ( d ) + A ( d ) A ( d ) (3) e s y s s y e 0 (7) (8) (9) (30)
gdzie d A d + A d s y s e = (3) A + A s y Odkształenie w ięgnah bez rzyzenośi wg rys. wynosi d 0 ε =ε e + εu d gdzie o jest długośią ekwiwalentnego rzegubu lastyznego, a jest ałkowitą długośią omiędzy zakotwieniami. Stąd też ołożenie osi obojętnej uzyskamy z równania gdzie 0 εu d = ε ε + ε 0 e u Oblizone z równań (3) i (34) narężenie w ięgnah bez rzyzenośi wynosi 0 0,85 b β εu d ( A α A ) = + α A 0 α A ε ε e +εu s s s y (33) (34) (35) β d α = (36) β d e β d s α s = (37) β d e Przy wyrowadzaniu równania wykorzystano również ojęie długośi ekwiwalentnego rzegubu lastyznego, z tą jednak różnią, że rzyjęto trohę inną teorię i oznazenia 0 = + (38) w którym jest wsółzynnikiem zależnym od tyu obiążenia. Dla obiążenia jednounktowego =0, a dla dwuunktowego lub równomiernego = 3. Zakładają długość oszerzenia obszaru lastyznego = 0,5 d, względna długość obszaru lastyznego jest wyrażona równaniem 0 = + (39) d
3 Wyrowadzają równanie, które umożliwiłoby rosty tok oblizeń rzy zahowaniu dokładnośi metody zgodnośi odkształeń, założono, że ięgna bez rzyzenośi raują w zakresie srężystym. Wyniki uzyskane z większośi badań doświadzalnyh nie wykazały wystęowania w ięgnah bez rzyzenośi odkształeń lastyznyh, nawet rzy zniszzeniu elementu. Dzieje się tak, onieważ narężenia w ięgnah rozkładają się na ałej długośi elementu. Stąd też równanie konstytutywne można wyrazić w rosty sosób = ε (40) E Korzystają z tego założenia i mnożą ierwszy złon równania rzez E, otrzymujemy 0 0,85 b β εu E d ( A α A ) = + α A 0 α A e +εu E Do równania (4) dodano obustronnie e + ε u E ( 0 /) s s s y 0 0,85 b β ε u E d ( A s αsas) y Δ +ε E = + +ε E 0 0 u e u 0 α A α A Δ +εu E Mnożą obustronnie rzez Δ se + ε u E ( 0 /), otrzymujemy równanie kwadratowe w którym (4) X B X C = 0 (43) X E ( A s αsas) y 0 B = e +εu E α A C = α A Rozwiązaniem tego równania jest ierwiastek 0 = Δ +εu (44) 0 0,85 b β ε u E d który może zostać rzybliżony za omoą wyrażenia (4) (45) (46) C X = B + B + (47) B + C B + C B (48) C X = B + (49)
4 Ze względu na aroksymaję wystęująą w równaniu (48) wsółzynniki B i C równania kwadratowego zastąiono dowolnymi wsółzynnikami Q, Q, Q 3 i Q 4. Dodatkowo wyrażenie od ierwiastkiem A /(b d ) zastąiono rzez ρ i otrzymano 0 A A β ε Δ = Q + Q Q ε E + Q ( ) 0,85 u s αs s E y 0 e 3 u 4 α A α ρ Wyiągnięto rzed nawias wsólne arametry wystęująe w trzeim i zwartym wyrażeniu owyższego równania i otrzymano ( α ) As sas y Δ = Qe + Q + α A + ε + β ε α ρ α ρ 0 0 0 Q3 u E Q4 0,85 u E W dalszyh oblizeniah ominięto wystęująe o Q 3 wyrażenie ze względu na to, że wystęująe w lizniku 0 / jest mniejsze od jednośi, a mianownik jest relatywnie wysoki. Zastęują 0 / rzez wyrażenie oisująe względną długość obszaru lastyznego, otrzymujemy ostateznie nastęująą zależność Δ (50) (5) ( A A ) s s y d + s = K + K + K K + e ρ (5) 3 4 A d d Wsółzynniki K i wyznazono orzez zastosowanie analizy regresyjnej z wykorzystaniem wześniejszyh wyników badań (67 badań rzerowadzonyh rzez 3 badazy w latah 956 997). Proonowane równanie ma ostać ( A s As) y ds Δ = 30 000 + 0, 75 e + + 8 + [i] A d ρ d Ostatezna ostać równania roonowana do zaisu normowego i zaewniająa odowiedni zaas beziezeństwa ma ostać (53) ( A s As) y ds Δ = 0 000 + 0,80 e + + 80 + [i] 5 A d ρ d (54)
3.3. A. Naaman i F. Alkhairi 5 Autorzy ra [3, 4] odjęli róbę rozwiązania roblemu wzrostu narężeń w ięgnah bez rzyzenośi orzez wskazanie ewnej analogii do zahowania się elementów z ięgnami rzyzenośiowymi. Ih odejśie olegało, w skróie, na srowadzeniu analizy belek srężonyh ięgnami bez rzyzenośi do belek srężonyh ięgnami rzyzenośiowymi orzez wrowadzenie wsółzynnika ogranizenia odkształeń (zwanego też wsółzynnikiem ogranizenia rzyzenośi). Swoimi badaniami odnieśli się do ra zaozątkowanyh rzez Bakera, który wrowadził wsółzynnik zgodnośi odkształeń oraz wyraził odkształenie w stali srężająej w nastęująy sosób gdzie: ε ε e = ε e + ( Δε u ) av ε (55) ε (56) = ε + F ( Δε ) e m odkształenie w stali srężająej w stanie graniznym, odkształenie w stali srężająej od eektywnego srężenia, ( ε u ) av rzeiętny wzrost odkształeń w stali srężająej bez rzyzenośi oza eektywne srężenie, ( ε ) m maksymalny wzrost odkształeń w betonie oza stan eektywnego srężenia, jaki zahodziłby w rzyadku zastosowania takiej samej ilośi stali srężająej, lez mająej rzyzeność do betonu, F wsółzynnik zdeiniowany jako stosunek rzeiętnego narężenia w betonie rzyległego do stali do maksymalnego narężenia w betonie rzyległego do stali. Jeśli założymy, że stal rauje w zakresie srężystym, to narężenia w stali srężająej mogą być zaisane w ostai lub e [ ε + ( Δε ) ] = E ε = E (57) e u av ( Δε ) = + F E ( Δε ) u av e m = + E (58) gdzie E to moduł stali srężająej. Baker (949) zasugerował, aby w stanie graniznym nośnośi rzyjąć wartość F = 0,66 dla belek obiążonyh równomiernie i F = 0,5 dla belek obiążonyh siłą skuioną w środku roziętośi. W kolejnej ublikaji (95), oierają się na doświadzeniah rzerowadzonyh rzez Mattoka, zaroonował rzyjęie wartośi F = 0,. Kolejną deiniję wsółzynnika zgodnośi odkształeń odał Giord (953) jako stosunek rzeiętnego eektywnego odkształenia betonu na oziomie stali srężająej do odkształenia betonu w rzekroju krytyznym (o maksymalnym momenie). Zasugerował rzyjęie wartośi F = 0,. Janney, Hognestad i MHenry (956) rzetestowali wiele wolnoodartyh belek srężonyh ięgnami bez rzyzenośi o stosunku roziętośi do wysokośi bliskiemu 3 obiążonyh dwoma siłami skuionymi w ⅓ i ⅔ roziętośi rzęsła. Oierają się na rzerowadzonyh rzez siebie testah, zasugerowali wartość wsółzynnika równą stosunkowi strey śiskanej betonu w stanie graniznym nośnośi do wysokośi użyteznej
6 Rys. 3. Rozkład odkształeń w rzekroju krytyznym Fig. 3. Strain distribution aross the ritial setion rzekroju, tj. F =, /d /d. Zaznazyli jednak, że należy się sodziewać mniejszej wartośi F rzy zastosowaniu obiążenia ojedynzą siłą skuioną lub rzy większym stosunku roziętośi do wysokośi elementu. Kolejną ważną ublikają dotyząą wsółzynnika F była raa Warwaruka, Sozena i Siessa (96), w której naisali, że wartość F zależy od kształtu wykresów momentów jako stosunek wysokośi strey śiskanej betonu do wysokośi użyteznej rzekroju F = /d. Korzystają z tyh samyh głównyh deiniji wsółzynnika redukji odkształeń, Naaman (990) był ierwszym, który zaroonował analityzne wyrażenie wsółzynnika mająego zastosowanie w stanie srężystym niezarysowanym, zarysowanym i w stanie graniznym zniszzenia. Dla elów raktyznyh wsółzynnik F ma tę samą deiniję jak rozszerzony w dalszej zęśi wsółzynnik Ω u, z tym wyjątkiem, że Ω u wyraża wzrost narężeń oza stan wyjśiowy odowiadająy działaniu srężenia eektywnego i obiążeń stałyh. Naaman ujął te wsółzynniki w zmodyikowanej analizie zgodnośi odkształeń w elu rzewidzenia krzywizny momentu belek srężonyh ięgnami bez rzyzenośi. Wsółzynnik redukji odkształeń został zdeiniowany jako stosunek średniego wzrostu odkształeń w ięgnah bez rzyzenośi do wzrostu odkształeń w ekwiwalentnyh ięgnah z rzyzenośią w rzekroju o największym momenie zginająym i wyraża się równaniem
( Δε ) u ( Δε ) b m ( Δε ) u av ( Δε ) m 7 av Ω u = = (59) gdzie: (Δε u ) av wzrost odkształenia w ięgnah bez rzyzenośi, (Δε b ) m wzrost odkształenia w równoważnyh ięgnah z rzyzenośią, (Δε ) m wzrost odkształenia w betonie oza eektywne srężenie na oziomie ięgna wyadkowego. Wszystkie odkształenia są brane w rzekroju krytyznym o największym momenie, tak jak na rys. 3. Z owyższego równania można wyiągnąć trzy nastęująe wnioski: wyrażenia (Δε b ) m i (Δε ) m są sobie równe, odkształenia w ięgnie bez rzyzenośi są równe w każdym rzekroju elementu (dzięki założeniu o ominięiu sił taria) oraz Ω u = w rzyadku, gdy ięgna wykazują ełną rzyzeność do betonu. Dla belek wolnoodartyh o stałym rzekroju, symetryznym obiążeniu i symetryznej trasie ięgien można wykazać, że Ω może być wylizone w większośi rzyadków z oniższego równania ( ) Ω= ΔM ( x) ee ( x) dx ΔM e (60) max 0 max 0 gdzie: M max zmiana momentu w rzekroju krytyznym, M(x) zmiana momentu w dowolnym rzekroju o wsółrzędnej x wzdłuż rzęsła, (e 0 ) max mimośród ięgien w rzekroju krytyznym, e 0 (x) odowiadająy M(x) mimośród ięgien w dowolnym rzekroju o wsółrzędnej x wzdłuż rzęsła, długość rzęsła. Obowiązuje założenie, że zmiana momentu zginająego odnosi się do stanu, w którym działa eektywna siła srężająa i moment od obiążeń stałyh, a narężenie w stanie odniesienia jest znane i równe eektywnemu srężeniu e. Aby uniknąć żmudnyh oblizeń, wartość Ω określono dla tyowyh warunków obiążenia i tras ięgien (rys. 4). Można zauważyć, że Ω zależy od tyu obiążenia (obiążenie równomierne, ojedynzą lub wieloma siłami skuionymi), trasy kabla (rostoliniowa, odgięta lub arabolizna) oraz mimośrodów ięgna wyadkowego w rzekroju rzęsłowym i odorowym. W elu rozważenia elementu w stanie użytkowalnośi (o zarysowaniu) wrowadzono wsółzynnik redukji rzyzenośi Ω r rzy założeniu ojawienia się ojedynzej rysy w rzekroju o maksymalnym momenie. Dla belek wolnoodartyh obiążonyh symetryznie i o symetryznej trasie kabla wartość Ω r może być oblizona z nastęująego równania I Δ Ω = Ω r + I r M ( x) ee ( x) dx (6) r I g I g 0 ΔM max ( ee ) max gdzie: I g moment bezwładnośi rzekroju brutto (niezarysowanego), I r moment bezwładnośi rzekroju zarysowanego, szerokość rysy lub szerokość obszaru zarysowanego.
8 Ponieważ rzegub lastyzny tworzy się teoretyznie we ragmenie zarysowanym, a brak rzyzenośi omiędzy ięgnami i betonem uniemożliwia ojawienie się zarysowania oza tym odinkiem, jest zazwyzaj bardzo małe w orównaniu z, nawet jeśli zastosowane jest zbrojenie asywne zgodnie z ACI Building Code mająe na elu dystrybuję rys. Przyjęie tego założenia umożliwia oszaowanie Ω r z wystarzająą dokładnośią za omoą oniższego równania I I r Ω Ω (6) r g Rys. 4. Wyrażenia wsółzynnika redukji odkształeń Ω w stanie niezarysowanym Fig. 4. Exressions or strain redution oeiient Ω or unraked state Naaman i Alkhairi róbowali rozszerzyć teoretyzne wyrowadzenie wsółzynnika redukji odkształeń w stanie zniszzenia rzy zginaniu. Zdeiniowali ten wsółzynnik jako Ω u i róbowali rzedstawić go w odobnej ormie jak w równaniah (60) i (6). W szzególnośi raowali nad uroszzoną ormą równania, gdzie staje się długośią rzegubu lastyznego w stanie zniszzenia, a I r staje się momentem bezwładnośi zarysowanego rzekroju w stanie zniszzenia. Jednak zadanie okazało się zbyt trudne i nie udało się znaleźć zadowalająego rozwiązania zgodnie asująego do wszystkih dostęnyh wyników badań. Z tego owodu rzeanalizowali 43 wyniki badań z 5 różnyh źródeł ohodząe z lat 96 990 i onownie rzelizyli wsółzynnik redukji Ω u. Wsółzynnik oblizono dla dwóh zmiennyh: warunków obiążenia (siła skuiona w środku rzęsła, w dwóh unktah i obiążenie równomierne) oraz stosunku roziętośi do wysokośi, który wahał się od 7,8 do 45, o obejmuje większość rojektowanyh obe-
nie belek i łyt. Najlezą zależność omiędzy wynikami doświadzalnymi i analityznymi uzyskano dla nastęująyh wartośi Ω u Ω u Ω 5,4 = d u,6 = d 9 dla obiążenia ojedynzą siłą skuioną (63) dla obiążenia dwiema siłami skuionymi lub równomiernego (64) Wsółzynnik Ω u został wyrowadzony w elu ukazania najlezej możliwej zależnośi omiędzy doświadzalnymi a rzewidywanymi wynikami. Dla elów normowyh wrowadzono wsółzynniki beziezeństwa do wyznazonyh wartośi Ω u. Uzyniono to, mnożą wartość tego wsółzynnika rzez lizbę mniejszą od jednośi. Zaleane wartośi Ω u dla elów normowyh wynoszą,5 Ω = dla obiążenia ojedynzą siłą skuioną (65) u d 3,0 Ω = dla obiążenia dwiema siłami skuionymi lub równomiernego (66) u d Na rysunku 3 rzedstawiono rozkład odkształeń w elemenie srężonym ięgnami bez rzyzenośi i z rzyzenośią w stanie odniesienia (od działaniem srężenia eektywnego i obiążenia iężarem własnym) i w stanie zniszzenia (rzy nominalnej nośnośi na zginanie). Założono, że wzrost odkształeń w ięgnah bez rzyzenośi może być uzyskany rzez oblizenie wzrostu odkształeń w ięgnah z rzyzenośią i zastosowanie wsółzynnika redukji rzyzenośi Ω u zdeiniowanego owyżej. Dla ięgien z rzyzenośią wzrost odkształeń omiędzy dwoma stanami jest równy wzrostowi odkształeń w betonie na oziomie ięgna. Może być łatwo określony z geometrii wykresu i wyrażony za omoą równania d ( ) Δε = ε + ( Δε ) = ε + ε m e m e u b (67) Jeśli znana jest wartość Ω u, to wzrost odkształeń w ięgnah bez rzyzenośi może zostać określony ze wzrostu odkształeń w ięgnah z rzyzenośią za omoą równania d ( ) Δε = Ω ε + Ω ε av u e u u u (68) Jeśli założymy, że narężenie w ięgnah bez rzyzenośi ozostaje w zakresie liniowo-srężystym (~0,94 y ), to zmiana narężeń rzy nominalnej wytrzymałośi na zginanie wynosi
30 d u (69) ( ) ( ) Δ = Ω E Δε = Ω E ε + Ω E ε av u u av u e u u Stąd odowiadająe narężenie w ięgnah bez rzyzenośi wynosi d = + Ω ε + Ω ε u e u E e u E u (70) Zazwyzaj wartość ε e jest niewielka w orównaniu z innymi wyrażeniami. Po ominięiu ε e i ouszzeniu indeksu u w u (ze względu na to, że z deiniji ACI Code jest graniznym narężeniem w stali srężająej) równanie (70) rzybiera ostać d = + Ω ε e u E u (7) Aby uwzględnić shemat obiążeń w elementah iągłyh, wrowadzono do owyższego równania arametr / d E = e + Ωu εu (7) gdzie: długość obiążonego rzęsła lub suma długośi obiążonyh rzęseł, mająyh wływ na to samo ięgno, długość ięgna omiędzy zakotwieniami. W owyższyh równaniah niewiadomymi są narężenia w ięgnah bez rzyzenośi oraz wysokość śiskanej strey betonu. Drugie równanie umożliwiająe ih wylizenie otrzymujemy, korzystają z równowagi sił w rzekroju A ( b b ) h + 0,85 b β + A A = 0,85 (73) s y s y w w Dla rzekrojów rostokątnyh lub ozornie teowyh b w = b. Powyższy układ równań możemy rozwiązać na dwa sosoby rozwiązują oniższe równanie kwadratowe, gdzie rzezywistym ierwiastkiem jest w ostai gdzie B + B = (74) A 4 A C A 0, 85 b β (75) = w B ( ) = A u E u Ω ε e + A s y As y + 0, 85 b bw h (76) C = A Ω E ε d (77) u u lub orzez zastosowanie rostego toku iterayjnego składająego się z trzeh kroków: założenia = e + 5 ksi (05 MPa) i wylizenia wysokośi strey śiskanej betonu,
użyie uzyskanego do oblizenia z równania (7), owtórzenia roedury aż do uzyskania małyh rzyrostów w kolejnyh iterajah. 3 4. Analiza wybranyh badań oraz wnioski końowe Wyniki wybranyh badań doświadzalnyh T a b e l a Oznazenie elementu Analizowane arametry PN-B-0364 ACI Code 38M-05 Harajli i Hijazi ee, Moon i im Naaman i Alkhairi Metoda dokładna +ΩU 3 4 5 6 7 8 9 Belka B8 [7] Belka B [8] Belka [9] Wyniki badania Δ [MPa] 00,0,9 34,4 35,9 96 73,8 76,7 [MPa] 756,0 768,9 790,4 89,9 75 79,8 73,7 M Rd [knm], 0,9,0,6 0,8 0,7,0 Δ [MPa] 00,0 344, 637,0 637,0 538,3 46,8 637,0 [MPa] 08,0 35, 645,0 645,0 546,3 44,8 645,0 M Rd [knm] 4,0 6,8 30, 30, 8,4 30,7 30,3 Δ [MPa] 00 70 553 44 60 495 55 [MPa] 935 005 388 50 455 33 385 M Rd [knm] 64, 67, 78, 74, 80 75,4 75, W tabeli zebrano wyniki oblizeń rzerowadzonyh na odstawie badań trzeh elementów. Dwa ierwsze rzykłady dobrano w ten sosób, aby ukazać, jak duży jest rozrzut wartośi, które może rzyjmować rzyrost narężeń w ięgnah bez rzyzenośi. Trzei rzykład ohodzi z badań własnyh. Wszystkie oblizenia zostały wykonane z ominięiem zęśiowyh wsółzynników beziezeństwa, oierają się na danyh materiałowyh zamieszzonyh w ublikajah [7 9]. Kolumny 3 i 4 zawierają wyniki oblizeń rzerowadzonyh na odstawie zaleeń zawartyh w olskiej i amerykańskiej normie, kolumny od 5 do 7 wyniki bazująe na wyżej oisanyh teoriah, kolumna 8 wyniki na odstawie metody dokładnej zmodyikowanej rzez autorów o wrowadzenie wsółzynnika Ω u oraz ostatnia kolumna wyniki badań. W ierwszym z wymienionyh badań rzerowadzonyh na jednorzęsłowej bele o rzekroju rostokątnym o wymiarah 58 6 mm i długośi rzęsła 4 m uzyskano rzyrost narężeń w ięgnah oniżej 00 MPa. Jest to wartość niższa niż zaleają PN [] i EC- []. Wartość tę uzyskano rzy sełnieniu nastęująyh warunków: działaniu ojedynzej siły skuionej na element o dużej smukłośi (/d 43) i znaznej ilośi stali zwykłej w streie roziąganej (3 ręty ø0 mm). Ostatni z wymienionyh warunków owoduje zmniejszony wływ rzyrostu narężeń w ięgnah na nośność elementu. Uzyskanie w oblizeniah rzyrostu narężeń większego niż w rzezywistośi nie wływa na beziezeństwo konstrukji, a ewentualne rzeszaowanie nośnośi mieśi się w zęśiowyh wsółzynnikah beziezeństwa. Najlezą zbieżność wyników uzyskano dla teorii wrowadzająej wsółzynnik redukji odkształeń, gdyż dzięki niej rzewidziano rzyrost narężeń niższy niż roonowany rzez normy. W drugim oraz trzeim badaniu uzyskano rzyrost narężeń w ięgnah znaznie owyżej rzyjętego rzez PN [] i EC- [] 00 MPa. Oba oisywane elementy to belki jednorzęsłowe. Pierwszy z nih miał wymiary rzekroju orzeznego 60 80 mm oraz roziętość w osiah odór wynosząą 4, m. Drugi, ohodząy z badań własnyh, miał wymiary rzekroju orzeznego 50 50 mm oraz roziętość w osiah odór
3 3,6 m. Dużą wartość rzyrostu narężeń w ięgnah srężająyh uzyskano rzy sełnieniu nastęująyh warunków: działaniu dwóh sił skuionyh w / 3 i / 3 roziętośi na element kręy (/d wynosząe, odowiednio, 9 oraz 8) z niedużą ilośią zbrojenia zwykłego w streie roziąganej (odowiednio: ręty ø0 mm oraz 3 ręty ø mm). W takih wyadkah zniszzenie elementu może nastąić nawet orzez zerwanie stali srężająej, a niedoszaowanie rzyrostu narężeń w ięgnah wływa znaząo na obniżenie nośnośi oblizeniowej w stosunku do rzezywistej. W drugim rzykładzie dwie z wybranyh teorii dobrze rzybliżyły zarówno rzyrost narężeń, jak i nośność elementu na zginanie. Powstałe różnie omiędzy teoriami (odowiednio: kolumny 5 i 6 oraz 7) wynikają z tego, że autorzy dwóh ierwszyh teorii rzyjęli jako granizne narężenie w ięgnie bez rzyzenośi umowną granię lastyznośi stali srężająej y, natomiast trzeia teoria douszza rzyjęie maksymalnego narężenia w stali srężająej wynosząego 0,94 y. W trzeim z rzedstawionyh badań uzyskano wartośi rzyrostu narężeń oraz nośnośi niższe niż roonują teorie. Należy jednak nadmienić, że odzas badania nastąiło zerwanie jednego z siedmiu drutów ięgna, o miało wływ na niższą nośność elementu odzas zniszzenia. 5. Podsumowanie Jak wynika z analizy badań rzerowadzonyh na wielu elementah i w różnyh ośrodkah naukowyh, obenie nie można jednoznaznie określić, która z roonowanyh metod jest najwłaśiwsza i najbardziej rzydatna do analizy rzyrostu narężeń w ięgnie bez rzyzenośi oraz stanu graniznego nośnośi. Przytozone wzory i ih wyrowadzenia zostały oublikowane w zasoismah amerykańskih i odniesione są do normy amerykańskiej [3]. W literaturze krajowej, jak również w obowiązująyh normah [, ] nie ma żadnego odniesienia ani roozyji dotyząej rojektowania tego tyu konstrukji. Należy wziąć również od uwagę odwójny asekt omawianego zagadnienia. Z jednej strony niedoszaowanie rzyrostu narężeń w ięgnah rowadzi bardzo zęsto do zaniżenia nośnośi elementu na zginanie. Z drugiej strony brak znajomośi rzezywistego rzyrostu narężeń może rowadzić do zaniżenia końowej wartośi narężeń w ięgnah, którą należy ogranizać zgodnie z ostanowieniami normowymi. Przekrozenie tej wartośi może mieć wływ na nośność ięgna, o jest szzególnie niebeziezne w tego rodzaju konstrukjah. iteratura [] PN-B-0364:00 Konstrukje betonowe, żelbetowe i srężone. Oblizenia statyzne i rojektowanie. [] PN-EN 99--:004 Eurokod : Projektowanie konstrukji z betonu Część : Reguły ogólne i reguły dla budynków. [3] Building Code Requirements or Strutural Conrete (ACI 38M-05) and Commentary (ACI 38 RM-05). [4] M a t t P., FIP design reommendations or lat slabs in ost-tensioned onrete using unbonded and bonded tendons, VIII Congress o the FIP, 4 May 978, ondon.
33 [5] i n T.Y., Unbonded vs. bonded tendons or building onstrution with artiular reerene to lat slabs, Symosium on Prestressed Conrete in Buildings, Sydney 976. [6] Shuak M., A Survey o the durability erormane o ost-tensioning tendons, Journal o Amerian Conrete Institute, Vol. 75, No. 0, 978, 50-50. [7] A a l a m i B.O., Develoment in ost-tensioned loors in buildings, XI Congress o the FIP, 4 9 June 990, Hamburg. [8] T h a l H., VT CMM a new system or unbonded restressing, FIP Symosium on Modern Prestressing Tehniques and Their Aliations, 7 0 Otober 993, Kyoto. [9] P a s h G.F., Introdution to restressing and the aliation o ost-tensioned onrete slabs in buildings, Symosium on Post-Tensioned Prestressed Conrete in Buildings, Aril 977, South Aria, Journal o the Conrete Soiety o Southern Aria, No. 6, June 977. [0] Muguruma H., On the use o unbonded Prestressed onrete members, Transations o the Arhitetural Institute o Jaan, May 968 (in Jaanese). [] H a r a j l i M., H i j a z i S., Evaluation o the Ultimate Steel Stress in Partially Prestressed Conrete Members, PCI Journal, Vol. 36, No., 99, 6-8. [] e e.h., M o o n J.H., i m J.H., Proosed Methodology or Comuting o Unbonded Tendon Stress at Flexural Failure, ACI Strutural Journal, Vol. 96, No. 6, 999, 040-048. [3] N a a m a n A., A l k h a i r i F., Stress at Ultimate in Unbonded Prestressing Tendons Part I: Evaluation o the State-o-the Art, ACI Strutural Journal, Vol. 88, No. 5, 99, 64-65. [4] N a a m a n A., A l k h a i r i F., Stress at Ultimate in Unbonded Prestressing Tendons Part II: Proosed Methodology, ACI Strutural Journal, Vol. 88, No. 6, 99, 683-69. [5] N a a m a n A., B u r n s N., F r e n h C., G a m b l e W., M a t t o k A., Stresses in Unbonded Prestressing Tendons at Ultimate: Reommendation, ACI Strutural Journal, Vol. 99, No. 4, 00, 58-59. [6] Allouhe E.N., Cambell T.I., Green M.F., Soudki K.A., Tendon Stress in Continuous Unbonded Prestressed Conrete Members Part : Parametri Study, PCI Journal, Vol. 44, No., 999, 60-73. [7] T a m A., P a n n e l l F.N., The ultimate moment o resistane o unbonded artially restressed reinored onrete members, Magazine o Conrete Researh, Vol. 8, No. 97, 976, 03-08. [8] D u G., T a o X., Ultimate Stress o Unbonded Tendons in Partially Prestressed Conrete Beams, PCI Journal, Vol. 30, No. 6, 985, 7-9. [9] Politalski W., Przyrost narężeń w ięgnie bez rzyzenośi w wyniku obiążenia srężonej belki kablobetonowej, Zeszyty Naukowe Politehniki Śląskiej, Budownitwo, z. 09, 006, 309-36.