Wykład FIZYKA II. Mechanika kwantowa Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/
MECHANIKA KWANTOWA Podstawę mechaniki kwantowej stanowi związek de Broglie`a: h p wyrażany częściej przez tzw. liczbę falową k=/ i wielkość h kreślone p k h Kwadrat funkcji falowej cząstki opisuje rozkład prawdopodobieństwa znalezienia się tej cząstki w określonym punkcie przestrzeni położeń (bądź pędu). Ze względu na sens fizyczny funkcji falowej, należy ją przyjąć ogólnie w postaci zespolonej.
MECHANIKA KWANTOWA Jaką długość fali przewiduje dla obiektów masywnych równanie fali de Broglie`a, a jaką dla lekkich? Przykład: piłka o masie kg poruszająca się z prędkością m/s i elektron przyspieszony napięciem V. a) Dla piłki: pęd p=mv=kg m/s Długość fali de Broglie`a: =h/p=(6,6* -34 Js)/( kg m/s)=6,6* -35 m Ta wielkość jest praktycznie równa zeru, zwłaszcza w porównaniu z rozmiarami obiektu. Doświadczenie prowadzone na takim obiekcie nie pozwala więc na rozstrzygnięcie, czy materia wykazuje własności falowe (zbyt małe ). Przypomnijmy, że falowy charakter światła przejawia się, gdy rozmiary obiektu, z którym światło wchodzi w interakcję, są porównywalne z długością fali. b) Elektron przyspieszony napięciem V uzyska energię kinetyczną: E k =eu= ev=,6* -7 J a prędkość, jaką uzyska: v=(e k /m) / =5,9* 6 m/s co da w efekcie odpowiednią długość fali de Broglie`a: =. nm Jest to wielkość rzędu odległości międzyatomowych w ciałach stałych.
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Równanie Schrödingera jest podstawowym równaniem mechaniki kwantowej. Opisuje ono ewolucję w czasie funkcji falowej, która pozwala na wyznaczenie położenia cząstki w określonym miejscu przestrzeni i czasu z pewnym prawdopodobieństwem. d d (niezależne od czasu, jednowymiarowe) m E U (E. SCHRÖDINGER, 96) Warunki brzegowe: dla dużych wartości prawdopodobieństwo znalezienia cząstki równe jest zero; Tylko pewne wartości energii E n i odpowiadające im funkcje n spełniają te warunki nazywamy je wartościami własnymi i funkcjami własnymi.
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA W przypadku potencjałów zależnych od czasu:. m d d U, t, t i, t t W przypadku trójwymiarowym: d d d d d dy d dz (laplasjan)
PACZKA FALOWA Rozważmy funkcję falową cząstki w postaci (w chwili t=):, 4 Aep epik Odpowiadający jej rozkład prawdopodobieństwa ma postać: ep A Jest to znana funkcja zwana funkcją Gaussa; jest tzw. odchyleniem standardowym, które oznaczymy jako i nazwiemy nieokreślonością położenia.
PACZKA FALOWA Tak zlokalizowana fala nazywana jest paczką fal. Można ją przedstawić jako sumę funkcji sinusoidalnych postaci ep(ik). Aep ep 4 ik B epik Dla nieskończonej liczby fal jest to całka Bkepikdk n n n Rozwiązaniem jest: B k ep k k lub, zapisując w postaci pędowej : B p ep p p
PACZKA FALOWA Pędowa funkcja prawdopodobieństwa: jest również rozkładem gaussowskim: gdzie p B B p p ep p p ep p p p jest standardowym odchyleniem czyli nieokreślonością pędu. p
ZASADA HEISENBERGA Dla paczek falowych o dowolnych kształtach również spełniona jest: Zasada nieokreśloności (nieoznaczoności) Heisenberga p Jeśli cząstka jest zlokalizowana w przestrzeni z odchyleniem standardowym, to nie ma ona określonego pędu, lecz pewien rozkład pędów B(p) o szerokości p.
KONIEC KOSZMARU DETERMINIZMU Jeśli znana jest postać funkcji falowej w chwili początkowej, to teoria kwantowa pozwala przewidzieć postać tej funkcji w dowolnej następnej chwili czasu ale rozszerzanie się funkcji falowej czyni te wiedzę nieprzydatną przy przewidywaniu przyszłości... Przykłady: Nie ma sposobu rozstrzygnięcia który elektron pochłonie foton w zjawisku fotoelektrycznym możemy tylko obliczyć prawdopodobieństwo pochłonięcia fotonu przez dany elektron. Obraz interferencyjny wiązki elektronów mówi nam jedynie o prawdopodobieństwie znalezienia danego elektronu w każdym punkcie ekranu. Rozpad promieniotwórczy - nie można przewidzieć, kiedy rozpadnie się pojedyncze jądro uranu, znamy tylko prawdopodobieństwo rozpadu jądra w określonym przedziale czasu. Przewidywane prawdopodobieństwa można jedynie porównywać z wartościami średnimi, otrzymanymi w wyniku dużej liczby obserwacji.
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Cząstka swobodna: na cząstkę nie działają żadne siły, czyli potencjał jest funkcją stałą można przyjąć go za równy zeru. Fizyka klasyczna: cząstka porusza się ruchem jednostajnym; Fizyka kwantowa: równanie Schrödingera: d m d E Rozwiązanie ogólne: fala bieżąca przy czym: me k ik ik, t Ae Be e E i t Rozwiązanie praktyczne : paczka falowa!
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Próg potencjału: funkcja skoku V dla { V dla Energia całkowita cząstki: Opis klasyczny: V V p E V m ) Dla: E>V Dla <: energia kinetyczna cząstki jest równa jej energii całkowitej; v L E m Dla >: energia kinetyczna: E-V Prędkość cząstki w tym obszarze: v P E V m ) Dla: E<V Cząstka porusza się TYLKO w obszarze <. Energia kinetyczna cząstki jest równa jej energii całkowitej. Prędkość cząstki w tym obszarze: v L E m
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Próg potencjału: Opis kwantowy: V V ) Dla: E>V Równania Schrödingera dla obu obszarów: d m d E a) dla < b) dla > m d d E V a) rozwiązanie dla < ik ik Ae Be k me b) rozwiązanie dla >: ik ik Ce De k me V
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA V Próg potencjału: opis kwantowy (E>V ): Warunki normowania: D, bo brak fali odbitej w obszarze. Warunki brzegowe: (ciągłość, zszywanie funkcji ): A C k k B C k k * Współczynnik odbicia: vb B k k R * va A k k Współczynnik przejścia (transmisji): T * vc C va * A 4k k k k Oczywiście: R T, co można potraktować również jako zasadę zachowania strumienia prawdopodobieństwa. V
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Próg potencjału: opis kwantowy (E>V ): V V Wnioski: skok potencjału spowodował, że mimo, iż energia cząstki jest większa od wysokości skoku potencjału współczynnik przejścia nie jest równy jedności, czyli przejście cząstki NIE jest całkiem pewne; T * vc C va * A 4k k k k co więcej, może zajść ODBICIE cząstki od takiej bariery pomimo tego, że wysokość bariery jest niższa niż energia cząstki! R vb va * * B A k k k k
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Próg potencjału: Opis kwantowy: V V ) Dla: E<V Równania Schrödingera dla obu obszarów: a) dla < b) dla > d E E V m d m a) równanie dla cząstki swobodnej (znane) fala biegnąca: ik ik Ae Be b) rozwiązanie podobne: ale: k me d d ik ' ik ' Ce De k ' me V k ' jest wielkością urojoną! Więc wprowadzamy: Ce De i wtedy: k k k ik '
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Próg potencjału: opis kwantowy (E<V ): ) Warunki normowania (ograniczoność funkcji): D ) Warunki brzegowe (ciągłości, zszycie funkcji ): Stąd: A C k i k B C k i k (Funkcje falowe otrzymujemy, oczywiście, mnożąc przez: E i t e Prawdopodobieństwo, że cząstka znajdzie się w obszarze <: * * t va A vb B P, gdzie: v k / m (strumień padający) (strumień odbity) V V
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Próg potencjału: opis kwantowy (E<V ): V V Współczynnik odbicia: R vb va * * B A Prawdopodobieństwo, że cząstka znajdzie się w obszarze >: P *, k t C Ce Istnieje więc skończone, choć malejące ze wzrostem odległości od progu prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w obszarze klasycznie niedozwolonym.
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Próg potencjału: opis kwantowy (ciąg dalszy): V V Z zasady nieoznaczoności Heisenberga: jeśli nieoznaczoność położenia cząstki wynosi: to nieoznaczoność jej pędu: p mv E a energii: E p m V E Czyli: gdybyśmy chcieli zmierzyć współrzędną cząstki w obszarze, to doprowadzilibyśmy do takiej nieoznaczoności w jej energii, że nie można by było w ogóle twierdzić, że jest ona mniejsza od V!
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Bariera potencjału (o skończonej szerokości): V V Równania Schrödingera dla poszczególnych obszarów: a) dla < i >L b) dla > L d m d E m d d E V Dla E<V rozwiązania w postaci: 3 ik ik Ae Be ik ik Ce De ik ik Fe Ge dla < dla <<L dla >L k me k me V k me
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Bariera potencjału (o skończonej szerokości): (dla E<V ) Warunki normowania (w obszarze >L nie powinno być fali odbitej): G Warunki brzegowe (ciągłości, zszycie funkcji ): L 3 L L L 3 Stąd: mv E T ep e k L L Zjawisko tunelowania (tunelowe, przenikania przez barierę) V V L
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Studnia potencjału (o nieskończonej głębokości): V a Potencjał nieskończony, więc: dla < i dla >a. Wewnątrz studni potencjału: d m d E Ae Be ik ik Rozwiązania typu: gdzie: k me
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Studnia potencjału (o nieskończonej głębokości): Ae ik Be ik V a Warunki brzegowe: więc: A B a a stąd: C sin k więc: k n a n gdzie: n,,3... Dyskretne poziomy energii: E n n h 8ma dla funkcji własnych: n n sin a a (stała C z warunku normowania)
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Studnia potencjału (o nieskończonej głębokości): V n h Dyskretne poziomy energii: E n 8ma dla funkcji własnych: n sin a n a a
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Studnia potencjału (o skończonej głębokości): V a Funkcje własne NIE znikają na granicy obszaru studni; Otrzymane wartości własne energii są w dalszym ciągu skwantowane i zależą dodatkowo od głębokości studni; Gdy energia cząstki jest większa od głębokości studni, energie tworzą kontinuum (dozwolona jest każda wartość energii);
BOHRA MODEL ATOMU WODORU Niels Bohr (93) prosty model atomu wodoru, niezgodny z najnowszą teorią, ale symbolika używana do dziś. Założenia modelu Bohra: )Elektrony poruszają się po kołowych orbitach wokół jądra; )Utrzymują je siły elektrostatycznego przyciągania z protonami jądra oraz siła odśrodkowa; 3)Krążąc po tych orbitach, elektrony nie tracą energii; 4)Wielkość, opisująca ruch po kołowej orbicie moment pędu jest skwantowana: mvr n n,,3... Teoria współczesna mówi, że ruch po klasycznych orbitach nie jest poprawnym opisem zachowania elektronu jak również, że wartość momentu pędu równa jest: ale mimo to teoria Bohra doprowadziła do (w miarę) poprawnych obliczeń poziomów energetycznych atomu wodoru (tak więc w sumie niewłaściwe rozumowanie doprowadziło do poprawnych wniosków zdarza się...). l l
BOHRA MODEL ATOMU WODORU Z czwartego postulatu Bohra wynika następujący wzór na promień orbity elektronu: R n n mv Przyrównując siłę dośrodkową do siły elektrostatycznej (Coulomba): mv R k Ze n R n (Z liczba atomowa) Podstawiając wyrażenie na promień orbity, obliczamy prędkość elektronu na n -tej orbicie: kze n v n Energia elektronu to suma energii kinetycznej i potencjalnej: E n mv kze U U mv R n
BOHRA MODEL ATOMU WODORU Ostatecznie otrzymujemy wzory na energię elektronu na n -tej orbicie i promień tejże orbity: E n k n 4 e k Z me Rn Dla atomu wodoru (Z=) mamy: R n n k Zme Wzory te bardzo dobrze zgadzają się z wzorami, otrzymanymi we współczesnej teorii kwantowej, dla atomu jednoelektronowego (wodoru). Model Bohra daje też prostą odpowiedź na pytanie o rozmiary atomu (R n ). E n 3,6 n ev co dla poszczególnych wartości n daje znane serie widmowe przejść elektronowych (Lymana, Balmera,...). Wzór Bohra nie daje jednak dobrych wyników dla atomów wieloelektronowych (np. helu)!
ATOM WODORU ROZWIĄZANIE PRZYBLIŻONE Energia potencjalna oddziaływań międzycząsteczkowych (elektrostatycznych) w atomie: Założenia: U r ke r Rozwiązanie przybliżone: równoważna studnia prostokątna R R U - maksymalna odległość elektronu od środka studni z punktu widzenia fizyki klasycznej; R k / e R - średnia odległość elektronu; - równoważna głębokość studni prostokątnej;
ATOM WODORU ROZWIĄZANIE PRZYBLIŻONE - Sposób rozwiązania: n n R h pn Fala stojąca w studni prostokątnej: Pęd de Broglie`a jako średni pęd elektronu: Średnia energia kinetyczna: E k pn h n m 3mR n hn 4R - Rozwiązanie: Przybliżony promień funkcji falowej elektronu: R h 3k Przybliżona wartość energii: E n n me 6 kme 4 3 4 n k me n R n E n n k me k n 4 me
ATOM WODORU ROZWIĄZANIE ŚCISŁE Trójwymiarowe równanie Schrödingera niezależne od czasu: Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak z y U E m z y,, Współrzędne sferyczne: rsin cos y rsin sin z r cos Równanie Schrödingera we współrzędnych sferycznych: U E m r r r r r r sin sin sin
n Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak ATOM WODORU ROZWIĄZANIE ŚCISŁE a stąd: Podstawiamy wyrażenie na energię potencjalną: do równania Schrödingera i... rozwiązujemy! U r ke r r r,, ep a 4 me E k 3, 6eV Najprostsze rozwiązanie: funkcja wykładnicza a R 5,3 k me m Kolejne rozwiązania: r r a e a 3 3a r r r 3a e 7a dla: E n n k me 4 n - główna liczba kwantowa
ATOM WODORU ROZWIĄZANIE ŚCISŁE Ogólna postać rozwiązania równania Schrödingera: l r, R r n, l, m, n, l l, m l m l im gdzie: l m l e l,.., n m l l,..,,.., l m l Liczba względem osi z: Przykład:,,,, r e związana jest z orbitalnym momentem pędu cząstki Lz m l r r a a r a e sin e r a r e cos,, r a,, r e i sin e i Wszystkie mają energię E
ATOM WODORU ROZWIĄZANIE ŚCISŁE
ATOM WODORU ROZWIĄZANIE ŚCISŁE Dla dużych n i l gęstość prawdopodobieństwa skupiona jest na okręgu o promieniu n a, którego środek leży na osi z - gęstość ta tworzy orbitę, jaką przewidział Bohr, ale w teorii kwantowej elektron jest jednorodnie rozmyty na całej orbicie!
ATOM WODORU ROZWIĄZANIE ŚCISŁE Unormowanie funkcji falowych: przestrze ń ddydz (aby było to prawdopodobieństwo bezwzględne). Wartość oczekiwana: Gdy funkcja falowa jest kombinacją liniową kilku unormowanych funkcji własnych, odpowiadających tej samej wartości własnej energii E j : j to wartość oczekiwana energii jest równa: j a j E j a j E j Ta wartość zostałaby uzyskana po wykonaniu serii pomiarów, z których każdy byłby wykonywany na układzie opisywanym tą samą funkcją falową.
EMISJA FOTONU Elektrodynamika kwantowa nowa dziedzina fizyki, stosująca mechanizmy mechaniki kwantowej do opisu oddziaływań elektromagnetycznych. Emisja fotonu naładowane cząstki mogą wysyłać lub pochłaniać pojedyncze fotony, a prawdopodobieństwo tego procesu można wyliczyć na podstawie teorii kwantowej. Emisja spontaniczna według teorii kwantowej istnieje pewne prawdopodobieństwo, że cząstka samoistnie przejdzie z poziomu o wyższej energii na poziom o energii niższej, jednocześnie emitując foton. Energia takiego emitowanego fotonu jest równa: h E n E m (różnica energii na poziomach n-tym i m-tym).
EMISJA FOTONU Liczba możliwych przejść zależy od ilości poziomów energetycznych w atomie (przykład: 4 poziomy > 6 przejść): Linie spektralne w widmie emisyjnym atomu jeśli atomowi dostarczona zostanie energia (np. poprzez podgrzanie lub wyładowanie elektryczne), to atomy ze stanu podstawowego mogą zostać wzbudzone na wyższe stany energetyczne a następnie mogą one wrócić do stanu podstawowego z jednoczesną emisją fotonów światło wysyłane przez atom powinno zawierać ściśle określone linie widmowe. We współczesnej (kwantowej) teorii cząstek elementarnych foton traktowany jest jako cząstka o orbitalnej licznie kwantowej (tzw. spinie) m l równej jedności, co powoduje w trakcie emisji fotonu zmianę tej liczby kwantowej atomu (następny wykład...).
WIDMO ATOMU WODORU Biorąc pod uwagę wyprowadzone wzory na poziomy energetyczne w atomie wodoru: 4 E n n k me możemy podać wzór na możliwe częstości jego linii widmowych: 4 me 3 4 n m k Dla n= mamy do czynienia z tzw. serią Lymana linie tej serii leżą w nadfioletowej części widma fal elektromagnetycznych. Dla n= mamy do czynienia z serią Balmera linie tej serii odpowiadają kolejno długościom fal: 656 nm, 486 nm, 44 nm, 433 nm,..., 365 nm.