Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014
Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym mającym n wierzchołków. Jeżeli graf G ma k składowych, to liczba m jego krawędzi spełnia nierówności: n k m (n k)(n k + 1)/2 Wniosek Każdy graf prosty, który ma n wierzchołków i więcej niż (n-1)(n-2)/2 krawędzi jest spójny.
Most Zbiór rozspajający grafu G to zbiór takich krawędzi tego grafu, że usunięcie którejś z nich spowoduje, że graf G przestanie być spójny. Rozcięcie jest takim zbiorem rozspajającym, którego żaden podzbiór właściwy nie stanowi już zbioru rozspajającego. Rozcięcie składające się z jednej krawędzi jest nazywane mostem.
Grafy eulerowskie Graf eulerowski Graf eulerowski to taki graf, w którym istnieje zamknięta ścieżka zawierająca każdą jego krawędź. Ścieżka tego rodzaju jest nazywana cyklem Eulera. Graf, w którym istnieje ścieżka zawierająca każdą krawędź jest nazywany półeulerowskim.
Grafy eulerowskie Twierdzenie 2.2 [Wilson2008] Graf spójny jest grafem eulerowskim wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jego krawędzie można podzielić na rozłączne cykle. Wniosek ze wcześniejszego twierdzenia Graf spójny jest grafem półeulerowskim wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie dwa wierzchołki nieparzystych stopni.
Algorytm Fleury ego Algorytm Jeżeli G jest grafem eulerowskim, wtedy możliwe jest wykonanie następującej konstrukcji cyklu Eulera (zaczynając od dowolnego wierzchołka i dowolnej kolejności) zachowując następujące zasady: 1. przechodzone krawędzie i wierzchołki izolowane są usuwane w kolejnych krokach, 2. przechodzenie przez most wykonywane jest tylko wtedy, gdy nie ma innej możliwości
Algorytm Fleury ego
Grafy hamiltonowskie Grafem hamiltonowskim jest nazywany graf, w którym istnieje zamknięta ścieżka przechodząca przez każdy wierzchołek dokładnie jeden raz. Cykl tego rodzaju jest nazywany cyklem Hamiltona. Graf niehamiltonowski, w którym istnieje ścieżka przechodząca dokładnie jeden raz przez każdy wierzchołek jest nazywany grafem półhamiltonowskim.
Graf hamiltonowski Twierdzenie 2.3 Jeżeli graf prosty G ma n wierzchołków (n 3) oraz deg(v) + deg(w) n dla każdej pary wierzchołków niesąsiednich v i w, to graf G jest hamiltonowski. Wniosek Jeżeli w grafie prostym G, który ma n wierzchołków (n 3), deg(v) n/2 dla każdego wierzchołka v, to rozważany graf G jest hamiltonowski.
Graf z wagami Graf z wagami to graf, w którym każdej krawędzi przypisano liczbę nieujemną. Przypisaną do krawędzi liczbę nazywa się wagą tej krawędzi. E A B C D 1 2 4 1 1 5 2 F 2 4 G H 2 I 5 J 4 2 K 1 3 3
Las i drzewo 1. Las to graf, który nie zawiera cykli. 2. Drzewo to las spójny. 3. Lasy i drzewa są grafami prostymi.
Własności drzew Niech T będzie grafem zawierającym n wierzchołków. W tej sytuacji następujące warunki są równoważne[wilson2008]: 1. T jest drzewem, 2. T nie zawiera cykli i ma n-1 krawędzi, 3. T jest grafem spójnym i ma n-1 krawędzi, 4. T jest grafem spójnym i każda krawędź jest mostem, 5. każde dwa wierzchołki T są połączone dokładnie jedną drogą, 6. T nie zawiera cykli, ale po dodanie dowolnej nowej krawędzi otrzyma się graf z dokładnie jednym cyklem
Własności drzew (1) (2) 1. Usunięcie którejkolwiek krawędzi spowoduje podział grafu T na dwie części. 2. Każda z powstałych części jest drzewem. 3. Liczba krawędzi w każdym z tych drzew jest o jeden mniejsza od liczby wierzchołków (założenie indukcyjne). 4. Liczba wszystkich krawędzi grafu T wynosi n 1. (2) (3) 1. Jeżeli graf T jest niespójny, to posiada przynajmniej dwie spójne składowe. 2. Liczba krawędzi w każdej tej składowej jest równa liczbie wierzchołków pomniejszonej o 1. 3. Całkowita liczba krawędzi w grafie T, będzie mniejsza o co najmniej dwa od liczby wierzchołków - zaprzeczenie założeniom z punktu 2.
Własności drzew (3) (4) 1. Usunięcie krawędzi spowoduje powstanie grafu posiadającego n wierzchołków i n 2 krawędzi. 2. Na podstawie twierdzenia z początku wykładu taki graf jest niespójny. (4) (5) 1. Graf jest spójny - każda para wierzchołków jest połączona przynajmniej jedną drogą. 2. Parę wierzchołków nie może łączyć więcej niż jedna droga, gdyż przeczyłoby to założeniu, że każda krawędź jest mostem (wymagałoby zataczania cyklu).
Własności drzew (5) (6) 1. Gdyby graf zawierał cykl to dwa różne wierzchołki byłyby połączone przynajmniej dwoma drogami - zaprzeczenie (5). 2. Jeżeli dodano krawędź e do grafu, to zostanie stworzony cykl, gdyż wierzchołki incydentne z e były już połączone w pierwotnym grafie T. (6) (1) 1. Założenie - graf T jest niespójny. 2. Dodając do T krawędź łącząca wierzchołki należące do różnych składowych nie zostanie utworzony cykl (przeczy 6).
Zliczanie drzew Twierdzenie Cayleya (2.4) Istnieje n n 2 różnych drzew oznakowanych mających n wierzchołków. 1 2 3 4 4 3 2 1 4 1 2 3
Drzewo spinające grafu Wybierając dowolny cykl w grafie spójnym G i usuwając którąś z krawędzi z tego cyklu otrzymuje się graf, który nadal jest grafem spójnym. Ten proces można kontynuować, aż uzyska się graf bez cykli. Powstanie drzewo spinające wszystkie wierzchołki grafu, nosi ono nazwę drzewa spinającego grafu G (lub rozpinającego graf G).
Grafy planarne Graf planarny to graf, który można narysować na płaszczyźnie bez przecięć, żadna z krawędzi nie będzie się przecinała na rysunku w innym miejscu niż wierzchołek (oczywiście chodzi o krawędzie incydentne).
Grafy planarne Dwa grafy są homeomorficzne jeżeli oba grafy można otrzymać z tego samego grafu przez wstawienie nowych wierzchołków stopnia 2 wewnątrz ich krawędzi. Twierdzenie Kuratowskiego (2.5) Dany graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K 5 lub z grafem K 3,3.
Grafy planarne Graf H jest grafem ściągalnym do grafu K 5 lub K 3,3, jeżeli można uzyskać graf K 5 lub K 3,3 ściągające kolejne krawędzie grafu H. Twierdzenie 2.6 Dany graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera grafu ściągalnego do grafu K 5 lub grafu K 3,3.
Kolorowanie grafów Jeżeli graf G jest grafem bez pętli, to graf G jest grafem k-kolorowalnym, jeżeli każdemu wierzchołkowi można przypisać jeden z k kolorów w taki sposób, by sąsiednie wierzchołki miały inne kolory. Graf G, który jest k-kolorowalny, ale nie (k-1)-kolorowalny jest nazywany grafem k-chromatycznym. Jego liczba chromatyczna jest równa k.
Kolorowanie grafów Twierdzenie 2.7 Jeżeli G jest grafem prostym, w którym największym stopniem wierzchołka jest, to graf G jest + 1-kolorowalny. Twierdzenie 2.8 Jeżeli G jest spójnym grafem prostym, niebędącym grafem pełnym, i jeśli największy stopień grafu G wynosi ( 3), to graf G jest -kolorowalny.
Kolorowanie grafów Twierdzenie 2.9 Każdy planarny graf prosty jest 6-kolorowalny. Twierdzenie 2.10 Każdy planarny graf prosty jest 5-kolorowalny. Twierdzenie 2.11 Każdy planarny graf prosty jest 4-kolorowalny.
Kolorowanie map Mapa Mapa jest grafem planarnym 3-spójnym - mapa nie zawiera rozcięć mających 1 lub 2 krawędzie, nie ma wierzchołków stopnia 1 lub 2). K-kolorowanie(f) Mapa jest k-kolorowalna(f), jeżeli jej ściany można pokolorować w ten sposób, by żadne dwie ściany ograniczone wspólna krawędzią nie były pokolorowane tym samym kolorem. (Kolorowanie jak było określone wcześniej dla map - k-kolorowanie(v))
Literatura Do napisania materiałów wykorzystano: 1. R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów, PWN 2008 2. R. Sedgewick Algorytmy w C++ - grafy, Wydawnictwo RM 2003 3. K.A. Ross Matematyka dyskretna, PWN 2003