GRY KOOPERACYJNE WPROWADZENIE DO TEMATYKI

GRY KOOPERACYJNE WPROWADZENIE DO TEMATYKI Marcin Malawski Akademia Leona Koźmińskiego i Instytut Podstaw Informatyki PAN Warszawa 6 Forum Matematyków Polskich, Warszawa, wrzesień 2015

1 Pojęcia 2 Rozwiązania 3 Gry operacyjne 4 Wariacje nt. wartości 5 Gry ze strukturami 6 Gry proste 7 I więcej

Gra kooperacyjna Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi)) to para (N, v), gdzie N = {1, 2,..., n} zbiór graczy,

Gra kooperacyjna Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi)) to para (N, v), gdzie N = {1, 2,..., n} zbiór graczy, N = 2 N zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy,

Gra kooperacyjna Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi)) to para (N, v), gdzie N = {1, 2,..., n} zbiór graczy, N = 2 N zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy, v funkcja charakterystyczna gry, v : N R spełniająca v( ) = 0.

Gra kooperacyjna Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi)) to para (N, v), gdzie N = {1, 2,..., n} zbiór graczy, N = 2 N zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy, v funkcja charakterystyczna gry, v : N R spełniająca v( ) = 0. G n przestrzeń wszystkich n-osobowych gier kooperacyjnych.

Gra kooperacyjna Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi)) to para (N, v), gdzie N = {1, 2,..., n} zbiór graczy, N = 2 N zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy, v funkcja charakterystyczna gry, spełniająca v( ) = 0. v : N R G n przestrzeń wszystkich n-osobowych gier kooperacyjnych. Interpretacja Dla dowolnej koalicji S: v(s) wypłata jaką może łącznie zapewnić sobie koalicja S przez wspólne działanie, ale bez potrzeby współudziału graczy spoza S. (I następnie może dowolnie rozdysponować ją między siebie wypłaty uboczne).

Gry kooperacyjne a niekooperacyjne Uwaga (Powstawanie z gier niekooperacyjnych) Zgodnie z interpretacją powyżej, każda gra niekooperacyjna w postaci normalnej G = (N, S 1,..., S n, u 1,..., u n ) wyznacza grę kooperacyjną (N, v) poprzez równania: v(t ) = max σ T S T min u j (σ T, σ T ) σ T S T j T dla dowolnej koalicji T N, gdzie ST, S T są zbiorami mieszanych strategii łącznych odpowiednio koalicji T i N \ T.

Gry kooperacyjne a niekooperacyjne Uwaga (Powstawanie z gier niekooperacyjnych) Zgodnie z interpretacją powyżej, każda gra niekooperacyjna w postaci normalnej G = (N, S 1,..., S n, u 1,..., u n ) wyznacza grę kooperacyjną (N, v) poprzez równania: v(t ) = max σ T S T min u j (σ T, σ T ) σ T S T j T dla dowolnej koalicji T N, gdzie ST, S T są zbiorami mieszanych strategii łącznych odpowiednio koalicji T i N \ T. Przykład (Konformiści (gra 3-osobowa)) Trzej gracze równocześnie podnoszą ręce i jeśli jeden podniesie inną niż pozostali dwaj, płaci każdemu z nich po złotówce. Wówczas: v(i) = 1, v(ij) = 0 i, j ; v(123) = 0.

Gry kooperacyjne a niekooperacyjne Uwaga (Powstawanie z gier niekooperacyjnych) Zgodnie z interpretacją powyżej, każda gra niekooperacyjna w postaci normalnej G = (N, S 1,..., S n, u 1,..., u n ) wyznacza grę kooperacyjną (N, v) poprzez równania: v(t ) = max σ T S T min u j (σ T, σ T ) σ T S T j T dla dowolnej koalicji T N, gdzie ST, S T są zbiorami mieszanych strategii łącznych odpowiednio koalicji T i N \ T. Uwaga I odwrotnie: każda superaddytywna gra kooperacyjna powstaje w ten sposób z pewnej niekooperacyjnej gry w postaci normalnej.

Gra kooperacyjna prosty przykład Przykład Trzej drobni plantatorzy (A, B i C) zebrali truskawki A i B po 300 łubianek, a C 250 i teraz muszą je sprzedać. Na terenie plantatora A jest jedyny w okolicy dobry punkt przy ruchliwej drodze, gdzie można sprzedać dowolną ilość truskawek po 3 zł za łubiankę. B może na własną rękę sprzedawać truskawki jedynie przy bocznej drodze, gdzie da się uzyskać cenć 2 zł za łubiankę. Plantator C na miejscu też może tylko ustawić się przy bocznej drodze, ale jako jedyny z trzech ma samochód dostawczy, którym może zawieźć do miasta nawet tysiąc łubianek i tam sprzedać po 4 zł za łubiankę. Koszty kursu do miasta wraz z opłatą placową na targu wynoszą 200 zł.

v({a, B, C}) = 4 (300 + 300 + 250) 200 = 3200. Gra kooperacyjna prosty przykład Przykład Trzej drobni plantatorzy (A, B i C) zebrali truskawki A i B po 300 łubianek, a C 250 i teraz muszą je sprzedać. Na terenie plantatora A jest jedyny w okolicy dobry punkt przy ruchliwej drodze, gdzie można sprzedać dowolną ilość truskawek po 3 zł za łubiankę. B może na własną rękę sprzedawać truskawki jedynie przy bocznej drodze, gdzie da się uzyskać cenć 2 zł za łubiankę. Plantator C na miejscu też może tylko ustawić się przy bocznej drodze, ale jako jedyny z trzech ma samochód dostawczy, którym może zawieźć do miasta nawet tysiąc łubianek i tam sprzedać po 4 zł za łubiankę. Koszty kursu do miasta wraz z opłatą placową na targu wynoszą 200 zł. Powstająca gra kooperacyjna: N = {A, B, C}, v({a}) = 3 300 = 900, v({b}) = 600, v({c}) = 4 250 200 = 800, v({a, B}) = 3 (300 + 300) = 1800, v({a, C}) = 4 (300 + 250) 200 = 2000, v({b, C}) = 2000,

Gry kooperacyjne podstawowe własności Definicja Gra kooperacyjna (N, v) jest superaddytywna gdy U T = v(u T ) v(u) + v(t ) ( łączenie się koalicji jest opłacalne );

Gry kooperacyjne podstawowe własności Definicja Gra kooperacyjna (N, v) jest superaddytywna gdy U T = v(u T ) v(u) + v(t ) ( łączenie się koalicji jest opłacalne ); monotoniczna gdy U T v(u) v(t ) ( większe koalicje mogą więcej );

(T U, i T U) v(t ) v(t \ i) v(u) v(u \ i) Gry kooperacyjne podstawowe własności Definicja Gra kooperacyjna (N, v) jest superaddytywna gdy U T = v(u T ) v(u) + v(t ) ( łączenie się koalicji jest opłacalne ); monotoniczna gdy U T v(u) v(t ) ( większe koalicje mogą więcej ); wypukła jeśli dla każdych koalicji T, U N v(t U) + v(t U) v(t ) + v(u) Równoważnie: gra jest wypukła, gdy ma następującą własność rosnących wkładów: T, U, i

Gry kooperacyjne: podziały, rozwiązania i wartości Definicja (Podział w grze kooperacyjnej) Podział w grze (N, v) to dowolny wektor (x 1, x 2,... x n ) taki że n x i = v(n). i=1

Gry kooperacyjne: podziały, rozwiązania i wartości Definicja (Podział w grze kooperacyjnej) Podział w grze (N, v) to dowolny wektor (x 1, x 2,... x n ) taki że n x i = v(n). i=1 Definicja (Rozwiązanie) Rozwiązanie dla gier kooperacyjnych to dowolna multifunkcja Ψ przypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) pewien podzbiór Ψ(v) zbioru podziałów w tej grze.

Gry kooperacyjne: podziały, rozwiązania i wartości Definicja (Podział w grze kooperacyjnej) Podział w grze (N, v) to dowolny wektor (x 1, x 2,... x n ) taki że n x i = v(n). i=1 Definicja (Rozwiązanie) Rozwiązanie dla gier kooperacyjnych to dowolna multifunkcja Ψ przypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) pewien podzbiór Ψ(v) zbioru podziałów w tej grze. Definicja (Wartość) Wartość to dowolne rozwiązanie jednoelementowe funkcja ψ przypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) podział w tej grze, ψ(v) = (ψ 1 (v), ψ 2 (v),... ψ n (v)); ψ j (v) wartość gracza j w grze v.

Najważniejsze rozwiązania: rdzeń Definicja (Racjonalność podziału) Podział x w grze (N, v) jest indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji T x T (= j T x j) v(t ). x j v(j),

Najważniejsze rozwiązania: rdzeń Definicja (Racjonalność podziału) Podział x w grze (N, v) jest indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji T x T (= j T x j) v(t ). x j v(j), Definicja (Rdzeń gry) Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v), oznaczany przez C(v), to zbiór wszystkich podziałów (indywidualnie i) koalicyjnie racjonalnych w tej grze.

Najważniejsze rozwiązania: rdzeń Definicja (Racjonalność podziału) Podział x w grze (N, v) jest indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji T x T (= j T x j) v(t ). x j v(j), Definicja (Rdzeń gry) Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v), oznaczany przez C(v), to zbiór wszystkich podziałów (indywidualnie i) koalicyjnie racjonalnych w tej grze. Uwaga Rdzeń dowolnej gry n-osobowej jest wypukłym podzbiorem R n (zbiorem rozwiązań układu nierówności liniowych),

Najważniejsze rozwiązania: rdzeń Definicja (Racjonalność podziału) Podział x w grze (N, v) jest indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji T x T (= j T x j) v(t ). x j v(j), Definicja (Rdzeń gry) Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v), oznaczany przez C(v), to zbiór wszystkich podziałów koalicyjnie racjonalnych w tej grze. Uwaga Rdzeń dowolnej gry n-osobowej jest wypukłym podzbiorem R n (zbiorem rozwiązań układu nierówności liniowych), może być pusty.

Najważniejsze rozwiązania: wartość Shapleya Oznaczenie Dla dowolnej gry (N, v), dowolnej permutacji π zbioru graczy N i dowolnego gracza j N oznaczamy: H π,j = π 1 ({1, 2,..., π(j)})

Najważniejsze rozwiązania: wartość Shapleya Oznaczenie Dla dowolnej gry (N, v), dowolnej permutacji π zbioru graczy N i dowolnego gracza j N oznaczamy: H π,j = π 1 ({1, 2,..., π(j)}) m j,π (v) = v(h π,j ) v(h π,j \ j) krańcowy wkład gracza j do koalicji jego poprzedników (przy permutacji π).

Najważniejsze rozwiązania: wartość Shapleya Oznaczenie Dla dowolnej gry (N, v), dowolnej permutacji π zbioru graczy N i dowolnego gracza j N oznaczamy: H π,j = π 1 ({1, 2,..., π(j)}) m j,π (v) = v(h π,j ) v(h π,j \ j) krańcowy wkład gracza j do koalicji jego poprzedników (przy permutacji π). Definicja (Wartość Shapleya) Wartość Shapleya, oznaczana przez φ, to funkcja przypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) następujący podział w tej grze: φ j (v) = 1 n! π Π N m j,π (v) gdzie Π N jest zbiorem wszystkich permutacji zbioru graczy.

Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus Definicja Dla każdej koalicji T N i każdego podziału x w grze (N, v): Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x, T ) = v(t ) x i ; i T

Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus Definicja Dla każdej koalicji T N i każdego podziału x w grze (N, v): Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x, T ) = v(t ) i T x i ; Nukleolus gry v taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grze który minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkich koalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej.

Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus Definicja Dla każdej koalicji T N i każdego podziału x w grze (N, v): Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x, T ) = v(t ) x i ; i T Nukleolus gry v taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grze który minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkich koalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej. Uwaga Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnych co zdarza się gdy v(n) < i N v(i) to minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podział nazywa prenukleolusem gry.

Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus Definicja Dla każdej koalicji T N i każdego podziału x w grze (N, v): Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x, T ) = v(t ) x i ; i T Nukleolus gry v taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grze który minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkich koalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej. Uwaga Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnych co zdarza się gdy v(n) < i N v(i) to minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podział nazywa prenukleolusem gry. Uwaga (Pre)nukleolus gry jest zbiorem dokładnie jednoelementowym

Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus Definicja Dla każdej koalicji T N i każdego podziału x w grze (N, v): Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x, T ) = v(t ) x i ; i T Nukleolus gry v taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grze który minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkich koalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej. Uwaga Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnych to minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podział nazywa prenukleolusem gry. Uwaga (Pre)nukleolus gry jest zbiorem dokładnie jednoelementowym Jeżeli C(v), to ν(v) C(v).

Przykład: rozwiązania gry trzech plantatorów N = {1, 2, 3}, v(1) = 900, v(2) = 600, v(3) = 800, v(12) = 1800, v(13) = v(23) = 2000, v(123) = 3200

Przykład: rozwiązania gry trzech plantatorów N = {1, 2, 3}, v(1) = 900, v(2) = 600, v(3) = 800, v(12) = 1800, v(13) = v(23) = 2000, v(123) = 3200 C(v) = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 3200, 900 x 1 1200, 600 x 2 1200, 800 x 3 1400} ; φ(v) = (1100, 950, 1150), ν(v) = (1050, 975, 1175).

Gry operacyjne : gry przypisania Definicja (Gra przypisania) N = N S N K ; A nieujemna macierz n S n K, a ij korzyść ze współpracy pary (i, j) (i N S, j N K ) v(t ) = { 0 T N S = lub T N K = max(a i1 j 1 +... + a ik j k ) T N S ani T N K i 1,... i k T N S, j 1,... j k T N K, k = min(#(t N S ), #(T N K )

Gry operacyjne : gry przypisania Definicja (Gra przypisania) N = N S N K ; A nieujemna macierz n S n K, a ij korzyść ze współpracy pary (i, j) (i N S, j N K ) v(t ) = { 0 T N S = lub T N K = max(a i1 j 1 +... + a ik j k ) T N S ani T N K i 1,... i k T N S, j 1,... j k T N K, k = min(#(t N S ), #(T N K ) Np. N S posiadacze pojedynczych obiektów, N K potencjalni kupujący (każdy może kupić 1 obiekt), a ij - zyski z transakcji w tej parze (i, j).

Gry operacyjne : gry przypisania Definicja (Gra przypisania) N = N S N K ; A nieujemna macierz n S n K, a ij korzyść ze współpracy pary (i, j) (i N S, j N K ) v(t ) = { 0 T N S = lub T N K = max(a i1 j 1 +... + a ik j k ) T N S ani T N K i 1,... i k T N S, j 1,... j k T N K, k = min(#(t N S ), #(T N K ) Twierdzenie (Rdzeń gier przypisania) Jeżeli v jest grą przypisania o macierzy A, to C(v) = {x 0 : i NK j NS x i + x j a ij }.

Gry operacyjne cd: gry utrzymania sieci Odśnieżanie (V, E) graf niezorientowany sieć dróg; v 0 V wyróżniony wierzchołek ; V \ v 0 gracze C : E R + funkcja kosztu; C(e) = wkład pracy konieczny do odśnieżenia drogi e.

Gry operacyjne cd: gry utrzymania sieci Odśnieżanie (V, E) graf niezorientowany sieć dróg; v 0 V wyróżniony wierzchołek ; V \ v 0 gracze C : E R + funkcja kosztu; C(e) = wkład pracy konieczny do odśnieżenia drogi e. Gra (kosztów) odśnieżania: c(s) = min C(e) p P(S) e p gdzie P(S) to zbiór wszystkich sieci p E zawierających ścieżkę od każdego gracza v S do v 0.

Gry operacyjne cd: gry utrzymania sieci Odśnieżanie (V, E) graf niezorientowany sieć dróg; v 0 V wyróżniony wierzchołek ; V \ v 0 gracze C : E R + funkcja kosztu; C(e) = wkład pracy konieczny do odśnieżenia drogi e. Gra (kosztów) odśnieżania: c(s) = min C(e) p P(S) e p gdzie P(S) to zbiór wszystkich sieci p E zawierających ścieżkę od każdego gracza v S do v 0. Gra oszczędności: s(s) = c(i) c(s). i S

Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy:

Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.

Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością. 2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v 0.

Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością. 2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v 0. 3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v 0.

Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością. 2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v 0. 3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v 0. 4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v 0 do jego domu będzie odśnieżona

Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością. 2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v 0. 3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v 0. 4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v 0 do jego domu będzie odśnieżona wyznacza wartość Shapleya gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania.

Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością. 2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v 0. 3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od swoich domów. 4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v 0 do jego domu będzie odśnieżona wyznacza nukleolus gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania.

Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością. 2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v 0. 3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v 0. 4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v 0 do jego domu będzie odśnieżona wyznacza wartość Shapleya gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania. Uwaga (Szczególny prosty przypadek) Szeregowy podział kosztów sytuacja w której graf jest ścieżką.

Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy Gra CP ( chińskiego listonosza ) Graczami są ulice - krawędzie niezorientowanego grafu (V, E) v 0 V wyróżniony wierzchołek (poczta)

Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy Gra CP ( chińskiego listonosza ) Graczami są ulice - krawędzie niezorientowanego grafu (V, E) v 0 V wyróżniony wierzchołek (poczta) h : E R + funkcja kosztu; h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e. Listonosz musi dostarczyć pocztę na wszystkie ulice i powrócić do urzędu.

Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy Gra CP ( chińskiego listonosza ) Graczami są ulice - krawędzie niezorientowanego grafu (V, E) v 0 V wyróżniony wierzchołek (poczta) h : E R + funkcja kosztu; h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e. Listonosz musi dostarczyć pocztę na wszystkie ulice i powrócić do urzędu. Gra CP (kosztów): c(s) = min (v 0,e 1,...e k,v 0 ) D(S) k j=1 h(e j ) i S h(i) gdzie D(S) = zbiór wszystkich ścieżek zawierających wszystkie łuki z S.

Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy Gra CP ( chińskiego listonosza ) Graczami są ulice - krawędzie niezorientowanego grafu (V, E) v 0 V wyróżniony wierzchołek (poczta) h : E R + funkcja kosztu; h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e. Gra CP (kosztów): c(s) = min (v 0,e 1,...e k,v 0 ) D(S) k j=1 h(e j ) i S h(i) gdzie D(S) = zbiór wszystkich ścieżek zawierających wszystkie łuki z S. Twierdzenie (Granot i Hamers) Gra oszczędności CP ma niepusty rdzeń graf (V, E) jest słabo eulerowski (tzn. każda jego dwuspójna składowa jest eulerowska).

Niektóre inne gry operacyjne Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu, problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nich z wyróżnionym wierzchołkiem v 0 (= najtańszego drzewa rozpinającego) i podział łącznych kosztów

Niektóre inne gry operacyjne Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu, problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nich z wyróżnionym wierzchołkiem v 0 (= najtańszego drzewa rozpinającego) i podział łącznych kosztów Gry ustalania kolejki: gracze = klienci, problem: znalezienie takiej kolejności ich obsługiwania, która zminimalizuje ich łączne koszty czekania, i podział tych kosztów

Niektóre inne gry operacyjne Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu, problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nich z wyróżnionym wierzchołkiem v 0 (= najtańszego drzewa rozpinającego) i podział łącznych kosztów Gry ustalania kolejki: gracze = klienci, problem: znalezienie takiej kolejności ich obsługiwania, która zminimalizuje ich łączne koszty czekania, i podział tych kosztów

Niektóre inne gry operacyjne Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu, problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nich z wyróżnionym wierzchołkiem v 0 (= najtańszego drzewa rozpinającego) i podział łącznych kosztów Gry ustalania kolejki: gracze = klienci, problem: znalezienie takiej kolejności ich obsługiwania, która zminimalizuje ich łączne koszty czekania, i podział tych kosztów...

Wartość Shapleya dlaczego? Definicja Gracz i jest graczem zerowym w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T zachodzi v(t i) = v(t ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji).

Wartość Shapleya dlaczego? Definicja Gracz i jest graczem zerowym w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T zachodzi v(t i) = v(t ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji). Gracze j, k są wymienni w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T takiej, że j T i k T zachodzi v(t j) = v(t k). (Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji).

Wartość Shapleya dlaczego? Definicja Gracz i jest graczem zerowym w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T zachodzi v(t i) = v(t ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji). Gracze j, k są wymienni w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T takiej, że j T i k T zachodzi v(t j) = v(t k). (Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji). Twierdzenie (Shapley 1953) Jedyną wartością ψ spełniającą jest wartość Shapleya.

Wartość Shapleya dlaczego? Definicja Gracz i jest graczem zerowym w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T zachodzi v(t i) = v(t ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji). Gracze j, k są wymienni w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T takiej, że j T i k T zachodzi v(t j) = v(t k). (Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji). Twierdzenie (Shapley 1953) Jedyną wartością ψ spełniającą 1 równoprawność: jeżeli gracze i, j są wymienni w grze v, to ψ i (v) = ψ j (v), jest wartość Shapleya.

Wartość Shapleya dlaczego? Definicja Gracz i jest graczem zerowym w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T zachodzi v(t i) = v(t ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji). Gracze j, k są wymienni w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T takiej, że j T i k T zachodzi v(t j) = v(t k). (Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji). Twierdzenie (Shapley 1953) Jedyną wartością ψ spełniającą 1 równoprawność: jeżeli gracze i, j są wymienni w grze v, to ψ i (v) = ψ j (v), 2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v, to ψ i (v) = 0, jest wartość Shapleya.

Wartość Shapleya dlaczego? Definicja Gracz i jest graczem zerowym w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T zachodzi v(t i) = v(t ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji). Gracze j, k są wymienni w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T takiej, że j T i k T zachodzi v(t j) = v(t k). (Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji). Twierdzenie (Shapley 1953) Jedyną wartością ψ spełniającą 1 równoprawność: jeżeli gracze i, j są wymienni w grze v, to ψ i (v) = ψ j (v), 2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v, to ψ i (v) = 0, 3 addytywność: dla gry z = v + w ψ(z) = ψ(v) + ψ(w) jest wartość Shapleya.

Wartość Shapleya dlaczego? Twierdzenie (Shapley 1953) Jedyną wartością ψ spełniającą 1 równoprawność: jeżeli gracze i, j są wymienni w grze v, to ψ i (v) = ψ j (v), 2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v, to ψ i (v) = 0, 3 addytywność: dla gry z = v + w ψ(z) = ψ(v) + ψ(w) jest wartość Shapleya. Twierdzenie (Young 1985) Jedyną wartością ψ spełniającą równoprawność, warunek gracza zerowego oraz monotoniczność: [ dla dowolnego gracza j oraz każdej pary gier n-osobowych v, w spełniającej T N,T j v(t ) v(t \ j) w(t ) w(t \ j) (czyli j wnosi do każdej koalicji w grze v nie mniej niż w grze w) zachodzi ψ j (v) ψ j (w) ] jest wartość Shapleya.

Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya Definicja (Wartość egalitarna) e powstaje przez równy podział v(n) pomiędzy graczy: k e k (v) = v(n) n.

Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya Definicja (Wartość egalitarna) e powstaje przez równy podział v(n) pomiędzy graczy: k e k (v) = v(n) n Definicja ( Egalitarne wartości Shapleya (Joosten 1996; van den Brink i in. 2013)) ɛ j (v) = ɛv(n) n (ɛ [0, 1] dowolny ale ustalony) + (1 ɛ)φ j (v).

Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya Definicja (Wartość egalitarna) e powstaje przez równy podział v(n) pomiędzy graczy: k e k (v) = v(n) n Definicja ( Egalitarne wartości Shapleya (Joosten 1996; van den Brink i in. 2013)) ɛ j (v) = ɛv(n) n (ɛ [0, 1] dowolny ale ustalony) + (1 ɛ)φ j (v) Twierdzenie Jedyną addytywną wartością ψ spełniającą równoprawność i warunek gracza zerującego (( T j v(t ) = 0) ψ j (v) = 0) jest wartość egalitarna e. (van den Brink 2007).

Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya Definicja ( Egalitarne wartości Shapleya ) ɛ j (v) = ɛv(n) n (ɛ [0, 1] dowolny ale ustalony) + (1 ɛ)φ j (v) Twierdzenie Jedyną addytywną wartością ψ spełniającą równoprawność i warunek gracza zerującego (( T j v(t ) = 0) ψ j (v) = 0) jest wartość egalitarna e. (van den Brink 2007) Jedyne addytywne wartości spełniające lokalną monotoniczność: jeśli v(s i) v(s j) dla każdej koalicji S nie zawierającej i ani j, to ψ i (v) ψ j (v) własność gracza zerowego w produktywnym otoczeniu : jeśli j jest graczem zerowym w v i v(n) 0, to ψ j (v) 0 to egalitarne wartości Shapleya. (Casajus i Huettner 2013)

Wariacja: Wartość solidarnościowa Definicja (Wartość solidarnościowa (Nowak i Radzik 1994) ) σ j (v) = 1 v(h π,j) v(h π,j \ k) n! π(j) π Π N k H π,j przy danej permutacji gracz zamiast własnego wkładu do koalicji poprzedników otrzymuje średnią z krańcowych wkładów wszystkich członków koalicji poprzedników do tej koalicji. Równoprawność tak, własność gracza zerowego nie.

Szersza klasa: wartości proceduralne Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi 1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności (permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne. 2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład m k,π (v) w koalicję swoich poprzedników graczy już obecnych.

Szersza klasa: wartości proceduralne Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi 1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności (permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne. 2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład m k,π (v) w koalicję swoich poprzedników graczy już obecnych. 3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w H π,k według pewnej ustalonej procedury.

Szersza klasa: wartości proceduralne Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi 1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności (permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne. 2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład m k,π (v) w koalicję swoich poprzedników graczy już obecnych. 3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w H π,k według pewnej ustalonej procedury. 4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(n) zostaje rozdzielona pomiędzy wszystkich graczy.

Szersza klasa: wartości proceduralne Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi 1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności (permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne. 2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład m k,π (v) w koalicję swoich poprzedników graczy już obecnych. 3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w H π,k według pewnej ustalonej procedury. 4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(n) zostaje rozdzielona pomiędzy wszystkich graczy. 5 Wartość proceduralna gracza to średnia (po wszystkich porządkach tworzenia wielkiej koalicji) przypadającej na niego części v(n).

Szersza klasa: wartości proceduralne Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi 1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności (permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne. 2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład m k,π (v) w koalicję swoich poprzedników graczy już obecnych. 3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w H π,k według pewnej ustalonej procedury. 4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(n) zostaje rozdzielona pomiędzy wszystkich graczy. 5 Wartość proceduralna gracza to średnia (po wszystkich porządkach tworzenia wielkiej koalicji) przypadającej na niego części v(n). Definicja (Procedura) Procedura s na G n to rodzina nieujemnych współczynników ((s k,j ) k j=1 )n k=1 takich że ( k) k sk,j = 1.

Procedury i wartości proceduralne cd Definicja (Procedura) Procedura s na G n to rodzina nieujemnych współczynników k ((s k,j ) k j=1 )n k=1 takich że ( k) j=1 s k,j = 1.

Procedury i wartości proceduralne cd Definicja (Procedura) Procedura s na G n to rodzina nieujemnych współczynników k ((s k,j ) k j=1 )n k=1 takich że ( k) j=1 s k,j = 1. s k,j to udział gracza będącego na miejscu j w kolejności przybywania (tj. gracza π 1 (j)) we wkładzie krańcowym gracza π 1 (k).

Procedury i wartości proceduralne cd Definicja (Procedura) Procedura s na G n to rodzina nieujemnych współczynników k ((s k,j ) k j=1 )n k=1 takich że ( k) j=1 s k,j = 1. s k,j to udział gracza będącego na miejscu j w kolejności przybywania (tj. gracza π 1 (j)) we wkładzie krańcowym gracza π 1 (k). Definicja (Wartość proceduralna (MM 2012)) Wartość proceduralna ψ s wyznaczona przez procedurę s na G n jest określona wzorem ψj s (v) = E π s π(k),π(j) m k,π (v) = k N π,j π Π k N π,j s π(k),π(j)m k,π(v). n! (N π,j to zbiór następników gracza j w uporządkowaniu π, wraz z j).

Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje Twierdzenie (Równoważne reprezentacje) Jeśli s = ((s k,j ) k j=1 )n k=1 oraz t = ((t k,j) k j=1 )n k=1 są dwiema procedurami takimi, że dla każdego k s k,k = t k,k, to ψ s = ψ t.

Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje Twierdzenie (Równoważne reprezentacje) Jeśli s = ((s k,j ) k j=1 )n k=1 oraz t = ((t k,j) k j=1 )n k=1 są dwiema procedurami takimi, że dla każdego k s k,k = t k,k, to ψ s = ψ t. Wniosek 1 Układ współczynników s = (s 1, s 2,..., s n ) reprezentuje dowolną procedurę ((s k,j ) k j=1 )n k=1 na G n, dla której s j,j = s j dla j = 1, 2,..., n

Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje Twierdzenie (Równoważne reprezentacje) Jeśli s = ((s k,j ) k j=1 )n k=1 oraz t = ((t k,j) k j=1 )n k=1 są dwiema procedurami takimi, że dla każdego k s k,k = t k,k, to ψ s = ψ t. Wniosek 1 Układ współczynników s = (s 1, s 2,..., s n ) reprezentuje dowolną procedurę ((s k,j ) k j=1 )n k=1 na G n, dla której s j,j = s j dla j = 1, 2,..., n 2 ψi s (v) = s π(i) m i,π (v) + (1 s π(j) )m j,π (v). n! n! π Π π:π(i)=1 j i

Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje Twierdzenie (Równoważne reprezentacje) Jeśli s = ((s k,j ) k j=1 )n k=1 oraz t = ((t k,j) k j=1 )n k=1 są dwiema procedurami takimi, że dla każdego k s k,k = t k,k, to ψ s = ψ t. Wniosek 1 Układ współczynników s = (s 1, s 2,..., s n ) reprezentuje dowolną procedurę ((s k,j ) k j=1 )n k=1 na G n, dla której s j,j = s j dla j = 1, 2,..., n 2 ψi s (v) = s π(i) m i,π (v) + (1 s π(j) )m j,π (v). n! n! π Π Twierdzenie (odwrotne) π:π(i)=1 Jeżeli s = (s 1, s 2,..., s n ) i t = (t 1, t 2,..., t n ) są dwiema różnymi procedurami na G n, to ψ s ψ t. j i

Wartości proceduralne dlaczego? Twierdzenie (MM 2012) Wartość na G n jest: liniowa i równoprawna, słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0) koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej pary gier v, w G n takiej że (v(t ) > w(t ) oraz v(s) = w(s) S T ) zachodzi ψ i (v) ψ i (w) dla każdego i T

Wartości proceduralne dlaczego? Twierdzenie (MM 2012) Wartość na G n jest: liniowa i równoprawna, słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0) koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej pary gier v, w G n takiej że (v(t ) > w(t ) oraz v(s) = w(s) S T ) zachodzi ψ i (v) ψ i (w) dla każdego i T wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.

Wartości proceduralne dlaczego? Twierdzenie (MM 2012) Wartość na G n jest: liniowa i równoprawna, słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0) koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej pary gier v, w G n takiej że (v(t ) > w(t ) oraz v(s) = w(s) S T ) zachodzi ψ i (v) ψ i (w) dla każdego i T wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna. Twierdzenie (MM 2012) Wartość na G n jest: liniowa, słabo monotoniczna i lokalnie monotoniczna

Wartości proceduralne dlaczego? Twierdzenie (MM 2012) Wartość na G n jest: liniowa i równoprawna, słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0) koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej pary gier v, w G n takiej że (v(t ) > w(t ) oraz v(s) = w(s) S T ) zachodzi ψ i (v) ψ i (w) dla każdego i T wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna. Twierdzenie (MM 2012) Wartość na G n jest: liniowa, słabo monotoniczna i lokalnie monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.

Gry ze strukturami: komunikacja Definicja (Gra ze strukturą komunikacji) (N, v, E), gdzie (N, v) gra kooperacyjna, (N, E) graf niezorientowany (E zbiór połączeń pomiędzy parami graczy).

Gry ze strukturami: komunikacja Definicja (Gra ze strukturą komunikacji) (N, v, E), gdzie (N, v) gra kooperacyjna, (N, E) graf niezorientowany (E zbiór połączeń pomiędzy parami graczy). Twierdzenie (Myerson 1981) Jedyną wartością ψ na grach ze strukturami komunikacji mającą następującą własność jednakowych korzyści: (N, v, E) i, j N ψ i (v, E (ij)) ψ i (v, E) = ψ j (v, E (ij)) ψ j (v, E)

Gry ze strukturami: komunikacja Definicja (Gra ze strukturą komunikacji) (N, v, E), gdzie (N, v) gra kooperacyjna, (N, E) graf niezorientowany (E zbiór połączeń pomiędzy parami graczy). Twierdzenie (Myerson 1981) Jedyną wartością ψ na grach ze strukturami komunikacji mającą następującą własność jednakowych korzyści: (N, v, E) i, j N ψ i (v, E (ij)) ψ i (v, E) = ψ j (v, E (ij)) ψ j (v, E) jest wartość Myersona zdefiniowana następująco: m(v, E) = φ(v E ) gdzie v E (S) = v(t ), T CE(S) CE(S) zbiór spójnych (w E) składowych koalicji S.

Gry ze strukturami inne Gry z hierarchią graczy: (N, v, L) (N, v) gra kooperacyjna, (N, L) hierarchia drzewo zorientowane; gracz j jest przełożonym gracza k jeżeli poprzedza go w hierarchii (niekoniecznie bezpośrednio), koalicja S może zrealizować wypłatę v(s) tylko wtedy gdy zawiera wszystkich przełożonych każdego gracza z S (albo: co najmniej jednego z przełożonych każdego gracza z S)

Gry ze strukturami inne Gry z hierarchią graczy: (N, v, L) (N, v) gra kooperacyjna, (N, L) hierarchia drzewo zorientowane; gracz j jest przełożonym gracza k jeżeli poprzedza go w hierarchii (niekoniecznie bezpośrednio), koalicja S może zrealizować wypłatę v(s) tylko wtedy gdy zawiera wszystkich przełożonych każdego gracza z S (albo: co najmniej jednego z przełożonych każdego gracza z S) Gry z prekoalicjami: ((N 1,..., N m ), v (N, v) gra, (N 1,..., N m ) struktura prekoalicji rozbicie zbioru graczy; dopuszczalne permutacje przy wyliczaniu wartości tylko te przy których obrazami prekoalicji są przedziały (bez przerw)

Szczególna klasa: gry proste Definicja (Gra prosta) to gra (N, v) spełniająca T v(t ) {0, 1}, U T v(u) v(t ), v(n) = 1. W takich grach koalicja S jest wygrywająca jeżeli v(s) = 1, a przegrywająca jeżeli v(s) = 0.

Szczególna klasa: gry proste Definicja (Gra prosta) to gra (N, v) spełniająca T v(t ) {0, 1}, U T v(u) v(t ), v(n) = 1. W takich grach koalicja S jest wygrywająca jeżeli v(s) = 1, a przegrywająca jeżeli v(s) = 0. Uwaga (Rdzeń gry prostej) Jeżeli (N, v) jest n-osobową grą prostą, a V (v) N zbiorem graczy z prawem weta w tej grze, to n C(v) = {(x 1, x 2,... x n ) : x 1,... x n 0, x i = 1 oraz j V (v) x j = 0} jeżeli V (v), C(v) = jeżeli V (v) =. i=1

Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ.

Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). Uwaga { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ. Istnieją gry proste ( 5 osobowe) nie będące grami ważonej większości.

Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). Uwaga { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ. Istnieją gry proste ( 5 osobowe) nie będące grami ważonej większości. Ale każda gra prosta jest przecięciem (iloczynem) takich gier.

Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). Uwaga { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ. Istnieją gry proste ( 5 osobowe) nie będące grami ważonej większości. Ale każda gra prosta jest przecięciem (iloczynem) takich gier. Ilu co najmniej?

Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ. Uwaga (Gry proste w naukach politycznych) Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję,

Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ. Uwaga (Gry proste w naukach politycznych) Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję, gra prosta opisuje reguły jej podejmowania które koalicje mogą zgodnie zadecydować bez względu na zdanie innych graczy,

Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ. Uwaga (Gry proste w naukach politycznych) Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję, gra prosta opisuje reguły jej podejmowania które koalicje mogą zgodnie zadecydować bez względu na zdanie innych graczy, a wartość tej gry, np. wartość Shapleya, jest indeksem siły miarą siły graczy w zgromadzeniu decyzyjnym.

Spójność wartości podział masy upadłościowej Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej) N zbiór wierzycieli, d i wierzytelność gracza i, E masa upadłościowa, E < D := i N d i.

Spójność wartości podział masy upadłościowej Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej) N zbiór wierzycieli, d i wierzytelność gracza i, E masa upadłościowa, E < D := i N d i. To wyznacza dwie gry: v(t ) = (E j T d j) + to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy, w(t ) = min(e, j T d j) to ile T może wyrwać dla siebie w systemie kto pierwszy ten lepszy.

Spójność wartości podział masy upadłościowej Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej) N zbiór wierzycieli, d i wierzytelność gracza i, E masa upadłościowa, E < D := i N d i. To wyznacza dwie gry: v(t ) = (E j T d j) + to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy, w(t ) = min(e, j T d j) to ile T może wyrwać dla siebie w systemie kto pierwszy ten lepszy. Metody podziału masu upadłościowej: 1 proporcjonalna : x i = d i D E

Spójność wartości podział masy upadłościowej Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej) N zbiór wierzycieli, d i wierzytelność gracza i, E masa upadłościowa, E < D := i N d i. To wyznacza dwie gry: v(t ) = (E j T d j) + to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy, w(t ) = min(e, j T d j) to ile T może wyrwać dla siebie w systemie kto pierwszy ten lepszy. Metody podziału masu upadłościowej: 1 proporcjonalna : x i = d i D E 2 constrained equal award (CEA) : x i = min(d i, c) gdzie c - jedyna taka liczba że min(d j, c) = E j N

Spójność wartości podział masy upadłościowej Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej) N zbiór wierzycieli, d i wierzytelność gracza i, E masa upadłościowa, E < D := i N d i. To wyznacza dwie gry: v(t ) = (E j T d j) + to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy, w(t ) = min(e, j T d j) to ile T może wyrwać dla siebie w systemie kto pierwszy ten lepszy. Metody podziału masu upadłościowej: 1 proporcjonalna : x i = d i D E 2 constrained equal award (CEA) : x i = min(d i, c) gdzie c - jedyna taka liczba że min(d j, c) = E 3 talmudyczna nukleolus gry v 4 wartość Shapleya: φ(v) = φ(w). j N

Spójność wartości cd. Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985) Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równą rozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną w następującym sensie: j,k N t j (d, E) = t j (d k, E t k (d, E)).

Spójność wartości cd. Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985) Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równą rozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną w następującym sensie: Uwaga j,k N t j (d, E) = t j (d k, E t k (d, E)). (Spójne są także metoda proporcjonalna oraz CEA)

Spójność wartości cd. Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985) Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równą rozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną w następującym sensie: Uwaga j,k N t j (d, E) = t j (d k, E t k (d, E)). (Spójne są także metoda proporcjonalna oraz CEA) Rozwiązania spójne w tym sensie to te, które dają się uzyskać na drodze racjonowania hydraulicznego (Kamiński 2000).

Spójność wartości cd. Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985) Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równą rozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną w następującym sensie: j,k N t j (d, E) = t j (d k, E t k (d, E)). Uwaga Rozwiązania spójne w tym sensie to te, które dają się uzyskać na drodze racjonowania hydraulicznego (Kamiński 2000). Definicja (Spójność wartości ogólna) Wartość ψ jest spójna ze wzgledu na redukcję gry R jeżeli dla dowolnej gry (N, v), koalicji S i gracza j S zachodzi równość ψ j (R S (v, ψ)) = ψ j (v).

I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi

I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi Rozwiązania multifunkcje alternatywne wobec rdzenia

I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi Rozwiązania multifunkcje alternatywne wobec rdzenia Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawanie graczy

I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi Rozwiązania multifunkcje alternatywne wobec rdzenia Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawanie graczy Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inne porozumienia między nimi

I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi Rozwiązania multifunkcje alternatywne wobec rdzenia Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawanie graczy Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inne porozumienia między nimi Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadze pewnej gry niekooperacyjnej

I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi Rozwiązania multifunkcje alternatywne wobec rdzenia Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawanie graczy Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inne porozumienia między nimi Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadze pewnej gry niekooperacyjnej Gry bez wypłat ubocznych

I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi Rozwiązania multifunkcje alternatywne wobec rdzenia Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawanie graczy Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inne porozumienia między nimi Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadze pewnej gry niekooperacyjnej Gry bez wypłat ubocznych...