Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016
Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie + p (x) y = 0 nazywamy równaniem jednorodnym, w przeciwnym przypadku równanie (1) nazywamy równaniem niejednorodnym.
Równanie różniczkowe jednorodne jest równaniem o zmiennych rozdzielonych i rozwiązujemy je metodą przedstawioną na poprzednim wykładzie. Rozwiążemy równanie różniczkowe jednorodne + x 3 y = 0.
Równanie różniczkowe jednorodne jest równaniem o zmiennych rozdzielonych i rozwiązujemy je metodą przedstawioną na poprzednim wykładzie. Rozwiążemy równanie różniczkowe jednorodne + x 3 y = 0.
Metoda przewiwania Równanie różniczkowe niejednorodne + p (x) y = q (x), gdzie funkcja q (x) nie jest tożsamościowo równa zeru, rozwiązujemy w ogólnym przypadku tzw. metodą uzmienniania stałej.
Przykła Metoda przewiwania Rozwiążemy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne Rozwiążemy równanie xy = x. y x = 2x 2.
Przykła Metoda przewiwania Rozwiążemy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne Rozwiążemy równanie xy = x. y x = 2x 2.
Metoda przewiwania Metoda przewiwania W przypadku równań niejednorodnych + p (x) y = q (x), w których funkcja p (x) jest stała (p (x) = λ, gdzie λ 0), zaś funkcja q(x) jest albo wielomianem, albo funkcją postaci α sin (ωx) + β cos (ωx), albo funkcją postaci αe ωx, albo sumą lub iloczynem funkcji tych trzech typów możemy stosować metodę przewiwania.
Postać rozwiązania ogólnego Metoda przewiwania Podstawą meto przewiwania jest poniższe twierdzenie. Twierdzenie Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.
Postać rozwiązania ogólnego cd Metoda przewiwania Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego + λy = 0 jest funkcja y J (x) = Ce λx, a rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego + λy = q(x). jest funkcja y N (x) = Ce λx + g(x), gdzie g(x) jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego
Postać rozwiązania szczególnego Metoda przewiwania W tabeli zestawiamy w postaci zbiorczej przewiwane rozwiązania szczególne równania + λy = q(x). Funkcja q(x) (n, q, α, β, ω są dane) Przewiwana postać rozwiązania szczególnego (szukamy g, γ, δ) q(x) wielomian stopnia n g(x) wielomian stopnia n q(x) = α sin (ωx) + β cos (ωx) g(x) = { γ sin (ωx) + δ cos (ωx) γe q(x) = αe ωx ωx dla ω λ g(x) = αxe λx dla ω = λ suma lub iloczyn funkcji suma lub iloczyn funkcji
Przykła Metoda przewiwania Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego + 3y = x 2 3x + 2. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania 2y = 3 sin (4x).
Przykła Metoda przewiwania Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego + 3y = x 2 3x + 2. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania 2y = 3 sin (4x).
Przykła cd Metoda przewiwania Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania + 2y = x + 5 sin x. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania + 3y = 10x 2 cos 4x.
Przykła cd Metoda przewiwania Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania + 2y = x + 5 sin x. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania + 3y = 10x 2 cos 4x.