KMO2D Kolizje między-obiektowe w 2D
I. Wstęp 3 lata temu na temat kolizji nie miałem żadnego pojęcia. Przyszedł jednak czas, gdy postanowiłem napisać pierwszą porządną grę i pojawił się, wtedy problem. Kolizje, zderzenia i fizyka. Na ich temat informacji w polskim internecie było tak nie wiele (i dalej chyba się to nie zmieniło), że nawet służba zdrowia w Polsce jest w lepszym stanie. Poszukiwałem, więc informacji zagranicą, gdzie znalazłem potężny zbiór wiedzy na ten temat, jednak zapoznanie się z tym wszystkim zajęło mi sporo czasu, gdyż czytanie takich rzeczy w obcym języku idzie wolniej niż w ojczystym. W trakcie przechodzenia przez te wszystkie strony, publikacje, artykuły - męczenia się z nimi - pomyślałem, że można innym ułatwić trochę drogę i postanowiłem, że kiedyś napisze coś na temat kolizji. Tak oto powstał ten artykuł. Mam nadzieję, że znajdziecie tu wszytko czego szukacie i zapraszam do czytania. II. Podstawy Jeśli dopiero zaczynasz naukę i nie wiesz nic na temat wektorów to ten rozdział jest jak najbardziej dla Ciebie. Jeśli jednak jest przeciwnie to spokojnie możesz go opuścić. Opisane w nim zagadnienia odnoszą się do podstawowych treści takich jak dodawanie, odejmowanie czy mnożenie wektorów. I. Wektory w prostokątnym układzie współrzędnych I. Wektor Co to jest wektor? Najprościej mówiąc wektor jest to uporządkowana para liczb. Jest zapisywany w postaci: u=[ x,y ] gdzie x i y są jego współrzędnymi w prostokątnym układzie współrzędnych.
Jeśli zaczepimy wektor w jakimś dowolnym punkcie w układzie to nazywamy go, wtedy wektorem zaczepionym. Współrzędne takiego wektora obliczamy w następujący sposób: AB=[ x b x a,y b y a ] gdzie x a,y a to współrzędne punktu A (początek wektora), x b,y b to współrzędne punktu B (koniec wektora). II. Działania na wektorach Wektory można do siebie dodawać i od siebie odejmować w wyniku czego otrzymujemy nowy wektor. Jest to bardzo prosta operacja polegająca na zsumowaniu odpowiednich współrzędnych (przy odejmowaniu zmienia się tylko znak). Matematycznie wygląda to następująco: mamy dwa wektory u=[ x u,y u ] i v=[ x v,y v ], a ich sumą jest wektor c=[ x v x u,y v y u ] (dodawanie) i c=[ x v x u,y v y u ] (odejmowanie). Następną operacją jaką możemy przeprowadzić na wektorach jest ich mnożenie przez skalar (można je również dzielić przez skalar - dzielenie to po prostu odwrotność mnożenia). Mnożenie takie można również nazwać mnożeniem wektora przez liczbę, gdyż skalar jest jakąś konkretną dla nas liczbą. Działanie to polega na pomnożeniu każdej ze współrzędnych
wektora przez skalar i otrzymaniu nowego wektora. Matematyka: Jeśli mamy wektor u=[ x u,y u ] i liczbę k to ich iloczyn zapisujemy w postaci c= u k czyli c=[ x u k,y u k ]. Dzielenie przebiega analogicznie c= u/k czyli c=[ x u /k, y u /k]. III. Normalizacja i długość wektora Mnożenie i dzielenie przez skalar, można zastosować przy normalizowaniu wektora, czyli sprowadzaniu jego długości do wartości równej 1. Aby tego dokonać należy najpierw znaleźć długość wektora, którą można obliczyć stosując twierdzenia Pitagorasa: u = x u 2 y u 2. Posiadając juz długość wektora wystarczy podzielić go przez nią i w ten sposób otrzymać wektor c= u/ u. IV. Iloczyn skalarny dwóch wektorów Jednym z kolejnych działań jest iloczyn skalarny dwóch wektorów. Wyraża się on dwoma wzorami ( u, v - wektory, u, v - długości wektorów, - kąt pomiędzy nimi ): u v= u v cos z geometrii syntetycznej oraz u v=u x v x u y v y z geometrii analitycznej
Iloczyn skalarny ma bardzo szerokie zastosowanie, sam przekonasz się jak często będziesz go używać. Oto przykład: Mamy wektory u i v. Chcemy obliczyć cosinus kąta pomiędzy nimi. Jak? Bardzo prosto, jeśli zauważymy, że we wzorze u v= u v cos można pozbyć się czynnika u v normalizując długość wektorów (czynnik u v jest wtedy równy 1). Wzór przyjmuje postać u v=cos gdzie jeśli za u v podstawimy u v=u x v x u y v y to otrzymamy cos =u x v x u y v y. Wniosek taki, że po znormalizowaniu obydwu wektorów, ich iloczyn skalarny daje właśnie liczbę co do wartości równa cos. V. Wektor prostopadły i równoległy wyznacznik wektorów Następnym ważnym pojęciem jest wektor prostopadły. Jeśli mamy wektor u to wektor do niego prostopadły v możemy obliczyć ze wzoru v=[ y u, x u ] lub v 2 =[y u, x u ]. Każdy wektor ma dwa do siebie prostopadłe i są one równie szeroko stosowane jaki i iloczyn skalarny.
Jeśli wektory mogą być prostopadłe to mogą pewnie być i równoległe. Jak to sprawdzić? Wektory są równoległe gdy mają ten sam kierunek (znajdują się na jednej prostej - w przypadku wektorów zaczepionych obliczamy przed ich porównaniem współrzędne wektora swobodnego). Co nam to daje? Wiemy dzięki temu, że wektory są równoległe, gdy pierwszy pomnożony przez jakąś liczbę rzeczywistą daje drugi lub odwrotnie. Matematycznie wygląda to następująco: u v u=k v v=k u k R (wektor u jest równoległy do v, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie k należące do liczb rzeczywistych, że u=k v lub v=k u ). Zamiast jednak korzystać z tej zależności, można sprawdzić czy wektory są równoległe w inny sposób. Można obliczyć wyznacznik wektorów i jeśli będzie on równy 0, to wektory są równoległe. Jak się oblicza wyznacznik wektorów? Bardzo prosto. Jeśli mamy wektory u i v, a macierz zapisujemy tak: x u x v y u v y wyznacznika macierzy, czyli następująco: d u, v = x u y u x v y v =x u y v y u x v. to wyznacznik wektorowy obliczamy z Na tym etapie artykułu nie jest ważne co to jest macierz, ani jej wyznacznik. Na ten temat znajduje się trochę informacji w osobnym rozdział pt. Macierze. Wracajmy jednak do wektorów. Istnieje również drugi wzór na wartość wyznacznika wektorowego: d u, v = u v sin u, v. Wyznacznik wektorowy ma bardzo szerokie zastosowanie. Można dzięki niemu obliczy np. sinus kąta pomiędzy wektorami czy pole trójkąta pomiędzy nimi. II. Ważne wzory W dalszej części artykułu bardzo często będziemy korzystać z zawartych w tym rozdziale informacji. I. Równanie prostej Każdy wie jak wygląda linia prosta. Prosta ze względu, iż jest pojęciem pierwotnym nie posiada definicji. Można ją jednak opisać jako zbiór punktów spełniających równanie: Ax By C=0 gdzie A i B to odpowiednio: współrzędna x n i y n wektora prostopadłego do tej linii prostej (do normalnej tej prostej), C to przesunięcie prostej (to znaczy odległość prostej od punktu (0,0) osi współrzędnych), a x i y to współrzędne punktu ze zbioru. Bardzo ładnie obrazuje nam to rysunek poniżej:
Aby wyznaczyć współczynniki równania naszej prostej - A,B,C - potrzebujemy 2 punktów leżących na niej. Współczynniki A i B obliczamy licząc wektor prostopadły do wektora tworzonego przez nasze 2 punkty, a współczynnik C obliczamy przekształcając nasze równanie Ax By C=0 do postaci Ax By =C i podstawiając za x i y współrzędne któregoś z naszych punktów. Posiadając równanie konkretnej prostej możemy w prosty sposób sprawdzić czy dany punkt leży czy nie leży na niej, podstawiając współrzędne punktu pod odpowiednie zmienne równania czy np. obliczyć część wspólna dwóch prostych (punkt ich przecięcia, jeśli istnieje). Ważne jest to, że prosta posiada dwie strony: dodatnią i ujemną (można to rozumieć jako: coś może być pod lub nad prostą). Jeśli dla jakiegoś punktu równanie jest dodatnie to znajduje się on po stronie, na którą wskazuje wektor normalny tej prostej (analogicznie sytuacja odwrotna).
II. Odległość punktu od prostej Korzystając z poznanej przed chwilą zależności, możemy wyprowadzić wzór na odległość punktu od prostej. Nie będę go wyprowadzał sam, tylko skorzystam z gotowego już wzoru, a dla dociekliwych proponuje wziąć kartkę, długopis i go przeanalizować. Wzór: d= Ax By C gdzie d to nasza szukana odległość, x i y to A 2 B 2 współrzędne punktu, a A,B,C to kolejno: współrzędne wektora prostopadłego do prostej i przesunięcie prostej. III. Rzuty Bardzo powszechnie i ogólnie stosowaną przez nas techniką będzie rzutowanie. Rzutowanie jest to najprościej mówiąc odzwierciedlenie czegoś na czymś np. w rzutowaniu prostopadłym punktu na prostą otrzymujemy nowy punkt, który leży na tej prostej, a odcinek utworzony przez oba punkty jest prostopadły do tej prostej.
Opisze tutaj dwa rzutowania: równoległe i prostopadłe (które jest szczególnym przypadkiem rzutu równoległego). I. Rzut równoległy punktu na prostą. Aby dokonać takiego rzutu potrzebujemy punktu i dwóch prostych jedną, która wyznaczy nam kierunek rzutu, drugą, na którą będzie odbywał się rzut punktu. W wyniku takiego rzutowania otrzymamy punkt będący przecięciem prostej, na która rzutowaliśmy i prostej przechodzącej przez nasz wcześniejszy punkt, równoległej do prostej wyznaczającej kierunek. Gdzie: n to prosta wyznaczająca kierunek, k prosta, na która rzutujemy, P i P 1 punkt rzutowany i po rzutowaniu. Współrzędne punktu po rzutowaniu możemy policzyć następująco: najpierw obliczamy równanie prostej przechodzącej przez rzutowany punkt i równoległej do prostej wyznaczającej kierunek (proste równoległe różnią sie tylko współczynnikiem przesunięcia C), a następnie wyznaczamy punkt spełniający nowo powstałe równanie i równanie prostej, na którą rzutujemy. Matematyka: Jeśli punkt rzutowany to P x p,y p, równanie prostej wyznaczającej kierunek to k : A k x B k y C k =0, a prostej, na która rzutujemy l : A l x B l y C l =0 to: 1. Wyznaczamy równanie prostej równoległej do k, przechodzącej przez punkt P (obliczamy nowy współczynnik C równania): C p = A k x p B k y p gdzie C p to współczynnik C dla nowo powstałej prostej r : A k x B k y C p =0. 2. Wyznaczamy wspólne rozwiązanie dla nowo powstałej prostej i prostej, na którą rzutujemy: A k x B k y C p =0 A l x B l y C l =0. Po przekształceniu otrzymujemy wzory na współrzędne punktu po rzutowaniu: x= B k C l A l C p A k B l A l B k i y= A l C p A k C l A k B l A l B k.
II. Rzut prostopadły punktu na prostą. Rzut taki oczywiście jest jednym z przypadków rzutu równoległego, więc wyznaczenie współrzędnych punktu po rzutowaniu można obliczyć z wcześniej poznanych wzorów. Chciałbym jednak pokazać inny sposób, z którego my będziemy korzystać w takiej sytuacji. Istnieje coś takiego jak rzut wektora na wektor. Polega on na wykorzystaniu pewnej własności iloczynu skalarnego dwóch wektorów. Załóżmy, że mamy dwa wektory u i v, z czego u chcemy rzutować na v. Iloczyn skalarny w przypadku, gdy jeden z wektorów jest wektorem jednostkowym daje wartości równą długości rzutu wektora niejednostkowego na wektor jednostkowy. Korzystając z tej własności iloczynu, możemy wyznaczyć współrzędne wektora u po rzutowaniu na wektor v następująco: normalizujemy wektor v i mnożymy go przez wektor u, a następnie wartość, która otrzymamy mnoży przez znormalizowany wektor v. Otrzymujemy wektor u po rzucie na wektor v czyli u 1. Matematyka przedstawia się tak: d= u v = u v v - długość rzutu, u v 1 = v d - wektor po rzutowaniu. Rzutowanie wektorów możemy wykorzystać przy rzutowaniu prostopadłym punktu na prosta. Jeśli mamy prosta opisaną za pomocą dwóch punktów i trzeci punkt, który będziemy rzutować, to można z tych punktów wyznaczyć wektory tak jak na rysunku poniżej:
Dalej rzutowanie przebiega tak jak przy wektorach z jedna różnicą: należy dodać do nowo powstałego wektora punkt A (wektor należy zaczepić w tym punkcie i traktować jak punkt). III. Najbliższy punkt na prostej i odcinku. Rzut prostopadły punktu na prostą możemy wykorzystać przy obliczaniu najbliższego punktu na prostej, a także najbliższego punktu na odcinku. O tyle jak obliczenie tego pierwszego to po prostu normalny rzut, to z tym drugim sprawa się komplikuje o jedną rzecz. Punkt po zrzutowaniu może nie znajdować się pomiędzy końcami odcinka, wiec zanim obliczymy rzut trzeba sprawdzić ten fakt. Jeśli nie leży, jest to jeden z końców odcinka, jeśli przeciwnie to jest to punkt po zrzutowaniu. Jak więc sprawdzić czy punkt leży pomiędzy końcami odcinka? Zauważ, że przy rzucie wektora na wektor otrzymujemy długość rzutu. Długość rzutu może być ujemna, jeśli wektory maja różne zwroty. Wykorzystajmy, więc ten fakt. Rysunek po lewej przedstawia sytuacje, gdy mnożąc wektor AP i wektor AB otrzymamy wartość ujemną (widać, że najbliższym punktem na odcinku AB dla punktu P jest punkt A ). Rysunek po prawej przedstawia sytuacje, gdy mnożąc wektor AP i wektor AB otrzymamy wartość większą niż długość odcinka AB (widać, że najbliższym punktem na odcinku AB dla punktu P jest punkt B ). Szukając, więc
najbliższego punktu na odcinku, należy najpierw sprawdzić czy wynik iloczynu skalarnego wektorów AP i AB jest większy od 0 oraz mniejszy od długości odcinka AB. Jeśli spełnia obydwa warunki, to jest to po prostu rzut punktu na prostą, na której leży nasz odcinek. Jeśli nie i jest on mniejszy lub równy 0, to najbliższym punktem jest punkt A odcinka, a jeśli jest on większy od 0, ale mniejszy od długości odcinka AB, to jest to punkt B odcinka. Do sprawdzenia czy punkt po zrzutowaniu leży pomiędzy końcami odcinka AB, można również wykorzystać właściwości kątów PAB i ABP. Nie będę, jednak tłumaczył jak. Pozostawiam to już do wglądu we własnym zakresie. IV. Obroty Obracanie figur nie jest jakoś bezpośrednio związane z kolizjami, jednak może się przydać. Istnieją dwa obroty: wokół środka układu współrzędnych oraz wokół punktu (de facto ten pierwszy jest po prostu przypadkiem tego drugiego). Nie ma się w sumie nad czym za bardzo rozpisywać - obracanie punktu jest bardzo proste do wyobrażenia i mamy tylko dwa równie proste wzory. I. Obrót wokół środka układu współrzędnych Obrót wokół środka układu współrzędnych wygląda następująco: gdzie: B i B 1 to punkt przed i po obrocie, a to kąt o jaki obracamy. Aby w tym przypadku obliczyć współrzędne punktu po obrocie korzystamy z tych wzorów: x 1 =x cos y sin i y 1 =x sin y cos gdzie: to kąt obrotu, x 1 i y 1 to współrzędne punkt po obrocie, a x i y przed nim.
II. Obrót wokół punktu Obrót wokół punktu nie różni się niczym od obrotu wokół środka układu współrzędnych, z tym, że zanim przystąpimy do obracania należy cofnąć wszystkie punkty o współrzędne punktu wokół którego obracamy, a po obliczeniu obrotu dodać te współrzędne z powrotem. gdzie: P to punkt wokół, którego kręcimy, B i B 1 to punkt przed i po obrocie, to kąt o jaki obracamy, a u to ten wektor, o który cofamy (ma współrzędne równe punktowi P ). Wzory zmienią sie tylko trochę: x 1 = x x u cos x u y y u sin y u i y 1 = x x u sin x u y y u cos y u gdzie: to kąt obrotu, x u i y u to współrzędne wektora u, x 1 i y 1 to współrzędne punkt po obrocie, a x i y przed nim.