Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w semestrze A Ć L S Σ A Ć L S III 15 1 1 30 15 15 3 IV 15 1E 1 2 60 15 15 30 4 Razem w czasie studiów 90 30 30 30 7 Semestr Punkty kredytowe Semestr IV 8. Zależności różniczkowe przy zginaniu. 4 2 2 9. Ścinanie ze zginaniem, wzór Żurawskiego. 2 1 1 10. Obliczenia belek, wymiarowanie ze względu na naprężenia 4 2 2 dopuszczalne. 11. Odkształcenia belek podczas czystego zginania. Całkowanie 4 2 2 równania różniczkowego. 12. Metoda Clebsch a całkowania równania różniczkowego 4 2 2 osi odkształconej belki. 13. Wyboczenie, siła krytyczna, smukłość prętów, wzory Eulera 4 2 2 i Tetmayera. 14. Belki statycznie niewyznaczalne, wyznaczanie reakcji metodą 4 2 2 całkowania równania różniczkowego i porównywania odkształceń. 15. Hipotezy wytrzymałościowe Hubera, Coulomba, De Saint Venanta, Galileusza, złożone przypadki wytrzymałości, skręcanie ze zginaniem, ściskanie mimośrodowe. 4 2 2 Temat 8 (2 godziny): Zależności różniczkowe przy zginaniu. Jeżeli wytniemy myślowy odcinek belki o długości elementarnej prawej części belki możemy zastąpić siłami jak na rys.1 to działanie lewej i

y T T+dT +d x Z warunku sumy rzutów sił na oś pionową: Z warunku sumy momentów względem punktu : Rys.8.1 Równowaga elementarnego wycinka belki zginanej. odrzucając : Pochodna siły poprzecznej względem współrzędnej x wzdłuż osi pręta jest równa natężeniu obciążenia ciągłego : Pochodna momentu gnącego sile poprzecznej : względem współrzędnej x wzdłuż osi pręta jest równa Z równań powyższych wynika również: Przykład Wyznaczyć wykres sił tnących i momentów gnących dla belki przedstawionej na rys.8.2. Równanie obciążenia ciągłego: Równanie sił tnących

stałą całkowania C wyznaczmy z warunku brzegowego: Równanie momentów gnących stałą całkowania D wyznaczmy z warunku brzegowego: Wykresy sił tnących oraz momentów gnących przedstawione są na rys.8.2. Rys.8.2 Schemat obciążenia belki Temat 9 (1 godzina): Ścinanie ze zginaniem, wzór Żurawskiego

Przy zgięciu ogólnym w przekroju poprzecznym belki występuje, oprócz momentu zginającego wywołującego naprężenia normalne, siła tnąca, powodująca powstanie naprężeń stycznych (tnących). Przy założeniu, że naprężenia tnące są równomiernie rozłożone na całym przekroju poprzecznym pręta ich wartość średnia wynosi. W rzeczywistości naprężenia styczne są zmienne w przekroju, tak co do wartości jak i kierunku, nie tylko wzdłuż wysokości, lecz także szerokości belki. Pomijając składowe poziome tych naprężeń stycznych jako nieistotne, obliczamy średnią wartość składowych pionowych w warstwie odległej o z od warstwy obojętnej w danym przekroju z tzw. wzoru Żurawskiego : C u(z) Rys.9.1 Rozkład naprężeń tnących od siły poprzecznej. gdzie: - siła tnąca w danym przekroju belki, wzięta z wykresu sił tnących, - moment statyczny części pola przekroju poprzecznego belki, znajdującego się ponad rozpatrywaną warstwą, - moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej zginania, - szerokość przekroju dla danego. Jak wynika z wzoru Żurawskiego maksymalne naprężenia styczne występują w warstwie obojętnej, gdyż wtedy moment statyczny osiąga wartość ekstremalną, a w warstwach zewnętrznych są równe zeru. Dla jest, dla jest, lecz, gdyż oś przechodzi przez środek geometryczny. Temat 10 (2 godziny): Obliczenia belek, wymiarowanie ze względu na naprężenia dopuszczalne

Zginanie płaskie zachodzi wtedy, gdy płaszczyzna obciążenia belki leży w jednej z głównych centralnych płaszczyzn bezwładności, a druga główna płaszczyzna bezwładności jest warstwą obojętną. Przy zginaniu w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego belki występuje naprężenie normalne oraz naprężenia styczne, przy czym naprężenia zależą tylko od momentu gnącego w danym przekroju, a naprężenia styczne zależą tylko od siły tnącej, czyli: co znacznie ułatwia obliczenia jednych i drugich naprężeń. a) b) z y z y z y Przy założeniu słuszności hipotezy płaskich przekrojów, naprężenia normalne w przekroju poprzecznym belki w warstwie odległej o od osi obojętnej przekroju określone jest wzorem: Rys.10.1 gdzie: - moment zginający w przekroju belki o odciętej, - moment bezwładności pola przekroju poprzecznego belki względem osi obojętnej przekroju, - odległość rozpatrywanej warstwy od osi obojętnej. Największe naprężenia normalne w danym przekroju występują w warstwach skrajnych (dla ), przy czym dla przekrojów symetrycznych względem osi obojętnej zginania, maksymalne naprężenia rozciągające i ściskające będą sobie równe. Największe naprężenia normalne w belce o stałym przekroju wystąpią tam, gdzie jest maksymalny moment zginający. Dla przekroju symetrycznego względem osi (rys.1.a) otrzymamy: gdzie: jest wskaźnikiem wytrzymałości na zginanie. Zgodnie z podstawowym warunkiem wytrzymałościowym maksymalne naprężenia nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych, czyli:

Wzór powyższy stosuje się do materiałów jednakowo wytrzymałych na rozciąganie i ściskanie (stal, dural). Dla materiałów o niejednakowej wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie (drewno, żeliwo) należy za naprężenie dopuszczalne wstawić to naprężenie, które jest mniejsze. Zakładając, że belka wyginana jest dodatnim momentem zginającym (włókna dolne rozciągane, a górne ściskane) dla przekroju niesymetrycznego z rys1.a otrzymamy: Ustawienie przekroju jak na rys.1a dotyczy belki wykonanej z materiału o np. z żeliwa. W przypadku, gdy (np. belka drewniana) należałoby przekrój obrócić. Najkorzystniejszy dla danego materiału będzie taki przekrój, dla którego naprężenia w warstwach skrajnych osiągną jednocześnie wartości dopuszczalne na rozciąganie i na ściskanie. Nastąpi to wtedy, gdy będzie spełniona zależność: Przykład Wyznaczyć maksymalną siłę P dla belki drewnianej wolnopodpartej, jeżeli,. Wymiary przekroju poprzecznego podano na rys.10.2 w cm. Rys.10.2 Maksymalny moment zginający dla powyższej belki wystąpi w środku belki i wyniesie: Naprężenia w tym przekroju wynoszą:

gdzie jest wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na zginanie. Aby wyznaczyć ten wskaźnik, należy określić położenie środka ciężkości przekroju. W tym celu obieramy układ osi x i y w ten sposób, że oś x przechodzi przez dolną podstawę przekroju, a oś y jest pionową osią symetrii przekroju. Przekrój poprzeczny dzielimy na trzy prostokątne pola. Położenie środka ciężkości przekroju wyznacza się ze wzoru: Osiowy moment bezwładności przekroju względem osi przechodzącej przez środek ciężkości przekroju C wyznacza się ze wzoru (przy zastosowaniu wzorów Steinera): Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie wyniesie: Po podstawieniu tej wartości do wzoru na siłę P otrzymamy:

Rys 10.3 Naprężenia w belce otrzymane za pomocą programu NASTRAN FX. Niebieski kolor odpowiada naprężeniom ściskającym -10 MPA, natomiast kolor czerwony odpowiada naprężeniom rozciągającym +6.43 MPa. Górny, powiększony rysunek przedstawia naprężenia w przekroju poprzecznym belki w środku rozpiętości belki. Temat 11 (2 godziny): Odkształcenia belek podczas czystego zginania. Całkowanie równania różniczkowego Skutkiem działania sił zewnętrznych na belkę jest, poza naprężeniami, jej odkształcenie, które przy zgięciu płaskim polega na zakrzywieniu os belki w płaszczyźnie działania sił zewnętrznych.

P Wielkościami charakteryzującymi odkształcenie belki w danym przekroju są: ugięcie i kąt ugięcia (kąt obrotu) belki w danym przekroju, które będziemy określali w stosunku do prostokątnego układu współrzędnych osi, przyjmując oś odciętych za nieodkształconą oś geometryczna belki, a oś skierowaną prostopadle do niej w górę, jak na rys.1. Ugięciem belki w danym przekroju nazywamy przesunięcie środka geometrycznego tego przekroju w kierunku prostopadłym do Rys.11.1 Schemat odkształceń belki. nieodkształconej osi belki. Kątem ugięcia (obrotu) przekroju belki nazywamy kąt o jaki obraca się przy zginaniu dany przekrój belki w stosunku do swego położenia pierwotnego. Jak widać z rys.1 jest on równy kątowi, jaki tworzy styczna do odkształconej osi belki w danym przekroju z osią nieodkształconą, dlatego nazywa się go powszechnie kątem ugięcia belki w danym przekroju. Dla belki w konkretny sposób podpartej i obciążonej ugięcie oraz kąt ugięcia są wyłącznie funkcjami położenia tego przekroju, czyli: Równanie nazywamy równaniem linii ugięcia belki, a równanie nazywamy równaniem kątów ugięć. Znając te równania możemy określić ugięcie i kąt ugięcia belki w każdym przekroju (dla każdego ). Ugięcie maksymalne belki oznaczamy przez i nazywamy strzałką ugięcia. Z definicji pochodnej funkcji wynika zależność: Dla belek o dużej sztywności, z jakimi mamy do czynienia w konstrukcjach, możemy z bardzo dużym przybliżeniem zastąpić przez : Czyli kąt ugięcia belki w danym przekroju jest pierwszą pochodną ugięcia w tym przekroju względem zmiennej niezależnej. Pomijając wpływ naprężeń tnących na kąt obrotu przekroju i jego ugięcie jako nieistotne, związek między odkształceniem belki w danym przekroju a momentem gnącym w tym przekroju przedstawia równanie różniczkowe linii ugięcia belki:

przyjmujemy, że ugięcia belki:, wtedy otrzymujemy przybliżone równanie różniczkowe linii gdzie jest modułem Younga, a jest momentem bezwładności względem osi zginania. Zależność powyższa jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzędu drugiego, zawierającym tylko drugą pochodną zmiennej zależnej, a więc bardzo łatwym do rozwiązania. Całkując je otrzymamy równanie kątów ugięć: czyli: a po powtórnym scałkowaniu otrzymamy równanie linii ugięcia belki: czyli: Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych, wynikających przede wszystkim ze sposobu podparcia belki. Obliczenie całek występujących w równaniach różniczkowych nie przedstawia trudności merytorycznych, ponieważ moment gnący w przekrojach wyrażamy zawsze wielomianem. Temat 12 (2 godziny): Metoda Clebsch a całkowania równania różniczkowego osi odkształconej belki

Aby uzyskać tylko dwie stałe całkowania, przy kilku przedziałach całkowania trzeba przy układaniu równań różniczkowych linii ugięcia belki przestrzegać następujących reguł, zwanych warunkami Clebscha: 1. Odcięte we wszystkich przedziałach muszą być liczone względem tego samego początku układu współrzędnych, lewego lub prawego końca belki. 2. Jeżeli obciążenie ciągłe nie działa aż do końca belki, należy dodać i odjąć takie samo obciążenie do końca belki, jak to pokazano na rys.1 Rys.12.1 Dodawanie i odejmowanie obciążenia ciągłego, jeżeli nie działa do końca belki 3. Jeżeli na belkę działa moment, to do wzoru na moment gnący należy wprowadzić wyrażenie:, jak to jest pokazane na rys.2 Rys.12.2 Ilustracja fikcyjnego ramienia momentu: 4. Stałe całkowania i należy umieszczać w pierwszym przedziale. 5. Całkowanie równań różniczkowych należy przeprowadzać bez rozwijania wyrażeń w nawiasach, traktując jako zmienną nie lecz. Przykład Wyznaczyć równanie linii kątów ugięć i linii ugięci belki na dwóch podporach o stałym przekroju, obciążonej siłą P w odległości a od podpory A, jak na rys.12.3. Wyznaczyć kąty podporowe oraz strzałkę ugięcia i ugięcie u środku.

Rys.12.3 Wyznaczamy reakcje z warunków równowagi: 1. 2. Belka ma dwa przedziały, w których momenty zginające wyrażają się różnymi równaniami. W przedziale pierwszym dla : W przedziale drugim dla : Dla ułatwienia rozwiązania korzystamy z zapisu w tabeli nr 12.1. Z warunków brzegowych wyznaczamy stałe całkowania C i D : 1. 2. Wstawiając obliczone stałe do równania kątów ugięć dla obu przedziałów otrzymamy:

Tab.14.1 Obliczanie linii ugięcia belki pokazanej na rys.12.1 Wstawiając obliczone stałe do równania linii ugięcia belki otrzymamy ostatecznie: Kąty ugięcia na podporach wyznaczamy z równań kątów ugięć. Kąt ugięcia nad podporą A : Kąt ugięcia nad podporą B : Dla obliczenia strzałki ugięcia musimy najpierw określić współrzędną przekroju w którym ona wystąpi. W tym celu przyrównujemy do zera pochodną linii ugięcia belki czyli równanie kątów ugięcia (kąt ugięcia jest pochodną ugięcia). Strzałka ugięcia wystąpi w pierwszym (większym) przedziale, dlatego przyrównujemy do zera równanie : stąd:

Analizując powyższe wyrażenie na stwierdzimy, że gdy, czyli gdy siła P zbliża się do podpory B, to i analogicznie gdy,, czyli gdy siła P zbliża się do podpory A, to. Oznacza to, że maksymalne ugięcie występuje zawsze w pobliżu środka. Ponieważ w sąsiedztwie przekroju kąty są bardzo małe, to ugięcie w środku niewiele różni się od maksymalnego. Dlatego w praktyce przyjmuje się, że przy działaniu na belkę dowolnych obciążeń wyginających ją w tę samą stronę, to maksymalne ugięcie występuje w środku rozpiętości belki. W rozpatrywanym przypadku, wstawiając do równania ugięć otrzymamy przybliżoną strzałkę ugięcia: W szczególnym przypadku gdy siła P jest przyłożona w środku rozpiętości belki tzn. gdy wtedy i kąty podporowe wynoszą: a strzałka ugięcia : Temat 13 (2 godziny): Wyboczenie, siła krytyczna, smukłość prętów, wzory Eulera i Tetmayera Zniszczenie elementu konstrukcyjnego może nastąpić nie tylko dlatego, że zostanie przekroczona wytrzymałość tego elementu, lecz także dlatego, że element ten odkształcając się nie zachowa kształtu przewidzianego przez konstruktora. Inaczej mówiąc postać odkształconego elementu konstrukcyjnego, typowa dla danego rodzaju obciążenia, stanie się niestateczna, a stateczna okaże się inne odkształcenie. Zmiana postaci statecznej odkształconego elementu konstrukcyjnego występuje przy odpowiednio dużej wartości sił obciążających.

Jak wykazują doświadczenia dla prętów ściskanych osiowo, stateczną postacią odkształcenia jest początkowo postać prostoliniowa. Przy odpowiednio dużych wartościach sił ściskających i długości postać ta staje się niestateczna, a stateczna okazuje się postać wygięta. Utratę stateczności prostoliniowej postaci pręta ściskanego osiowo nazywamy wyboczeniem. Gwałtowność pojawienia się jest cechą charakterystyczną dla zjawiska wyboczenia. Wartość siły ściskającej osiowo, po przekroczeniu której następuje utrata stateczności prostoliniowej postaci pręta, a stateczną staje się postać wygięta, nazywa się siłą krytyczną. Siłę krytyczną uważamy za siłe niebezpieczną, a odpowiadające jej naprężenia zwane naprężeniami krytycznymi za naprężenia niebezpieczne, czyli: Ponieważ sile krytycznej odpowiada jeszcze postać prostoliniowa lub postać wygięta o ugięciach małych, to naprężenia krytyczne wyniosą: gdzie: A jest polem przekroju poprzecznego pręta. Naprężenia dopuszczalne z punktu widzenia wyboczenia (wykluczające wystąpienie tego zjawiska) otrzymamy, dzieląc naprężenia krytyczne przez współczynnik bezpieczeństwa na wyboczenie : Współczynnik bezpieczeństwa na wyboczenie przyjmuje się na ogół jako równy współczynnikowi bezpieczeństwa na ściskanie lub jako funkcję smukłości, przy czym im większa smukłość tym większa wartość współczynnika. Wzór określający siłę krytyczną dla prętów o stałym przekroju, przy załażeniu że wyboczenie zachodzi w obszarze sprężystym, został wyprowadzony przez Eulera w postaci: gdzie: - najmniejszy moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta względem osi przechodzącej przez jego środek geometryczny, - długość wyboczeniowa pręta, która zależy od sposobu zamocowania końców pręta, wg rys.13.2. n =1,2,3. liczby, przy których możliwa jest krzywoliniowa postać równowagi. Odkształcenia pręta ściskanego dla n=1,2 i 3 pokazane są na rys.13.1

n=1 n=2 n=3 Rys13.1 Kształty linii ugięcia dla różnych wartości n, otrzymane za pomocą programu NASTRAN FX. Rys.13.2 Długości wyboczeniowe dla różnych zamocowań końców pręta. Odkształcenia pręta ściskanego przy różnych zamocowaniach, otrzymane programem NASTRAN

W wątpliwych przypadkach należy przyjmować krytyczna jest mniejsza. Znając siłę krytyczną obliczamy naprężenie krytyczne:, wtedy obliczona siła gdzie: nazywamy smukłością pręta. W powyższym wzorze jest najmniejszym promieniem bezwładności przekroju pręta: Wzory Eulera na siłę i naprężenia krytyczne możemy stosować tylko dla wyboczenia sprężystego, czyli : Czyli dla smukłości nie mniejszych od smukłości granicznej: Granica proporcjonalności rzadko kiedy jest dana i na ogół utożsamia się ją z granicą sprężystości. Jeżeli zjawisko wyboczenia występuje przy naprężeniach większych od granicy proporcjonalności wówczas mamy do czynienie z wyboczeniem sprężysto-plastycznym. W tym przypadku dla obliczenia naprężeń krytycznych stosuje się powszechnie wzory empiryczne Tetmajera-Jasińskiego i Johnsona-Ostenfelda. Wzór Tetmajera-Jasińskiego przedstawia naprężenia krytyczne jako funkcję liniową smukłości (tzw. prosta Tetmajera): gdzie: granica plastyczności, współczynnik kierunkowy prostej Tetmajera-Jasińskiego. Wzór Johnsona-Ostenfelda przedstawia naprężenie krytyczne smukłości : jako funkcję kwadratową

gdzie: granica plastyczności, Wierzchołek paraboli Johnsona-Ostenfelda znajduje się w punkcie określonym przez, a parabola ta jest styczna do hiperboli Eulera w punkcie o współrzędnej równej: Dla stali konstrukcyjnej mającej granicę proporcjonalności, granicę plastyczności i moduł Younga, wykresy naprężeń krytycznych przedstawione są na rys.1. Smukłości graniczne wynoszą : Smukłość graniczna wg Eulera: Smukłość graniczna wg Johnsona-Ostenfelda:

Rys.13.2 Naprężenia krytyczne w funkcji smukłości dla stali konstrukcyjnej mającej granicę proporcjonalności, granicę plastyczności i moduł Younga. Temat 14 (2 godziny): Belki statycznie niewyznaczalne, wyznaczanie reakcji metodą całkowania równania różniczkowego i porównywania odkształceń Belka statycznie niewyznaczalna ma więcej podpór niż to jest konieczne, aby znajdowała się w stanie równowagi pod obciążeniem. Zamocowania czy podparcia, które nie są konieczne dla utrzymania belki w stanie równowagi pod każdym obciążeniem nazywamy podporami nadliczbowymi lub hiperstatycznymi. Podpory hiperstatyczne możemy, ogólnie biorąc, wybrać w sposób dowolny, przy zachowaniu jednak warunku stateczności. Na przykład w belce przedstawionej na rys.14.1 jako podporę hiperstatyczną możemy wybrać każdą z podpór.

) Rys.14.1 Przykłady belek statyczne niewyznaczalnych. Belkę statyczne wyznaczalną, jaka powstaje z belki statycznie niewyznaczalnej przez odrzucenie podpór przyjętych za hiperstatyczne, nazywamy belką podstawową dla danej belki statycznie niewyznaczalnej. Ponieważ podpory hiperstatyczne możemy wybierać różnie, dlatego dana belka statycznie niewyznaczalna może mieć kilka belek podstawowych. Na przykład belką podstawową dla belki z rys.14.1b może być belka wspornikowa lub belka na dwóch podporach, jak na rys.14.2 Belka rzeczywista statycznie niewyznaczalna Belka podstawowa wspornikowa Belka podstawowa na dwóch podporach Rys.14.2 Przykład belki rzeczywistej statyczne niewyznaczalnej i belek podstawowych Reakcje odrzuconych podpór hiperstatycznych traktujemy jako obciążenia belki podstawowej. Belka podstawowa pod działaniem zadanych obciążeń i reakcji hiperstatycznych musi odkształcać się w sposób identyczny, jak dana belka statycznie niewyznaczalna. Każda podpora hiperstatyczna, wprowadzając dodatkowo niewiadomą reakcję, powoduje jednocześnie ograniczenie odkształcenia belki podstawowej w tym przekroju, dając dodatkowe równanie do jej wyznaczenia. Wynika stąd, że każde zadanie statycznie niewyznaczalne jest rozwiązalne. Istnieje szereg metod rozwiązywania belek statycznie niewyznaczalnych. Wszystkie opierają się na rozwiązywaniu belki podstawowej. Różnica polega tylko na sposobie wykorzystania warunków zgodności odkształceń lub wyborze belki podstawowej. W rozwiązywaniu należy zawsze stosować tę metodę, która najprostszą drogą prowadzi do

wyznaczenia wielkości niewiadomych. Najczęściej stosowane metody to metoda całkowania równania różniczkowego linii ugięcia belki oraz metoda porównywania odkształceń. Metoda całkowania równania różniczkowego linii ugięcia belki. Tok rozwiązywania przy zastosowaniu tej metody jest nastepujący: 1. Obieramy podpory hiperstatyczne, ustalając tym samym belkę podstawową, którą obciążamy zadanymi siłami i reakcjami hiperstatycznymi. 2. Traktując reakcje hiperstatyczne jako wiadome, obliczamy reakcje belki podstawowej z równań statyki. 3. Układamy równanie różniczkowe linii ugięcia belki i dwukrotnie je całkujemy. Przy układaniu i całkowaniu równań różniczkowych przestrzegamy warunków Clebscha. 4. Z warunków brzegowych wyznaczamy stałe całkowania i reakcje hiperstatyczne. Warunków tych będzie zawsze wystarczająco dużo, ponieważ każda podpora czy zamocowanie hiperstatyczne, powoduje ograniczenie odkształcenia. 5. Wyznaczamy pozostałe reakcje i wykonujemy wykresy sił tnących i momentów gnących i na ich podstawie projektujemy belkę. Metoda ta jest szczególnie przydatna wtedy, gdy musimy znać równanie linii ugięcia belki. Jeżeli nie musimy znać równania linii ugięcia belki, należy zastosować inne metody np. metodę porównywania odkształceń. Metoda porównywania odkształceń. Metoda ta polega na wyznaczeniu odkształceń belki podstawowej, w miejscu działania reakcji hiperstatycznej, osobno od zadanych obciążeń i osobno od reakcji hiperstatycznej. Odkształcenia te dodaje sie algebraicznie (zasada superpozycji), z uwzględnieniem warunku narzuconego przez daną podporę hiperstatyczną. Odkształcenia wyznacza się z reguły metodą sumowania znanych odkształceń najprostszych belek statycznie wyznaczalnych, zestawionych w tabelach [4]. Rozwiązanie polega na obliczeniu pozostałych reakcji z równań statyki i wykonaniu wykresów momentów zginających i sił tnących. Przykład Belka dwuprzęsłowa ABC obciążona jest na podporze A parą sił o momencie, jak na rys.14.3. Rozpiętość każdego przęsła. Rozwiązać belkę, oraz obliczyć kąty podporowe. Jako podporę hiperstatyczną przyjmujemy podporę B. Z warunków równowagi wyznaczamy reakcje: 1. 2.

Rys.14.3 Belka rzeczywista Rys.14.4 Belka podstawowa Belka ma dwa przedziały, w których momenty zginające wyrażają się różnymi równaniami. W przedziale pierwszym dla : W przedziale drugim dla : Dla ułatwienia rozwiązania korzystamy z zapisu w tabeli nr 14.1. Tab.14.1 Obliczanie linii ugięcia belki pokazanej na rys.14.3

Z warunków brzegowych wyznaczamy stałe całkowania C i D : 1. 2. 3. Wyznaczamy pozostałe reakcje: Wartość stałej C:

Wstawiając obliczone stałe do równania kątów ugięć dla obu przedziałów otrzymamy: Kąt ugięcia nad podporą A: Kąt ugięcia nad podporą B: Kąt ugięcia nad podporą C: Rys.14.6 Wykresy sił tnących i momentów zginających dla belki z rys.14.3

Rys.14.7 Wykresy linii ugięcia belki i kątów ugięć dla belki z rys.14.3

Temat 15 (2 godziny): Hipotezy wytrzymałościowe Hubera, Coulomba, De Saint Venanta, Galileusza, złożone przypadki wytrzymałości, skręcanie ze zginaniem, ściskanie mimośrodowe Wytrzymałość materiału jest to jego odporność na działanie sił zewnętrznych. Jest określana przy pomocy wskaźników wytrzymałościowych, wyznaczalnych doświadczalnie dla każdego materiału oddzielnie. Najważniejszymi wskaźnikami wytrzymałościowymi są: granica plastyczności i granica wytrzymałości doraźnej, określane w statycznej próbie rozciągania. Wytężenie materiału określa w jakim stopniu jego wytrzymałość jest wykorzystana w danym elemencie konstrukcyjnym w czasie eksploatacji. Wytężeniem materiału w danym punkcie nazywamy pewną funkcję wytrzymałości tego materiału oraz panującego w tym punkcie stanu naprężenia lub odkształcenia, które określa niebezpieczeństwo powstania odkształceń trwałych lub zniszczenia materiału. Przy tych samych materiałach wytężenie jest tylko funkcją stanu naprężenia. W prostych przypadkach obciążeń elementu konstrukcyjnego, wywołujących proste stany naprężenia i odkształcenia (osiowe rozciąganie i ściskanie, ścinanie, skręcanie, czyste zginanie i większość przypadków zgięcia płaskiego) dla określenia wytężenia porównujemy występujące w elemencie naprężenia maksymalne z naprężeniami niebezpiecznymi, za jakie w budowie maszyn przyjmuje się granicę plastyczności, natomiast wytężenia dopuszczalne określają naprężenia dopuszczalne. W złożonych stanach naprężenia miarą wytężenia materiału są naprężenia zastępcze lub zredukowane, to jest takie naprężenie rozciągające lub ściskające w jednoosiowym stanie naprężenia, przy którym wytężenie materiału (wg danej hipotezy) jest takie samo, jak w danym złożonym stanie naprężenia. Naprężenia zastępcze porównujemy z naprężeniami dopuszczalnymi przy osiowym rozciąganiu lub ściskaniu i otrzymujemy podstawowy warunek wytrzymałościowy w postaci: Zależność między składowymi stanu naprężenia w punkcie a naprężeniem zastępczym w tym punkcie określamy przy pomocy hipotez. Hipoteza Hubera, hipoteza energii sprężystej odkształcenia postaciowego. Hipoteza ta słuszna jest dla materiałów sprężysto-plastycznych (np. stal). Naprężenia zastępcze wg tej hipotezy w ogólnym przypadku trójwymiarowego stanu naprężenia wyrażają się wzorem: Dla innych prostszych stanów, naprężenia które nie występują w tym stanie, wstawiamy jako równe zeru. Na przykład dla technicznie ważnego płaskiego stanu naprężenia, gdzie w przekroju występuje jedno naprężenie normalne i jedno styczne ( ), otrzymamy: a dla czystego ścinania:

Jak wynika z powyższego wzoru ścinanie jest razy bardziej niebezpieczne od osiowego rozciągania. Naprężenia dopuszczalne na ścinanie będą przy tym samym wytężeniu razy mniejsze od dopuszczalnych na rozciąganie, czyli: Hipoteza Coulomba, hipoteza największych naprężeń stycznych. Hipoteza ta słuszna jest dla materiałów sprężysto-plastycznych. Naprężenia zastępcze wg tej hipotezy dla technicznie ważnego płaskiego stanu naprężenia, gdzie w przekroju występuje jedno naprężenie normalne i jedno styczne, otrzymamy: a dla czystego ścinania: Naprężenia dopuszczalne na ścinanie będą wg hipotezy Coulomba przy tym samym wytężeniu razy mniejsze od dopuszczalnych na rozciąganie, czyli: Hipoteza Galileusza, hipoteza największych naprężeń normalnych zastępcze wg tej hipotezy równe jest największemu naprężeniu normalnemu:. Naprężenie Hipoteza ta nie pokrywa się z doświadczeniami, dlatego ma znaczenie historyczne. Hipoteza de Saint-Venanta, hipoteza największego wydłużenia względnego jednoosiowego rozciągania naprężeniami wydłużenie względne wynosi:. Dla Dla przestrzennego stanu naprężenia wynosi: największe wydłużenie względne stąd:

Obecnie ta hipoteza jest stosowana do materiałów kruchych (kamień, beton, żeliwo) Podstawową zasadą, z której korzystamy przy rozwiązywaniu zagadnień wytrzymałości złożonej jest zasada superpozycji skutków poszczególnych grup sił zewnętrznych, stanowiących znane nam, proste stany obciążenia. Zasada ta nie jest słuszna wtedy, gdy odkształcenie wywołane jedną grupą obciążeń będą miały wpływ na rezultat działania drugiej grupy obciążeń. Np. przy zginaniu z osiowym ściskaniem, siła ściskająca spowoduje nie tylko powstanie naprężeń ściskających, lecz także naprężeń zginających momentem siły ściskającej na ramieniu, które jest ugięciem wywołanym wyboczeniem pręta. Zagadnienia wytrzymałości złożonej dzielimy na dwie grupy. I. Naprężenia wywołane przez poszczególne obciążenia czy grupy obciążeń są tego samego rodzaju, a tylko w przypadku naprężeń normalnych mają ten sam kierunek (mogą się różnić tylko zwrotem). Dla określenia wytężenia materiału obliczamy maksymalne naprężenia wypadkowe będące sumą algebraiczną naprężeń od poszczególnych obciążeń i porównujemy je z odpowiednimi naprężeniami dopuszczalnymi. W przypadku naprężeń stycznych może to być suma geometryczna. Do grupy tej należą: zgięcie ukośne, zginanie z rozciąganiem lub ściskaniem, ściskanie mimośrodowe, ścinanie w kilku kierunkach. II. Naprężenia wywołane przez poszczególne grupy obciążeń są różnego rodzaju, a tylko w przypadku naprężeń normalnych mają różne kierunki. Dla określenia wytężenia materiału należy obliczyć naprężenia zastępcze wg odpowiedniej hipotezy i porównać je z naprężeniem dopuszczalnym na rozciąganie lub ściskanie. Do tej grupy należą: płaski i przestrzenny stan naprężeń, zgięcie płaskie z udziałem sił poprzecznych oraz najważniejszy w budowie maszyn przypadek wytrzymałości złożonej zginanie ze skręcaniem. Przykład Stalowa belka o przekroju kwadratowym pełnym składa się z trzech równych odcinków o długości każdy, wygiętych pod kątami prostymi jak na rys.15.1. Oś belki znajduje się w płaszczyźnie poziomej, jeden koniec belki jest utwierdzony a do drugiego przyłożona jest siła P. Określić dopuszczalną wartość twej siły, jeżeli, zas naprężenia dopuszczalne wynoszą. Jest to przypadek zginania ze skręcaniem. Zachodzi konieczność zastosowania jednej z hipotez wytężeniowych. Moment zginający występujący w podporze A wynosi: Moment skręcający występujący w podporze A wynosi:

Rys.15.1 Naprężenia normalne od zginania momentem wyniosą: Naprężenia styczne od skręcania momentem skręcającym wyniosą: gdzie: zastępczy wskaźnik wytrzymałości przekroju kwadratowego na skręcanie Przy zastosowaniu hipotezy Hubera naprężenie zredukowane wyniesie:

Przy zastosowaniu hipotezy Coulomba naprężenie zredukowane wyniesie: Rys.15.2 Naprężenia zredukowane wg hipotezy Misesa (Hubera) wyznaczone za pomocą programu NASTRAN FX. Belka obciążona jest na końcu swobodnym siłą pionową o wartości P = 50 kn. Największa wartość naprężeń zredukowanych, występuje w miejscu utwierdzenia w górnych i dolnych włóknach przekroju. Te maksymalne naprężenia oznaczone są kolorem czerwonym i wynoszą 179,7 MPA.

Rys.15.3 Przemieszczenia zredukowane wyznaczone za pomocą programu NASTRAN FX. Jak widać z powyższego rysunku największe odkształcenie (kolor czerwony) wystąpi na swobodnym końcu belki i wynosi 82,7 mm. Obliczanie wałów pędnych. Elementy jednocześnie zginane i skręcane występują w budowie maszyn jako wały pędne, których zadaniem jest przenoszenie mocy (momentu skręcającego). Poza skręcaniem są zawsze narażone na zginanie, wskutek działania ciężaru własnego wału i zamontowanych na nim elementów, naciągu pasów przy przekładniach pasowych, nacisku międzyzębnego w przekładniach zębatych itp. Maksymalne naprężenia tak od zginania jak i skręcania występują we włóknach skrajnych wału i wynoszą: od zginania: od skręcania: Dla określenia wytężenia materiału należy obliczyć naprężenia zastępcze, występujące we włóknach skrajnych przekroju, w którym moment zginający i moment skręcający osiągają wartości maksymalne. Jeżeli takiego przekroju nie ma, to obliczamy naprężenie zastępcze w tych przekrojach, w których jeden z momentów przyjmuje wartość maksymalną a drugi niemaksymalną, ale dużą. Zgodnie z hipotezą energii sprężystej odkształcenia postaciowego Hubera w ogólnym przypadku zginania ze skręcaniem uzyskamy:

W przypadku wałów, które z reguły mają przekrój kołowy, jest: oznaczamy jako moment gnący zastępczy. Podstawowy warunek wytrzymałościowy przyjmie postać: Na podstawie powyższego warunku projektujemy wał i obliczamy: czyli: W przypadku, gdy zginanie wału zachodzi w kilku płaszczyznach, należy dodać geometrycznie (wektorowo) momenty gnące w tym przekroju.