PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka 0, godza 7:0

Statystyka jest bardzej sposobem myślea lub woskowaa Ŝ pęczkem recept a młócee daych w celu odsłoęca odpowedz - Calyampud Radhakrsha Rao Podręczk: PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE publkoway jest w częścach podaych poŝej Nr I. Wprowadzee II. III. IV. Statystyka opsowa Tytuł Rachuek prawdopodobeństwa Statystyka matematycza V. Przykłady zastosowań w formatyce VI. VII. Wybrae twerdzea z dowodam Tablce statystycze Autorzy proszą o przesyłae wszelkch uwag propozycj dotyczących zawartośc podręczka z wykorzystaem formularza kotaktowego zameszczoego w portalu http://cecura.et/mp/ Publkowae częśc będą a beŝąco poprawae, w kaŝdej będze podawaa data ostatej aktualzacj. Podręczk udostępa sę a waruku lcecj Creatve Commos (CC): Uzae Autorstwa UŜyce Nekomercyje Bez Utworów ZaleŜych (CC-BY-NC-ND),co ozacza: Uzae Autorstwa (ag. Attrbuto - BY): zezwala sę a kopowae, dystrybucję, wyśwetlae uŝytkowae dzeła wszelkch jego pochodych pod warukem umeszczea formacj o twórcy. UŜyce Nekomercyje (ag. Nocommercal - NC): zezwala sę a kopowae, dystrybucję, wyśwetlae uŝytkowae dzeła wszelkch jego pochodych tylko w celach ekomercyjych.. Bez Utworów ZaleŜych (ag. No Dervatve Works - ND): zezwala sę a kopowae, dystrybucję, wyśwetlae tylko dokładych (dosłowych) kop dzeła, edozwoloe jest jego zmeae tworzee a jego baze pochodych. Podręczk skoreloway z m portal, są w peł powszeche dostępe, staową węc Otwarte Zasoby Edukacyje - OZE (ag. Ope Educatoal Resources OER).

STATYSTYKA OPISOWA SPIS TREŚCI. CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE...5.. UWAGI WSTĘPNE...5.. CHARAKTERYSTYKI POŁOśENIA...5... Średa arytmetycza daych statystyczych...5..3. Domata daych statystyczych...7..4. Średa waŝoa daych statystyczych.....5. Średa ucaa daych statystyczych.....6. Średa geometrycza daych statystyczych...3..7. Średa harmocza daych statystyczych...3..8. Średa kwadratowa daych statystyczych...4.3. CHARAKTERYSTYKI ROZPROSZENIA...5.3.. Waracja daych statystyczych...5.3.. Odchylee stadardowe daych statystyczych...6.3.3. Współczyk zmeośc daych statystyczych...6.3.4. Rozstęp daych...6.3.5. Przedzał typowych jedostek populacj...6.3.5. Kwatyle...7.3.6. Wskaźk struktury...8.4. CHARAKTERYSTYKI ASYMETRII...0.4.. Współczyk asymetr...0.4.. Iterpretacja symetr w przypadku rozkładu jedomodalego....4.3. Iterpretacja asymetr za pomocą wykresu szeregu rozdzelczego...3.5. CHARAKTERYSTYKI SPŁASZCZENIA...4.6. PODSUMOWANIE...6.6.. Wybrae charakterystyk lczbowe w postac grafczej...6.6.. MoŜlwośc oblczaa charakterystyk lczbowych w zaleŝośc od skal...7.6.3. MoŜlwośc oblczaa charakterystyk lczbowych w arkuszu Excel...7.7. PRZYKŁADY ANALIZY STATYSTYCZNEJ DANYCH...8.8. ANALIZA DANYCH PRZEDSTAWIONYCH W POSTACI SZEREGU ROZDZIELCZEGO PRZEDZIAŁOWEGO...35.8.. Prezetacja daych statystyczych...35.8.. Charakterystyk lczbowe...35 3. BADANIE ZALEśNOŚCI CECH POPULACJI...38 3.. WPROWADZENIE...38 3... Dae statystycze dwóch cech populacj...38 3... Prezetacja daych statystyczych pary cech populacj...38 3.. ZALEśNOŚĆ CECH POPULACJI...4 3... ZaleŜość fukcyja cech populacj...4 3... ZaleŜość stochastycza (statystycza) cech populacj...4 3..3. ZaleŜość korelacyja cech populacj...4 3.3. CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE DWÓCH CECH...45 3.3.. Charakterystyk lczbowe dwóch cech, gdy dae przedstawoe są w szeregu statystyczym...45 3.3.. Własośc współczyka korelacj...46 3..3.3. Iterpretacja współczyka korelacj...46 3.3.4. Współczyk korelacj Spearmaa...49 3

STATYSTYKA OPISOWA 3.4. REGRESJA...5 3.4.. Pojęce regresj I rodzaju...5 3.4.. Pojęce regresj II rodzaju...5 3.4.3. Lowa regresja II rodzaju...5 4

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE.. Uwag wstępe. CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE Nech x, x,..., x będą wartoścam cechy X wszystkch elemetów populacj albo próby. Są to tzw. dae statystycze. Charakterystyk lczbowe (opsowe) są to lczby charakteryzujące rozkład cechy populacj. Charakterystyk lczbowe cechy X, podobe jak parametry rozkładu zmeej losowej, dzelmy a Charakterystyk połoŝea (średa, medaa, domata); Charakterystyk rozproszea (waracja, odchylee stadardowe, współczyk zmeośc, odchylee przecęte, rozstęp); Charakterystyk asymetr (współczyk asymetr, wskaźk asymetr); Charakterystyk spłaszczea (kurtoza)... Charakterystyk połoŝea Ie azwy charakterystyk połoŝea to: charakterystyk/mary przecęte, średe, tedecj cetralej... Średa arytmetycza daych statystyczych x = x = Przykład. Z pewego egzamu uzyskao astępujące ocey: 3, 4, 5,, 3, 4, 3, 4,, 5. NaleŜy oblczyć ch średa arytmetyczą. 3+4+5++3+4+3+4++5 x = = 3,5 0 Średą arytmetyczą moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą ŚREDNIA wpsując wcześej dae w komórk A:J. 5

STATYSTYKA OPISOWA Własośc średej arytmetyczej daych statystyczych (x, x,..., x ). xm x x max. 3. (x x) = 0 = (x x) = (x x ) zwraca sę uwagę, Ŝe w awasach są wartośc dodate x > x x < x 4. WyraŜee (x c) ma wartość ajmejszą gdy c= x =... Medaa daych statystyczych Uporządkujmy dae statystycze od ajmejszej do ajwększej: x (), x (),..., x () Medaa daych statystyczych jest to lczba x gdy jest lczbą eparzystą + me = x + x + gdy jest lczbą parzystą Przykład. Wyzaczymy medaę dla daych statystyczych w dwóch przypadkach a) 3, 0,,, 6, 7, 4,, 5 b) 3, 0,,, 6, 7, 4, Rozwązae a) Porządkujemy dae statystycze od ajmejszej do ajwększej 0,,,, 3, 4, 5, 6, 7. PoewaŜ lczba daych statystyczych jest = 9 ( lczba eparzysta}, węc m = x = x = 3 e + (5) b) Porządkujemy dae statystycze od ajmejszej do ajwększej 0,,,, 3, 4, 6, 7 PoewaŜ lczba daych statystyczych jest = 8 (lczba parzysta}, węc m e = x + x + = x(4) + x (5) = [ + 3] =, 5 ( ) ( ) Medaę moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co dla perwszego przypadku lustruje poŝszy rysuek. Patrz pukt 9.. częśc VII Wybrae twerdzea z dowodam 6

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Wykorzystao fukcję statystyczą MEDIANA wpsując wcześej dae w komórk a3:9...3. Domata daych statystyczych Jest to ajczęścej występująca daa statystycza (o le steje), ozacza sę ltera d. Domata jest takŝe azywaa modą. Przykład.3 Wyzaczymy domatę dla daych statystyczych w dwóch przypadkach: a) 4, 0, 4,, 4, 7, 0, b) 3, 0,,, 6, 7, 4,,, 4,, Rozwązae a) Najczęścej występującą daą statystyczą jest lczba 4 (występuje 3 razy), zatem d = 4. b) Ne ma daej statystyczej występującej ajczęścej. Domata tych daych e steje. Domatę moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co dla perwszego przypadku lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą WYST.NAJCZESCIEJ wpsując dae w komórk a3:9 7

STATYSTYKA OPISOWA Iterpretacja charakterystyk połoŝea Średa arytmetycza, medaa domata są przykładam tzw. charakterystyk połoŝea, czyl welkośc formujących o przecętej welkośc cechy populacj. Wokół tych welkośc skupają sę a ogół wartośc cechy populacj. Iaczej wyraŝamy to mówąc, Ŝe pozae charakterystyk są maram tedecj cetralej wartośc cechy populacj. Średa arytmetycza jest lczbą formującą o tym, jaką wartość cechy powy meć elemety populacj, gdyby wszystke dae statystycze były sobe rówe suma tych wartośc byłaby taka sama ( podzał welkośc a rówych częśc). Medaa dzel zbór daych statystyczych a dwa rówolcze podzbory: do jedego z ch aleŝą dae mejsze lub rówe medae, zaś do drugego dae wększe lub rówe medae. Domata jest ajbardzej typową daą statystyczą. Przykład.4 Jak określać przecęty pozom cechy W pewej frme postaowoo przeaalzować zarobk pracowków. Dae w tys. zł. dotyczące wszystkch 50 pracowków przedstawa poŝsza tabela: Zarobk 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 Razem Lczba pracowków 5 45 70 50 0 3 3 5 3 50 Tabelę otrzymao zlczając take same zarobk w aalzowaych daych przy pomocy fukcj statystyczej Występowae le razy arkusza Excel tak samo postąpoo w kolejych przykładach. Iym sposobem jest wykorzystae arzędza aalzy Hstogram z paketu Aalza daych - Aalyss ToolPak arkusza Excel otrzymuje sę od razu lczby pracowków dla wszystkch pozomów zarobków. 8

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Ilustracja grafcza otrzymae przy pomocy modułu Mcrosoft Graph 70 60 50 40 30 0 0 0 5 45 70 50 0 3 3 5 3 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 Wyk otrzymae przy pomocy fukcj statystyczych arkusza Excel 6,5 Średa 5 Medaa 4 Domata Chcemy określć przecęte wyagrodzee w frme. Średa arytmetycza wyos 65 zł, a 80 pracowków, czyl 7% otrzymuje wyagrodzea poŝej średej arytmetyczej. W tym przypadku jako przecęte wyagrodzee aleŝy przyjąć medaę, która w tym przypadku wyos 5 tys. zł. Zwraca sę uwagę, Ŝe ajczęścej występującym wyagrodzeem, czyl domatą, jest pesja w wysokośc 4 tys. zł. Przykład.5 Wykładowca postaowł przeaalzować wyk testu z Metod probablstyczych. Dae dotyczące lczby zdobytych puktów przez 50 studetów przedstawa poŝsza tabela. Lczba puktów Lczba studetów 0 5 0 70 75 80 85 90 95 00 Razem 5 4 4 5 6 9 3 50 Ilustracja grafcza otrzymae przy pomocy modułu Mcrosoft Graph 4 0 8 6 4 0 5 4 4 5 6 9 3 0 5 0 70 75 80 85 90 95 00 Wyk otrzymae przy pomocy fukcj statystyczych arkusza Excel 73,8 Średa 90 Medaa 00 Domata 9

STATYSTYKA OPISOWA Średa arytmetycza wyków testu wyos 73,8 czyl dotyczy jedye 3 wyków - spowodowae jest to tym, Ŝe 5 studetów tz. 0% wypadło bardzo słabo otrzymując 0, 5 lub 0 puktów. Stąd jako przecęty wyk testu aleŝy przyjąć medaę, która jest rówa 90 puktów. Zwraca sę uwagę, Ŝe ajczęścej występującym wykem, czyl domatą, jest maksymala lczba puktów rówa 00. Przykład.6 W pewej uczel postaowoo przeaalzować wek studetów a specjalośc bazy daych w sume 50 studetów. Dae przedstawa poŝsza tabela: Wek 9 0 3 4 5 3 3 33 34 35 36 37 Razem Lczba studetów 3 4 6 5 3 3 4 7 4 4 50 Ilustracja grafcza otrzymae przy pomocy modułu Mcrosoft Graph Wyk otrzymae przy pomocy fukcj statystyczych arkusza Excel 7 6 6 7 8 Średa 8 Medaa 34 Domata 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 0 9 0 3 4 5 3 3 33 34 35 36 37 Średa arytmetycza weku studetów jest rówa 8. ZauwaŜmy, Ŝe e ma a jedego studeta o takm weku, a takŝe weku zblŝoego (brak studetów o weku 6, 7, 8, 9 30). W tym przypadku dla określea przecętego weku studetów aleŝy podać dwa ajczęścej występujące pozomy weku: 34 być moŝe dotyczą oe przecętego weku studetów studów stacjoarych estacjoarych. W tym przypadku podae średej arytmetyczej meday jest mylące. Podsumowae jak określać przecęty pozom cechy Średa arytmetycza - jeŝel rozkład jest symetryczy z jedą modą Medaa - jeŝel rozkład jest esymetryczy z jedą modą Moda jeŝel rozkład jest welo modaly, podając ją dla kaŝdego obszaru zmeośc 0

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Ie charakterystyk połoŝea..4. Średa waŝoa daych statystyczych z odoszącym sę do ch eujemym wagam w, w,..., w z których co ajmej jeda jest dodata, jest określoa przez: x w w x + w x +... + w x = = = w + w +... + w W te sposób dae którym przypsao wększe wag mają wększy udzał w określeu średej waŝoej Ŝ dae, którym przypsao mejsze wag. Jeśl wszystke wag są rówe, wówczas średa waŝoa jest rówa średej arytmetyczej. Przykład.7 W pewej uczel oceę ukończea studów staow suma: 0,6 średej wszystkch oce x z egzamów zalczeń - cały okres studów 0, ocey x pracy dyplomowej, 0, ocey x 3 egzamu dyplomowego. Jest to przykład średej waŝoej: = w x 0,6x + 0,x + 0, x x = = 0,6x + 0,x + 0,x 0,6 + 0, + 0, 3 w 3 Nech x=3,5 x=4,5 x3=4,0. Wtedy x w = 0,6 3,5 + 0, 4,5 + 0, 4,0 =,+ 0,9 + 0,8 = 3,8 Średą waŝoą moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. w Wykorzystao fukcję matematyczą SUMA.ILOCZYNÓW wpsując wcześej dae w komórk a:a3 oraz b:b3. W ogólym przypadku (kedy suma wag jest róŝa od ) wyk aleŝy podzelć przez sumę wag, którą moŝa oblczyć z wykorzystaem fukcj matematyczej SUMA.

STATYSTYKA OPISOWA..5. Średa ucaa daych statystyczych Ie azwy to: średa obcęta lub średa trymowaa. Jest ych średch, mody meday jedą z mar statystyczych tedecj cetralej. Najprostszym przykładem jest sędzowae zawodów sportowych przez 5 sędzów. Odrzuca sę ajŝszą ajwyŝszą oceę, a pozostałe sumuje sę. Przy oblczau średej ucaej obserwacje porządkuje sę od ajmejszej do ajwększej, odrzuca sę mały procet ajbardzej ekstremalych obserwacj a obu krańcach (wartośc ajmejsze oraz ajwększe w próbce), a ogół rówej lczośc, a astępe oblcza sę średą z pozostałych obserwacj. Na ogół odrzuca sę mmum maksmum z próbk lub wartośc poŝej 5 cetyla powyŝej 75 cetyla. Wartośc poŝej 5 cetyla Wartośc poŝej 50 cetyla Wartośc poŝej 75 cetyla Wartośc poŝej 00 cetyla Odrzucae Oblczae średej Odrzucae Rysuek.. Średa ucaa jest charakterystyką mało wraŝlwą a wartośc odstające. Średa ucaa wykorzystywaa jest do ocey zawodków w róŝych kokurecjach, odrzuca sę wtedy oceę ajwyŝszą ajŝszą, a astępe z pozostałych oblcza sę średą arytmetyczą. Przykład.8 Pęcu sędzów oceło skok do wody pewego zawodka wystawając ocey: 3, 4, 4, 5, 4. Oblczyć średą oce po odrzuceu ocey ajŝszej ajwyŝszej. Rozwązae Ocea ajŝsza to 3, a ocea ajwyŝsza 5. Pozostałe ocey to 4, zatem ch średa wyos 4. Średą ucaą moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą ŚREDNIA.WEWN wpsując wcześej dae w komórk a3:e3 oraz określając, Ŝe 40% daych ma być odrzucoych (0% ajmejszych 0% ajwększych).

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE..6. Średa geometrycza daych statystyczych g = = = x x x x x Średa geometrycza zajduje zastosowae w badau średego tempa zma zjawsk, których rozwój jest przedstawoy w postac szeregów dyamczych, p. do uśredaa deksów łańcuchowych. Przykład.9 Roczy procetowy przyrost przychodów pewej frmy formatyczej w kolejych czterech latach wyosł: 0%, 0%, 5%, 5%. Jak był śred przyrost w tym okrese? 4 4 xg =,,,05,5 =,5939 =,5939 =,65 =,36 Średa geometrycza powyŝszych daych wyos,5%. Średą geometryczą moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA wpsując wcześej dae w komórk a9:d9...7. Średa harmocza daych statystyczych x = = x x h = = Tak węc jest średa harmocza (dla daych statystyczych róŝych od zera) jest odwrotoścą średej arytmetyczej odwrotośc daych statystyczych. Średą harmoczą stosuje sę w przypadku gdy wartośc zmeej podae są w jedostkach względych (p. m/s, cm/osoba). Ideks łańcuchowy - loraz pozomu zjawska w okrese badaym, do pozomu zjawska w okrese poprzedzającym okres baday. 3

STATYSTYKA OPISOWA Przykład.0 Odległość z masta A do B rowerzysta przejeŝdŝa z prędkoścą 0 km/godz, z powrotem jedze z prędkoścą 5 km/godz. Jaka była prędkość średa rowerzysty? 0 + 5 Średa arytmetycza x = = 7,5 0 Średa harmocza xh = = = = 6,67 + + 3 0 5 0 ZałóŜmy, Ŝe odległość pomędzy mastam wyos 0 km. Zatem czas przejazdu z A do B wyos godz., a powrotem godz. Sumarycza odległość wyos 0 km, sumaryczy czas przejazdu 3 godz., zatem średa prędkość wyos 0/3 = 6,67 km/godz pokrywa sę ze średą harmoczą. Średą harmoczą moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą ŚREDNIA.HARMONICZNA wpsując wcześej dae w komórk A:B...8. Średa kwadratowa daych statystyczych x k = x = MoŜa wykazać prawdzwość zaleŝośc pomędzy elemetam próby (x, x,..., x ) 3 : x x x = = = = x Zwraca sę uwagę, Ŝe elemety powyŝszej zaleŝośc lczoe od lewej to: średa harmocza, średa geometrycza, średa arytmetycza średa kwadratowa. 3 Patrz pukt 9.. częśc VI Wybrae twerdzea z dowodam 4

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE.3. Charakterystyk rozproszea Ie azwy charakterystyk rozproszea to: charakterystyk/mary zróŝcowaa, dyspersj.3.. Waracja daych statystyczych s (x x) x = = Warację moŝa wyzaczyć ze wzoru 4 s = (x x ) = x ( x ) = x ( x) x k = = = Wzór te umoŝlwa oblczee waracj w jedym przebegu. Przykład. Oblczyć warację wyków egzamu podaych w przykładze. 5. Perwszy etap oblczeń zgode z powyŝszym wzorem przedstawoo w poŝszej tabel. 3 4 5 6 7 8 9 0 Suma Suma/0 x 3 4 5 3 4 3 4 5 35 3,5 x 9 6 5 4 9 6 9 6 4 5 33 3,3 Zatem ( ) x k s = x x = 3,3 3,5 = 3,3, 5 =, 05 Warację moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą WARIANCJA wpsując wcześej dae w komórk A:A0. 4 Patrz pukt 9.3. częśc VII Wybrae twerdzea z dowodam 5 Rekomeduje sę przeprowadzee oblczeń z wykorzystaem arkusza Excel 5

STATYSTYKA OPISOWA Zwraca sę uwagę a róŝcę w wykach. Spowodowae jest to tym, Ŝe w arkuszu Excel we wzorze według którego oblczaa jest waracja zamast występuje po to, aby zapewć eobcąŝoość waracj, pojęce zostae wyjaśoe w statystyce matematyczej. Powody zostaą wyjaśoe przy omawau Statystyk matematyczej..3.. Odchylee stadardowe daych statystyczych Odchylee stadardowe wyzaczae jest jako perwastek z waracj. Przykład. s x = Oblczyć odchylee stadardowe wyków egzamu podaych w przykładze.. Odchylee moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. s x Wykorzystao fukcję statystyczą ODCH.STANDARDOWE wpsując wcześej dae w komórk A:A0..3.3. Współczyk zmeośc daych statystyczych s v x x = 00% x przy załoŝeu, Ŝe x 0..3.4. Rozstęp daych r0 = x max xm gdze: x m ajmejsza daa statystycza, x max ajwększa daa statystycza. Rozstęp moŝa wyzaczyć jako róŝcę wyków uzyskwaych za pomocą dwóch fukcj statystyczych arkusza Excel: MAX MIN..3.5. Przedzał typowych jedostek populacj x s ; x + s x x 6

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Iterpretacja charakterystyk rozproszea Waracja, odchylee stadardowe, współczyk zmeośc rozstęp są przykładam charakterystyk rozproszea (zmeośc, zróŝcowaa). KaŜda z tych charakterystyk ma wartość rówą zeru tylko w przypadku rówych wszystkch daych statystyczych (e ma wtedy zróŝcowaa daych) ma coraz wększą wartość, gdy dae są bardzej zróŝcowae. Waracja odchylee stadardowe merzą rozproszee daych statystyczych od ch średej arytmetyczej. Jeśl dae statystycze są wyraŝoe w pewych jedostkach, to waracja jest wyraŝoa w tej jedostce do kwadratu. Tej edogodośc e ma odchylee stadardowe. Współczyk zmeośc wyraŝa, jak procet staow odchylee stadardowe względem wartośc średej arytmetyczej. Jest welkoścą emaowaą (bez jedostk). Nadaje sę węc do porówywaa zróŝcowaa cech populacj wyraŝoych w róŝych jedostkach. Rozstęp wyraŝa długość ajkrótszego przedzału, do którego aleŝą wszystke dae statystycze..3.5. Kwatyle Kwatylem rzędu p (p-tym kwatylem) cechy X populacj azywamy lczbę (ozaczee k p ) taką, Ŝe co ajmej p procet daych statystyczych jest mejszych lub rówych tej lczbe oraz co ajmej -p procet daych statystyczych jest wększych lub rówych tej lczbe, przy czym lczba p (0; ). Kwartyle q, q, q 3 perwszy, drug oraz trzec są to kwatyle odpowedo rzędu 0,5, 0,50, 0,75. Kwartyl drug q jest oczywśce medaą cechy X. Kwtyl to kwatyl rzędu /5 (perwszy kwtyl, doly kwtyl 6 ), /5, 3/5 lub 4/5 (czwarty kwtyl, góry kwtyl). 0% obserwacj ma wartośc poŝej dolego kwtyla, a 0% powyŝej górego kwtyla. Decyle d, d,, d 9 perwszy, drug td. do dzewątego są to kwatyle odpowedo rzędów 0,, 0,,, 0,9. Cetyle c, c,, c 99 perwszy, drug td. oraz dzewęćdzesąty dzewąty są to kwatyle odpowedo rzędu 0,0, 0,0,, 0,99 cetyl jest węc welkoścą, poŝej której padają wartośc zadaego procetu próbek. UŜywa sę takŝe azwy percetyl. Kwartyle, kwtale, decyle cetyle dzelą dae statystycze a odpowedo cztery, dzesęć oraz sto rówolczych podzborów, co wykorzystuje sę, gdy daych statyczych jest duŝo. Przykład.3 Badao wydajość 0 serwsatów. Otrzymae dae, dotyczące czasu usuwaa określoej awar, uporządkowao emalejąco 48, 5, 53, 54, 56, 64, 65, 68, 68, 68, 70, 7, 7, 73, 74, 76, 83, 87, 89, 0 Oblczymy kwatyle rzędu 0,5 rzędu 0,8. Oblczamy 5% lczebośc daych statystyczych = 0, l = 0,5 0 = 3 Zatem k 0,5 = x (3) = 53 (trzec wyraz w uporządkowaym emalejąco cągu daych statystyczych) Sprawdzmy, czy otrzymay wyk jest zgody z defcją kwatyla k 0,5. 6 Przy pomocy kwtyl często redaguje sę zasadę Pareto: doly kwtyl obektów geeruje 80% zasobów. 7

STATYSTYKA OPISOWA Daych statystyczych co ajwyŝej rówych 53 mamy 3, czyl 5% wszystkch daych, atomast daych co ajmej rówych 53 mamy 8, czyl 90%, co jest wększe od 00% 5% wszystkch daych. Kwatyl k 0,5 został zatem wyzaczoy poprawe. Oblczamy 8% lczebośc daych statystyczych l = 0,8 0 = 5,6 6 Przyjmujemy, Ŝe k 0,8 = x (6) = 64. Rzeczywśce, daych co ajwyŝej rówych 64 mamy 6, co staow 30% wszystkch daych. Jest to węcej Ŝ 8%. Z drugej stroy daych co ajmej rówych 64 mamy 5, co staow 75% wszystkch daych. Jest to węcej Ŝ 00% - 8%. Zatem kwatyl k 0,8 został wyzaczoy poprawe. ZauwaŜmy, Ŝe w tym przypadku kaŝda lczba z przedzału (56; 64> jest kwatylem k 0,8. Oblczymy teraz trzec kwartyl q 3. PoewaŜ 75% lczby 0 wyos 5, to q 3 = x (5) =73. Kwartyle moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co dla trzecego lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą KWARTYL wpsując wcześej dae w komórk a7:t7..3.6. Wskaźk struktury RozwaŜmy cechę X pewe warat tej cechy. Wskaźk struktury waratu cechy X populacj jest to stosuek lczby daych statystyczych rówych waratow do lczby wszystkch daych statystyczych k w = k lczba daych statystyczych rówych daemu waratow, lczba wszystkch daych statystyczych. 8

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Przykład.4 Populacja: Parta towaru lcząca 000 sztuk w tym 30 wadlwych. Cecha populacj X: zmea losowa przyjmująca, gdy sztuka jest wadlwa wartość 0, gdy sztuka jest dobra. Wskaźk struktury waratu (sztuka wadlwa) jest rówy 30 w = 3% 000 = w rozwaŝaej sytuacj azywa sę wadlwoścą towaru, ozacza procet sztuk wadlwych w całej part. Przykład.5 Oblczymy częstośc występowaa wyków egzamu podaych w przykładze., korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustrują poŝsze rysuk. 9

STATYSTYKA OPISOWA.4. Charakterystyk asymetr 7.4.. Współczyk asymetr Współczyk asymetr = k 3 sx a = (x x) gdze s jest odchyleem stadardowym, zaś lczk azywa sę mometem cetralym rzędu 3, Wskaźk asymetr x d a s = sx gdze x, d, s są odpowedo średą, domatą odchyleem stadardowym cechy X. Jest to tzw. klasyczy merk asymetr stadaryzoway. Jeśl a k a s są rówe 0, to rozkład cechy X jest symetryczy, jeśl są róŝe od zera, to rozkład jest asymetryczy, przy czym, jeśl są dodate, to asymetra rozkładu jest prawostroa, jeśl są ujeme, to asymetra jest lewostroa. Wartość bezwzględa współczyka wskaźka asymetr merzy słę asymetr, m jest wększa tym asymetra jest slejsza. Współczyk wskaźk asymetr są jedostkam emaowaym, mogą węc słuŝyć do porówywaa asymetr cech populacj wyraŝoych w róŝych jedostkach. Uwaga: W pakece Excel współczyk asymetr moŝa oblczyć za pomocą fukcj statystyczej SKOŚNOŚĆ w której stosoway jest eco zmeoy wzór a współczyk asymetr a ' = K = 3 ( )( ) sx 3 (x x) po to, aby zapewć eobcąŝoość współczyka, pojęce zostae wyjaśoe w statystyce matematyczej. 3 7 UŜywaa jest azwa skośość. 0

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE.4.. Iterpretacja symetr w przypadku rozkładu jedomodalego 8 W tym przypadku medaa jest zawarta mędzy średą domatą, czyl prawdzwa jest jeda z poŝszych erówośc podwójych x me d lub d me x Zatem: Jeśl cecha X populacj ma rozkład symetryczy, to średa arytmetycza, medaa domata tej cechy są sobe rówe x = me = d, tz. w cągu uporządkowaych mootocze daych statystyczych, a lewo a prawo od średej jest tyle samo tych daych oraz średa jest rówa ajczęścej występującej daej statystyczej (rys..). Rys... Rozkład symetryczy Jeśl cecha X populacj ma rozkład asymetryczy o asymetr prawostroej (dodatej), azyway takŝe rozkładem prawostroe skośym, to jest węcej daych statystyczych mejszych od średej Ŝ daych statystyczych wększych od tej średej oraz ajczęścej występująca daa statystycza jest Rys..3. Rozkład o asymetr prawostroej mejsza od średej (rys..3). Jeśl cecha X populacj ma rozkład asymetryczy o asymetr lewostroej (ujemej), azyway takŝe rozkładem o lewostroe skośym, to jest węcej daych statystyczych wększych od średej Ŝ daych statystyczych mejszych od tej średej, oraz ajczęścej występująca daa statystycza jest wększa od średej (rys..4). Rys..4.Rozkład o asymetr lewostroej Przykład.6 Oceć kurtozę rozkładu oce z egzamu w dwóch grupach, które podao w poŝszej tabel. 3 4 5 6 Grupa 3 3 Grupa 3 6 8 Wyk oblczeń z wykorzystaem fukcj statystyczej SKOSNOŚĆ. 8 Rozkładu z tylko jedą domującą wartoścą.

STATYSTYKA OPISOWA Rozkłady oce przedstawają poŝsze rysuk. 0 8 6 4 0 3 3 3 4 5 6 8 7 6 5 4 3 0 3 4 5 6

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE I w końcu wyk oblczea charakterystyk lczbowych korzystając z arzędza Statystyka opsowa paketu Aalyss ToolPak. Rekomeduje sę Czytelkow przeaalzowae powyŝszych wyków..4.3. Iterpretacja asymetr za pomocą wykresu szeregu rozdzelczego Za pomocą wykresu szeregu rozdzelczego łatwo określć stee asymetr jej zak, maowce: Jeśl wykres szeregu rozdzelczego cechy populacj jest symetryczy względem pewej prostej prostopadłej do os odcętych (prostej o rówau postac x = a), to cecha ta ma rozkład symetryczy - patrz rys...5 (średa, medaa domata są rówe a). Jeśl wykres szeregu rozdzelczego cechy populacj e jest symetryczy względem Ŝadej prostej prostopadłej do os odcętych jego prawa część jest wydłuŝoa, to cecha ta ma rozkład asymetryczy o asymetr dodatej, czyl prawostroej (patrz rysuk.3,.6). Jeśl wykres szeregu rozdzelczego cechy populacj e jest symetryczy względem Ŝadej prostej prostopadłej do os odcętych jego lewa część jest wydłuŝoa, to cecha ta ma rozkład asymetryczy o asymetr ujemej, czyl lewostroej patrz (rysuk.4..7). PoŜsze trzy wykresy szeregów rozdzelczych dotyczą odpowedo cechy o rozkładze symetryczym, asymetryczym o asymetr dodatej asymetryczym o asymetr ujemej. 3

STATYSTYKA OPISOWA Rys..5. Rozkład symetryczy.5. Charakterystyk spłaszczea 9 Merk spłaszczea Współczyk spłaszczea (kurtoza) Rys..6. Rozkład asymetryczy o asymetr prawostroej (dodatej) m = (x x) 4 = 4 (x x) = k = 3 4 sx 4 Rys..7. Rozkład asymetryczy o asymetr lewostroej (ujemej) Kuroza jest marą skupea wokół średej arytmetyczej, m wększa jest jej wartość, tym bardzej wartośc zmeej kocetrują sę wokół średej marą odesea jest rozkład ormaly. Jeśl kuroza jest ujema, to rozkład jest bardzej spłaszczoy od ormalego 0, jeśl dodata, to rozkład jest bardzej wysmukły Ŝ ormaly. Uwaga: W pakece Excel współczyk asymetr moŝa oblczyć za pomocą fukcj statystyczej KURTOZA w której stosoway jest eco zmeoy wzór k 4 (x x) ' ( + ) = 3( ) = 4 x ( )( )( 3) s ( )( 3) po to, aby zapewć eobcąŝoość współczyka, pojęce zostae wyjaśoe w statystyce matematyczej. Przykład.7 Oceć kurtozę rozkładu oce z egzamu w dwóch grupach, które podao w poŝszej tabel. 3 4 5 6 Grupa 3 3 Grupa 3 6 4 3 9 Ia azwa to charakterystyk ekscesu. 0 Patrz pukt 8... 4

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Wyk oblczeń z wykorzystaem fukcj statystyczej KURTOZA. Rozkłady oce przedstawają poŝsze rysuk. 6 0 5 8 4 6 3 4 0 3 4 5 6 0 3 4 5 6 5

STATYSTYKA OPISOWA.6. Podsumowae.6.. Wybrae charakterystyk lczbowe w postac grafczej CHARAKTERYSTYKI POŁ0śENIA Klasycze Pozycyje Średa arytmetycza Średa waŝoa Średa harmocza Medaa Domata (moda) Kwatyle Średa geometrycza Kwartyle Decyle Rysuek.8. Charakterystyk połoŝea Cetyle Rysuek.9. Charakterystyk rozproszea 6

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE.6.. MoŜlwośc oblczaa charakterystyk lczbowych w zaleŝośc od skal RODZAJ CHARAKTERYSTYKI NAZWA CHARAKTERYSTYKI SKALA Nomala Porządkowa Przedzałowa Średa arytmetycza + Średa harmocza + Mary połoŝea Średa geometrycza + Domata (moda) + + + Kwatyle + + Medaa + + Waracja + Mary zróŝcowaa Odchylee stadardowe + Odchylee przecęte + Rozstęp + + Mary asymetr (skośośc) Merk asymetr klasyczy + Mary spłaszczea Współczyk spłaszczea +.6.3. MoŜlwośc oblczaa charakterystyk lczbowych w arkuszu Excel Lp Charakterystyk lczbowe Fukcje statystycze STATYSTYKA OPISOWA. Średa arytmetycza ŚREDNIA +. Medaa MEDIANA 3. Domata WYST.NAJCZESCIEJ + 4. Średa waŝoa SUMA.ILOCZYNÓW 5. Średa ucaa ŚREDNIA.WEWN 6. Średa geometrycza ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA 7. Średa harmocza ŚREDNIA.HARMONICZNA 8. Waracja WARIANCJA + 9. Odchylee stadardowe ODCH.STANDARDOWE + 0. Kwartle KWARTYL +. Współczyk asymetr SKOŚNOŚĆ +. Współczyk spłaszczea KURTOZA + Dzałaa a ragach e maja uzasadea 7

STATYSTYKA OPISOWA.7. Przykłady aalzy statystyczej daych Zakładamy, Ŝe cecha X populacj jest merzala. Aby pozać strukturę tej cechy aleŝy zgromadzć opracować dae statystycze. Opracowae daych statystyczych polega a ch prezetacj (tabelaryczej grafczej) oraz oblczeu charakterystyk lczbowych. Podamy przykłady aalzy gdy cecha X jest skokowa o umarkowaej lczbe waratów (do 5). Daych statystyczych jest zacze węcej Ŝ waratów. Z powyŝszych załoŝeń wyka, Ŝe ektóre waraty cechy muszą sę powtarzać. Ozaczea X - cecha populacj, r - lczba waratów, w, w,..., w r - waraty cechy X, - lczba daych statystyczych, - lczebość waratu w ( le razy powtarza sę warat w ) Prezetacja daych statystyczych Tabelarycza - za pomocą szeregu statystyczego puktowego Warat w Lczebość w w w r Suma grafcza - wykres szeregu puktowego Charakterystyk lczbowe Wzory a średą arytmetyczą, warację współczyk asymetr przyberają teraz postać: r Średa arytmetycza Waracja Współczyk asymetr r x = w = s (w x) r x = = a = k = 3 sx r ( w - x) 3 Przykład.8 Badao lczbę błędów w kodze źródłowym 30 programstów (cecha X populacj). Otrzymao astępujące wyk: 3,,, 3, 4, 5, 3,, 0,, 6, 3, 4, 5, 3,, 5, 3, 0,,,, 4, 3, 4, 4, 3,, 6, 5. Opracujemy te dae. Prezetacja tabelarycza: Szereg statystyczy puktowy Lczba błędów w 0 3 4 5 6 Razem Lczebość 4 5 8 5 4 30 JeŜel cecha ma rozkład skokowy waratów jest duŝo lub ma rozkład cągły dae statystycze grupujemy w klasach, których lczba zaleŝy od lośc daych. Tym przypadkem e będzemy sę zajmować. 8

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Prezetacja grafcza Hstogram Wykres kołowy 9 8 Lczba maszystek 7 6 5 4 3 7% 3% 7% 6% 7% 3% 7% 0 3 4 5 6 0 0 3 4 5 6 Lczba błędów Rys..0 Prezetacje grafcze daych Charakterystyk lczbowe Lczba błędów w Lczebość w Lczebość skumulowaa 3 s (w x) 0 0 8 4 4 6 6 5 0 5 3 8 4 9 0 4 5 0 4 5 5 4 0 8 6 6 30 8 Razem 30 90 78 Charakterystyk tedecj cetralej Charakterystyk zróŝcowaa r 90 x= w = =3 s = 30 x =,6 m e= x ( 5) +x ( 6) = [ 3+3 ] =3 - patrz 4 s =,6 d = 3 r 0 = 6 0 = 6 v = 53,3 % Przedzał typowych jedostek populacj <,39 ; 4,6>. Do tego przedzału aleŝą programśc, którzy popełl, 3 lub 4 błędy. Jest ch 8. Rozkład cechy jest symetryczy, bo x = m e = d, węc wskaźk asymetr a = 0. Hstogram jest symetryczy względem prostej x = 3. 3 Suma lczebośc daych statystyczych rówych waratow w oraz lczebośc wszystkch waratów < w. 4 x (5) x (6) ozaczają pętasty szesasty wyk w cągu uporządkowaych emalejąco daych. Z czwartej kolumy tabel wyka, Ŝe x () do x (9) są rówe 3. 9