PODSTAWY > Figury płaskie (2) TWIERDZENIE PITAGORASA Twierdzenie Pitagorasa dotyczy trójkąta prostokątnego, to znaczy takiego, który ma jeden kąt prosty. W trójkącie prostokątnym boki, które tworzą kąt prosty, nazywamy przyprostokątnymi, a trzeci bok nazywamy przeciwprostokątną. Twierdzenie Pitagorasa mówi o tym, że jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych, jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej. W praktyce, oznacza to, że dla każdego trójkąta prostokątnego, możemy zapisać równość: UWAGA: Nie zapisujmy powyższego równania bezmyślnie. Będzie wyglądało inaczej, jeżeli w zadaniu poszczególne boki będą miały inne oznaczenia. Należy zawsze zwrócić uwagę, gdzie w trójkącie jest kąt prosty, a więc które boki to przyprostokątne. Przykład: 1
Gdy już ułożymy równanie dla danego trójkąta prostokątnego, należy podstawić wartości liczbowe i rozwiązać równanie, w wyniku czego otrzymujemy długość nieznanego boku. Przykład: Jedna z przyprostokątnych w pewnym trójkącie prostokątnym ma długość 4cm. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej, jeżeli przeciwprostokątna ma długość 5cm. dane: UWAGA: Za pomocą twierdzenie Pitagorasa możemy obliczyć długość danego boku, tylko wtedy, gdy dwa pozostałe boki są znane (jak w powyżej przedstawionym przykładzie) lub, gdy możemy w jakiś sposób zredukować liczbę niewiadomych. Tą drugą możliwość przedstawimy na przykładzie. Przykład: Oblicz długość przyprostokątnych w pewnym trójkącie prostokątnym, jeżeli stosunek ich długości wynosi: 3:4, a przeciwprostokątna ma długość 10cm. dane: 2
Odpowiedź: Przyprostokątne mają długości: 6cm i 8cm. Zadanie 1 Oblicz długość nieznanego boku trójkąta prostokątnego. 3
a) b) TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA PITAGORASA Twierdzenie odwrotne mówi o tym, że jeżeli w danym trójkącie suma kwadratów dwóch boków jest równa kwadratowi trzeciego boku, to ten trójkąt jest prostokątny. W praktyce, twierdzenie to służy nam do sprawdzenia, czy dany trójkąt jest prostokątny. Możemy je wykorzystać, gdy znamy długości wszystkich boków danego trójkąta. Dla danego trójkąta zapisujemy równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa, zakładając, że przeciwprostokątną jest bok najdłuższy. Następnie wykonujemy obliczenia po obu stronach równania: - jeżeli strony równania okażą się takie same: L = P, to znaczy, że trójkąt jest prostokątny; - jeżeli strony równania będą się różnić: L P, to znaczy, że trójkąt nie jest prostokątny. Przykłady: - Czy trójkąt o bokach: 9cm, 12cm, 15cm jest prostokątny? 4
Odpowiedź: Trójkąt o bokach: 9cm, 12cm, 15cm jest prostokątny. - Czy trójkąt o bokach: 5cm, 8cm, 11cm jest prostokątny? Odpowiedź: Trójkąt o bokach: 5cm, 8cm, 11cm nie jest prostokątny. UWAGA: Gdy mamy do czynienia z długościami boków zawierającymi pierwiastki, trudniej ocenić, który z boków trójkąta jest najdłuższy. Aby dokonać tej oceny, należy wartości liczbowe wstawić pod pierwiastki. Przykład: Mamy do oceny trójkąt o bokach: Wstawiamy wartości liczbowe pod pierwiastki: Teraz możemy stwierdzić, który bok jest najdłuższy i zapisać dla trójkąta twierdzenie Pitagorasa: 5
Odpowiedź: Dany trójkąt nie jest prostokątny. Zadanie. Sprawdź, czy trójkąty o podanych bokach są prostokątne. a) 6cm, 8cm, 10cm b) c) 4cm, 5cm, 7cm PODOBIEŃSTWO FIGUR PŁASKICH Dwie figury są podobne, gdy mają takie same kąty, a ich boki są proporcjonalne. Proporcjonalność boków dwóch figur polega na tym, że każdy z boków pierwszej jest tyle samo razy większy lub mniejszy od odpowiadających im boków drugiej figury. Przykład: Figura podobna i podstawowa Mając dwie figury podobne, należy ustalić (zazwyczaj jest to konieczne), która figura spośród tych dwóch jest figurą podobną. Drugą figurę będziemy nazywać umownie podstawową. Ustalenie, która z figur jest "podstawowa", a która podobna, jest niezwykle ważne przy rozwiązywaniu zadań. Dochodzimy do tego na podstawie treści. Jeżeli w treści nie znajdzie 6
się informacja, która pozwoliłaby nam to ustalić, znaczy to, że w przypadku danego zadania nie ma to znaczenia. Wtedy sami decydujemy, która figura będzie "podstawową", a która podobną. Przykład: Stwierdzenie: Trójkąt EFG jest podobny do trójkąta ABC, mówi nam, że trójkątem" podstawowym" jest trójkąt ABC, do którego trójkątem podobnym jest trójkąt EFG Oznaczanie figur podobnych Dla ułatwienia, gdy sami możemy oznaczyć dwie figury podobne, możemy oznaczać figurę podobną takimi samymi literami, co figurę podstawową, ale ze znakiem (czyt. prim). Nie ma znaczenia czy używamy małych liter, czy oznaczamy figurę używając dużych liter stawianych przy wierzchołkach. Przykład: Skala podobieństwa Skala podobieństwa mówi nam o tym ile razy figura podobna jest większa/mniejsza od figury podstawowej. Oznaczamy ją literą k. Skalę podobieństwa możemy obliczyć dzieląc przez siebie odpowiadające sobie boki lub obwody figur podobnych. 7
Dzielimy zawsze wielkości FIGURY PODOBNEJ, przez wielkości FIGURY PODSTAWOWEJ Przykład: Oblicz skalę podobieństwa dwóch prostokątów: Stosunek pól figur podobnych Stosunek pól dwóch figur podobnych (tu także dzielimy pole figury podobnej przez pole figury podstawowej) daje nam skalę do kwadratu (proszę o tym pamiętać - wielu gimnazjalistów i licealistów zapomina, że w przypadku pól, skalę podnosimy do kwadratu): 8
Przykład: Oblicz skalę podobieństwa dwóch figur podobnych, jeżeli ich pola wynoszą : dane: obliczamy: Odpowiedź: Skala podobieństwa figur wynosi 3. Zadanie 1. Drzewo o wysokości 4m rzuca cień o długości 8m. O tej samej porze dnia znak drogowy rzuca cień o wysokości 3m. Oblicz wysokość znaku drogowego. 9
Zadanie 2. Oblicz pole trójkąta podobnego w skali 2, do trójkąta o polu. ZADANIA TEKSTOWE Zadania tekstowe wymagają nie tylko znajomości zagadnień z zakresu figur płaskich, ale również umiejętności dostrzegania własności danej figury i decydowania z jakich zagadnień będziemy korzystać. By to sobie ułatwić, można trzymać się schematu, który przedstawimy poniżej na przykładowym zadaniu. Zadanie: Oblicz obwód trapezu równoramiennego o podstawach: 13cm i 7cm oraz polu o wartości 40. Zadanie dzielimy na kilka podstawowych części: I. Rysunek pomocniczy i dane Rysujemy opisane w zadaniu figury, oznaczamy poszczególne boki i kąty (jeżeli są podane) i wypisujemy dane. Rysujemy w danej figurze i oznaczamy także te długości, których wielkości nie są podane w zadaniu, ale które są istotne dla danej figury (np. wysokość, bo w przypadku większości figur, pojawia się we wzorze na pole). dane: 10
II. Wypisanie wzorów Zapisujemy wzory na wielkości, które mamy policzyć, ale nie tylko. Jeżeli w zadaniu mamy podane wielkości, na które istnieje jakiś wzór (pole, obwód, skala podobieństwa itp.) także go zapisujemy. Wzór zapisujemy przy pomocy symboli, jakie przyjęliśmy wcześniej. Ponadto warto wyróżnić we wzorach te elementy, których wartości nie znamy. wzory: III. Ustalenie jakie będziemy wykonywać obliczenia i w jakiej kolejności Ta część jest najtrudniejsza. Wymaga samodzielnego myślenia, a do każdego zadania należy podejść indywidualnie. Można sobie tą część ułatwić. 1) Należy przeanalizować daną figurę pod kątem narzędzi, z jakich możemy korzystać. Patrząc na daną figurę szukajmy: - trójkątów prostokątnych będziemy mogli skorzystać z twierdzenia Pitagorasa; - kątów przeciętych prostymi równoległymi będziemy mogli skorzystać z twierdzenia Talesa; - kwadratów lub trójkątów równobocznych będziemy mogli skorzystać ze wzoru na przekątną kwadratu lub na wysokość trójkąta równobocznego. 2) Przeanalizujmy także wypisane w zadaniu wzory. Któryś z nich może nam posłużyć do obliczenia potrzebnej w zadaniu wielkości. 3) Rozpatrzmy daną figurę pod kątem innych własności, które mogą okazać się pomocne. Ostatecznie należy jeszcze ustalić kolejność wykonywanych działań. 11
IV. Wykonujemy obliczenia Rozwiązanie: 12
Odpowiedź: Obwód trapezu wynosi 30cm. 13
Zadanie 7 Oblicz pole rombu o boku 5cm i dłuższej przekątnej o długości 8cm. 14
Odpowiedź: Pole rombu wynosi 24cm 2. Zadanie 8 Oblicz obwód trójkąta równoramiennego o wysokości cm i podstawie 8cm. 15
Odpowiedź: Obwód trójkąta wynosi 20cm. Zadanie 9. Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach 12cm i 6cm oraz ramionach o długości 16
5cm. Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 36cm 2. 17