Zadanie 1 Naszkicuj wykres funkcji f x ={ x2 dla x < 2,1) x 2 2x dla x < 1,3> }

Zadanie 1 Naszkicuj wykres funkcji f x ={ x2 dla x < 2,1) x 2 2x dla x < 1,3> } Tworzymy sobie tabelkę dla wybranych punktów w danych przedziałach: 1) X -2-1 0 1 Y -4-1 0-1 2) X 1 2 3 Y -1 0 3 Szkicujemy wykres, stworzony, że szkiców dwóch fragmentów wykresów funkcji

Zadanie 2 Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe: - 4 oraz 2 i można ją opisać wzorem mającym postać f x =a x 2 x 4, a 0. Wykaż, że najmniejszą wartością funkcji f jest 4,5. Najmniejszą wartość funkcji odczytujemy jako współrzędną q(y) wierzchołka paraboli. Wzór na tą współrzedną jest następujący: q= 4a Wzór na " deltę " ( ) jest następujący: =b 2 4 a c Do rozwiązania zadania potrzebujemy zatem współrzędne a, b, c : - współrzędne b i c odczytujemy z podanego wzoru funkcji, adekwatnie: b = 1, c = -4 Do wyliczenia współczynnika a wykorzystujemy dane w zadaniu miejsca zerowe funkcji. Czyli odpowiednio x 1 = 4 i x 2 =2. Ze wzorów na miejsca zerowe funkcji tworzymy układ równań: b } {x1= x 2 = b Następnie za x 1 i x 2 oraz b, podstawiamy dane podane w treści zadania, otrzymując: 1 } { 4= 2= 1 Przekształcamy wrażenia: { 8a= 1 4a= 1 } Dodajemy stronami oba równania: 8a 4a= 1 1 Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe: 4a= 2 a= 1 2 Mając kompletne dane do wyliczenia wartości najmniejszej q, podstawiamy je do wzou: q= 4a q= b2 4 a c 4a 1 4 1 2 4 q= 4 1 2 q= 9 2 q= 4,5 Zatem prawdą jest, iż najmniejszą wartością funkcji jest liczba 4,5.

Zadanie 3 Funkcję kwadratową opisuje wzór f x = x m 2 4p. Podaj wartość parametrów m oraz p, wiedząc, że dla argumentu 3 funkcja przyjmuje największą wartość równą 36. Następnie oblicz miejsca zerowe funkcji f. Wykorzystując wiadomość, iż największa wartość jest zarazem współrzędną q wierzchołka paraboli odczytujemy jej wartość ze wzoru na postać kanoniczną funkcji: - wzór na podstać kanoniczną wygląda następująco: y=a x p 2 q, gdzie p i q to współrzędne wierzchołka - zatem q = - 4p, a także q = 36 - z danej zależności wyliczamy parametr p: * - 4p = 36 p = -9 Po podstawieniu do wzoru wyliczonego parametru otrzymujemy postać: f x = x m 2 36 W celu wyliczenia parametru m, wykorzystujemy daną w zadaniu zależność pomiędzy argumentem 3 a wartością 36, podstawiajac je do wzoru: 36= 3 m 2 36 Następnie rozwiązujemy proste równanie: 3 m 2 =0 Żeby kwadrat jakiejkolwiek liczby wynosił 0, to liczba podnoszona do kwadratu musi być równa 0, zatem: 3 m=0 m= 3 Mając wyliczone parametry m i p, sprowadzamy funkcję do postaci ogólnej, żeby wyliczyć miejsca zerowe. - po podstawieniu wyliczonych parametrów, funkcja ma postać: f x = x 3 2 36 - następnie wykonujemy przekształcenia, zgodnie z kolejnością wykonywania działań: f x = x 2 6x 9 36 f x = x 2 6x 9 36 f x = x 2 6x 27 Gdy posiadamy już postać ogólną funkcji odczytujemy wartości współczynników a, b i c, następnie podstawiamy je do wzrów na miejsca zerowe funkcji: * a = -1 b = 6 c = 27 * =b 2 4 a c =36 4 1 27 =36 108 =144 =12 * x 1 = b x 1 = 6 12 2 x 1 = 18 2 x 1 =9 x 2 = 3 x 2 = b x 2 = 6 12 2 x 2 = 6 2

Zadanie 4 Wierzchołek paraboli będacej wykresem funkcji kwadratowej f x = 2 x 1 x b znajduje się w punkcie W 1 2,4 1 2. Wyznacz zbiór wszystkich argumentów dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne. Zauważamy, iż dana postać funkcji w zadaniu, to postać iloczynowa, zatem niewiadoma b, to miejsce zerowe funkcji. Mając dane współrzędne wierzchołka paraboli, możemy obliczyć współczynniki funkcji we wzorze na postać ogólną, oznaczając współczynniki jako a, d, c, aby współczynnik, który zazwyczaj przyjmujemy za "b" nie kolidował z naszą niewiadomą liczbą "b" daną w zadaniu. W takim przypadku wzór na postać ogólną wygląda następująco: f x =a x 2 dx c W celu wyliczenia współczynników ( które potrzebne będą do wyliczenia miejsca zerowego) sprowadzamy daną funkcję to postaci ogólnej: f x = 2 x 1 x b wymnażamy wyrażenia w nawiasach f x = 2x 2 x b wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, tak aby uzyskać postać ogólną funkcji f x = 2x 2 2bx 2x 2b f x = 2x 2 2b 2 x 2b Mając daną funkcję w postaci ogólnej, korzystamy ze wzoru na współrzędną p wierzchołka. p= d Podstawiamy za p daną liczbę tj. 1 2 1 2 = 2b 2 2 2 Rozwiązujemy równanie:, a za d i a odpowiednie wartości współczynników: 1 2 = 2b 2 / 4 4 2= 2b 2 2b=4 b= 2 Zatem podstawiamy sobie do wzoru danego w zadaniu niewiadomą b, otrzymując: f x = 2 x 1 x 2 Na podstawie otrzymanego wzoru funkcji rysujemy szkic jej wykresu: - miejsca zerowe odczytujemy : x 1 =1 i x 2 = 2 - współczynnik a < 0 zatem funkcja malejąca - zatem szkic wykresu funkcji wygląda następująco: Z wykresu odczytujemy argumenty dla ktorych funkcja przyjmuje wartosci nieujemne (nieujemne tzn. dodatnie i 0 ) Wiec x < 2, 1 >

Zadanie 5 Do wykresu funkcji kwadratowej nalezy punkt A(6, -6), a dla argumentu 10 funkcja przyjmuje najwieksza wartosc rowna 2. Wyznacz wzor funkcji f w postaci ogolnej. Majac dane wspolrzedne punktu bedacego najawieksza wartoscia, mamy zarowno wspolrzedne wierzcholka, ktore mozemy wykorzystac do zapisania postaci kanonicznej funkcji: f x =a x p 2 q dla argumentu 10 funkcja przyjmuje najwieksza wartosc rowna 2, zatem wspolrzedne wierzcholka to: p=2 i q=10 f x =a x 2 2 10 Wykorzystujac wspolrzedne punktu A, wyliczamy wspolczynnik a: - podstawiamy wspolrzedne punktu A do wzoru funkcji 6=a 6 2 2 10 -wyliczamy a: 6=16a 10 16a= 16 a= 1 Wyliczony wspolczynnik a podstawiamy do wzoru na postac kanoniczna funkcji I zamieniamy ja na postac ogolna: f x = x 2 2 10 f x = x 2 4x 4 10 f x = x 2 4x 4 10 otrzymujemy wzor na postac ogolna funkcji: f x = x 2 4x 6

Zadanie 6 Wyzacz wartosci b oraz c, jesli wiadomo, ze funkcja kwadratowa f x = x 2 bx c jest rosnaca w przedziale (,2> I malejaca w przedziale < 2, ), a wierzcholek paraboli bedacy wykresem funkcji f znajduje sie na prostej: l: 5x y 18=0. Zauwazamy, ze do punktu o wspolrzednych (2, y) funkcja jest rosnaca, a od niego malejaca, zatem punkt ten jest wierzcholkiem paraboli. W celu uzyskania drugiej wspolrzednej wierzcholka paraboli, wykorzystujemy informacje, iz lezy on na prostej l, podstawiamy zatem dane naszego wierzcholka do rownania tej prostej I wyliczamy wspolrzedna y: 5x y 18=0 y=5 2 18 y= 8 W celu wyznaczenia wartosci wspolczynnikow b i c wykorzystujemy wzory na wspolrzedne wierzcholka: p= b wspolczynnik a odczytujemy z wzoru funkcji, wynosi on 1, zatem: 2= b 2 b= 4 b=4 nastepnie korzystajac, z wyliczonego wspolczynnika b i drugiej wspolrzednej wierzcholek, wyliczamy wspolczynnik c: q= 4a 8= b2 4 a c 4a 8= 16 4 1 c 4 32= 16 4c 32= 16 4c 4c=48 c= 12

Zadanie 7 Dla argumentu 6 wartosc funkcji kwadratowej f x =x 2 b 1 x 1 jest rowna 19. Wyznacz zbior wszystkich argumentow, dla ktorych funkcja f oraz funkcja kwadratowa g x =2 x 2 1 przyjmuja te sama wartosc: Na poczatku musimy we wzorze funkcji f wyliczyc niewiadoma b, zeby to zrobic, podstawiamy wspolrzedne danego punktu nalezacego do niej: 19=36 b 1 6 1 19 36 1= 6b 6 18= 6b 6 6b= 12 b=2 zatem postac funkcji f wyglada: f x =x 2 3 x 1 W celu rozwiazania zadania musimy przyrownac sobie obie funkcje: f x =g x x 2 3 x 1=2 x 2 1 2 x 2 x 2 3x 1 1=0 x 2 3x=0 wyciagamy wspolny czynnik przed nawias: x x 3 =0 odczytujemy odpowiedz do naszego zadania, obie funkcje przyjmuja te sama wartosc dla: x=0 x= 3

Zadanie 8 Wyznacz zbior wszystkich argumentow dla ktorych funkcja liniowa wartosci wieksze niz funkcja kwadratowa g x = x 2 2x 5. f x =3x 1 przyjmuje W celu rozwiazania zadania nalezy stworzyc nierownosc: f x g x 3x 1 x 2 2x 5 x 2 2x 3x 5 1 0 x 2 5x 4 0 po przeksztalceniu uzyskujemy nierownosc kwadratowa, zeby ja rozwiazac wyliczamy miejsca zerowe: =b 2 4ac =25 4 1 4 =25 16 =9 =3 x 1 = b x 1 = 5 3 x 2 = b x 2 = 5 3 2 2 x 1 =1 x 2 =4 Po wyliczeniu miejsc zerowych rysujemy szkic otrzymanej funkcji o miejscach zerowych x 1 =1i x 2 =4 : Z wykresu odczytujemy wartosci ujemne: x < 1,4> dla odczytanych wartosci funkcja f jest wieksza od funkcji g.

Zadania 9 Wyznacz wszystkie wartosci parametru m, dla ktorych funkcja kwadratowa f x = x 2 2x m 2 przyjmuje wartosci ujemne dla kazdej liczby x R. Funkcja przyjmuje wartosci ujemne dla kazdej liczby x R, gdy jej wspolczynnik a jest mniejszy od 0 i jest mniejsza od 0. - warunek pierwszy jest spelniony, musimy zatem rozwazyc warunek drugi 0 b 2 4 a c 0 4 4 1 m 2 0 4 4m 2 0 Zauwazamy wzor skroconego mnozenia a 2 b 2 = a b a b 2 2m 2 2m 0 m 1 =1 m 2 = 1 dla powyzszej nierownosci kwadratowej szkicujemy wykres: odczytujemy wartosci ujemne: x, 1 1, dla odczytanych wartosci parametru m funkcja przyjmuje wartosci ujemne dla kazdej liczby x R.

Zadanie 10 Funkcja kwadratowa f x = 2x 2 bx 3b 5 przyjmuje najwieksza wartosc dla argumentu 0,25. Oblicz f 1 2. Mając dana wspolrzedna p wierzcholka paraboli mozemy wyliczyc niewiadoma b we wzorze funkcji: - korzystamy ze wzoru na wspolrzedna p: p= b 0,25= b 4 b= 1 b=1 podstawiamy wyliczona niewiadoma do wzoru funkcji, otrzymujac: f x = 2x 2 x 2 obliczamy f 1 2 f 1 2 = 2 1 2 2 1 2 2 f 1 2 = 2 1 2 2 2 1 2 2 f 1 2 = 2 4 2 4 1 2 2 f 1 2 =3 2 7

Zadanie 11 Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, która posiada dwa miejsca zerowe: -2 i 5. a) Naszkicuj wykres funkcji g, gdzie g(x) = - f(x). Wykorzystujemy informacje, iż przy takiej zależności funkcji wykresy są symetryczne względem osi OX: b) Wiadomo, że funkcja h spełnia warunek: h x = f x 120. Wykaż, że h(125)=h(118) Zapisujemy wzór funkcji f(x): - dane mamy miejsca zerowe, zatem skorzystajmy z postaci iloczynowej: - nie znamy współczynnika a, zatem zapisujemy go jako niewiadomą f x =a x 2 x 5 Następnie zapisujemy wzór funkcji h(x) h x = f x 120 h x =a x 120 2 x 120 5 h x =a x 118 x 125 podstawiamy za x kolejno dane liczby tj. 125 i 118, następnie zauważamy, że bez znaczenia jaka jest wartość współczynnika a oba równania wynoszą 0, czyli przyjmują tą samą wartość: h 125 =0 h 118 =0

Zadanie 12 Współczynniki -2, a, b funkcji kwadratowej f x = 2 x 2 ax b, w podanej koljności, tworzą ciąg arytmetyczny, funkcja jest malejąca w zbiorze < 1, ). Wyznacz a i b. Wykorzystujemy informacje, że od punktu W (-1, q) funkcja jest malejąca, zatem punkt W jest naszym wierzcholkiem paraboli. Stosując wzór na pierwszą współrzędną wierzcholek wyliczamy współczynnik a: p= a zakładając, że we wzorze ogólnym oznaczenia współczynników wyglądają 2c następująco: f x =cx 2 ax b - podstawiamy dane z zadania: 1= a 4 a=4 a= 4 Wykorzystując dane z zadania, iż współczynniki tworzą ciąg arytmetyczny wyliczamy różnicę pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami tj. -2, -4: -4 = -2 + r r = -2 po wyliczeniu różnicy dodajemy ją do drugiego wyrazu, aby uzyskać współczynnik b (tak jak jest to wyliczane w ciągach arytmetycznych) b= a +r b= -4 + (-2) b= -6 Zatem nasze współczynnik wynoszą odpowiednio: a = - 4 i b = - 6.

Zadanie 13 Wykaż, że jeśli funkcje kwadratowe: f x =x 2 10x 25 oraz g x =2 x 2 ax 2b a mają wspólne miejsce zerowe to b = 3a 25. W celu rozwiązania zadania, na początku wyliczamy miejsce zerowe funkcji f: f x =x 2 10x 25 =b 2 4ac =100 4 1 25 =0 Gdy =0 istnieje tylko jedno miejsce zerowe, opisane wzorem: x 0 = b, więc: x 0 = 10 2 x 0 = 5 Następnie wyliczoną wartość przyrównujemy do wzorów na miejsca zerowe funkcji g: g x =2 x 2 ax 2b a * =b 2 4ac =a 2 4 2 2b a =a 2 16b 8a * x 1 = b x 2 = b przy założeniu następujących oznaczeń we wzorze funkcji kwadratowej f x =a x 2 bx c 5= a 5= a 4 4 20= a 20= a 20 a= / 2 20 a= / 2 a 2 40a 400= a 2 40a 400= po doprowadzeniu do takiej postaci zauważamy, że oba równania są takie same, zatem rozwiązujemy tylko jedno z nich: a 2 40a 400= podstawiamy wcześniej wyliczoną : a 2 40a 400=a 2 16b 8a 16b=a 2 40a 400 a 2 8a 16b= 48a 400 b=3a 25 założenie zostało udowodnione.

Zadanie 14 Wyznacz największą wartość funkcji f x = 1 2 x2 2x w przedziale < 11, 10>. Zauważamy, że funkcja w zależności od tego czy jest w danym fragmencie rosnąca czy też malejąca, największą wartość ma na skraju przedziału, zatem sprawdzamy jakie wartości przyjmuje funkcja dla tych argumentów i wybieramy większą z nich : * f 11 = 1 2 11 2 2 11 f 11 = 1 2 121 22 f 11 = 60,5 22 f 11 = 80,5 * f 10 = 1 2 10 2 2 10 f 10 = 50 20 f 10 = 70 Zatem funkcja ta w przedziale < 11, 10 > przyjmuje największą wartość -70.

Zadanie 15 Funkcja kwadratowa f x =x 2 px q przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x 1,3, wykaż, że p + q = - 5. Zauważamy, że jeśli tylko w podanym przediale funkcja przyjmuje wartości ujemne, to liczby -1 i 3 są miejscami zerowymi funkcji. Znając miejsca zerowe I współczynnik a możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej: f x = x 1 x 3 Następnie zamieniamy funkcję z postaci iloczynowej na postać ogólną: f x = x 1 x 3 f x =x 2 3x x 3 f x =x 2 2x 3 Odczytujemy niewiadome p i q i sumujemy je: p = - 2 q = -3 p + q = -2 + (-3) = -5 Równanie zostało wykazane.

Zadanie 16 Obwód prostokąta wynosi 4 m. Naszkicuj wykres funkcji f, która opisuje zależność między polem prostokąta, a długością jednego z boków prostokąta. Pamiętaj o określeniu dziedziny funkcji f. Oznaczamy sobie niewiadome: a, x boki prostokąta f pole prostokąta Zapisujemy wzór na pole prostokąta: f =a x w celu uzależnienia wzoru od jednej niewiadomej wykorzystjemy wzór na obwód prostokąta: + 2x = 4 wyznaczamy z niego a a = 2 x podstawiamy do wzoru: f = x 2 x Mając wzór funkcji opisującej zależność między polem prostokąta, a długością jednego z jego boków, musimy określić jej dziedzinę: x to bok prostokąta, zatem musi być większy od 0 + 2x = 4 a + x = 2 Skoro suma dwóch boków musi być równa 2, to wiadomo, że jeden bok musi mniejszy od 2 uwzględniając obie granice wyznaczamy dziedzinę: x 0,2

Zadanie 17 Zapisz wyrażenie x 2 3 x 2 x bez użycia wartości bezwzględnej, jeśli wiadomo, że x 1,0. Wynik przedstaw w najprostszej postaci: Sprawdzamy jakie jest wyrażenie ujęte w wartość bezwzględną dla x nalezacego do danego przedziału, jeśli jest ujemne opuszczamy wartość zmieniając znaki na przeciwne, jeśli dodatnie, opuszczamy wartość bezwzględną nie zmieniając znaku: x 2 3 x 2 x = x 2 3 x 2 x = x 2 3 2x x 2 = 2x 3