Podrozmaitość centralna skończenie wymiarowych układów dynamicznych

Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Marcin Styborski Podrozmaitość centralna skończenie wymiarowych układów dynamicznych Praca magisterska przygotowana w Katedrze Algebry pod kierunkiem prof. dr. hab. Kazimierza Gęby Gdańsk, sierpień 2005r.

Podziękowanie. Chciałbym wyrazić swoją wdzięczność Panu Profesorowi Kazimierzowi Gębie za podjęcie się opieki naukowej nad moją osobą podczas trwania studiów. Jako promotor niniejszej pracy magisterskiej, Profesor Gęba służył licznymi uwagami i wskazówkami, dzięki którym tekst pracy został poddany wielu przeobrażeniom, aby przybrać obecną formę. W tym miejscu podziękowania składam również Panu Doktorowi Zygfrydowi Kucharskiemu, który nie szczędził sił i czasu na wielogodzinne seminaria i dyskusje, w tle których dojrzewała moja decyzja o podjęciu dalszych kroków w kierunku matematyki. i

Spis treści 0 Wstęp 1 0.1 Notacja i terminologia.......................... 2 0.2 Co to jest podrozmaitość centralna?................... 3 0.3 Twierdzenia zasadnicze.......................... 5 1 Podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii układów dynamicznych 7 1.1 Pojęcia wstępne.............................. 7 1.2 Równoważność układów dynamicznych................. 9 1.3 Podrozmaitość i przestrzeń styczna................... 9 1.4 Potok generowany przez równanie różniczkowe............. 12 1.5 Twierdzenie o funkcji uwikłanej..................... 14 2 Twierdzenia przygotowawcze 16 2.1 Algebra liniowa.............................. 16 2.2 Promień spektralny............................ 17 2.3 Postać kanoniczna Jordana........................ 19 2.4 Lemat o odwzorowaniu zerowym..................... 20 2.5 Twierdzenie o homeomorfizmie...................... 21 2.6 Przestrzeń metryczna C 0,1........................ 23 3 Podrozmaitość centralna dla kaskady 24 3.1 Założenia o odwzorowaniu Φ....................... 24 3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań......... 25 3.2.1 Twierdzenie globalne....................... 26 3.2.2 Twierdzenie lokalne........................ 31 3.3 Istnienie podrozmaitości centralnej................... 34 3.4 Zasada redukcji.............................. 35 ii

SPIS TREŚCI iii 3.5 Uwaga na temat gładkości........................ 36 3.6 Interpretacja geometryczna procedury cut-off i skalowania...... 38 4 Twierdzenie o podrozmaitości centralnej dla potoków 40 4.1 Sformułowanie twierdzenia........................ 40 4.2 Dowód twierdzenia 4.1.......................... 41 4.3 Konstrukcja i zastosowanie........................ 44 4.4 Własności podrozmaitości centralnej.................. 50

Rozdział 0 Wstęp Praca zawiera główne wyniki z teorii rozmaitości centralnej (Centre manifold theory) skończenie wymiarowych układów dynamicznych. Ta stosunkowo młoda gałąź jakościowej teorii równań znajduje zastosowania szczególnie w teorii bifurkacji, pozwalając na redukcję wymiaru przestrzeni fazowej dla danego równania. Rolę, jaką pełni technika podrozmaitości centralnej w teorii bifurkacji, zilustrowałem na przykładzie układu Lorenza (przykład 4.3). Kilka przykładów dotyczy badania stabilności, gdyż podrozmaitość centralna daje duże możliwości również w tego typu zagadnieniach. Przedstawiony jest dowód twierdzenia o istnieniu podrozmaitości centralnej. Dla pełnego zrozumienia treści przytoczyłem wszelkie niezbędne twierdzenia, z których korzystałem. Z uwagi na to, żeby tekst nie przybrał na rozmiarze, wszystkich nie dowodziłem, odsyłając czytelnika do stosownej literatury. Dowód twierdzenia o istnieniu w głównej mierze oparty jest na podejściu przedstawionym w [10]. Pozycja ta jednak nie została opublikowana. Jest to obszerny skrypt z wykładów autora prowadzonych na uniwersytecie w Utrecht (Holandia). Dla większej przejrzystości przedstawionego materiału, układy dyskretne i układy ciągłe są potraktowane osobno. Dowód twierdzenia w przypadku układów ciągłych w dużej mierze bazuje na twierdzeniu dotyczącym przypadku dyskretnego. Wynika stąd, że większa część pracy skoncentrowana jest na dowodzie twierdzenia o podrozmaitości centralnej dla kaskady, natomiast zastosowania teorii dotyczą głównie przypadków układów ciągłych czyli potoków (precyzyjne definicje pojawią się w rozdziale 1). Aby nie pomniejszać roli układów dyskretnych wystarczy wspomnieć o odwzorowaniu Poincaré, które jest fundamentalnym narzędziem w badaniu orbit okresowych. Kompletny dowód istnienia i gładkości (dla prawej strony równania klasy C k, k 1 1

0.1 Notacja i terminologia 2 podrozmaitość jest klasy C k ) podrozmaitości centralnej podany przez Kelley ego, pojawił się po raz pierwszy w pracy [8] w 1967. Od tej pory ukazało się wiele pozycji, uogólniających teorię na przestrzenie Banacha, dzięki czemu znalazła ona zastosowanie na polu badań równań różniczkowych cząstkowych. Na szczególną uwagę zasługuje monografia [4] Applications of centre manifold Theory, czy też [12], gdzie znajduje sie dowód twierdzenia w przypadku nieskończenie wymiarowym i zastosowanie teorii do badania bifurkacji. 0.1 Notacja i terminologia Przez R n będziemy oznaczać n-wymiarową przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych R. Elementy R n oznaczamy standardowo jako x = (x 1, x 2,..., x n ). Definiując w R n iloczyn skalarny wzorem x, y := x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + x n y n, (0.1) możemy unormować R n zadając x := x, x. Od tej pory przestrzeń R n wraz z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem (0.1) będziemy nazywali rzeczywistą, n-wymiarową przestrzenią euklidesową. Niech X 1, X 2,..., X n będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej X. Powiemy, że przestrzeń X jest sumą prostą tych podprzestrzeni, co zapisujemy X = X 1 X 2... X n, jeśli każdy wektor x X ma jednoznaczne przedstawienie postaci x = x 1 + x 2 +... + x n, gdzie x i X i, i = 1,..., n. Zamiast pisać x = x 1 +... + x n, punkty przestrzeni X będziemy zapisywali w postaci x = (x 1,..., x n ). Jeśli (X, ϱ) jest przestrzenią metryczną, to zbiór Br X (x) := {y X : ϱ(x, y) < r} nazywamy kulą o środku w punkcie x i promieniu r. B X r (x) jest zbiorem otwartym. Nietrudno pokazać, że kula

0.2 Co to jest podrozmaitość centralna? 3 0.2 Co to jest podrozmaitość centralna? Definicje wszystkich pojawiających się w tym i w następnym paragrafie pojęć zostaną wprowadzone w dalszej części pracy. Rozważmy odwzorowanie liniowe x Ax, x R n. Jak wygląda dynamika opisana takim odwzorowaniem? Częściową odpowiedź na to pytanie daje następujące twierdzenie: Twierdzenie 0.1 ([10]). Jeśli σ(a) {z C : z < 1}, to dla każdego x R n mamy A k x 0 dla k. Jeśli natomiast istnieje chociaż jedna wartość własna λ, taka że λ > 1, to istnieje x R n, że dla k. Definiujemy A k x + E s := span {v i : Av i = λ i v i, λ i < 1} E u := span {v i : Av i = λ i v i, λ i > 1}. W tym przypadku przestrzeń R n można przedstawić w postaci sumy prostej E s E u, gdzie E s i E u są odpowiednio stabilną i niestabilną podprzestrzenią odwzorowania A. Należy wspomnieć, że są to podprzestrzenie niezmiennicze, tzn. A(E s,u ) E s,u (zob. [13]). Jeśli odwzorowanie A posiada wartości własne λ, takie że λ = 1, to mogą istnieć punkty x R n, że żaden z przypadków podanych w twierdzeniu 0.1 nie zachodzi. Niezmienniczą podprzestrzeń E c := span {v i : Av i = λ i v i, λ i = 1} nazywamy podprzestrzenią centralną odwzorowania A. Możemy teraz powiedzieć co to jest (lokalna) podrozmaitość centralna, odwzorowania x Φ(x), x R n, w ogólności n i e l i n i o w e g o. Załóżmy, że Φ(0) = 0. Jeśli zero jest punktem stałym Φ, to możemy przedstawić Φ(x) = DΦ(0)x + ϕ(x),

0.2 Co to jest podrozmaitość centralna? 4 gdzie ϕ(0) = 0, Dϕ(0) = 0. Lokalną podrozmaitością centralną W c loc odwzorowania Φ w zerze nazywamy lokalnie Φ-niezmienniczą podrozmaitość styczną do podprzestrzeni centralnej E c odwzorowania liniowego DΦ(0). Jeśli oznaczymy dim E c = n c, dim E s E u = n c + n u, to jest to de facto wykres pewnej funkcji h: B Rnc δ (0) R ns+nu o tej własności, że h(0) = 0 oraz Dh(0) = 0, δ > 0. Uwaga terminologiczna. Definiując podrozmaitość centralną zakładamy, że E c, tzn. że istnieją wartości własne odwzorowania DΦ(0), leżące na okręgu jednostkowym w C. W tym przypadku mówimy, że DΦ(0) jest niehiperbolicznym operatorem liniowym, zaś zero jest niehiperbolicznym punktem stałym odwzorowania Φ. W przeciwnym przypadku, gdy σ(dφ(0)) S 1 =, mówimy o operatorze hiperbolicznym. Przejście do przypadku układów ciągłych polega na tym, że zamiast badania iteracji odwzorowania Φ, tzn. układów {..., Φ 1 (x), x, Φ(x),...}, badamy trajektorie układów równań różniczkowych zwyczajnych: ẋ = Φ(x), x R n, czyli potoki: ϕ t (x), t R, x R n. Z równaniem różniczkowym liniowym o stałych współczynnikach związany jest potok ẋ = Ax, x R n ϕ t = e ta = exp(ta) := Mamy następujący analog twierdzenia 0.1. t n A n. (0.2) n! Twierdzenie 0.2 ([10]). Jeśli wszystkie wartości własne λ i (1 i n) macierzy A n=0 spełniają nierówność Re(λ i ) < 0, to dla każdego x R n mamy e ta x 0, gdy t. Jeśli istnieje chociaż jedna wartość własna λ spełniająca Re(λ i ) > 0, to istnieje x R n, że dla t. e ta x +

0.3 Twierdzenia zasadnicze 5 Zamieniając w definicji podprzestrzeni E s,u,c warunki λ 1 na warunki Re(λ) 0, dostajemy definicje podprzestrzeni stabilnej, niestabilnej i centralnej dla układu liniowych równań różniczkowych. Podrozmaitość centralną definiujemy tak samo jak dla układów dyskretnych. 0.3 Twierdzenia zasadnicze Jak już zostało wspomniane, duży nacisk został położony na udowodnienie twierdzenia o podrozmaitości centralnej dla układów dyskretnych. Faktycznie jest to wniosek z twierdzenia o podrozmaitości centralnej niestabilnej, którego treść jest następująca: Twierdzenie 0.3 (wersja lokalna). Niech Φ: R n R n będzie C k -dyfeomorfizmem, k 1, oraz: (0.3.1) Φ(0) = 0; (0.3.2) suma krotności wartości własnych macierzy A := DΦ(0), takich że λ 1 jest równa p, natomiast suma krotności wartości własnych, takich że λ < 1 jest równa q, Wówczas istnieje lokalnie Φ-niezmiennicza podrozmaitość W cu loc = {(x, ψ(x)) : x R p, x < ε}, gdzie ε > 0 i ψ : R p R q jest odwzorowaniem ciągłym 1, ψ(0) = 0. Przy założeniu różniczkowalności ψ mamy ponadto Dψ(0) = 0. Dowód powyższego twierdzenia sprowadza się do udowodnienia tezy o istnieniu globalnej podrozmaitości centralnej niestabilnej poprzez pewne techniczne manipulacje (Lemat 3.6, paragraf 3.2.2). Twierdzenie 0.4 (wersja globalna). Załóżmy, że Φ: R n R n jest dyfeomorfizmem klasy C k, k 1 spełniającym następujące warunki: 1 W przypadku skończenie wymiarowym można udowodnić, że ψ jest tej samej klasy gładkości co dyfeomorfizm Φ (zob. [10]). Natomiast gdy Φ działa na przestrzeni Banacha i jest klasy C k, k 2, to rozmaitość centralna jest klasy C k 1 (zob. [12]). Fakt ten wiąże się z wykorzystaniem w dowodzie silniejszych narzędzi analizy funkcjonalnej.

0.3 Twierdzenia zasadnicze 6 (0.4.1) Φ(0) = 0; (0.4.2) suma krotności wartości własnych macierzy A := DΦ(0), takich że λ 1 jest równa p, natomiast suma krotności wartości własnych, takich że λ < 1 jest równa q; (0.4.3) część nieliniowa odwzorowania Φ, tzn. reszta rozkładu Φ(z) = Az + ϕ(z) ma tę własność, że ϕ(z) τ 1, Dϕ(z) L τ 2. dla pewnych liczb τ 1, τ 2 > 0 (dokładniejsze określenie tych liczb pojawi się w sformułowaniu twierdzenia 3.1). Przy tych założeniach istnieje Φ-niezmiennicza podrozmaitość W cu = {(x, ψ(x)) : x R p }, gdzie ψ : R p R q jest odwzorowaniem ciągłym, takim że ψ(0) = 0. Jeśli ponadto założymy, że ψ jest różniczkowalne, to Dψ(0) = 0. Założenie (0.4.3) mówi o tym, że część nieliniowa Φ jest mała w sensie normy przestrzeni C 1 funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły.

Rozdział 1 Podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii układów dynamicznych 1.1 Pojęcia wstępne Definicja 1.1. Układem dynamicznym nazywamy trójkę (A, X, ϕ α ), gdzie X jest przestrzenią topologiczną i rodzina ciągłych odwzorowań ϕ α : X X, indeksowana elementami półgrupy A, spełnia warunki: (1) ϕ α+β = ϕ α ϕ β dla dowolnych α, β A; (2) ϕ 0 = Id; (3) funkcja ϕ(α, x) := ϕ α (x) jest ciągła ze względu na (α, x) A X. Przestrzeń topologiczną X, na której działają odwzorowania ϕ α, będziemy nazywać przestrzenią fazową. Punkt (1) powyższej definicji mówi, że rodzina {ϕ α : α A} jest półgrupą. Rodzinę odwzorowań, która spełnia jednocześnie warunki (1)-(3) nazywa się ciągłą półgrupą przekształceń. Jeżeli A jest grupą, to odwzorowania ϕ α są odwracalne i mówimy, że (A, X, ϕ α ) jest odwracalnym układem dynamicznym. Układ nazywa się gładkim, jeśli X jest rozmaitością różniczkowalną, a odwzorowania ϕ α są różniczkowalne. Dalej będziemy zajmowali się dwoma szczególnymi typami układów, które będziemy rozróżniali w zależności od półgrupy (grupy) A. Jeśli A = Z + := {0, 1, 2,...} lub A = Z, to (Z, X, ϕ k ) będziemy nazywać układem dynamicznym dyskretnym lub kaskadą. Jeśli A = R + := {t R : t 0} lub w przypadku gdy ϕ α są odwracalne i A = R, to mówimy, że (R, X, ϕ t ) jest potokiem. 7

1.1 Pojęcia wstępne 8 Definicja 1.2. Orbitą punktu x w przypadku kaskady lub trajektorią przechodzącą przez x w przypadku potoku, nazywamy zbiór γ(x) = {y : α A y = ϕ α (x)}. Mając dany dyskretny układ dynamiczny (Z +, X, ϕ k ), możemy zdefiniować odwzorowanie f : X X wzorem f(x) := ϕ 1 (x). Z punktu (1) definicji 1.1 wynika, że dla każdego x X orbitę {x = ϕ 0 (x), ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),...} można odtworzyć iterując odwzorowanie f. Istotnie Definiując indukcyjnie ϕ 2 (x) = ϕ 1 (ϕ 1 (x)) = ϕ 1 ϕ 1 (x) = f f(x) =: f 2 (x). f k (x) := f f k 1 (x) (1.1) widzimy, że ϕ k = f k. Oznacza to, że rodzinę odwzorowań {ϕ k } k Z+ możemy zastąpić odwzorowaniem f i jego kolejnymi iteracjami. Odwrotnie każdy dyskretny układ dynamiczny (Z +, X, ϕ k ) wyznaczony jest przez odwzorowanie f := ϕ 1 i można go odtworzyć poprzez iteracje f. Analogiczną sytuację mamy w przypadku układu odwracalnego. Wówczas odwzorowanie f jest odwracalne. Definicja 1.3. Odwzorowanie f := ϕ 1 nazywamy generatorem układu dynamicznego (Z +, X, ϕ k ) i piszemy po prostu (Z +, X, f). Przykład 1.1 ([18]). Niech S 1 := {x R 2 : x = 1}. Ponieważ S 1 możemy traktować jako odcinek [0, 1] z utożsamionymi końcami: S 1 = R/Z, więc wzór ϕ t (x) := x + t mod 1, x [0, 1] (1.2) poprawnie definiuje odwzorowanie ϕ t : S 1 S 1. (R, S 1, ϕ t ) jest gładkim, odwracalnym potokiem na okręgu. Geometrycznie ϕ t (x) jest obrotem punktu x o kąt 2πt. Przykład 1.2 ([10]). Niech C b (R, R) oznacza przestrzeń Banacha ograniczonych funkcji ciągłych z normą f sup wzorem = sup f(x). Definiujemy układ (R, C b (R, R), θ t ) x R [θ t (f)](x) := f(x + t). (1.3) Taką trójkę nazywamy translacją. Widzimy więc, że przestrzeń fazowa X może być również nieskończenie wymiarową przestrzenią wektorową.

1.2 Równoważność układów dynamicznych 9 ϕ t (x) x ϕ t (x) x Rysunek 1.1: Potok (R, S 1, ϕ t ) z przykładu 1.1. 1.2 Równoważność układów dynamicznych Definicja 1.4. Powiemy, że układy dynamiczne (A, X, ϕ α ) i (A, Y, φ α ) są równoważne, jeśli istnieje odwracalna funkcja h: X Y, przekształcająca orbity (trajektorie) pierwszego układu na orbity (trajektorie) drugiego, zachowując przy tym kierunek wzrostu indeksów α. Innymi słowy h ϕ α = φ κ(α) h, gdzie κ: A A jest ściśle rosnącą surjekcją. Jeśli h jest homeomorfizmem, to układy nazywamy równoważnymi topologicznie. Jeśli ponadto κ = Id, to mówimy, że układy są topologicznie sprzężone. Sprzężoność oznacza, że zachodzi równość h ϕ α = φ α h, gdzie h jest homeomorfizmem sprzęgającym. 1.3 Podrozmaitość i przestrzeń styczna W przykładzie 1.1 przestrzenią stanów był zbiór S 1. Jest to przykład 1-wymiarowej podrozmaitości. Zanim wprowadzimy formalną definicję powiemy, że odwzorowanie ϕ: U V, gdzie U, V są otwartymi podzbiorami R n, jest dyfeomorfizmem klasy C r (0 r ), jeśli spełnia następujące warunki: (1) ϕ jest klasy C r ; (2) ϕ jest wzajemnie jednoznaczne;

1.3 Podrozmaitość i przestrzeń styczna 10 (3) ϕ 1 : V U jest klasy C r. Uwaga. Z definicji tej wynika, że homeomorfizm jest dyfeomorfizmem klasy C 0. Jeśli ϕ: R n R m jest dyfeomorfizmem, to n = m. Wynika to z faktu, że Dϕ(x) jest izomorfizmem dla każdego x R n. Definicja 1.5. Podzbiór M R n będziemy nazywali m-wymiarową podrozmaitością klasy C r (m n, 0 r ), jeżeli dla każdego punktu p M istnieją: otoczenie U tego punktu w R n, zbiór otwarty V R n oraz dyfeomorfizm ψ : V U klasy C r taki, że ψ(v R m ) = M U. Dyfeomorfizm ψ nazywamy parametryzacją M, natomiast ψ 1 nazywamy lokalnym układem współrzędnych na M. R n m M p U ε ε V T p M R m Rysunek 1.2: m-wymiarowa podrozmaitość w R n i przestrzeń styczna T p M W szczególności jeśli Ω R m jest zbiorem otwartym i ϕ: Ω R n m jest odwzorowaniem klasy C r, to wykres W = { (x, y) R m R n m : x Ω, y = ϕ(x) } jest m-wymiarową podrozmaitością klasy C r. Istotnie, wówczas V := Ω ( ε, ε) n m oraz dyfeomorfizm ψ : V U = ψ(v ) zadajemy wzorem ψ(x, y) := (x, y + ϕ(x))

1.3 Podrozmaitość i przestrzeń styczna 11 M U = ψ(x, 0) = {(x 1,..., x m, ϕ 1 (x 1,..., x m ),..., ϕ n m (x 1,..., x m ))}. Na odwrót. Każda podrozmaitość m-wymiarowa jest lokalnie wykresem pewnej funkcji ϕ: Ω R n m, gdzie Ω R m jest zbiorem otwartym (Rysunek 1.3). Definicja 1.6. Niech M będzie m-wymiarową podrozmaitością, ψ dyfeomorfizmem z definicji 1.5, p M oraz q := ψ 1 (p) V R m. Przestrzeń styczną do M w punkcie p definiujemy jako obraz T p M := Dψ(q)(R m ). Elementy T p M nazywamy wektorami stycznymi do podrozmaitości M w punkcie p. Zbiór T M := {(p, v) : p M, v T p M} nazywać będziemy wiązką styczną. Uwaga. Definicja 1.6 nie zależy od parametryzacji ψ. Przykład 1.3. Zbiór otwarty V R n jest najprostszym przykładem n-wymiarowej podrozmaitości. Wówczas dyfeomorfizm ψ : V U = V jest po prostu identycznością. Przestrzenią styczną dla każdego p V jest cała przestrzeń R n. Przykład 1.4. Sfera S 2 := {x R 3 : x = 1} jest przykładem 2-wymiarowej podrozmaitości. Zdefiniujemy dyfeomorfizm sferyczny: Niech V := {(φ, θ, r) R 3 : π < φ < π, π 2 < θ < π } 2, r > 1. Określamy odwzorowanie Φ: V R 3 wzorem: Φ(φ, θ, r) := ((1 + r) cos φ cos θ, (1 + r) sin φ cos θ, (1 + r) sin θ). (1.4) Odwzorowanie Φ jest dyfeomorfizmem na R 3 \ {(x, 0, z) : x 0}. Dla każdej permutacji σ zbioru {1, 2, 3} wprowadzimy odwzorowanie T σ : R 3 R 3 zadane wzorem T σ (x 1, x 2, x 3 ) := (x σ(1), x σ(1), x σ(3) ). Wówczas dla dowolnego punktu p S 2 istnieje permutacja σ zbioru {1, 2, 3}, że ψ σ (V R 2 ) pokrywa tę część sfery, w której leży punkt p. Tutaj ψ σ := T σ Φ oraz V R 2 = {(φ, θ, r) : r = 0}. Niech p = ( 2, 0, 2 ) 2 2 S2. Przy dyfeomorfizmie sferycznym na punkt p przechodzi punkt q = (0, π, 0). Aby 4 wyznaczyć płaszczyznę styczną wystarczy znaleźć dwa liniowa niezależne wektory ją rozpinające. (1 + r) sin φ cos θ (1 + r) cos φ sin θ cos φ cos θ DΦ(φ, θ, r) = (1 + r) cos φ cos θ (1 + r) sin φ sin θ sin φ cos θ 0 (1 + r) cos θ sin θ

1.4 Potok generowany przez równanie różniczkowe 12 w szczególności 0 2 2 2 DΦ(q) = DΦ(0, π, 0) = 2 4 2 0 0 2 0 Płaszczyznę T ( 2 2,0, 2 2 )S2 rozpinają wektory: DΦ(0, π 4, 0)(1, 0, 0) = (0, 2 2, 0), DΦ(0, π 4, 0)(0, 1, 0) = ( 2 2, 0, 2 2 ) Równanie tej płaszczyzny ma postać czyli z + x = 0. det 2 0 2 0 2 2 2 2 0 x y z 2 2 = 0, 2 2 1.4 Potok generowany przez równanie różniczkowe Niech U będzie podzbiorem R n, w szczególności U = R n. Definicja 1.7. Odwzorowanie f : U R n klasy C k, k 0 przyporządkowujące każdemu punktowi x U wektor f(x) R n nazywamy polem wektorowym klasy C k na U. Pole wektorowe może również zależeć od czasu. Mamy wtedy f : (α, β) U R n, takie że dla każdego t (α, β) odwzorowanie f(t, ): U R n jest polem wektorowym w sensie powyższej definicji. Rozważmy równanie różniczkowe ẋ(t) = f(t, x(t)), (1.5) gdzie x = (x 1,..., x n ): (α, β) R n oraz f jest polem wektorowym. W rzeczywistości (1.5) jest układem n równań różniczkowych skalarnych. Jeśli f nie zależy od czasu explicite, to (1.5) nazywamy układem autonomicznym: ẋ(t) = f(x(t)). (1.6)

1.4 Potok generowany przez równanie różniczkowe 13 Rysunek 1.3: Pole wektorowe na płaszczyźnie: (x, y) (y, sin x) Twierdzenie 1.1. Jeśli pole wektorowe f ma zwarty nośnik (nie znika co najwyżej na zbiorze zwartym), to równanie (1.6) generuje potok na R n. Innymi słowy istnieje jednoparametrowa grupa dyfeomorfizmów ϕ t : R n R n, t R, taka że d dt ϕ t(x) = f(ϕ t (x)). Przykład 1.5 ([18]). Niech D 2 := {(x, y) R 2 : x 1} będzie dyskiem jednostkowym na płaszczyźnie. Układ równań różniczkowych zadany we współrzędnych biegunowych ṙ(t) = 1 r(t), ω(t) = a, a > 0, r 0 (1.7) z warunkiem początkowym r(0) = r 0 (0 < r 0 1), ω(0) = ω 0 posiada rozwiązanie r(t) = r 0 exp(t)[1 r 0 + r 0 exp(t)] 1, ω(t) = at + ω 0. Punkt materialny, który w czasie t 0 = 0 zajmował położenie (r 0, ω 0 ) i którego ruch opisuje układ (1.7), w każdej chwili czasu t R pozostaje w D 2. Jeśli określimy ϕ t (r 0, ω 0 ) := (r 0 exp(t)[1 r 0 + r 0 exp(t)] 1, at + ω 0 ), ϕ t (0, 0) = (0, 0), to otrzymujemy potok na dysku (R, D 2, ϕ t ), który ilustruje Rysunek 1.4. Następujący fakt wykorzystany zostanie w dalszej części pracy. Twierdzenie 1.2 ([18], str. 25). Niech f będzie polem wektorowym klasy C 1 (V ), gdzie V = D I, D jest otwartym podzbiorem R n, I = ( a, a). Załóżmy, że x(t, x 0 ) jest

1.5 Twierdzenie o funkcji uwikłanej 14 Rysunek 1.4: Potok (R, D 2, ϕ t ) rozwiązaniem równania (1.5) z warunkiem początkowym x(0, x 0 ) = x 0 D. Wówczas x(t, x 0 ) jest klasy C 1 (V ). Ponadto drugie pochodne mieszane 2 x(t, x 0 ) t x 0, 2 x(t, x 0 ) x 0 t istnieją i są ciągłe. 1.5 Twierdzenie o funkcji uwikłanej Z uwagi na szerokie zastosowania, szczególną rolę w analizie i wielu jej gałęziach, m.in. w topologii różniczkowej spełniają twierdzenia o lokalnym odwracaniu odwzorowania oraz o funkcji uwikłanej. Twierdzenie 1.3 (o funkcji odwrotnej). Niech Ω R n i f : Ω R n będzie odwzorowaniem klasy C k, k 1. Jeżeli Df(x) jest izomorfizmem dla pewnego x U oraz y = f(x), to: (1) istnieje otoczenie U punktu x i otoczenie V punktu y, takie że f : U V jest dyfeomorfizmem klasy C k ; (2) zachodzi wzór Dg(y) = [Df(x)] 1. (1.8)

1.5 Twierdzenie o funkcji uwikłanej 15 Twierdzenie 1.4 (o funkcji uwikłanej). Niech Ω R n R m będzie zbiorem otwartym i niech f : Ω R n będzie funkcją klasy C k, k 1. Oznaczmy A := Df(a, b) i załóżmy, że f(a, b) = 0, gdzie a R n, b R m ; A R m jest odwzorowaniem odwracalnym, innymi słowy det(a R m) 0. Wówczas istnieją ε 1, ε 2 > 0 oraz odwzorowanie g : B Rn ε 1 (a) R m klasy C k, takie że (x, y) B Rn R m ε 2 (a, b) f 1 (0) wtedy i tylko wtedy, gdy y = g(x); g(a) = b. Ponadto zachodzi wzór Dg(a) = (A R m) 1 A R n. (1.9) Przykład 1.6. Standardowym przykładem ilustrującym twierdzenie o funkcji uwikłanej jest funkcja f : R 2 R, zadana wzorem f(x, y) := x 2 + y 2 1. Funkcja f znika na sferze S 1 na płaszczyźnie. Wszędzie na okręgu, za wyjątkiem punktów ( 1, 0) i (1, 0) mamy f y (x, y) 0. Oznacza to, że istnieje kula BR ε (x) oraz funkcja y = y(x) określona na tej kuli, taka że f(x, y(x)) = 0. W tym przypadku y(x) = ± 1 x 2. Zauważmy, że f 1 (0) jest 1-wymiarową podrozmaitością R 2. Jak sugeruje powyższy przykład, przeciwobraz zera może być podrozmaitością. Jest tak zawsze, gdy pochodna Df(a) jest epimorfizmem dla każdego a f 1 (0). Wówczas 0 nazywamy wartością regularną odwzorowania f. Jest to wniosek z twierdzenia o funkcji uwikłanej, który wykorzystamy w dowodzie twierdzenia 3.8 o istnieniu podrozmaitości centralnej. Dowód tego faktu można znaleźć w [16].

Rozdział 2 Twierdzenia przygotowawcze 2.1 Algebra liniowa Niech A: R n R n będzie odwzorowaniem liniowym, czyli takim odwzorowaniem, że A(αx+βy) = αax+βay dla dowolnych x, y R n i dowolnych α, β R. Odwzorowanie liniowe na R n będziemy utożsamiać (w ustalonej bazie) z macierzą A = (a ij ) n n, która działa na wektor x, tak jak mnoży się macierz przez wektor kolumnowy: (Ax) i = n a ij x j, i = 1,..., n. j=1 Odnotujmy, że każde odwzorowanie liniowe na R n jest ograniczone, tzn. istnieje M > 0, że dla wszystkich x R n prawdziwe jest szacowanie Ax M x. (2.1) Jak widać, ograniczoność implikuje ciągłość. Można wykazać również implikację odwrotną. Zbiór wszystkich odwzorowań liniowych na R n oznaczamy przez L(R n ). Jest to przestrzeń liniowa z normą A L := sup Ax, x =1 wraz z którą L(R n ) jest przestrzenią Banacha. Z powyższej definicji widać, że norma L zależy od wyjściowej normy na R n. Uwaga. A L jest najmniejszą stałą spełniającą szacowanie (2.1). 16

2.2 Promień spektralny 17 Stwierdzenie 2.1. Jeżeli odwzorowanie liniowe A: R n przez macierz (a ij ) n n, to zachodzi oszacowanie: R n jest reprezentowane A L ( n i=1 n j=1 a 2 ij ) 1 2. (2.2) Odwzorowanie liniowe A w naturalny sposób rozszerzamy na C n zadając A(x + iy) = Ax + iay, x, y R n. Liczbę λ C nazywamy wartością własną odwzorowania A, jeśli spełnia równanie dla pewnego v C n różnego od zera. Av = λv Wówczas v nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. Zauważmy, że jeśli λ jest wartością własną A, to nie istnieje (A λi) 1, gdzie I jest tożsamością. To natomiast oznacza, że λ jest wartością własną A wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego p(λ) = det(a λi) Zbiór wszystkich wartości własnych macierzy A oznaczamy przez σ(a) i nazywamy spektrum. 2.2 Promień spektralny Definicja 2.1. Promieniem spektralnym operacji liniowej 1 A nazywamy liczbę rzeczywistą ρ(a) := sup λ. λ σ(a) Uwaga. Powyższa równość definiuje promień spektralny dla dowolnego ograniczonego odwzorowania liniowego na przestrzeni Banacha, gdyż wiadomo że σ(a) jest zbiorem niepustym ([15], str.271). W przypadku skończenie wymiarowym wystarczy przyjąć ρ(a) = max λ i σ(a) λ i. 1 Operacją liniową nazywamy odwzorowanie liniowe ograniczone.

2.2 Promień spektralny 18 Lemat 2.2 ([15], str.271). ρ(a) = lim A n 1/n n L. Niech teraz E oznacza dowolną przestrzeń Banacha i niech w przestrzeni E będą dane dwie normy: 1 i 2. Definicja 2.2. Norma 2 jest mocniejsza od normy 1, jeżeli dla każdego x E i każdego ciągu {x n } n=1 E zachodzi implikacja x n x 2 n n 0 = x n x 1 0 Definicja 2.3. Dwie normy są równoważne, jeśli pierwsza z nich jest mocniejsza od drugiej, a druga mocniejsza od pierwszej. Twierdzenie 2.3. Norma 2 jest mocniejsza od normy 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała a > 0, taka że dla każdego x E. x 1 a x 2, W twierdzeniu o rozmaitości centralnej następujący lemat odgrywa kluczową rolę. Lemat 2.4. Niech A będzie operacją liniową na przestrzeni Banacha E i niech ρ będzie dowolną liczbą większą niż ρ(a). Wówczas istnieje na przestrzeni E norma 1 równoważna z pierwotną, taka że A L,1 ρ. Dowód. Na mocy lematu 2.2 mamy nierówność lim A n 1/n n L < ρ skąd wynika, że A sup n L <. Definiujemy ρ n 0 n A n (x) x 1 := sup. (2.3) n 0 ρ n Przy tej definicji funkcja 1 jest normą oraz spełnione są nierówności: ( ) A n x x 1 sup L x, n 0 ρ n co oznacza, że normy oraz 1 są równoważne. Ponadto mamy A n+1 (x) Ax 1 = sup n 0 ρ n Ponieważ A L,1 A L,1 ρ. A n+1 (x) = ρ sup n 0 ρ n+1 A n (x) = ρ sup ρ x n 1 ρ n 1. jest najmniejszą liczbą spełniającą powyższe szacowanie, więc

2.3 Postać kanoniczna Jordana 19 2.3 Postać kanoniczna Jordana Niech A będzie rzeczywistą macierzą wymiaru n n. Przy ustalonej bazie macierz ta reprezentuje odwzorowanie liniowe A: R n R n. Niech λ 1, λ 2,..., λ k będą wartościami własnymi A o krotnościach odpowiednio n 1, n 2,..., n k : n i = n. Niech V i := ker(a λ i I) n i. W dalszym ciągu będziemy korzystali z następujących twierdzeń. Twierdzenie 2.5 ([11]). Dla odwzorowania A takiego jak wyżej, zachodzą następujące własności: podprzestrzenie V i są niezmiennicze względem A, tzn. AV i V i ; V i V j = {0} dla i j; dim V i = n i, 1 i k; mamy rozkład R n = k V i. i=1 Twierdzenie 2.6 (postać kanoniczna Jordana, [3]). Dla (n n)-macierzy A istnieje nieosobliwa macierz T, taka że J = T 1 AT jest postaci J 1 J J = 2..., gdzie każda macierz J k ma wymiar n k n k oraz następującą postać: λ k 1 λ k 1 J k =...... (k = 1,..., s). λ k 1 Liczby λ k, k = 1, 2..., s są wartościami własnymi macierzy A i n 1 +n 2 +...+n s = n. Macierze J k nazywa się klatkami Jordana. λ k J s

2.4 Lemat o odwzorowaniu zerowym 20 Uwaga. Jeśli i j oraz λ i jest na diagonali J i, zaś λ j wchodzi w skład klatki J j, to nie oznacza to wcale, że λ i λ j. Jeśli m i oznacza krotność geometryczną 2 wartości własnej λ i, to λ i wchodzi w skład m i klatek J i o wymiarach (n i1 n i1 ),..., (n imi n imi ), przy czym liczba n i1 +... + n imi = r i oznacza krotność algebraiczną λ i. Może się zdarzyć, że n ip = n iq dla i p i q, 1 p q m i. Przykład 2.1. Przypuśćmy, że (5 5)-macierz A ma jedyną wartość własną λ krotności 5. Wówczas, gdy np. dim E λ = 3, to postać kanoniczna Jordana ma jedną z dwóch możliwych postaci (z dokładnością do permutacji klatek): λ λ λ 1 λ J (1) = 0 λ lub J (2) = λ 1 0. λ 1 0 λ 1 0 λ 0 0 λ 2.4 Lemat o odwzorowaniu zerowym Rozpatrzmy odwzorowania liniowe A: R m R n, B : R m R m oraz C : R n R n. Lemat 2.7. Jeśli AB = CA, to z warunku σ(b) σ(c) = wynika, że A = 0. Dowód. Pokażemy, że Ax = 0 dla każdego wektora bazowego w R m. Ponieważ baza składa się z uogólnionych wektorów własnych odwzorowania B (w przypadku, gdy wartości własne B są jednokrotne baza składa się z wektorów własnych), wystarczy pokazać, że Ax = 0, gdzie x ker(b λi) k, dla pewnych naturalnych 1 k m. Załóżmy, że x 0 jest wektorem własnym B odpowiadającym wartości własnej λ σ(b). Z założenia ABx Aλx = CAx Aλx, co jest równoważne z tym, że 0 = A(B λi)x = (C λi)ax. Ponieważ λ σ(c), więc C λi jest izomorfizmem, a to oznacza, że Ax = 0. Widzimy zatem, że teza zachodzi 2 Krotnością geometryczną wartości własnej λ nazywamy liczbę dim E λ = dim ker(a λi). Liczbę l nazywamy krotnością algebraiczną wartości własnej λ 0 odwzorowania A, jeśli (λ λ 0 ) l dzieli wielomian det(a λi) i jednocześnie det(a λi) nie jest podzielny przez (λ λ 0 ) l+1.

2.5 Twierdzenie o homeomorfizmie 21 dla wektorów własnych B (czyli gdy k = 1). Niech teraz x będzie uogólnionym wektorem własnym B odpowiadającym wartości własnej λ krotności k i. Ponieważ prawdziwa jest równość A(B λi) k i x = (C λi) k i Ax więc otrzymujemy z tego samego powodu co poprzednio Ax = 0. 2.5 Twierdzenie o homeomorfizmie Niech E będzie przestrzenią Banacha. Definicja 2.4. Powiemy, że odwzorowanie ϕ: E E spełnia warunek Lipschitza, jeżeli ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) Lip(ϕ) := sup x 1 x 2 x 1 x 2 <. Liczbę Lip(ϕ), o ile jest skończona, nazywamy stałą Lipschitza. Uwaga. Lip(ϕ) = inf L { f(x 1, y) f(x 2, y) L x 1 x 2 }. Jeżeli odwzorowanie ϕ: E E spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lip(ϕ) < 1, to odwzorowanie ϕ nazywamy kontrakcją. Twierdzenie 2.8 (Banach). Niech D E będzie podzbiorem domkniętym. Jeśli ϕ: D D jest kontrakcją, to ϕ ma dokładnie jeden punkt stały, tzn. istnieje dokładnie jeden x D, taki że ϕ(x) = x. Twierdzenie 2.9 (o homeomorfizmie). Niech A: E E będzie odwracalną operacją liniową i niech ϕ: E E spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lip(ϕ) < A 1 1 L. Wówczas odwzorowanie (A + ϕ): E E jest odwracalne oraz Lip ( (A + ϕ) 1) A 1 1 L 1 Lip(ϕ). (2.4)

2.5 Twierdzenie o homeomorfizmie 22 Dowód. Aby udowodnić, że A +ϕ jest odwzorowaniem odwracalnym, należy pokazać, że równanie (A + ϕ)(x) = y (2.5) posiada dokładnie jedno rozwiązanie x przy dowolnym y E. Jeśli ϕ 0, to równanie (2.5) posiada dokładnie jedno rozwiązanie, dane przez x 0 = A 1 y. Niech x = x 0 + v, dla pewnego v E. Wówczas równanie (2.5) przyjmuje postać (A + ϕ)(x 0 + v) = y Ax 0 + Av + ϕ(x 0 + v) = y Av + ϕ(x 0 + v) = 0, co jest równoważne poszukiwaniu rozwiązania v równania v = A 1 ϕ(x 0 + v). (2.6) Definiujemy g : E E wzorem g(v) := A 1 ϕ(x 0 + v). Ponieważ g(u) g(v) = A 1 ϕ(x 0 + v) A 1 ϕ(x 0 + u) A 1 L ϕ(x 0 + v) ϕ(x 0 + u) A 1 L Lip(ϕ) u v, więc widzimy, że Lip(g) A 1 L Lip(ϕ) < 1. Na mocy twierdzenia Banacha 2.8 równanie (2.6) posiada dokładnie jedno rozwiązanie v 0 i jednocześnie x = A 1 y + v 0 jest jedynym rozwiązaniem równania (2.5). Druga część tezy wynika z szacowania (A + ϕ)(x 1 ) (A + ϕ)(x 2 ) = A(x 1 x 2 ) + ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) po podstawieniu x i = (A + ϕ) 1 y i, i = 1, 2. A(x 1 x 2 ) ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) ( A 1 ) 1 Lip(ϕ) x L 1 x 2

2.6 Przestrzeń metryczna C 0,1 23 2.6 Przestrzeń metryczna C 0,1 Niech C(R p, R q ) będzie przestrzenią Banacha funkcji ciągłych z topologią zbieżności jednostajnej. Zamiast C(R p, R q ) będziemy dalej pisali krótko C. Przypomnijmy, że f C jeśli f jest ciągła oraz f sup := sup x R p f(x) <. Wprowadźmy zbiór C 0,1 C, którego elementami są funkcje u: R p R q, spełniające następujące warunki: (2.6.1) u sup := sup x R p u(x) 1; (2.6.2) dla wszystkich x 1, x 2 R p zachodzi u(x 1 ) u(x 2 ) x 1 x 2 ; (2.6.3) u(0) = 0. Stwierdzenie 2.10. C 0,1 jest domkniętym podzbiorem C. Dowód. Pokażemy, że jeśli elementy ciągu {u n } n=1 spełniają warunki (2.6.2) i (2.6.3) powyższej definicji, to spełnia je też funkcja u = lim n u n. Załóżmy więc najpierw, że dla wszystkich n N i x 1, x 2 R p mamy u n (x 1 ) u n (x 2 ) x 1 x 2. (2.7) Z założenia wiemy, że dla każdej liczby η > 0 istnieje n 0 N, że dla każdego n n 0 mamy u n (x i ) u(x i ) < η/2, i = 1, 2. Dalej u(x 1 ) u(x 2 ) u(x 1 ) u n0 (x 1 )) + u n0 (x 1 ) u n0 (x 2 ) + u n0 (x 2 ) u(x 2 ) < η + u n0 (x 1 ) u n0 (x 2 ) η + x 1 x 2 Z dowolności η wynika, że u(x 1 ) u(x 2 ) x 1 x 2. Warunek (2.6.3) jest również natychmiast spełniony: u(0) = lim n u n (0) = 0. Widzimy więc, że podzbiór przestrzeni C spełniający powyższe warunki (2.6.2) i (2.6.3) jest domknięty. Wreszcie C 0,1 jest częścią wspólną tego zbioru domkniętego i domkniętej kuli B C 1 (0), a więc jest domknięty. Ponieważ (C, ϱ) jest przestrzenią Banacha, gdzie dostajemy ϱ(u, v) := u v sup Wniosek 2.11. Zbiór (C 0,1, ϱ C 0,1 C0,1) jest przestrzenią metryczną zupełną.

Rozdział 3 Podrozmaitość centralna dla kaskady Będziemy rozpatrywali układ dynamiczny kaskadę (Z, R n, Φ), gdzie Φ: R n R n jest dyfeomorfizmem klasy C k, k 1. W dalszym ciągu musimy poczynić pewne założenia o funkcji Φ, dla której stosuje się twierdzenie o podrozmaitości centralnej. 3.1 Założenia o odwzorowaniu Φ Niech Φ: R n R n i niech zero będzie punktem stałym Φ, tzn. Φ(0) = 0. Oznaczając A := DΦ(0) możemy napisać: Φ(z) = Az + ϕ(z), (3.1) gdzie ϕ = Φ A jest częścią nieliniową i ma następujące własności: ϕ(0) = 0, Dϕ(0) = DΦ(0) A = A A = 0. (3.2) Równości (3.2) implikują, że ϕ(z) = o( z ), innymi słowy co wynika wprost z definicji pochodnej. ϕ(z) lim z 0 z = 0, (3.3) Załóżmy, że zero jest niehiperbolicznym punktem stałym. Z twierdzenia o postaci kanonicznej Jordana wiemy, że istnieje baza w R n, w której pochodna A przyjmuje postać ( ) B 0. 0 C 24

3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 25 Macierz B jest wymiaru (n c + n u ) (n c + n u ), gdzie n c oznacza sumę krotności wartości własnych, takich że λ = 1 oraz n u jest sumą krotności wartości własnych o tej własności, że λ > 1. Przez n s oznaczamy sumę krotności wartości własnych (n s n s )-macierzy C spełniających warunek λ < 1. Przyjmijmy dla uproszczenia oznaczeń p := n c + n u oraz q := n s. Baza Jordana wyznacza rozkład R n na podprzestrzenie niezmiennicze pochodnej A, generowane przez (uogólnione) wektory własne, odpowiadające wartościom własnym odwzorowań liniowych B i C: R n = R p R q. Ponadto A R p = B oraz A R q = C. Mamy teraz Φ: R p R q R p R q (3.4) i (3.1) przepiszemy w postaci ( ) Φ 1 (x, y) Φ 2 (x, y) ( ) Bx + f(x, y) = Cy + g(x, y) (3.5) gdzie f(x, y) = (ϕ 1 (x, y),..., ϕ p (x, y)) g(x, y) = (ϕ p+1 (x, y),..., ϕ n (x, y)). Z (3.2) wynika, że f(0, 0) = g(0, 0) = 0, jak również Df(0, 0) = Dg(0, 0) = 0 (w dalszym ciągu będziemy zamiennie mówić, że f i g znikają w zerze wraz z pierwszymi pochodnymi). 3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań Zanim przejdziemy do sformułowania twierdzenia, wprowadzimy pojęcie podrozmaitości niezmienniczej względem odwzorowania x Φ(x), x R n. (3.6) Podrozmaitość centralna jest jej szczególnym przypadkiem.

3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 26 Definicja 3.1. Podrozmaitość S R n będziemy nazywali niezmienniczą względem odwzorowania (3.6), lub krótko Φ-niezmienniczą, jeżeli dla x 0 S orbita {Φ n (x 0 )} n Z jest zawarta w S. Zbiór S loc nazywamy lokalnie Φ-niezmienniczą podrozmaitością (w otoczeniu punktu x 0 R n ), jeśli istnieje otoczenie U punktu x 0, takie że jeśli x S loc U oraz Φ(x) U, to Φ(x) S loc. Uwaga. W definicji 3.1 zakładamy, że Φ jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym. Założenie to poczynimy w twierdzeniu. Jeśli natomiast Φ nie jest odwzorowaniem odwracalnym, to możemy zdefiniować pojęcie Φ-niezmienniczej podrozmaitości w przód warunkiem: jeśli x 0 S, to {Φ n (x 0 )} n 0 S. Przykładem podrozmaitości niezmienniczej w przód jest podrozmaitość stabilna (zob. np. [13], [18], [19]). 3.2.1 Twierdzenie globalne Twierdzenie 3.1. Załóżmy, że Φ: R n R n jest dyfeomorfizmem klasy C k, k 1 i spełnione są założenia z paragrafu 3.1. Przyjmijmy α := C L, β := B 1 L i niech ϕ(z) τ 1, Dϕ(z) L τ 2, gdzie τ 1 = 1 α, τ 2 < min{β 1, 1 αβ, 1 α }. Wówczas istnieje Φ-niezmiennicza podrozmaitość 2β 1+β W cu = {(x, ψ(x)) : x R p }, gdzie ψ : R p R q jest odwzorowaniem ciągłym, takim że ψ(0) = 0. Jeśli ponadto założymy, że ψ jest różniczkowalne 1, to Dψ(0) = 0. Dowód. Na mocy lematu 2.4 możemy wybrać takie normy na R p oraz R q, aby α < 1 oraz β < 1/α. (3.7) Dla z = (x, y) R p R q definiujemy normę z := max { x, y }. 1 Przy założeniu, że Φ jest klasy C k, k 1 można wykazać, że ψ jest również klasy C k. Zatem założenie o różniczkowalności zostało wprowadzone ze względów formalnych, gdyż w przedstawionym dowodzie pokazuje się, że ψ jest ciągła.

3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 27 Rozmaitość, której poszukujemy ma być Φ-niezmiennicza, co oznacza, że odwzorowanie ψ spełnia następujące równanie (Rysunek 3.1): Φ 2 (x, ψ(x)) = ψ(φ 1 (x, ψ(x))). (3.8) Strategia dowodu polega na zamianie równania (3.8) na problem punktu stałego dla odwzorowania przestrzeni C 0,1 w siebie i skorzystaniu z twierdzenia Banacha 2.8. R q (x, ψ(x)) Φ(x, ψ(x)) Φ 2 (x, ψ(x)) = ψ(φ 1 (x, ψ(x))) W cu Φ 1 (x, ψ(x)) R p Rysunek 3.1: Niezmienniczość podrozmaitości W cu Lemat 3.2. Jeśli τ 2 < B 1 1, to dla dowolnego ξ R p i dowolnej funkcji v C 0,1 istnieje dokładnie jeden punkt x R p, spełniający równanie Φ 1 (x, v(x)) = ξ. Innymi słowy, istnieje odwzorowanie Λ: R p C 0,1 R p, takie że Φ 1 (x, v(x)) = ξ x = Λ(ξ, v). (3.9) Ponadto Λ spełnia warunek Lipschitza ze względu na pierwszą zmienną ze stałą L = β(1 βτ 2 ) 1. Dowód. Dla dowolnego v C 0,1 definiujemy F v (x) := f(x, v(x)). Teza lematu jest równoważna z odwracalnością odwzorowania B + F v. Z twierdzenia 2.9 wiemy, że (B + F v ): R p R p jest odwzorowaniem odwracalnym, jeśli tylko

3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 28 Lip(F v ) < B 1 1. Oszacowanie Lip(F v ) dostajemy z twierdzenia o wartości średniej: F v (x 1 ) F v (x 2 ) = f(x 1, v(x 1 )) f(x 2, v(x 2 )) τ 2 max{ x 1 x 2, v(x 1 ) v(x 2 ) } τ 2 x 1 x 2. (3.10) Ostatnia nierówność wynika z tego, że v C 0,1, czyli v spełnia warunek Lipschitza ze stałą jeden. Ponieważ Lip(F v ) jest najmniejszą stałą spełniającą szacowanie (3.10), więc dostajemy Lip(F v ) τ 2. Odwzorowanie Λ: R p C 0,1 R q definiujemy następująco: Twierdzenie 2.9 daje nam oszacowanie Lip(Λ) Λ(ξ, v) := x. Biorąc pod uwagę definicje (3.7), możemy napisać gdzie βτ 2 < 1 z założenia. Λ(ξ 1, v) Λ(ξ 2, v) 1 B 1 1 Lip(F). (3.11) β 1 βτ 2 ξ 1 ξ 2, (3.12) Lemat 3.2 mówi nam, że przy dowolnym ξ R p i dowolnej funkcji v C 0,1 jedynym rozwiązaniem równania Φ 1 (x, v(x)) = ξ (3.13) jest x = Λ(ξ, v). Wobec tego, możemy zdefiniować odwzorowanie F : C 0,1 C(R p, R q ) wzorem (Fv)(ξ) := Φ 2 (Λ(ξ, v), v(λ(ξ, v))). (3.14) Podrozmaitość W cu jest Φ-niezmiennicza wtedy i tylko wtedy, gdy ψ jest punktem stałym odwzorowania F. Aby skorzystać z twierdzenia Banacha musimy wiedzieć, że F(C 0,1 ) C 0,1 oraz że F jest kontrakcją.

3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 29 Lemat 3.3. Załóżmy, że α + τ 1 1; αβ + 2βτ 2 1. Wówczas odwzorowanie F przeprowadza C 0,1 w siebie. Dowód. Niech v C 0,1. Odwzorowanie Fv jako złożenie odwzorowania klasy C k, k 1, z odwzorowaniem ciągłym jest ciągłe. Ponieważ Φ 1 (0, v(0)) = 0, więc Λ(0, v) = 0, skąd (Fv)(0) = Φ 2 (Λ(0, v), v(λ(0, v))) = Φ 2 (0, v(0)) = Φ 2 (0, 0) = 0. (Fv)(x) = Cv(Λ(x, v)) + g(λ(x, v), v(λ(x, v))) Cv(Λ(x, v)) + g(λ(x, v), v(λ(x, v))) C L v(λ(x, v)) + g(λ(x, v), v(λ(x, v))) α v sup + τ 1 1 A zatem Fv sup 1. Następnie niech x i = Λ(ξ i, v), i = 1, 2: (Fv)(ξ 1 ) (Fv)(ξ 2 ) Cv(x 1 ) Cv(x 2 ) + g(x 1, v(x 1 )) g(x 2, v(x 2 )) Z oszacowania (3.12) dostajemy C L v(x 1 ) v(x 2 ) + τ 2 max{ x 1 x 2, v(x 1 ) v(x 2 ) } (α + τ 2 ) x 1 x 2 = (α + τ 2 ) Λ(ξ 1, v) Λ(ξ 2, v) (Fv)(ξ 1 ) (Fv)(ξ 2 ) β(α + τ 2) 1 βτ 2 ξ 1 ξ 2, czyli Fv spełnia warunek Lipschitza ze stałą jeden, jeśli β(α + τ 2 ) 1 βτ 2 1. Jest to równoważne z nierównością αβ + 2βτ 2 1.

3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 30 Lemat 3.4. Jeśli α + τ 2 (1 + β) < 1, to odwzorowanie F jest kontrakcją. Dowód. Przyjmijmy x 1 = Λ(ξ, v 1 ) oraz x 2 = Λ(ξ, v 2 ). Oznacza to, że prawdziwe są równości ξ = Bx 1 + f(x 1, v 1 (x 1 )), ξ = Bx 2 + f(x 2, v 2 (x 2 )). Odejmując je stronami otrzymamy: x 1 x 2 = B 1 (f(x 1, v 1 (x 1 )) f(x 2, v 2 (x 2 ))) B 1 L f(x 1, v 1 (x 1 )) f(x 2, v 2 (x 2 )) βτ 2 max{ x 1 x 2, v 1 (x 1 ) v 2 (x 2 ) }, (3.15) v 1 (x 1 ) v 2 (x 2 ) = v 1 (x 1 ) v 1 (x 2 ) + v 1 (x 2 ) v 2 (x 2 ) v 1 (x 1 ) v 1 (x 2 ) + v 1 (x 2 ) v 2 (x 2 ) x 1 x 2 + (v 1 v 2 )(x 2 ) x 1 x 2 + v 1 v 2 sup. Wstawiając (3.16) do (3.15) otrzymujemy dalej, że x 1 x 2 βτ 2 ( x 1 x 2 + v 1 v 2 sup ), skąd wynika szacowanie Ostatecznie skorzystamy z (3.16) i (3.17): (3.16) x 1 x 2 βτ 2 1 βτ 2 v 1 v 2 sup. (3.17) (Fv 1 )(ξ) (Fv 2 )(ξ) Cv 1 (x 1 ) Cv 2 (x 2 ) + g(x 1, v 1 (x 1 )) g(x 2, v 2 (x 2 )) C L v 1 (x 1 ) v 2 (x 2 ) + τ 2 max{ x 1 x 2, v 1 (x 1 ) v 2 (x 2 ) } ) (α + τ 2 ) ( x 1 x 2 + v 1 v 2 sup (α + τ 2 ) βτ 2 + 1 βτ 2 1 βτ 2 v 1 v 2 sup (3.18)

3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 31 Biorąc obustronnie supremum po ξ R p dostajemy skąd wynika teza. Fv 1 Fv 2 sup α + τ 2 1 βτ 2 v 1 v 2 sup, Na mocy twierdzenia 2.8 odwzorowanie F ma dokładnie jeden punkt stały ū =: ψ C 0,1. Z konstrukcji odwzorowania F wynika, że funkcja ψ spełnia równanie (3.8), czyli zbiór {(x, ψ(x)) : x R p } jest Φ-niezmienniczy. Załóżmy, że ψ jest różniczkowalna. Wykażemy, że Dψ(0) = 0. Różniczkując równość (3.8) względem x otrzymujemy: Φ 2 x (x, y) + Φ ( 2 Φ1 (x, y)dψ(x) = Dψ(x) y x (x, y) + Φ ) 1 (x, y)dψ(x) y Podstawiając (x, y) = (0, 0) wobec równości Φ 1 f (0, 0) = B + x x (0, 0) = B, Φ 2 x Φ 1 f (0, 0) = y y (0, 0) = 0, Φ 2 y mamy CDψ(0) = Dψ(0)B. g (0, 0) = (0, 0) = 0 x g (0, 0) = C + (0, 0) = C y Ponieważ przekrój σ(b) i σ(c) jest pusty, na mocy lematu 2.7 dostajemy Dψ(0) = 0. Wynika stąd równość T 0 W cu = R p. 3.2.2 Twierdzenie lokalne Twierdzenie 3.5. Niech Φ: R n R n będzie C k -dyfeomorfizmem k 1. Jeśli spełnione są założenia z paragrafu 3.1, to istnieje lokalnie Φ-niezmiennicza podrozmaitość W cu loc = {(x, ψ(x)) R p R q : x R p, x < ε}, gdzie ε > 0 i ψ : R p R q jest odwzorowaniem ciągłym, ψ(0) = 0. Przy założeniu różniczkowalności ψ mamy ponadto Dψ(0) = 0. Definicja 3.2. Podrozmaitość W cu loc, o której mówi twierdzenie 3.5, nazywa się lokalną podrozmaitością centralną niestabilną punktu stałego (0, 0) odwzorowania Φ.

3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 32 Dowód. Niech ε > 0 oraz χ: R [0, 1] będzie funkcją klasy C taką, że 2 : { 1, dla 0 t 1; χ(t) = 0, dla t 2. Zauważmy, że zarówno χ jak i jej pochodne są funkcjami ograniczonymi ze względu na to, że nośnik supp(χ) 3 jest zbiorem zwartym. Zamiast odwzorowania (3.1) rozpatrzmy odwzorowanie ( ) z ˆΦ(z) = Az + χ ϕ(z), (3.19) ε Z określenia funkcji χ widać, że dla z < ε mamy Φ = ˆΦ, a ponieważ chcemy udowodnić własność lokalną odwzorowania Φ, wystarczy że udowodnimy twierdzenie dla odwzorowania ˆΦ. Zamiast ograniczać się do 2ε-otoczenia zera, wprowadzamy odwzorowanie: z 1 ε ˆΦ(εz), którego część liniowa jest taka sama jak odwzorowania ˆΦ: Φ(z) = 1 ε ˆΦ(εz) = Az + F ε (z), (3.20) gdzie F ε (z) = χ( z ) 1 ϕ(εz). (3.21) ε Globalna podrozmaitość centralna niestabilna odwzorowania Φ jest lokalną podrozmaitością centralną niestabilną odwzorowania Φ. Lemat 3.6. Dla dowolnych τ 1, τ 2 B2 Rn (0) zachodzą szacowania 4 : (a) F ε (z) τ 1 ; > 0 istnieje takie ε > 0, że dla wszystkich z (b) DF ε (z) L τ 2. Dowód. Niech τ 1 > 0 będzie dowolne i niech η = τ 1 /2. Ponieważ ϕ(z) = o( z ), więc dla tak wybranego η istnieje δ > 0, że ϕ(εz) η, jeśli tylko εz δ. Weźmy εz więc takie ε by εz < δ. Mamy F ε (z) = 1 ε χ( z )ϕ(εz) 1 ε ϕ(εz) = z ϕ(εz) εz 2 Tego typu funkcje nazywamy funkcjami cut-off. 3 Nośnikiem funkcji nazywamy zbiór supp(f) := {x : f(x) 0}. 2η = τ 1 4 Tezę można wyrazić w ten sposób, że gdy ε 0, to τ i 0, i = 1, 2. O odwzorowaniu F ε zakładamy oczywiście, że nie jest tożsamościowo równe zeru.

3.2 Podrozmaitość centralna niestabilna dla odwzorowań 33 Zwróćmy uwagę, że pochodna DF ε (z) = D [ χ( z ) 1 ε ϕ(εz)] jest reprezentowana przez macierz postaci χ ( z ) z 1 ϕ ε z 1(εz) + χ( z ) ϕ 1 z 1 χ ( z ) z n ϕ ε z 1(εz) + χ( z ) ϕ 1 z n DF ε (z) =...... χ ( z ) z 1 ϕ ε z n(εz) + χ( z ) ϕ n z 1 χ ( z ) z n ϕ ε z n(εz) + χ( z ) ϕ n z n Upraszczając, można zapisać DF ε (z) = χ ( z ) 1 Γ + χ( z )Dϕ(εz), gdzie εz z 1 ϕ 1 (εz) z n ϕ 1 (εz) Γ =...... z 1 ϕ n (εz) z n ϕ n (εz) Ze stwierdzenia 2.1 dostajemy szacowanie Γ L 2 ϕ(εz). Zatem DF ε (z) L 2 χ ( z ) ϕ(εz) + χ( z ) Dϕ(εz) εz L 2M ϕ(εz) + Dϕ(εz) εz L. Niech τ 2 > 0 będzie dowolne. Z ciągłości Dϕ(z) oraz z równości Dϕ(0) = 0 możemy dla dowolnej τ 2 > η 1 > 0 dobrać δ 1 > 0 tak, by Dϕ(εz) L η 1, jeśli tylko εz δ 1. Podobnie jak wcześniej, połóżmy η 2 = (τ 2 η 1 )/2M. Wiemy, że ϕ(εz) / εz η 2, o ile εz δ 2. Wybierając zatem ε tak małe, by εz min{δ 1, δ 2 } mamy DF ε (z) L 2Mη 2 + η 1 = τ 2. Ostatni lemat mówi, że przez odpowiedni dobór ε > 0 możemy dowolnie oszacować resztę odwzorowania Φ oraz jej pochodną jednostajnie na całej kuli B Rn 2 (0). Spełnione są zatem wszystkie założenia twierdzenia 3.1, więc istnieje Φ-niezmiennicza podrozmaitość centralna niestabilna. Dokonując przeskalowania z z ε, otrzymujemy globalną podrozmaitość dla odwzorowania ˆΦ: W cu = {(x, ψ(x)) : x R p }. Ponieważ ˆΦ = Φ dla z < ε, więc W cu loc = W cu dla x < ε. Dowód został zakończony.

3.3 Istnienie podrozmaitości centralnej 34 3.3 Istnienie podrozmaitości centralnej W tym paragrafie sformułujemy i udowodnimy twierdzenie o podrozmaitości centralnej w przypadku kaskady. Dowód opiera się głównie na twierdzeniu 3.5 o istnieniu podrozmaitości centralnej niestabilnej. Przedtem jednak zastosujemy twierdzenie 3.5 do odwzorowania Φ 1. Zauważmy, że odwzorowanie Φ 1 spełnia założenia poprzedniego twierdzenia. Wypiszemy te warunki: 3.3.1. Ponieważ Φ jest C k -dyfeomorfizmem, więc Φ 1 jest klasy C k ; 3.3.2. Z odwracalności Φ oraz warunku Φ(0) = 0 wynika, że 0 jest również punktem stałym Φ 1 ; 3.3.3. Z twierdzenia o funkcji odwrotnej 1.3 wiemy, że DΦ 1 (0) = [DΦ(0)] 1. Ponieważ σ(a 1 ) = {λ 1 : λ σ(a)}, więc A := DΦ 1 (0) posiada n c + n s wartości własnych o module mniejszym bądź równym 1, natomiast n u wartości własnych o module większym od 1. Wniosek 3.7. Twierdzenie 3.5 gwarantuje istnienie lokalnie Φ-niezmienniczej podrozmaitości W cs loc = { (x, ψ(x)) R n : x R nc+ns, x < ε }, gdzie ε > 0 oraz ψ : R n c+n s R n u jest funkcją ciągłą, znikającą w zerze wraz z pierwszą pochodną, o ile tylko jest różniczkowalna (przypis 1, str. 26). Zatem przestrzenią styczną do W cs loc jest podprzestrzeń Rn c+n s. Definicja 3.3. Wloc cs nazywamy lokalną podrozmaitością centralną stabilną punktu stałego (0, 0) odwzorowania Φ. Twierdzenie 3.8 (o podrozmaitości centralnej). Niech Φ: R n R n będzie dyfeomorfizmem klasy C k, k 1. Załóżmy, że Φ(0) = 0; macierz odwzorowania liniowego A := DΦ(0) posiada n c wartości własnych λ, takich że λ = 1 oraz n s + n u wartości własnych o module różnym od 1.

3.4 Zasada redukcji 35 Wówczas istnieje lokalnie Φ-niezmiennicza C k -podrozmaitość W c loc = {(ξ, h(ξ)) R n : ξ R n c, ξ < δ}, gdzie δ > 0 oraz h: R nc R ns+nu jest ciągłym odwzorowaniem i ma tę własność, że h(0) = 0 oraz Dh(0) = 0. Definicja 3.4. Wloc c w zerze. nazywamy lokalną podrozmaitością centralną odwzorowania Φ Dowód powyższego twierdzenia jest bezpośrednim zastosowaniem twierdzenia o funkcji uwikłanej. W tym momencie skorzystamy z tego, że funkcje ψ oraz ψ, o których mowa w twierdzeniu 3.5 i wniosku 3.7 są klasy C k, k 1 (przypis 1, str. 26). Dowód. Przez (x, y, z) oznaczymy punkty R n = R n c R n u R n s. Niech Ω := Br Rn (0), gdzie r := min{ε, ε}. Określamy odwzorowanie F : Ω R n u R n s wzorem F (x, y, z) := (y ψ(x, z), z ψ(x, y)) (3.22) Wiemy, że ψ(0, 0) = ψ(0, 0) = 0 oraz Dψ(0, 0) = D ψ(0, 0) = 0, a zatem F (0, 0, 0) = (0, 0). Ponieważ DF (0, 0, 0) = ( ψ (0, 0) x I n u ψ z (0, 0) ψ (0, 0) y I ψ x ) (0, 0) = n s ( 0 I nu 0 0 0 I ns więc det[d R nu R nsf(0, 0, 0)] 0 (pochodna w kierunku podprzestrzeni Rnu R ns ) i z twierdzenia o funkcji uwikłanej 1.4 wiemy, że istnieje δ > 0 oraz odwzorowanie h = (h 1, h 2 ): B Rnc δ (0) R nu R ns, takie że F (x, h 1 (x), h 2 (x)) = (0, 0). Ponadto h(0) = (0, 0) i ze wzoru (1.9) dostajemy, że Dh(0) = 0. Definiując W c loc := F 1 (0, 0) dostajemy tezę twierdzenia. ), 3.4 Zasada redukcji Jednym z głównych zastosowań twierdzenia o podrozmaitości centralnej jest redukcja wymiaru w jakościowym badaniu układów dynamicznych. Mówią o tym następujące twierdzenia, których dowody pomijamy. Twierdzenia pochodzą z pozycji [10]. Dowód twierdzenia 3.10 można znaleźć w [4], str. 21.

3.5 Uwaga na temat gładkości 36 Twierdzenie 3.9 (zasada redukcji). Rozważmy przekształcenie Φ: R n R n postaci ( ) ( ) x Bx + f(x, y) Φ:, (3.23) y Cy + g(x, y) gdzie x R nc, y R nu+ns oraz wszystkie n c wartości własnych macierzy B leży na S 1 : λ = 1, podczas gdy n u + n s wartości własnych macierzy C spełnia warunek λ = 1. Odwzorowania f i g znikają w zerze wraz z pierwszymi pochodnymi. Wówczas odwzorowanie Φ jest w otoczeniu zera lokalnie topologicznie sprzężone z odwzorowaniem Φ: R n R n postaci ( ) ( ) x Bx + f(x, h(x)) Φ:, (3.24) y Cy gdzie h: B Rn c δ (0) R n u+n s jest parametryzacją podrozmaitości centralnej (twierdzenie 3.8). Twierdzenie 3.10. Załóżmy, że x = 0 jest stabilnym punktem stałym zawężenia odwzorowania (3.23) do podrozmaitości centralnej: x Bx + f(x, h(x)), x R n c (3.25) oraz niech n u = 0, tzn. wszystkie wartości własne macierzy C leżą wewnątrz koła jednostkowego. Wówczas punkt (x, y) = (0, 0) jest stabilnym punktem stałym odwzorowania (3.23). 3.5 Uwaga na temat gładkości Nawet gdy odwzorowanie Φ jest analityczne, to na ogół nie istnieje podrozmaitość centralna klasy C. Ilustrujący ten fakt poniższy przykład pochodzi od holenderskiego matematyka van Strien a. Przykład 3.1 ([17]). Rozważmy jednoparametrową rodzinę odwzorowań płaszczyzny Φ λ (x, y) := (λx, 2y + ϕ(x)), (3.26) gdzie ϕ jest analityczną funkcją w otoczeniu zera, ϕ(0) = ϕ (0) = 0 oraz ϕ nie jest wielomianem. Rodzinę odwzorowań Φ λ możemy zastąpić jednym, trójwymiarowym