Algebra. Wykłady dla Studiów Doktoranckich. Kazimierz Szymiczek

Algebra Wykłady dla Studiów Doktoranckich Kazimierz Szymiczek 29.11.2010

Spis treści Przedmowa v 1 Grupy 1 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy.................... 1 1.1.1 Definicja i przykłady grup.................... 1 1.1.2 Podgrupy i warstwy....................... 2 1.1.3 Podgrupy normalne........................ 3 1.1.4 Homomorfizmy.......................... 5 1.1.5 Automorfizmy wewnętrzne.................... 9 1.1.6 Twierdzenie Jordana-Höldera.................. 10 1.2 Działanie grupy na zbiorze........................ 11 1.2.1 Działanie grupy przez automorfizmy wewnętrzne........ 14 1.2.2 Zastosowania w teorii grup skończonych............ 15 1.3 Iloczyn prosty i półprosty grup..................... 16 1.3.1 Iloczyny wewnętrzne....................... 16 1.3.2 Iloczyny zewnętrzne....................... 18 Iloczyn prosty........................... 19 Iloczyn półprosty......................... 20 1.3.3 Holomorf grupy.......................... 25 1.4 Grupy wolne i kody genetyczne grup.................. 26 1.4.1 Monoidy wolne.......................... 26 1.4.2 Grupy wolne............................ 27 1.4.3 Własność uniwersalna grupy wolnej............... 29 1.4.4 Kod genetyczny grupy...................... 31 1.5 Zadania.................................. 34 2 Pierścienie 37 2.1 Podstawowe pojęcia............................ 37 2.2 Homomorfizmy i ideały.......................... 40 2.3 Ideały w pierścieniach przemiennych.................. 43 2.3.1 Ideały pierwsze i maksymalne.................. 44 2.3.2 Rozszerzenie i zwężenie ideału.................. 46 2.3.3 Twierdzenie chińskie o resztach................. 48 2.3.4 Elementy nilpotentne i dzielniki zera.............. 49 2.4 Pierścienie ułamków i lokalizacja..................... 51 2.4.1 Konstrukcja............................ 52 i

ii SPIS TREŚCI 2.4.2 Własność uniwersalna...................... 55 2.4.3 Ideały pierścienia ułamków.................... 56 2.5 Zadania.................................. 57 3 Moduły 59 3.1 Definicje i przykłady........................... 59 3.1.1 Operacje na modułach...................... 62 3.2 Homomorfizmy modułów......................... 63 3.2.1 Rozszczepialne ciągi dokładne.................. 65 3.3 Moduły wolne............................... 68 3.4 Moduły projektywne........................... 73 3.4.1 Bazy dualne modułów projektywnych.............. 76 3.4.2 Moduły projektywne nad pierścieniami lokalnymi....... 79 3.5 Bimoduły i reprezentacje pierścieni................... 81 3.6 Iloczyn tensorowy modułów....................... 83 3.6.1 Rozszerzenie pierścienia skalarów................ 85 3.7 Zadania.................................. 87 4 Moduły nad pierścieniami ideałów głównych 89 4.1 Moduły torsyjne............................. 89 4.2 Moduły skończenie generowane..................... 93 4.3 Grupy abelowe.............................. 96 4.3.1 Grupy abelowe wolne....................... 97 Grupa abelowa wolna jako składnik prosty grupy abelowej.. 98 Generatory i relacje........................ 100 4.3.2 Skończenie generowane grupy abelowe.............. 101 4.3.3 Skończenie generowane beztorsyjne grupy abelowe....... 102 4.3.4 Skończenie generowane mieszane grupy abelowe........ 102 4.3.5 Torsyjne grupy abelowe...................... 102 4.3.6 Skończone grupy abelowe..................... 104 4.4 Zadania.................................. 105 5 Kategorie 107 5.1 Obiekty i morfizmy............................ 107 5.1.1 Monomorfizmy i epimorfizmy.................. 110 5.2 Iloczyny obiektów kategorii........................ 112 5.3 Sumy obiektów kategorii......................... 116 5.4 Funktory.................................. 120 5.4.1 Transformacja naturalna funktorów............... 123 5.4.2 Naturalna równoważność funktorów............... 125 5.4.3 Funktory sprzężone........................ 128 5.5 Funktor K 0................................ 130 5.5.1 Grupa Grothendiecka....................... 130 5.5.2 Funktor K 0............................ 134 5.5.3 K teoria............................. 134 5.6 Zadania.................................. 135

SPIS TREŚCI iii 6 Pierścienie noetherowskie 137 6.1 Moduły i pierścienie noetherowskie................... 137 6.1.1 Moduły noetherowskie...................... 138 6.1.2 Pierścienie noetherowskie..................... 140 6.1.3 Moduły i pierścienie artinowskie................. 144 6.2 Rozkład prymarny............................ 145 6.2.1 Ideały prymarne......................... 145 6.2.2 Radykał ideału.......................... 149 6.2.3 Nota bibliograficzna....................... 151 6.3 Pierścienie Dedekinda........................... 152 6.3.1 Wymiar pierścienia........................ 152 6.3.2 Elementy całkowite nad pierścieniem.............. 152 6.3.3 Pierścienie Dedekinda...................... 155 6.3.4 Inna charakteryzacja pierścieni Dedekinda........... 158 6.4 Pierścienie liczb algebraicznych całkowitych.............. 159 6.5 Zadania.................................. 165 7 Afiniczne rozmaitości algebraiczne 167 7.1 Zbiory algebraiczne i ich ideały..................... 167 7.2 Topologia Zariskiego........................... 171 7.3 Rozmaitości algebraiczne......................... 174 7.4 Twierdzenie Hilberta o zerach...................... 176 7.5 Zastosowania twierdzenia Hilberta o zerach............... 181 7.5.1 Rozkład prymarny ideałów i rozkład zbioru algebraicznego na sumę rozmaitości......................... 181 7.5.2 Ideały maksymalne pierścienia wielomianów.......... 181 7.5.3 Ideały radykalne......................... 184 7.6 Ciało funkcji wymiernych na rozmaitości................ 186 7.6.1 Pierścień funkcji wielomianowych na zbiorze algebraicznym.. 186 7.6.2 Kategoria afinicznych zbiorów algebraicznych.......... 190 7.6.3 Zbiory algebraiczne określone nad podciałem.......... 191 7.6.4 Punkty K wymierne....................... 192 7.6.5 Ciało funkcji wymiernych na rozmaitości............ 192 7.6.6 Wymiar rozmaitości....................... 194 7.6.7 Nieosobliwość rozmaitości.................... 196 7.7 Zadania.................................. 196 8 Algebra endomorfizmów 199 8.1 K algebry: definicje i przykłady.................... 199 8.2 Algebry z dzieleniem i algebry proste.................. 205 8.3 Centralność i prostota algebry endomorfizmów............. 207 8.4 Wielomian minimalny endomorfizmu.................. 210 8.5 Endomorfizmy odwracalne........................ 214 8.6 Rząd endomorfizmu............................ 215 8.7 Podobieństwo endomorfizmów...................... 216 8.8 Zadania.................................. 220

iv SPIS TREŚCI 9 Algebra liniowa: Triangularyzacja i diagonalizacja 223 9.1 Wartości własne endomorfizmu..................... 223 9.2 Endomorfizmy diagonalizowalne..................... 227 9.3 Postać kanoniczna trójkątna....................... 228 9.4 Diagonalizacja............................... 233 9.5 Zadania.................................. 235 10 Algebra liniowa: Postacie kanoniczne 237 10.1 Struktura K[X] modułu V τ....................... 237 10.1.1 Rozkład prymarny modułu V τ.................. 238 10.1.2 Rozkład modułu V τ na sumę prostą podmodułów cyklicznych 242 10.2 Endomorfizmy nilpotentne........................ 244 10.2.1 Postać kanoniczna Jordana.................... 245 10.2.2 Jednoznaczność postaci kanonicznej Jordana.......... 247 10.3 Postać kanoniczna Jordana........................ 249 10.3.1 Postać kanoniczna........................ 249 10.3.2 Jednoznaczność postaci kanonicznej............... 252 10.4 Wielomian charakterystyczny, wyznacznik, ślad............ 255 10.4.1 Wielomian charakterystyczny.................. 256 10.4.2 Wyznacznik endomorfizmu.................... 258 10.4.3 Wyznacznik macierzy....................... 259 10.4.4 Ślad endomorfizmu........................ 260 10.5 Postać kanoniczna Frobeniusa...................... 261 10.5.1 Podprzestrzenie cykliczne.................... 261 10.5.2 Postać kanoniczna wymierna................... 262 10.5.3 Jednoznaczność postaci kanonicznej............... 265 10.6 Rozmaitości o endomorfizmach..................... 266 10.6.1 Podobieństwo przy zwężaniu ciała................ 266 10.6.2 Charakteryzacja endomorfizmów nilpotentnych......... 266 10.6.3 Transponowanie macierzy.................... 267 10.7 Zadania.................................. 267

Przedmowa Sometimes one has to say difficult things, but one ought to say them as simply as one knows how. G. H. Hardy Program studiów doktoranckich w Uniwersytecie Śląskim przewiduje wykłady z czterech podstawowych dyscyplin matematycznych. Wykłady te są adresowane do wszystkich uczestników studiów doktoranckich i mają ustanowić pewien minimalny standard wykształcenia matematycznego wszystkich doktorów, niezależnie od ich specjalizacji naukowej. W związku z tym programy tych wykładów przewidują jedynie hasła o ogólnym znaczeniu i unikają problematyki ważnej jedynie dla specjalistów. Niniejszy skrypt jest zapisem takiego wykładu z algebry w roku akademickim 2008 2009. v

Rozdział 1 Grupy Ostatnie zmiany 16.09.2010 r. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy Rozpoczniemy od przypomnienia podstawowych pojęć i faktów z teorii grup, występujących w kursowym uniwersyteckim wykładzie algebry. Następujące książki będą przydatne w odświeżaniu tych wiadomości: [BB] A. Białynicki-Birula, Zarys algebry. PWN Warszawa 1987. [H] I. N. Herstein, Topics in Algebra. 2nd edition. Wiley, New York 1975. [KM] M. I. Kargapołow, J. I. Mierzliakow, Podstawy teorii grup. PWN Warszawa 1989. [L] S. Lang, Algebra. PWN Warszawa 1973. [S] K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup. PWN Warszawa 1989. 1.1.1 Definicja i przykłady grup Półgrupą nazywamy system złożony ze zbioru S i określonego w tym zbiorze łącznego działania binarnego. Monoidem nazywamy półgrupę z jedynką (elementem neutralnym). Grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Inne definicje: zob. [S], zad. 051, 053, niezależność aksjomatów: zad. 052. Przykład 1.1.1. (a) Grupa symetryczna S(X) zbioru X. Jej elementami są bijekcje ϕ : X X, natomiast działaniem jest superpozycja bijekcji: dla ϕ, ψ S(X) odwzorowanie ϕ ψ : X X działa następująco: (ϕ ψ)(x) = ϕ(ψ(x)) dla każdego x X. Gdy zbiór X jest skończony, grupę S(X) nazywa się grupą permutacji zbioru X i oznacza S(n) (lub S n ), gdzie n jest liczbą elementów zbioru X. (b) Grupa funkcji M(X, G) określonych na zbiorze X o wartościach w grupie G. Dla dwóch funkcji f, g : X G ich iloczyn definiujemy jako funkcję fg : X G taką, że (fg)(x) = f(x) g(x) dla każdego x X (po prawej stronie mamy iloczyn dwóch elementów grupy G). (c) Pełna grupa liniowa GL(n, F ) składa się z wszystkich odwracalnych macierzy 1

2 ROZDZIAŁ 1. GRUPY kwadratowych stopnia n o elementach z ciała F. Specjalna grupa liniowa SL(n, F ) składa się z wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n o elementach z ciała F, których wyznacznik jest równy 1. (d) Grupa kwaternionów Quat. W grupie SL(2, C) weźmy macierze A = [ 0 i i 0 ], B = [ 0 1 1 0 Wtedy A 4 = B 4 = I, A 2 = B 2, BAB 1 = A 1 i równości te pozwalają stwierdzić, że następujących 8 macierzy I, A, A 2, A 3, B, AB, A 2 B, A 3 B tworzy grupę. Nazywamy ją grupą kwaternionów i oznaczamy Quat lub Q. (e) Grupa diedralna D(n). W grupie permutacji S(n) weźmy permutacje ( ) 1 2... n x = (12... n), y =. n n 1... 1 Sprawdzamy, że x n = y 2 = 1, yxy 1 = x 1. Równości te pozwalają stwierdzić, że 2n permutacji 1, x,..., x n 1, y, xy,..., x n 1 y tworzy grupę. Nazywamy ją grupą diedralną i oznaczamy D(n) (lub D n ). Grupę tę nazywa się także grupą izometrii n kąta foremnego, gdyż numerując wierzchołki n kąta foremnego liczbami 1, 2,..., n stwierdzamy, że x i y, a także każdy element grupy D(n), można zinterpretować jako izometrię tego n kąta. Faktycznie są to wszystkie izometrie n kąta foremnego. Obszerną listę przykładów można znaleźć w [S], zad. 001 020. 1.1.2 Podgrupy i warstwy Podgrupą H grupy G nazywamy podzbiór grupy G zamknięty ze względu na działanie grupowe (jeśli a, b H, to także ab H), który sam jest grupą ze względu na działanie będące zacieśnieniem działania na G do H. Piszemy wtedy H < G. H < G wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: x, y H xy 1 H. Łatwo stwierdzić, że część wspólna dowolnej rodziny podgrup grupy G jest podgrupą grupy G. W szczególności, jeśli A jest podzbiorem grupy G, to część wspólna wszystkich podgrup grupy G zawierających zbiór A jest podgrupą grupy G. Nazywamy ją podgrupą generowaną przez zbiór A i oznaczamy A. Na przykład, grupa kwaternionów Quat jest podgrupą grupy SL(2, C) generowaną przez macierze A, B z przykładu 1.1.1(d). Podobnie, grupa diedralna D(n) jest podgrupą S(n) generowaną przez permutacje x, y z przykładu 1.1.1(e), zatem w grupie S(n) mamy x, y = D(n). Dla podzbiorów A i B grupy G określamy ich iloczyn kompleksowy A B := {a b G : a A, b B}. ].

1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY 3 Dla każdych trzech podzbiorów A, B, C grupy G mamy (A B) C = A (B C). Jeśli A i B są podgrupami grupy G, to iloczyn AB jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy gdy AB = BA. Warstwą lewostronną grupy G względem podgrupy H wyznaczoną przez element a G nazywamy zbiór ah := {a} H = {ah G : h H}. Podobnie definiuje się warstwę prawostronną Ha := {ha G : h H}. Każda warstwa grupy G względem podgrupy H jest równoliczna z podgrupą H. Mianowicie odwzorowania H ah, h ah oraz H Ha, h ha są bijekcjami. Jeśli dwie warstwy lewostronne ah i bh mają choć jeden element wspólny, to są identyczne: ah = bh. Podobnie dla warstw prawostronnych. Ponieważ każdy element a G należy do dokładnie jednej warstwy ah grupy G względem podgrupy H i różne warstwy są rozłączne, grupę G można przedstawić jako sumę mnogościową parami rozłącznych warstw G = i I a i H. Łatwo sprawdzić, że odwzorowanie ah Ha 1 jest bijekcją pomiędzy zbiorem warstw lewostronnych i zbiorem warstw prawostronnych grupy G względem podgrupy H. Zatem zbiory te są równoliczne a ich wspólną moc nazywa się indeksem podgrupy H w grupie G. Zbiór parami rozłącznych warstw lewostronnych a i H oznacza się G : H. Moc G : H zbioru warstw G : H, czyli moc zbioru I, jest więc indeksem podgrupy H w grupie G. Rozkład grupy G na sumę mnogościową parami rozłącznych warstw wraz z faktem, że każde dwie warstwy grupy względem tej samej podgrupy są równoliczne, prowadzi natychmiast do twierdzenia Lagrange a mówiącego, że dla grupy skończonej G i jej dowolnej podgrupy H mamy G : H H = G. Łatwo też zauważyć uogólnienie: dla grupy skończonej G, jeśli K < H < G, to 1.1.3 Podgrupy normalne G : H H : K = G : K. Podgrupa H grupy G nazywa się podgrupą normalną, jeśli ah = Ha a G. Piszemy wtedy H G. Zob. [S], zad. 213, gdzie podanych jest 10 innych warunków definiujących podgrupę normalną. Dwie podstawowe obserwacje:

4 ROZDZIAŁ 1. GRUPY 1. Jeśli H G i K < G, to HK = KH i wobec tego HK jest podgrupą grupy G. A więc iloczyn kompleksowy dowolnej podgrupy normalnej i dowolnej podgrupy grupy G jest podgrupą grupy G. 2. Jeśli H G oraz a, b G, to ah bh = a(hb)h = a(bh)h = abhh = abh. A więc iloczyn kompleksowy dwóch warstw względem podgrupy normalnej H jest znów warstwą względem H. Zbiór G : H wszystkich warstw ah grupy G względem podgrupy normalnej H oznacza się G/H. Zbiór G/H z kompleksowym mnożeniem warstw jest grupą (z jedynką H). Nazywa się ją grupą ilorazową grupy G względem podgrupy normalnej H. Przykład 1.1.2. Jeśli grupa G jest abelowa, to każda podgrupa H grupy G jest podgrupą normalną. W dowolnej grupie G jej centrum Z(G) = {a G : ag = ga g G} jest podgrupą normalną w G. W pełnej grupie liniowej GL(n, K) stopnia n nad ciałem K centrum składa się z wszystkich macierzy skalarnych ai, gdzie a K oraz I jest macierzą jednostkową stopnia n (zob. [S], zad. 288). Mamy także SL(n, K) GL(n, K). Dla A GL(n, K) warstwa A SL(n, K) składa się z wszystkich macierzy grupy GL(n, K), których wyznacznik jest równy det A. Komutantem grupy G nazywa się podgrupę [G, G] grupy G generowaną przez zbiór wszystkich komutatorów, czyli elementów postaci [a, b] := a 1 b 1 ab, gdzie a, b są dowolnymi elementami G. W grupie abelowej G mamy [a, b] = 1 dla każdych a, b G, zatem także [G, G] = 1. Natomiast w grupie nieabelowej G jej komutant [G, G] jest zawsze nietrywialną podgrupą grupy G. Ponadto, [G, G] G dla każdej grupy G. Łatwo stwierdzić, że grupa ilorazowa G/[G, G] jest abelowa. Grupę G {1} nazywa się prostą, jeśli podgrupa jednostkowa E = {1} oraz cała grupa G są jedynymi podgrupami normalnymi w G. Przykład 1.1.3. (a) Na podstawie twierdzenia Lagrange a, jeśli rząd grupy G jest liczbą pierwszą, to grupa G nie posiada właściwych podgrup i tym bardziej nie posiada właściwych podgrup normalnych, jest zatem grupą prostą. A więc grupy reszt Z p, gdzie p jest liczbą pierwszą, są proste. (b) W kursowym wykładzie algebry dowodzi się także, że grupy alternujące A n (grupy permutacji parzystych) dla n 5 są grupami prostymi. (c) Jeszcze jedną serię nieskończoną skończonych grup prostych otrzymuje się jako grupy ilorazowe specjalnych grup liniowych. Grupa SL(n, K) ma centrum złożone z macierzy skalarnych o wyznaczniku 1, a więc Z(SL(n, K)) = {ai : a K, a n = 1}. Grupa ilorazowa SL(n, K)/Z(SL(n, K)) nazywa się rzutową grupą specjalną stopnia n nad ciałem K i oznacza się ją PSL(n, K). Można udowodnić, że dla każdego ciała K, które ma co najmniej 4 elementy i dla każdej liczby naturalnej n 2 grupa PSL(n, K) jest prosta (zob. [KM], str. 125).

1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY 5 1.1.4 Homomorfizmy Homomorfizmem grupy G w grupę G nazywamy każde odwzorowanie h : G G takie, że h(ab) = h(a)h(b) dla każdych a, b G. Jeśli f : G G jest także homomorfizmem grup, to złożenie f h : G G jest także homomorfizmem grup. Często zamiast f h będziemy w takiej sytuacji pisać po prostu fh. Obrazem im h homomorfizmu h : G G nazywamy obraz h(g) grupy G w grupie G. Jest to podgrupa grupy G. Jądrem ker h homomorfizmu h nazywamy zbiór h 1 (1 ), czyli zbiór tych elementów grupy G, których obrazem poprzez h jest jedynka 1 G grupy G. Łatwo sprawdza się, że ker h jest podgrupą grupy G. Jeśli h : G G jest homomorfizmem, to dla każdego a G Zatem ker h jest podgrupą normalną grupy G. Dla dowodu (1.1) zauważmy, że ker h a = h 1 (h(a)) = a ker h. (1.1) h 1 (h(a)) = {b G : h(b) = h(a)} = {b G : a 1 b ker h} = {b G : b a ker h} = a ker h. Ponieważ h(a) = h(b) pociąga również ba 1 ker h, czyli b ker h a, więc także ker h a = h 1 (h(a)). Formułę (1.1) łatwo uogólnimy w następujący sposób: dla dowolnego niepustego podzbioru A grupy G Rzeczywiście, h 1 (h(a)) = ker h A = h 1 (h(a)) = A ker h. (1.2) a A h 1 (h(a)) = a A a ker h = A ker h i podobnie otrzymamy drugą część równości (1.2). Z równości (1.2) otrzymujemy teraz ker h < H < G h 1 (h(h)) = H (1.3) dla dowolnego homomorfizmu h : G G. Jeśli homomorfizm h jest odwzorowaniem różnowartościowym (injektywnym), to dla każdego a G zbiór h 1 (h(a)) jest jednoelementowy. A więc na podstawie (1.1) homomorfizm h jest injektywny wtedy i tylko wtedy gdy ker h = {1}. Definicja 1.1.1. Homomorfizm grup h : G G nazywa się monomorfizmem kategoryjnym grupy G w grupę G jeśli dla dowolnej grupy K i homomorfizmów f 1, f 2 : K G mamy następującą implikację: hf 1 = hf 2 f 1 = f 2.

6 ROZDZIAŁ 1. GRUPY Homomorfizmy występujące w tej definicji wygodnie jest zapisać w postaci następującego diagramu: f 1 K G h G f 2 K Rozważymy teraz własność homomorfizmów dualną w stosunku do kategoryjnej monomorficzności. Dualność ta polega na tym, że w definicji 1.1.1 zmieniamy kierunki działania wszystkich homomorfizmów. Definicja 1.1.2. Homomorfizm grup h : G G nazywa się epimorfizmem kategoryjnym grupy G w grupę G jeśli dla dowolnej grupy K i homomorfizmów f 1, f 2 : G K mamy następującą implikację: hf 1 hf 2 f 1 h = f 2 h f 1 = f 2. Homomorfizmy występujące w tej definicji tworzą następujący diagram: K f 1 f 1 h G h G f 2 K f 2 h Stwierdzenie 1.1.3. Jeśli homomorfizm grup h : G G jest odwzorowaniem injektywnym, to h jest monomorfizmem kategoryjnym grupy G w grupę G. Jeśli homomorfizm grup h : G G jest odwzorowaniem surjektywnym, to h jest epimorfizmem kategoryjnym grupy G w grupę G. Dowód. W oznaczeniach definicji 1.1.1 zakładamy, że a K oraz hf 1 = hf 2. Wtedy h(f 1 (a)) = (hf 1 )(a) = (hf 2 )(a) = h(f 2 (a)). Jeśli h jest odwzorowaniem injektywnym, to stąd otrzymujemy f 1 (a) = f 2 (a). Wobec tego f 1 = f 2. Podobnie, w oznaczeniach definicji 1.1.2 zakładamy, że a G oraz f 1 h = f 2 h. Jeśli h jest odwzorowaniem surjektywnym, to istnieje b G taki, że a = h(b). Wobec tego f 1 (a) = f 1 (h(b)) = (f 1 h)(b) = (f 2 h)(b) = f 2 (h(b)) = f 2 (a). Stąd f 1 = f 2.

1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY 7 Injektywny homomorfizm grup h : G G nazywa się zwykle monomorfizmem, zaś homomorfizm surjektywny nazywa się epimorfizmem. Tak więc każdy monomorfizm grup jest monomorfizmem kategoryjnym i każdy epimorfizm grup jest epimorfizmem kategoryjnym. Można pokazać, że twierdzenia odwrotne są także prawdziwe i w związku z tym nie ma konieczności rozróżniania morfizmów grupowych i kategoryjnych. W rozdziale 5 dyskutujemy ten problem w pełnej ogólności. Homomorfizm, który jest równocześnie monomorfizmem i epimorfizmem nazywa się izomorfizmem. Najważniejszym przykładem homomorfizmu grup jest homomorfizm kanoniczny κ : G G/H, gdzie H jest dowolną podgrupą normalną grupy G. Jest on określony następująco: κ(a) = ah dla a G. Jest to epimorfizm oraz ker κ = H. A więc każda podgrupa normalna H grupy G jest jądrem pewnego homomorfizmu grupy G w odpowiednio dobraną grupę G (na przykład na grupę ilorazową G/H). Sformułujemy teraz trzy podstawowe twierdzenia o homomorfizmach grup. Twierdzenie 1.1.4. (Twierdzenie o faktoryzacji.) Jeśli h : G G jest homomorfizmem grup, J := ker h oraz κ : G G/J jest homomorfizmem kanonicznym, to istnieje dokładnie jeden monomorfizm h : G/J G taki, że h = h κ, a więc taki, że następujący diagram jest przemienny: h G G κ G/J Homomorfizm h definiuje się kładąc h (aj) = h(a) dla a G. Z tego twierdzenia wynika, że każdy homomorfizm h : G G ma rozkład postaci h G κ G/J h im h j G, gdzie κ jest homomorfizmem kanonicznym, h jest izomorfizmem oraz j jest włożeniem. Innym bardzo użytecznym faktem jest następujący wniosek. Wniosek 1.1.5. Jeśli h : G G jest epimorfizmem grup, to homomorfizm h jest izomorfizmem i wobec tego G/ ker h = G. Uwaga 1.1.6. Twierdzenie o faktoryzacji można sformułować w następującej nieco ogólniejszej formie. Niech H będzie podgrupą normalną grupy G i niech h : G G będzie homomorfizmem grup. Jeśli H ker h, to istnieje dokładnie jeden homomorfizm h : G/H G taki, że h = h κ, gdzie κ : G G/H jest homomorfizmem kanonicznym. Ponadto, jeśli H = ker h, to h jest monomorfizmem. Założenie, że H ker h pozwala określić h formułą h (ah) = h(a). Rzeczywiście, jeśli ah = bh, to a 1 b H ker h, skąd wynika, że h(a) = h(b). Ponadto, jeśli H = ker h, to h(a) = 1 pociąga ah = H, zatem h jest monomorfizmem.

8 ROZDZIAŁ 1. GRUPY Dla grupy G symbolami Sub G i NSub G oznaczamy odpowiednio zbiór wszystkich podgrup grupy G i zbiór wszystkich podgrup normalnych grupy G. Jeśli H jest podgrupą grupy G, to Sub H G i NSub H G oznaczają odpowiednio zbiór wszystkich podgrup grupy G zawierających podgrupę H i zbiór wszystkich podgrup normalnych grupy G zawierających podgrupę H. Twierdzenie 1.1.7. (Twierdzenie o odpowiedniości.) Niech h : G G będzie epimorfizmem grup. Wtedy przyporządkowanie h : Sub J G Sub G, h (H) = h(h) każdej podgrupie H grupy G zawierającej jądro J = ker h jej obrazu h(h) w grupie G jest bijekcją taką, że h (NSub J G) = NSub G. Ponadto, dla każdej podgrupy normalnej H grupy G zawierającej jądro J = ker h mamy izomorfizm G/H = G /h(h). Dowód. Dla L Sub G mamy h(h 1 (L)) = L, zatem h jest odwzorowaniem surjektywnym. Dla dowodu, że h jest odwzorowaniem injektywnym przypuśćmy, że J < H 1, H 2 < G oraz h(h 1 ) = h(h 2 ). Wtedy na podstawie (1.3) mamy H 1 = h 1 (h(h 1 )) = h 1 (h(h 2 )) = H 2. A więc h jest bijekcją. Niech teraz J < H G (to znaczy H NSub J G). Wtedy dla x G oraz a G takiego, że h(a) = x mamy x h(h) x 1 = h(a) h(h) h(a 1 ) = h(aha 1 ) = h(h). Stąd wynika, że h(h) NSub G. Zatem zacieśnienie h do NSub J G jest injekcją w zbiór NSub G. Pozostaje pokazać, że zacieśnienie to jest surjekcją. Niech więc L NSub G. Dla każdego a G mamy h(a h 1 (L) a 1 ) = h(a) L h(a) 1 = L. Zatem a h 1 (L) a 1 h 1 (L). Stąd wynika już, że h 1 (L) G i wobec h(h 1 (L)) = L odwzorowanie h jest surjekcją. Dla dowodu ostatniej części twierdzenia określamy odwzorowanie h : G G /h(h), h (a) = h(a)h(h). Z łatwością stwierdzamy, że h jest epimorfizmem grup. Ponadto, ponieważ ker h < H, na podstawie (1.3) mamy ker h = {a G : h(a) h(h)} = h 1 (h(h)) = H. Zatem istnienie izomorfizmu G/H = G /h(h) wynika z wniosku 1.1.5. Wniosek 1.1.8. Jeśli H G, to homomorfizm kanoniczny κ : G G/H indukuje bijekcję κ : Sub H G Sub G/H taką, że κ (NSub H G) = NSub G/H.

1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY 9 Wniosek 1.1.9. Jeśli K G, H G i K < H, to K H (a) H/K G/K, (b) (G/K)/(H/K) = G/H. oraz Dowód. Rozpatrzmy homomorfizm kanoniczny κ : G G/K =: G. Wtedy na podstawie wniosku 1.1.8 mamy κ(h) = H/K G/K, oraz na podstawie twierdzenia 1.1.7 otrzymujemy G/H = G /κ(h) = (G/K)/(H/K). Bardziej bezpośredni dowód otrzymamy rozpatrując odwzorowanie G/K G/H, gk gh. Jest to epimorfizm z jądrem H/K. Izomorfizm w części (b) wniosku otrzymujemy przez zastosowanie wniosku 1.1.5. Twierdzenie 1.1.10. (Twierdzenie o izomorfizmie.) Jeśli H G, K < G, to (a) H K K, (b) HK/H = K/H K. Dowód. Przede wszystkim HK < G, gdyż z założeń wynika, że HK = KH, a to wystarcza by iloczyn dwóch podgrup grupy G był jej podgrupą. H jest podgrupą normalną w G, zatem jest także podgrupą normalną w HK. Dla dowodu twierdzenia rozważamy homomorfizm K HK/H, k kh. Jest to epimorfizm i ma jądro K H skąd wobec wniosku 1.1.5 otrzymujemy (b). 1.1.5 Automorfizmy wewnętrzne Automorfizmem grupy G nazywamy każdy izomorfizm α : G G. Zbiór Aut G wszystkich automorfizmów grupy G jest podgrupą grupy symetrycznej S(G) zbioru G. Dla każdego elementu a G definiujemy odwzorowanie i a : G G, i a (x) = axa 1. Łatwo sprawdza się, że i a Aut G. Automorfizm i a nazywa się automorfizmem wewnętrznym grupy G. Dla a, b G mamy i a i b = i ab oraz i 1 a = i a 1. Stąd wynika, że automorfizmy wewnętrzne tworzą podgrupę w grupie automorfizmów grupy G. Nazywamy ją grupą automorfizmów wewnętrznych grupy G i oznaczamy Inn G. Odwzorowanie G Inn G, a i a jest epimorfizmem grup. Jądrem tego epimorfizmu jest podgrupa normalna {a G : i a = id G } = {a G : ax = xa x G} = Z(G). Na podstawie wniosku 1.1.5 mamy zatem izomorfizm gdzie Z(G) jest centrum grupy G. Inn G = G/Z(G),

10 ROZDZIAŁ 1. GRUPY 1.1.6 Twierdzenie Jordana-Höldera Jeśli H G i grupa G/H nie jest prosta, to na podstawie wniosku 1.1.8 istnieje podgrupa K grupy G różna od H i G taka, że H K G. Podobnie, jeśli grupa K/H nie jest prosta (lub gdy G/K nie jest prosta), to istnieje podgrupa K 1 grupy K różna od H i K taka, że H K 1 K (istnieje podgrupa K 2 grupy G różna od K i G taka, że K K 2 G). Kontynuując to postępowanie dla grupy skończonej G skonstruujemy ciąg podnormalny H 0 = E H 1 H k 1 G = H k (1.4) którego faktory H i+1 /H i są grupami prostymi dla i = 0, 1,..., k 1. Taki ciąg podnormalny grupy G nazywa się ciągiem kompozycyjnym grupy G a liczba k nazywa się długością ciągu kompozycyjnego (1.4). Każda grupa skończona posiada więc przynajmniej jeden ciąg kompozycyjny, ale jak sugeruje konstrukcja przedstawiona powyżej, grupa mająca wiele podgrup normalnych będzie na ogół miała wiele ciągów kompozycyjnych. Podstawowe pytania jakie się nasuwają są następujące: (a) Czy grupa skończona może mieć ciągi kompozycyjne o różnych długościach? (b) Czy faktory proste ciągu kompozycyjnego są wyznaczone jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) przez grupę G, czy też zależą od ciągu kompozycyjnego? Na obydwa te pytania istnieje bardzo satysfakcjonująca odpowiedź znana jako twierdzenie Jordana-Höldera (zob. [L], str.123): Długości wszystkich ciągów kompozycyjnych grupy skończonej są równe. Zbiory faktorów prostych F 1,..., F k oraz G 1,..., G k dowolnych dwóch ciągów kompozycyjnych grupy skończonej G różnią się (z dokładnością do izomorfizmu) co najwyżej porządkiem. Oznacza to, że istnieje permutacja π S(k) taka, że grupy F i oraz G π(i) są izomorficzne dla i = 1,..., k. Z twierdzenia Jordana-Höldera wynika, że jeśli dwie grupy skończone mają różne długości ciągów kompozycyjnych lub jeśli ich ciągi kompozycyjne mają różne zbiory faktorów prostych, to grupy te nie mogą być izomorficzne. Jest to jeden z motywów zainteresowania problemem klasyfikacji skończonych grup prostych. Problem ten polega na charakteryzacji z dokładnością do izomorfizmu wszystkich skończonych grup prostych. Praca nad klasyfikacją skończonych grup prostych trwa już ponad 110 lat (od 1892 roku). Okres największej koncentracji pracy przypadł na lata 1960 1980. Wreszcie w roku 1981 ogłoszono że problem został kompletnie rozwiązany. Oceniano, że kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego tworzy zestaw co najmniej 500 prac zajmujących co najmniej 10000 stronic w profesjonalnych czasopismach matematycznych i napisanych przez około 100 matematyków. Pierwszą próbą objaśnienia twierdzenia klasyfikacyjnego była monografia Daniela Gorensteina Finite simple groups. An introduction to their classification. Plenum Press 1982. Pod koniec lat 90-tych znaleziono jednak pewne luki w argumentacji (w 800-stronicowej pracy Masona) i podjęto próbę uratowania twierdzenia klasyfikacyjnego. W 2004 roku ukazały się dwie książki Aschbachera i Smitha pod wspólnym tytułem The classification

1.2. DZIAŁANIE GRUPY NA ZBIORZE 11 of quasithin groups (razem ponad 1200 stronic), które według przekonania autorów definitywnie usuwają znalezione luki i w ten sposób stanowią ostatnie ogniwo w klasyfikacji skończonych grup prostych (zob. informację bibliograficzną w Notices of the AMS Vol. 51 No. 8 (2004), p. 977). Jednakże kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego nie jest jeszcze napisany i ciągle istnieją wątpliwości, czy nie pojawią się luki trudne do uzupełnienia. Trwa realizacja programu Gorensteina, Lyonsa i Solomona przedstawienia głównych części dowodu twierdzenia klasyfikacyjnego. W latach 1994 2005 opublikowano 6 monografii w wydawnictwie American Mathematical Society, ale program ten jest jeszcze daleki od finalizacji. Autorzy tego projektu przewidują, że uda im się napisać kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego w serii monografii, które w sumie będą miały około 3000 do 4000 stronic tekstu. Zapowiedź autorów w pierwszym tomie serii brzmi dość skromnie: It is our purpose in these monographs to prove the following theorem: Classification Theorem. Every finite simple group is cyclic of prime order, an alternating group, a finite simple group of Lie type, or one of the twenty-six sporadic finite simple groups. Historię całego przedsięwzięcia przedstawia interesująco praca Ronalda Solomona A brief history of the classification of the finite simple groups, Bulletin of the Amer. Math. Soc. Vol. 38 (2001), pp. 315 352. Sytuację po ukazaniu się książek Aschbachera i Smitha opisuje Micheal Aschbacher w artykule The status of the classification of finite simple groups, Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 51, No. 7 (2004), pp. 736 740. Powracając do ciągu kompozycyjnego (1.4), jeśli faktory tego ciągu są abelowe (a więc izomorficzne z grupami Z p dla liczb pierwszych p), to grupa G nazywa się grupą rozwiązalną. Wszystkie grupy małych rzędów są rozwiązalne. Najmniejszą grupą skończoną, która nie jest rozwiązalna jest grupa alternująca A 5 rzędu 60. Jest to mianowicie najmniejsza nieabelowa grupa prosta. Żadna nieabelowa grupa prosta G nie jest rozwiązalna, gdyż E G jest jej ciągiem kompozycyjnym i jedyny faktor prosty G/E = G jest grupą nieabelową. Najsławniejszym twierdzeniem o grupach rozwiązalnych jest zapewne twierdzenie Feita i Thompsona z 1963 roku mówiące, że każda grupa skończona rzędu nieparzystego jest rozwiązalna. Wynika stąd w szczególności, że każda nieabelowa skończona grupa prosta ma rząd parzysty. 1.2 Działanie grupy na zbiorze Mówimy, że grupa G działa na zbiorze X jeśli jest dane odwzorowanie takie, że spełnione są dwa warunki: (a) f(gx) = (fg)x dla f, g G, x X, (b) 1x = x dla x X. G X X, (g, x) gx, Uwaga 1.2.1. Każdy element g G wyznacza odwzorowanie g zbioru X w siebie g : X X, g (x) = gx.

12 ROZDZIAŁ 1. GRUPY Odwzorowanie to jest bijekcją. Injektywność g wynika stąd, że gx = gy g 1 (gx) = g 1 (gy) (g 1 g)x = (g 1 g)y x = y. Natomiast surjektywność g wynika z faktu, że x = g(g 1 x) dla każdego x X. Krótko mówiąc, (g 1 ) jest odwzorowaniem odwrotnym do g. Uwaga 1.2.2. Odwzorowanie G S(X), g g jest homomorfizmem grup. Mamy mianowicie (fg) (x) = (fg)x = f(gx) = f (g (x)) = (f g )(x) dla każdych x X, f, g G. Zatem (fg) = f g. Na odwrót, każdy homomorfizm G S(X), g g wyznacza działanie grupy G na zbiorze X poprzez odwzorowanie G X X, (g, x) gx = g (x). Rzeczywiście, dla f, g G mamy f g = (fg) zatem dla dowolnego x X otrzymujemy f(gx) = f(g (x)) = f (g (x)) = (f g )(x) = (fg) (x) = (fg)x, 1x = 1 (x) = x, gdzie 1 jest jedynką grupy S(X). Przyporządkowanie każdemu homomorfizmowi grupy G w grupę symetryczną S(X) zbioru X odpowiadającego mu w ten sposób działania grupy G na zbiorze X ustala wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między homomorfizmami grupy G w grupę S(X) i działaniami grupy G na zbiorze X. W związku z tym działaniem grupy G na zbiorze X można nazwać dowolny homomorfizm G S(X). Przykład 1.2.1. Najbardziej naturalnym przykładem działania grupy na zbiorze jest działanie grupy symetrycznej G = S(X) zbioru X na zbiorze X: S(X) X X, (σ, x) σ(x). Odpowiadający temu działaniu homomorfizm G S(X) jest homomorfizmem identycznościowym. Definicja 1.2.3. Niech grupa G działa na zbiorze X. Elementy x, y X nazywają się sprzężone, jeśli istnieje g G taki, że y = gx. Piszemy wtedy x y. O elemencie g takim, że y = gx mówimy, że transformuje x na y. Relacja sprzężenia jest relacją równoważnościową w zbiorze X. Definicja 1.2.4. Klasę abstrakcji relacji sprzężenia nazywa się orbitą zbioru X, lub G-orbitą zbioru X.

1.2. DZIAŁANIE GRUPY NA ZBIORZE 13 G-orbita zbioru X zawierająca element x X ma postać: {y X : y x} = {gx X : g G} =: Gx. Zbiór X można więc przedstawić jako sumę mnogościową rozłącznych orbit: X = Gx i gdzie x i przebiega zbiór reprezentantów orbit zbioru X. Stąd, dla zbioru skończonego X, otrzymujemy X = Gx i. Bardzo ważnym dla zastosowań jest fakt, że liczbę elementów Gx orbity Gx można przedstawić jako indeks pewnej podgrupy grupy G. Przystępujemy do opisu tego przedstawienia. Definicja 1.2.5. Niech grupa G działa na zbiorze X. Stabilizatorem elementu x X nazywamy zbiór Stab x = {f G : fx = x}. Łatwo zauważyć, że Stab x jest podgrupą grupy G. Jeśli s Stab x, to dla dowolnego elementu g G mamy (gs)x = g(sx) = gx. A więc każdy element warstwy g Stab x transformuje element x na ten sam element gx. Pokażemy, że poza warstwą g Stab x nie ma w grupie G elementów, które transformują x na gx. Twierdzenie 1.2.6. Niech grupa G działa na zbiorze X i niech x X, g G. (a) Jeśli y = gx, to zbiór elementów h G transformujących x na y (tzn. takich, że y = hx ) jest warstwą g Stab x w grupie G. (b) Przyporządkowanie elementowi y = gx Gx zbioru wszystkich elementów h G transformujących x na y jest bijekcją orbity Gx na zbiór warstw G : Stab x. Dowód. (a) wynika z następujących równoważności: gx = hx x = g 1 hx g 1 h Stab x h g Stab x. (b) Na podstawie (a) mamy odwzorowanie Gx G : Stab x, gx {h G : gx = hx} = g Stab x. (1.5) Jest to oczywiście surjekcja (bo g przebiega całą grupę G). Injektywność wynika z następujących równoważności: f Stab x = g Stab x f 1 g Stab x fx = gx. Zatem odwzorowanie (1.5) jest bijekcją. Wniosek 1.2.7. Jeśli grupa G działa na zbiorze X, to dla każdego x X, Gx = G : Stab x. W szczególności, jeśli grupa G jest skończona, to liczba elementów w orbicie Gx jest dzielnikiem rzędu grupy G. Wniosek 1.2.8. Jeśli grupa skończona G działa na zbiorze skończonym X oraz {x 1,..., x k } jest zbiorem reprezentantów wszystkich orbit zbioru X, to k X = G : Stab x i. i=1 Tę równość nazywa się równaniem klas dla działania grupy G na zbiorze X.

14 ROZDZIAŁ 1. GRUPY 1.2.1 Działanie grupy przez automorfizmy wewnętrzne Rozpatrujemy działanie grupy G na zbiorze X = G określone następująco: G G G, (g, x) gxg 1 =: x g. Gdybyśmy zachowali oznaczenie gx dla obrazu pary (g, x) w zbiorze X = G, to mielibyśmy gx = gxg 1, co byłoby mylące. Dlatego w tym specjalnym przypadku stosujemy symbolikę wykładniczą i piszemy x g zamiast gx. Zauważmy, że związana z tym działaniem grupy G na G bijekcja g S(G) działa następująco: g (x) = gxg 1 = i g (x) x G. A więc g jest automorfizmem wewnętrznym i g. W związku z tym, opisane wyżej działanie grupy G na G nazywa się działaniem przez automorfizmy wewnętrzne. Orbitę x G = {x g G : g G} = {gxg 1 : g G} nazywa się klasą elementów sprzężonych grupy G. Natomiast stabilizator Stab x = {f G : fxf 1 = x} = {f G : fx = xf} nazywa się centralizatorem elementu x i oznacza Z(x). Dla grupy skończonej G równanie klas przyjmuje następującą postać: k k G = G : Stab x i = G : Z(x i ). i=1 i=1 Tutaj x 1,..., x k są elementami reprezentującymi wszystkie różne klasy elementów sprzężonych grupy G oraz G : Z(x i ) = x G i jest liczbą elementów w klasie elementów sprzężonych z elementem x i. Na szczególną uwagę zasługują klasy jednoelementowe: x G = 1 gx = xg g G x Z(G). A więc klasa jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy gdy jej element należy do centrum Z(G) grupy G. Stąd rozbicie grupy G na rozłączne klasy elementów sprzężonych zapisujemy zwykle w postaci G = Z(G) x G 1 x G r, gdzie elementy x i reprezentują różne klasy elementów sprzężonych oraz x G i > 1 dla i = 1,..., r, a równanie klas r r G = Z(G) + x G i = Z(G) + G : Z(x i ), i=1 i=1 gdzie x i G reprezentują różne klasy elementów sprzężonych oraz G : Z(x i ) > 1 dla i = 1,..., r.