INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję f ( ) = a + b + c, R gdzie a, b, c oraz a 0. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Wykres funkcji kwadratowej nazywamy parabolą. Z wykresu funkcji kwadratowej y = (gdzie a =, b = c = 0 ) możemy odczytać, że: punkt ( 0,0) jest wierzchołkiem paraboli, której ramiona są skierowane do góry, oś 0Y jest osią symetrii paraboli, funkcja jest malejąca w przedziale ( ; 0 oraz jest rosnąca w przedziale 0; + ), dla = 0 funkcja przyjmuje wartość minimalną równą 0, dla każdego 0 zachodzi nierówność f ( ) > 0.
Wykres funkcji y = jest symetryczny do wykresu funkcji y = względem osi 0X. Z wykresu funkcji kwadratowej y = (gdzie a =, b = c = 0 ) możemy odczytać, że: punkt ( 0,0) jest wierzchołkiem paraboli, której ramiona są skierowane w dół, oś 0Y jest osią symetrii paraboli, funkcja jest rosnąca w przedziale ( ; 0 oraz jest malejąca w przedziale 0; + ), dla = 0 funkcja przyjmuje wartość maksymalną równą 0, dla każdego 0 zachodzi nierówność f ( ) < 0. y = f ( ) = y = f ( ) = Od wartości współczynnika a funkcji y = a zależy, czy ramiona paraboli skierowane są do góry (gdy a > 0), czy do dołu (gdy a < 0 ) oraz jak bardzo są one rozchylone. y = y = y = 0,5
Przesuwając wykres funkcji y = a (gdzie a 0, aby była to funkcja kwadratowa) o p jednostek w poziomie i q jednostek w pionie, czyli o wektor [ p, q], otrzymujemy wykres funkcji ( p) q y = a + Powyższe równanie nazywamy postacią kanoniczną funkcji kwadratowej.. Postać kanoniczną funkcji kwadratowej można przekształcić do postaci ogólnej y = a + b + c. Przy przekształcaniu funkcji kwadratowej między postacią ogólną a postacią kanoniczną należy korzystać ze wzorów skróconego mnożenia (aby uniknąć kolizji oznaczeń, użyto zmiennych r i s) ( r s) = r rs + s oraz ( r s) = r + rs + s +. b Parabola ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych: w = p = oraz a gdzie wyrażenie = b 4ac nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego. y w = q =, 4a Rysunek poniżej pokazuje wykres funkcji y = (linia przerywana) i wykres tej funkcji przesuniętej o wektor [ 4, 8] czyli parabolę opisaną równaniem = ( + 4) 8 y (linia ciągła). Przekształcenie y = + 4 8 = + 4 + 4 8 = + 6 + ( ) ( ) 4 prowadzi do funkcji zapisanej w postaci ogólnej, gdzie a =, b = 6, c = 4. Wyróżnik trójmianu kwadratowego = b 4ac = 6 4 4 = 56 9 = 64. Przesunięta funkcja ma dwa miejsca zerowe: =, =. 6 3
Rozwiązaniem (pierwiastkami) równania kwadratowego a + b + c = 0 (gdzie a 0) są miejsca zerowe funkcji kwadratowej f ( ) = a + b + c. Wyznaczamy je po zbadaniu wartości wyróżnika: jeżeli < 0, to brak jest pierwiastków równania, jeżeli = 0, to równanie ma jeden pierwiastek jeżeli > 0, to równanie ma dwa pierwiastki: 0 b =, a b b + =, =. a a Funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej Wyrazy ( ) oraz ( ) ( ) ( ) y = a, gdzie a 0. nazywamy czynnikami liniowymi, a postać iloczynową nazywamy rozkładem na czynniki liniowe. Badamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego: jeżeli < 0, to trójmianu nie można rozłożyć na czynniki liniowe, jeżeli = 0 jeżeli > 0, to trójmian można przedstawić w postaci y a ( ) =, gdzie, to trójmian można przedstawić w postaci y a ( ) ( ) 0 =, 0 b =, a gdzie b b + =, = są pierwiastkami trójmianu. a a Wyróżnik funkcji f ( ) = + 6 + 4 (wykres przedstawiony na stronie 3) wynosi = 64, rozwiązaniem równania kwadratowego + 6 + 4 = 0 są liczby 6 64 6 + 64 = = 6, = =. Przedstawmy tę funkcję w postaci iloczynowej: ( ) ( ) = ( + 6) ( ) y = a. + Aby przejść od postaci iloczynowej do postaci ogólnej funkcji kwadratowej, należy wykonać mnożenie a ( ) ( ) i uporządkować wyrazy w otrzymanym wyrażeniu. 4
Interpretacja geometryczna różnych położeń wykresu paraboli y = a + b + c względem osi OX: > 0 < 0 > 0 = 0 > 0 > 0 < 0 < 0 < 0 = 0 < 0 > 0 brak miejsc zerowych jedno miejsce zerowe dwa miejsca zerowe Interpretacja geometryczna jest pomocna przy rozwiązywaniu układu równań, z których jedno opisuje funkcję liniową, a drugie funkcję kwadratową. Rozwiązanie takiego układu równań stanowią pary liczb (, y) spełniające oba równania i opisujące punkty przecięcia wykresów obu funkcji. Przykład Szukamy rozwiązania układ równań y = +. y = + 3 Łączymy oba równania + = + 3. Powstaje równanie kwadratowe + = 0. Obliczamy wyróżnik = 4( ) = 9. Wyróżnik > 0, więc równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. 5
Obliczamy pierwiastki 9 4 + 9 = = =, = = =. Podstawiamy obliczone pierwiastki do równania liniowego y = + =, y = +. = Wykreślimy parabolę i linię prostą. Wykresy tych funkcji przecinają się w punktach o współrzędnych ( y ) = (, ) i ( y ) (, ),, =. Interpretacja graficzna jest pomocna w rozwiązywaniu nierówności kwadratowych. Rozwiązanie nierówności z niewiadomą polega na wyznaczeniu tych wartości niewiadomej (zbioru rozwiązań), dla których nierówność jest spełniona. Wiedząc jak są skierowane ramiona paraboli wykresu funkcji kwadratowej (w górę albo w dół) i znając jej miejsca zerowe, można wyznaczyć zbiór rozwiązań odpowiedniej nierówności kwadratowej. Przykład Rozwiązujemy nierówność + + 0. Obliczamy wyróżnik = 4( ) = 9. Wyróżnik > 0, więc równanie ma dwa pierwiastki 9 4 + 9 = = =, = = =. Czynnik a < 0, więc ramiona paraboli skierowane są w dół. Funkcja y = + + jest nieujemna w przedziale ; i taki też jest zbiór rozwiązań nierówności + + 0. 6
Przykład z fizyki Na jaką wysokość wzniesie się kamyk rzucony pionowo w górę? Prędkość początkowa kamyka v 0 = 0 m/s. Po jakim czasie kamyk spadnie na Ziemię? Wzór opisujący wysokość h w funkcji czasu t ma postać m gdzie g = 0 oznacza przyspieszenie ziemskie. s gt h = v0t, Zapisujemy funkcję: h( t) Pierwiastkami równania gt m m m m = v0 t = 0 t t = t + t s 0 s 5 s 0 s y = 5 + 0 są 0 i. = Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (, 5). = Kamyk wzniesie się na wysokość 5 m (najwyższy punkt paraboli, osiągany po s lotu) i spadnie po sekundach (parabola przecina prostą y = 0 w punkcie ). = W celu wyznaczenia najmniejszej lub największej wartości funkcji kwadratowej f ( ) = a + b + c w przedziale p ; p należy obliczyć wartości funkcji na brzegach ( ( przedziału: f p ) i f p ). Jeżeli współrzędna wierzchołka paraboli w p ; p b w = zawiera się w zadanym przedziale, a, to należy wyznaczyć również y w (np. korzystając ze wzoru y w = ). 4a W przedziale p ; p : najmniejsza spośród wyznaczonych wartości jest najmniejszą wartością funkcji kwadratowej; największa spośród wyznaczonych wartości jest największą wartością funkcji kwadratowej. 7
Przykład Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f ( ) = 5 + 3 w przedziale ;. Obliczamy wartości funkcji na brzegach przedziału: f ( ) = ( ) 5( ) + 3 = + 5 + 3 = 0 oraz f () = 5 + 3 = 8 0 + 3 =. b 5 5 Obliczamy w = = = =, 5 i sprawdzamy, że w ;, a 4 5 5 5 dlatego obliczamy y w = f = 5 + 3 = = 0, 5. 4 4 4 8 Wyznaczone zostały wartości { 0,5;;0 }, z których najmniejszą jest 0,5, a największą jest 0. Możemy to zobrazować na wykresie funkcji. Zakres rozszerzony. Jeżeli równanie kwadratowe a + b + c = 0 ma dwa pierwiastki,, to można wyrazić ich sumę i iloczyn za pomocą wzorów Viete a : b + =, a c = a. 8
Koniec darmowego fragmentu :-) W dalszej części konspektu znajdują się: zadania spełniające aktualne wymagania maturalne klucze rozwiązań zakres materiału na następne zajęcia Zapraszamy na kurs! Szczegółowe informacje na temat naszego kursu przygotowawczego znajdują się na stronie: www.medicus.edu.pl Zapisy są przyjmowane przez formularz zgłoszeniowy: www.medicus.edu.pl/zapisy 9