GRZESIKIEWICZ Wiesław 1 LEWANDOWSKI Mirosław 2 Matematyczny opis układu napędowego pojazdu szynowego WPROWADZENIE Rozważmy model układu napędowego pojazdu szynowego. Model ten dotyczy napędu jednej osi pojazdu trakcyjnego. Na rysunku 1 pokazano schemat konstrukcji mechanicznej części napędu w skład którego wchodzą: silnik elektryczny z wirnikiem-1, dwukołowa przekładnia zębata-2, sprzęgło podatne-3 które łączy duże koło zębate przekładni ze środkową częścią osi zestawu kół. W modelu napędu odwzorowano skrętną odkształcalność osi zestawu za pomocą dwóch sprężyn, które łączą środkową część osi z kołami jezdnymi. Poza tym w modelu przyjęto,że koła jezdne toczą się po szynach ze sprężystym poślizgiem wynikającym z odkształceń koła i szyny. Rys. 1 Schemat struktury konstrukcji napędu Na rysunku 2 pokazano schematycznie model pojazdu, zredukowany do jednego zestawu napędowego. Przedstawiony model układu napędowego służy do symulacyjnych badań ruchu elementów układu podczas rozruchu pojazdu. W szczególności umożliwia analizowanie drgań skrętnych powstających w układzie oraz sił stycznych T i (i=1, 2) powstających w obszarze styku koła jezdnego z szyną (rys.2). Jak już wcześniej wspomniano analizujemy ruch, w trakcie którego koła toczą się po szynie ze sprężystym poślizgiem, co oznacza, że wartości wspomnianych sił stycznych T i są mniejsze od granicznej wartości przyczepności. Tak wybrany model umożliwia analizowanie przeniesienia napędu od wirnika do kół jezdnych z pominięciem zakłóceń spowodowanych przemieszczeniami korpusu silnika względem zestawu. 1 Politechnika Warszawska, Instytut Pojazdów Narbutta 84, 2-524 Warszawa wgr@simr.pw.edu.pl 2 Politechnika Warszawska, Instytut Maszyn Elektrycznych, pl. Politechniki 1, -661 Warszawa, miroslaw.lewandowski@ee.pw.edu.pl 176
Rys. 2 Model pojazdu odniesiony do jednej osi napędowej pojazdu 1. MATEMATYCZNY OPIS UKŁADU Do opisania ruchu tak ustalonego modelu wybieramy cztery współrzędne określające kąty obrotu [φ 1, φ 3, φ 4, φ 4 ] oraz prędkość ruchu postępowego v, które zaznaczono na rysunkach 1 i 2. Do sformułowania opisu korzystamy z metody Lagrange a. W tym celu wyznaczamy wzór określający energię kinetyczną rozpatrywanego układu. (1) gdzie: J r moment bezwładności kół zębatych i wirnika, zredukowany do osi wirnika, J 3, J 4, J 5 momenty bezwładności charakteryzujące inercję zestawu kół jezdnych, m masa pojazdu przypadająca na napędzany zestaw kół. Ta grupa parametrów obejmuje wielkości fizyczne, które charakteryzują bezwładnościowe cechy elementów napędu. W modelu napędu uwzględniono skrętną odkształcalność osi zestawu kół, odkształcalność sprzęgła łączonego przekładnię zębatą z osią co pokazano na rysunku 1. Za pomocą parametrów określających charakterystyki elementów napędu wyznaczamy funkcjonał energii potencjalnej według wzoru, gdzie: 1 skrętna sztywność sprzęgła, 43, 53 sztywności charakteryzujące skrętną odkształcalność osi zestawu kół. Zakładamy, że w gumowym sprzęgle następuje rozpraszanie energii, co charakteryzujemy funkcjonałem dyssypacji (2 ) gdzie c 1 współczynnik tłumienia sprzęgła. Rozważany układ napędowy służy do przeniesienia elektromechanicznego momentu silnika elektrycznego na koła jezdne. W niniejszej pracy nie zajmujemy się modelem silnika elektrycznego, (3 ) 177
natomiast jego oddziaływanie na napęd opisujemy zadaną funkcją czasu określającą przebieg w czasie momentu napędowego M em. Wzdłużne siły styczne T 1, T 2 powstające w obszarach kontaktu kół z szynami (rys. 2) wyznaczamy przy założeniu, ze koła toczą się tylko ze sprężystym poślizgiem. Z tego założenia wynika, że wartości tych sił stycznych zależą od względnej prędkości poślizgu koła po szynie, a ich wartość nie przekracza granicznej wartości siły przyczepności, zatem wzór określający siły ma postać gdzie T(s) funkcja opisująca zależność siły stycznej od poślizgu względnego, s poślizg względny koła, ω prędkość kątowa koła, r promień koła, v prędkość środka koła, Q nacisk koła na szynę, ψ współczynnik przyczepności. Postać funkcji T(s) na ogół nie jest liniowa jednakże, dla sił stycznych mniejszych od granicznej wartości siły przyczepności ψq, można ją aproksymować funkcją liniową w postaci gdzie γ bezwymiarowy współczynnik charakteryzujący poślizg sprężysty według hipotezy Cartera [1] (4a) (4b) (5) jeśli r [mm], Q [kg], (6a) albo jeśli r [m], Q [N], (6b) Zbliżone wartości współczynnika można uzyskać według teorii Kalkera rozpatrywanej w pracy [3]. Równania opisujące ruch rozważanego układu mają postać (7a) (7b) (7c) (7d) (7e) (7f) 178
[Nm] [Nm] [m/(s)] Rozwiązanie powyższych równań wyznaczamy dla następujących warunków początkowych (7g) Warunki początkowe (8a) (8b) 2. OPIS WARUNKÓW SYMULACJI Na podstawie równań (7) i warunków początkowych (8) opracowano program do obliczeń komputerowych w systemie MATLAB. Celem tych obliczeń było symulacja rozruchu pojazdu wyposażonego w analizowany napęd.. Do obliczeń komputerowych przyjęto następujące wartości parametrów modelu występujących we wzorach (7) i (8). J r =5kgm 2, J 3 =1kgm 2, J 4 =J 4 =1kgm 2 1=8*1 5 Nm/rad, 43= 53 =7,2*1 6 Nm/rad, r k =.425 m, i=5, m=2 kg, Q 1 =Q 2 =5 N, γ=2, ψ=,33, υ =,1m/s. W obliczeniach symulowano rozruch pojazdu w czasie 6 sekund. 35 3 Moment napedowy 6 5 Predkosc pojazdu 25 4 2 15 1 5 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Rys. 3 Moment napędowy Rys. 4 Prędkość pojazdu Na rysunku 3 przedstawiono wykres przyjętego momentu napędowego. Wybrane rezultaty obliczeń zamieszczono na kolejnych rysunkach. Na rysunku 4 pokazano wykres prędkości pojazdu, która po wyłączeniu napędu utrzymuje stałą wartość gdyż ze względów metodycznych nie uwzględniono oporów ruchu pojazdu..4.35.3.25.2 T/Q 1 8 6.15.1.5 -.5 4 2 -.1 1 2 3 4 5 6 Rys. 5 Wykres T/Q dla jednego koła, T-siły napędowa, Q - nacisk koła na szynę -2-2 2 4 6 8 1 12 14 x 1-3 Rys. 6 Dynamiczna charakterystyka sprzęgła 179
W modelu napędu przyjęto wartości parametrów dzięki którym oba koła są napędzane jednakowo. Na rysunku 5 pokazano wykres siły napędowej T działającej na jedno z kół, przy czym wartości siły odniesiono do nacisku koła na szynę Q. Z zamieszczonego wykresu wynika, że wartości ilorazu T/Q nie przekracza wartości,2 a więc jest mniejsza od granicznej wartości współczynnika przyczepności,33. Istotnym elementem rozważanego napędu jest sprzęgło łączące duże koło zębate z osią zestawu kół. Na rysunku 6 zamieszczono wykres dynamicznej charakterystyki sprzęgła czyli pętle histerezy powstającą w analizowanym okresie rozruchu. Na omawianym wykresie widoczne są dwa obszary zagęszczenia linii, wynikające z drgań powstałych wyłączeniu i włączeniu obciążenia. ZAKOŃCZENIE W niniejszej pracy rozważono stosunkowo prosty układ napędu jednej osi pojazdu szynowego. W dalszych pracach przewidujemy rozwinięcie tego modelu napędu poprzez uwzględnienie elektrycznej części napędu, a także uwzględnienie pionowych przemieszczeń silnika względem osi zestawu kół. Taki względny ruch osi i silnika jest spowodowany wzajemnymi przemieszczeniami osi i ramy wózka, do której jest podwieszony silnik elektryczny.[4] Celem badań jest ustalenie wpływu napędu elektrycznego na drgania i elektromechaniczne obciążenia napędu. Streszczenie W pracy analizowano model mechanicznej części układu napędu pojazdu szynowego. Przedstawiono układ mechaniczny, który służy jako model przeniesienia napędu od silnika elektrycznego do kół pojazdu. W prezentowanym modelu odwzorowano przede wszystkim inercyjne właściwości elementów układu oraz ich odkształcalności. Założono, że koła toczą się ze sprężystym poślizgiem, wynikającym z odkształcalności obręczy koła i szyny. Na tej podstawie sformułowano matematyczny opis ruchu napędu oraz wykonano symulację rozruchu hipotetycznego pojazdu szynowego. Zamieszczono szereg wykresów, które ilustrują przebiegi w czasie prędkości pojazdu oraz elementów napędu, a także sił stycznych powstających miedzy kołami i szynami. Słowa kluczowe: pojazd szynowy, model matematyczny pojazdu, przyczepność Mathematical description of a rail vehicle drive system Abstract In the paper the model of rail vehicle's mechanics was analyzed. Mechanical system model was presented that describes drivetrain from electric motor to the wheels of the vehicle. Presented model is focused on inertial properties of the system components and their deformability. It was assumed that the wheels roll with a resilient slip resulting from the deformability of the wheel rim and the rail. Based on this, the mathematical description of the drivetrain was formulated and the simulation of a accelerating vehicle was performed. The paper contains a series of graphs which illustrate the waveforms of vehicle speed and drivetrain components, as well as tangential forces generated between the wheels and rails. Keywords: rail vehicle, mathematical model of the vehicle, adhesion BIBLIOGRAFIA 1. Grzesikiewicz W,. Lewandowski M.: Matematyczny opis napędu pojazdu z silnikiem elektrycznym PMSM. Logistyka 6/214,s. 4283-4291. 2. Grzesikiewicz W., Osiecki J., Piotrowski J.: Podstawy dynamiki pojazdów szynowych. Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej. Warszawa 1974. 3. Wickens A.H.: Fundamentals of rail vehicle dynamics. Swets & Zeitlinger 23. 4. Madej J.: Projektowanie mechanizmów napędowych pojazdów szynowych. Wydawnictwo Komunikacji i Łączności. Warszawa 1988. 171