Model promieniowego paswnego łożska magnetcznego Krzsztof Falkowski Wojskowa Akademia Techniczna Streszczenie: W artkule przedstawiona jest analitczna metoda wznaczania charakterstki statcznej łożska paswnego. Do wznaczenia modelu analitcznego wkorzstan został model pętli kołowej z prądem molekularnm. Korzstając z zależności matematcznch można oszacować maksmalne obciążenie łożska magnetcznego w zależności od położenia wirnika w szczelie powietrznej. W artkule przedstawiona została konstrukcja paswnego łożska magnetcznego oraz zależność sił magnetcznej od położenia wirnika w szczelie powietrznej. Ponadto przedstawione są charakterstki statczne wznaczone metodą elementów skończonch i ekspermentalnie. Słowa kluczowe: paswne łożsko magnetczne, charakterstka statczna, współcznnik sztwności, model pętli z prądem molekularnm. Wprowadzenie Do bezkontaktowego łożskowania wirników wkorzstuje się łożska magnetczne. Łożska tego tpu wkorzstują sił magnetczne do utrzmania wirnika w stanie lewitacji magnetcznej. Przez wprowadzenie wirnika w stan lewitacji magnetcznej, elimuje się kontakt mechaniczn międz wirującmi parami kematcznmi, a tm samm elimuje sił tarcia międz bieżnią i statorem łożska magnetcznego. Łożska magnetczne dzielą się na paswne i aktwne. W aktwnm łożsku magnetcznm wstępuje układ sprzężenia zwrotnego międz położeniem wirnika w szczelie powietrznej i siłą magnetczną. Łożsko tego tpu posiada czujnik mierząc położenie wirnika w szczelie powietrznej, układ sterowania oraz wzmacniacz, któr pracuje, jako sterowane źródło prądowe. Zmiana położenia wirnika w szczelie powietrznej jest rejestrowana przez czujnik, a następnie formacja o przemieszczeniu przekazwana jest do regulatora, któr zmienia wartość prądu w cewkach elektromagnesów. Położeniem wirnika można sterować zgodnie z prawem sterowania regulatora []. Do podstawowch zalet aktwnego łożsko magnetcznego, należ zaliczć bardzo dużą preczję sterowania położeniem wirnika w szczelie powietrznej oraz aktwne tłumienie drgań. Przez aktwną zmianę sił magnetcznej i zmianę punktu prac łożska można modelować ruch wirnika w szczelie powietrznej. Jednak łożska te posiadają dwie zasadnicze wad. Pierwszą jest to, że łożsko tego tpu wmaga ciągłe zasilania. Przerwa w dostarczaniu energii powoduje zatrzmanie łożska, co może prowadzić do uszkodzenia maszn wirnikowej. Dlatego w sstemach łożskowania magnetcznego niezbędne są dodatkowe układ zapewniające bezpieczn wbieg wirnika po zaniku zasilania. Konstrukcja aktwnego łożska jest złożona, wmaga wielu komponentów i układów, co podnosi koszt wkonania łożska magnetcznego i całego sstemu łożskowania magnetcznego. Powższch wad pozbawione jest łożsko paswne. Łożsko tego tpu zbudowane jest z magnesów lub zespołu magnesów. W strukturze łożska nie wstępują żadne dodatkowe element, brak jest układu sprzężenia zwrotnego międz położeniem wirnika i generowaną siłą magnetczną [, 4, 7, 8]. Łożsko magnetczne jest zbudowane z dwu magnesów lub zespołów magnesów, międz którmi wstępują magnetczne sił odpchające. Magnetcznch sił przciągającch nie stosuje się w łożskach ze względu na niebezpieczeństwo zablokowania wirnika w wniku połączenia się magnesów. Pierwsz magnes sztwno jest połączon z obudową maszn. Magnes ten nie wkonuje żadnego ruchu i dalej będzie nazwan statorem. Drugi magnes połączon jest z wirnikiem i wraz z nim wkonuje złożon ruch (rs. ). Magnes ten w dalszej części nazwan będzie bieżnią. Przedstawion podział jest niezbędn do prawidłowej prac łożska paswnego. Stator i bieżnia może bć wkonan jako pojedncz magnes lub zespół magnesów, o różnej orientacji wektora magnetzacji [, 4]. Rs.. Fig.. Osiowe paswne łożsko magnetczne Axial passive magnetic bearg Zależnie od kierunku przenoszonch obciążeń, łożska paswne wkorzstuje się do przenoszenia obciążeń osiowch (rs. ) i promieniowch. Do przenoszenia obciążeń osiowch wkorzstuje się magnes pierścieniowe z osiową orientacją wektora magnetzacji, natomiast do przenosze- / Pomiar Automatka Robotka 44
nia obciążeń promieniowch stosowane są magnes pierścieniowe z promieniową orientacją wektora magnetzacji. Magnes trwałe charakterzują się właściwościami, które zapewniają ich ciągłą pracę i nie wmagają żadnch dodatkowch obsług []. Ponadto konstrukcja jest wielokrotnie tańsza niż łożska aktwne. Łożsko paswne pozbawione są wad, które posiada łożsko aktwne, jednak i ono posiada ograniczenia. Podstawowm ograniczeniem jest twierdzenie Ershowa zgodnie, z którm nie można uzskać stabilnego stanu równowagi międz magnesami. Oznacza to, że dwa magnes będą dążł do połączenia się, a stan lewitacji istnieje prz zerowm zapasie stabilności. Dlatego w sstemach łożskowania paswnego zawsze musi znajdować się jeden stopień aktwn, lub podpora sztwna zapewniająca stałe położenie wirnika tak, b magnes zajmował wmagane położenie. W łożsku paswnm nie można zagwarantować współosiowego położenia magnesu ruchomego względem magnesu nieruchomego, co prowadzi do braku współosiowości wirnika względem obudow maszn. Łożsko paswne nie posiada układu sprzężenia zwrotnego, które zapewnia astatczne położenie wirnika, jak to ma miejsce w łożsku aktwnm. Można wciągnąć następując wniosek: jeżeli potrzebne jest łożsko preczjne to należ wbrać łożsko aktwne, ale należ liczć się ze znacznmi kosztami. atomiast efekt lewitacji magnetcznej można uzskać stosując proste i tanie zawieszenie paswne, ale należ się liczć z brakiem współosiowości. Przez zastosowanie w konstrukcji łożska tablic magnesów (tablica Halbacha) można uzskać znaczną poprawę sztwności zawieszenia magnetcznego. W dalszej części artkułu przedstawiona zostanie konstrukcja i model matematczn promieniowego paswnego łożska magnetcznego. i dwa magnes z osiową orientacją. Magnes z promieniową orientacją wektora magnetzacji posiada wektor magnetzacji skierowan do wewnątrz magnesu (magnes centraln) i skierowan na zewnątrz tablic (magnes skrajne). Rs.. Tablica Halbacha złożona z magnesów z osiową i promieniową orientacją wektora magnetzacji Fig.. The Halbach arra assembl with the axial and radial magnetization Połączenie magnesów prowadzi do wgenerowania obszarów wokół tablic o bardzo dużej wartości dukcji magnetcznej. Obszar te znajdują się w pobliżu połączonch ścian magnesów. a rs. 4 przedstawion jest rozkład dukcji magnetcznej dla tablic przedstawionej na rs... Paswne łożsko magnetczne z tablicą Halbacha W konstrukcji paswnch łożsk magnetcznch wkorzstuje się tablice Halbacha, które powstają przez łączenie magnesów o różnej orientacji wektora magnetzacji. Tablica zawiera magnes z osiową i promieniową orientacją wektora magnetzacji. Magnes wkorzstane w konstrukcji tablic przedstawione są na rs.. Rs. 4. Rozkład dukcji magnetcznej z zaznaczonmi obszarami ścian aktwnej Fig. 4. The distribution magnetic flux densit and the area active wall Rs.. Magnes pierścieniowe z osiową i promieniową orientacją wektora magnetzacji Fig.. The rg shaped magnets with axial and radial orientation of vector of magnetization a rs. przedstawion jest przkładow układ magnesów ułożonch w tablice, w której wkorzstano trz magnes z promieniową orientacją wektora magnetzacji a rsunku 4 można wróżnić obszar, gdzie wartość dukcji jest dużo większa. Wszstkie te obszar znajdują się w miejscach stku ścian magnesów. a kolejnm rsunku przedstawion jest rozkład dukcji magnetcznej wzdłuż tablic, która została oszacowana dla średnic zewnętrznej i wewnętrznej magnesu. W obszarach stku ścian wstępuje wraźne zwiększenie wartości dukcji magnetcznej (rs. 5). 444 Pomiar Automatka Robotka /
Podane wartości dotczą magnesu przestawionego na rs. 6. Podane wartości dotczą magnesu przestawionego na rs. 6. Rs. 5. Indukcja magnetczna dla wewnętrznej i zewnętrznej średnic tablic Halbacha Rs. 5. Indukcja magnetczna dla wewnętrznej i zewnętrznej Fig. 5. The magnetic flux densit for ner and er diameter of średnic tablic Halbacha the halbach arra Fig. 5. The magnetic flux densit for ner and er diameter of Zwiększenie the halbach wartości arra dukcji w obszarze stku ścian magnesów jest spowodowane sumowaniem się prądów Zwiększenie wartości dukcji molekularnch, które wnoszą poszczególne magnes. Wartość prądu molekularnego I w obszarze stku ścian magnesów jest spowodowane sumowaniem się prądów można oszacować, jako: molekularnch, które wnoszą poszczególne magnes. Wartość prądu molekularnego I można oszacować, jako: I ( M n )h () gdzie: M I ( M n)h wektor magnetzacji, n () wektor normaln do powierzchni, h wsokość ścian magnesu. gdzie: M wektor magnetzacji, n wektor normaln W magnesie pierścieniowm z radialną orientacją do powierzchni, h wsokość ścian magnesu. wektor magnetzacji prąd molekularn wstępuje tlko w W magnesie pierścieniowm z radialną orientacją ścianach czołowch, natomiast w magnesie z osiową orientacją prąd molekularne wstępują w ścianach walcowch wektor magnetzacji prąd molekularn wstępuje tlko w ścianach czołowch, natomiast w magnesie z osiową orien- średnic zewnętrznej i wewnętrznej. Zależnie od tpu tacją prąd molekularne wstępują w ścianach walcowch ścian i magnesu wartości prądu molekularnego przjmują średnic zewnętrznej i wewnętrznej. Zależnie od tpu wartości. ścian i magnesu wartości prądu molekularnego przjmują wartości. S S z x z x S S Rs. 6. Magnes z osiową orientacją wektora magnetzacji Fig. 6. The magnet with axial orientation of magnetization Rs. 6. Magnes z osiową orientacją wektora magnetzacji Fig. 6. The magnet with axial orientation of magnetization Dla magnesu z osiową orientacją wektora magnetzacji (rs. 6 i 7) prąd powierzchniow dla ścian zewnętrznej Dla magnesu z osiową magnesu osiowego I orientacją wektora magnetzacji, jest równ: (rs. 6 i 7) prąd powierzchniow dla ścian zewnętrznej magnesu osiowego I I, jest równ:, () [ ] I, atomiast prąd powierzchniow dla ścian wewnętrznej () I jest równ: atomiast prąd powierzchniow dla ścian wewnętrznej I jest równ:. () I I [ ]. () Rs. 7. Magnes z osiową orientacją wektora magnetzacji Fig. 7. Magnet with axial orientation of magnetization Rs. 7. Magnes z osiową orientacją wektora magnetzacji Fig. Prąd 7. Magnet powierzchniowe with axial orientation dla magnesu of magnetization przedstawionego na rs. 7, są równe: Prąd powierzchniowe dla magnesu przedstawionego - prąd powierzchniow dla ścian zewnętrznej magnesu na I rs. 7, są równe: - prąd : powierzchniow dla ścian zewnętrznej magnesu I : (4) I [ ] I - prąd powierzchniow dla ścian wewnętrznej I : (4) - prąd powierzchniow I dla ścian wewnętrznej I : (5) [ ] [ ] I Prąd powierzchniow dla magnesu z promieniową (5) orientacją wektora magnetzacji (rs. b), jest równ: Prąd powierzchniow dla magnesu z promieniową - dla ścian lewej: orientacją wektora magnetzacji (rs. b), jest równ: - dla ścian I lewej: (6) [ ] I - dla ścian prawej: (6) - dla ścian prawej: (7) I [ ] [ ] I atomiast dla magnesu z rs. c prąd są odpowiednio (7) równe: atomiast dla magnesu z rs. c prąd są odpowiednio - dla ścian lewej: równe: - dla ścian lewej: (8) I l [ ] I l - dla ścian prawej: (8) - dla ścian I prawej: p (9) [ ] [ ] I p (9) Rs. 8. Przekrój przez tablicę magnesów Fig. 8. Cross-section through arra of magnet Rs. 8. Przekrój przez tablicę magnesów Fig. a 8. Cross-section rs. 8 zaznaczono through orientację arra of magnet prądów molekularnch wstępującch w ścianach aktwnch magnesów tworzącch tablicę. Magnes oznaczon literą B i C posiada osio- a rs. 8 zaznaczono orientację prądów molekularnch wstępującch w ścianach aktwnch magnesów tworząwą orientację wektora magnetzacji. atomiast magnes cch tablicę. Magnes oznaczon literą B i C posiada osiową orientację wektora magnetzacji. atomiast magnes / Pomiar Automatka Robotka 445
A, A i D mają promieniową orientację wektora magnetzacji. Prąd molekularne podlegają sumowaniu, dlatego można wróżnić obszar, gdzie wartość prądu molekularnego znacznie rośnie. atomiast w nch obszarach prąd molekularne maleją. Porównując rozkład prądów molekularnch przedstawion na rs. 8 z rozkładem dukcji magnetcznej z rs. 5, można zauważć zbieżność międz efektem sumowania prądów molekularnch w ścianach aktwnch, a rozkładem dukcji magnetcznej.. Siła magnetczna W łożsku paswnm wkorzstuje się dwie tablice, umieszczone jedna wewnątrz drugiej. Jedna tablica jest nieruchoma i jest sztwno związana z obudową maszn wirnikowej, natomiast druga związana jest z wirnikiem. a rs. 9 przedstawion jest przekrój przez tablice łożska. Rs. 9. Paswne łożsko magnetczne z tablicami Halbacha sumowania się prądów molekularnch płnącch w ścianach należącch do różnch magnesów (rs. 8). Prąd molekularn w ścianie II tab. (rs. 8), jest równ sumie prądów w ścianie oznaczonej, jako I A, b w magnesie A z radialną orientacją wektora magnetzacji i I Bb ścianie magnesu B z osiową orientacją wektora magnetzacji: I I, I, () II A b Wartości dukcji magnetcznej w punkcie p(x, ) można oszacować korzstając z prawa Biota-Savarta (rs. ): B x (, ) Bb μ I R dl 4π R () gdzie: I wektor prądu płnącego przez nieruchomą pętlę kołową, R wektor łącząc punkt na nieruchomej pętli kołowej z punktem o współrzędnch (x, ), R moduł wektora R. x O z - wektor magnetzacji Fig. 9. The passive magnetic bearg with Halbach arras Wznaczenie sił oddziałwania magnetcznego ze względu na niejednorodność pola magnetcznego generowanego przez magnes jest zagadnieniem bardzo złożonm. Obecnie tlko metoda elementów skończonch umożliwia wznaczenie wartości sił magnetcznej, jednak jest stosowanie wiąże się z posiadaniem specjalistcznego oprogramowania, często niedostępnego dla przeciętnego żniera. Dlatego w dalszej analizie zostanie wkorzstan model pętli kołowej z prądem molekularnm, jako model aktwnej ścian w magnesie. Pętla kołowa umożliwia zastosowanie podejścia dskretnego do magnesu a zjawiska magnetczne mogą bć rozpatrwane jak dla obwodu elektrcznego. Pętle kołowe w tablic Halbacha zostaną wkorzstane do modelowania połączenia dwóch ścian aktwnch. a rs. 9 kolorem zielonm i czerwonm zaznaczono pętle kołowe, do którch sprowadzona zostanie dalsza analiza. Kolor zielon oznacza pętle statora (tablica nieruchoma), natomiast kolorem czerwonm zaznaczona jest pętla kołowa w tablic ruchomej. W zaznaczonch pętlach płnie prąd molekularn, któr jest wnikiem Rs. Orientacja nieruchomej i ruchomej pętli kołowej Fig.. The location of immovable and movable loop Ponieważ promienie ruchomej i nieruchomej pętli kołowej są zbliżone, co do wartości, to: R Ostatecznie odwrotność modułu wektora R jest równa: x R 4 4 Wartość dukcji w punkcie p można zapisać, jako: B ( x,, ) K ( ) K ( ) x K ( ) z B Bx B (). () B gdzie: K składowa stała dukcji magnetcznej w punkcie prac: K B ( ) B(,, ) μ πr 6π 4 πr R 4 (4) 446 Pomiar Automatka Robotka /
K składowa związana z przemieszczeniem pętli Bx w kierunku osi Ox: db ( x,, ) K Bx dx μ πr πr 6π 8R B (5) K składowa związana z przemieszczeniem pętli w kierunku osi O: db x K B ( ) dx μ πr 6π (,, ) πr 8R (6) gdzie: x, odpowiednio przemieszczenie pętli ruchomej w kierunku osi Ox i O. W tablic ruchomej w miejscach stku magnesów, powstają ścian aktwne, w którch płnie prąd molekularn. a taką pętlę w zewnętrznm polu magnetcznm działa siła magnetczna, zgodnie z prawem Lorentza: F ( I r B) dlr, (7) Uwzględniając składowe dukcji magnetcznej oraz składowe prądu w pętli ruchomej: stanowisku laboratorjnm (rs. ), gdzie zostało obciążone siłą zewnętrzną (masa na zawieszce), a następnie rejestrowano ugięcie wirnika. Stator łożska jest wkonan z magnesów pierścieniowch o średnic zewnętrznej 85 mm i wewnętrznej 75 mm (rs. ). Wsokość pierścienia z promieniową orientacją wektora magnetzacji wnosi mm, natomiast magnes z osiową orientacją wektora magnetzacji posiada wsokość mm. Rs.. Tablica Halbacha statora Fig.. The Halbach arra of the stator π ( z r z r ) F R B I φ i B I φ j dφ ( K K ( ) K B Bx B ( )) π φ φ φ F R I d φ φ r ( K K ( ) K B Bx B ( )) π φ φ φ F R I d φ φ r (8) Po podstawieniu () do (8), otrzmam składowe sił magnetcznej działającej na łożskowan magnetcznie wirnik. Siła ta jest równa: (9) () Po uwzględnieniu współcznników (4), (5) i (6), siła magnetczna przjmie wartość: Rs.. Tablica Halbacha bieżni Fig.. The Halbach arra of track μ π R R F I I x 4 r s R R () μ π R R F I I x 4 r s R R () Wrażenia () i () przedstawiają składowe sił magnetcznej w kierunku osi Ox i O, generowane przez łożsko magnetczne. 4. Werfikacja modelu Wznaczon model został poddan badaniom werfikacjnm. Badania zrealizowano dla paswnego łożska magnetcznego z tablicą Halbacha, która została wkonana z materiału 5. a rs. i przedstawione są tablice statora i bieżni. Łożsko zostało zamontowane na Rs.. Stanowisko laboratorjne Fig.. The laborator stand / Pomiar Automatka Robotka 447
a rs. 5 przedstawiono charakterstki statczne wznaczone metodą elementów skończonch oraz wnik ekspermentu. W obszarze małch przemieszczeń wniki pokrwają się. Większe różnice wstępują dla dużch przemieszczeń. Każda z charakterstk posiada n współcznnik kierunkow, któr można w dalszej analizie traktować, jako współcznnik sztwności zawieszenia paswnego. 5. Podsumowanie Rs. 4. Model MES łożska paswnego Fig. 4. The FEM model of the passive magnetic bearg Tablica bieżni ma średnicę zewnętrzną 7 mm i wewnętrzną 6 mm (rs. ). Wsokość magnesów jest taka sama, jak dla statora. Ponieważ nie można nabć magnesów z promieniową orientacją wektora magnetzacji, magnes te został wkonane z sektorów o wmiarach odpowiadającch średnicom tablic. Dodatkowo wkonano badania z wkorzstaniem metod elementów skończonch. W programie Comsol- Multiphsics, został zbudowan model tablic Halbacha łożska paswnego. astępnie wkonano analiz sił magnetcznch dla różnch położeń bieżni względem statora. a rs. 4 przedstawion jest model MES poddan badaniom werfikacjnm. Korzstając z modelu matematcznego () i () wznaczono charakterstkę statczną zawieszenia magnetcznego. Charakterstka zawieszenia przedstawiona jest na rs. 5. Obliczenia został wkonane dla pętli kołowch, którch wmiar został powżej zdefiowane. Przjęto w modelu remanencję równą Br T. S iła m a g n e t c z n a [ ] 4 8 6 4 Charakterstka statczna (materiał 5, tablica 85x75 i 7x6) Wnik ekspermentu 5 Interpolacja punktów pomiarowch 5 Obliczenia modelu 5 Model MES 5 Interpolacja MES 5-4 Przemieszczenie wirnika [m] 5 6 7 8 x -4 Rs. 5. Charakterstka statczna łożska paswnego wznaczona metodą elementów skończonch, ekspermentalnie i analitcznie z wkorzstaniem modeli pętli kołowch z prądem molekularnm Fig. 5. The static characteristic of the passive magnetic bearg estimated the fite element method, experimental and analtical results from the loop with molecular current model Zastosowanie modelu pętli kołowej prowadzi do analitcznego rozwiązania wznaczania sił magnetcznch. Korzstając z przedstawionego modelu, można oszacować podstawowe parametr geometrczne magnesów oraz określić wpłw właściwości magnetcznch magnesu na maksmalną wartość sił nośnej łożska paswnego. Jak można zauważć, na rs. 5 wstępują rozbieżności międz wnikami ekspermentalnmi i metodą numerczną oraz analitczną. Metoda analitczna ze względu na przjęcie uproszczenia, oraz learzację wprowadza błęd. Jednak odchlenie wartości nie jest na tle duże, ab dskwalifikowało tą metodę. Odchlenie na poziomie kilku niutonów jest dopuszczalne. a rs. 5 można zauważć rozbieżność międz charakterstką statczną wznaczoną metodą elementów skończonch i wnikami badań ekspermentalnch. Metod komputerowe w większości przpadków nie uwzględniają niejednorodności materiału i powstającch rozbieżności w rozkładzie pola magnetcznego. Dodatkowm ograniczeniem jest konstrukcja magnesów pierścieniowch z radialną orientacją wektora magnetzacji. Pomimo ofert katalogowch producentów, magnes pierścieniowe z radialna orientacją wektora magnetzacji są niedostępne. Jednm dostępnm rozwiązaniem są magnes wkonane, jako sektor z radialnie zorientowanm wektorem magnetzacji. Dodatkowo czoło bieżni i statora łożska powno bć ustawione równolegle. W modelu smulacjnm jest to realizowane dokładnie, natomiast model rzeczwist nie zawsze zapewnia tolerancję na poziomie zera. Jak wnika z przedstawionej analiz zawsze istnieją ograniczenia, które prowadzą do rozbieżności w procesie konstruowania łożska paswnego. W przpadku konstrukcji łożska magnetcznego lepiej jest nie doszacować sił nośnej, niż przeszacować, jak wskazuje charakterstka statczna wznaczona metodą elementów skończonch. Bibliografia. Andrews C. M.: Understandg Permanent Magnets, Techotes, Group Arnold, 998.. Falkowski K., Gosiewski Z.: Wielofunkcjne łożska magnetczne, Insttut Lotnictwa, Warszawa,.. Falkowski K., Henzel M.: The high efficienc radial passive magnetic bearg, The 5th International Conference "Mechatronic Sstems and Materials", Vilno, 9. 4. Falkowski K.: The Identification Dnamic Characteristic of the Passive Magnetic Bearg with Halbach Arra, The 6th International Conference "Mechatronic Sstems and Materials",. 448 Pomiar Automatka Robotka /
5. Griffiths D.J.: Wprowadzenie do elektrodnamiki, PW, 5. 6. Yonnet J. P.: Passive Magnetic Bearg with Permanent Magnet, IEEE Transactions On Magnetic, Vol. MAG-4, o 5, 978. 7. Ravaud R., Lemarquand G., Lemarquad V.: Force and Stiffness of Passive Magnetic Bearg Ug Permanent Magnets. Part : Axial Magnetization, IEEE Transactions On Magnetic, Vol. 45, o 7, 9. 8. Ravaud R., Lemarquand G., Lemarquad V.: Force and Stiffness of Passive Magnetic Bearg Ug Permanent Magnets. Part : Radial Magnetization, IEEE Transactions On Magnetic, Vol. 45, o 9, 9. 9. Zahn M.: Electromagnetic Field Theor: A Problem Solvg Approach, Second edition, Krieger Publishg Compan,. The model of the passive magnetic bearg Abstract: There is presented analtical method estimation of the static characteristic of the passive magnetic bearg. The loop with molecular current model is used to obta the analtical model. The characteristic decides ab the load of the passive bearg. The change of magnetic force is proportional to position the rotor the air gap of bearg. In the paper is presented construction of the passive magnetic bearg and analticall relationship between position the rotor the air gap and magnetic force. The author is present relationship between the static characteristic estimated b fite element method and experiment. model. with molecular The characteristic current model decides is used ab to the obta load of the the analtical passive bearg. model. The characteristic change of magnetic decides force ab is the proportional load of the to position passive the bearg. rotor The the change air gap of magnetic of bearg. force In is the proportional paper is nauka to presented position construction the rotor the of the air gap passive of bearg. magnetic In bearg the paper and is analticall presented relationship construction between of the passive position the magnetic rotor bearg the air gap and and analticall magnetic relationship force. The between author position is present the relationship rotor the air between gap and the magnetic force. The author estimated is present b fite relationship element method between and the experi- static static characteristic ment. characteristic estimated b fite element method and experiment. Kewords: passive magnetic bearg, static characteristic, stiffness Kewords: coefficient, passive loop magnetic with molecular bearg, current static model. characteristic, stiffness coefficient, loop with molecular current model. dr ż. Krzsztof Falkowski Dr dr ż. Krzsztof Falkowski jest absolwentem Dr ż. Krzsztof Wojskowej Falkowski Akademii jest Technicznej. absolwentem W Wojskowej 999 roku Akademii uzskał stopień Technicznej. naukow W 999 doktora roku nauk uzskał technicznch. stopień naukow W swojej doktora prac naukowej, technicznch. się W problematką swojej prac zawieszeń naukowej, zajmuje i zajmuje łożsk się magnetcznch problematką oraz zawieszeń bezłożskowch i łożsk magnetcznch silników elektrcznch. oraz bezło- Jest żskowch autorem silników i współautorem elektrcznch. monografii Jest autorem i wielu artkułów i współautorem poświęconch monografii i wielu artkułów technicznego poświęconch wkorz- problematce stania problematce zjawiska technicznego lewitacji magnetcznejstania Zajmuje zjawiska się lewitacji organizacją magnetcz- pracow- wkorznnej. Zajmuje zawieszeń się organizacją magnetcznch pracowni laboratorium zawieszeń silników magnetcznch lotniczch w Wojskowej w laboratorium Akademie silników Technicznej. lotniczch e-mail: Wojskowej Akademie Technicznej. krzsztof.falkowski@wat.edu.pl e-mail: krzsztof.falkowski@wat.edu.pl Kewords: passive magnetic bearg, static characteristic, stiffness coefficient, loop with molecular current model. dr ż. Krzsztof Falkowski Dr ż. Krzsztof Falkowski jest absolwentem Wojskowej Akademii Technicznej. W 999 roku uzskał stopień naukow doktora nauk technicznch. W swojej prac naukowej, zajmuje się problematką zawieszeń i łożsk magnetcznch oraz bezłożskowch silników elektrcznch. Jest autorem i współautorem monografii i wielu artkułów poświęconch problematce technicznego wkorzstania zjawiska lewitacji magnetcznej. Zajmuje się organizacją pracowni zawieszeń magnetcznch w laboratorium silników lotniczch Wojskowej Akademie Technicznej. e-mail: krzsztof.falkowski@wat.edu.pl / Pomiar Automatka Robotka 449