Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 2
Wprowadzenie Wyobraźmy sobie szklankę świeŝo zaparzonej herbaty postawioną w duŝym pomieszczeniu o temperaturze 20 o C. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 3
Wprowadzenie cd. Dalej temperatura w pomieszczeniu będzie nazywana temperaturą otoczenia. W początkowej chwili pomiary temperatury dają wyniki: temperatura otoczenia = 20 o C temperatura napoju = 100 o C A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 4
Wprowadzenie cd. Wraz z upływem czasu herbata stygnie oddaje ciepło; z drugiej strony pomieszczenie jest tak duŝe, Ŝe nie obserwujemy zmiany jego temperatury. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 5
Wprowadzenie cd. Pomiary temperatury herbaty wykonywane po upływie 10 minut dają wyniki: temperatura otoczenia = 20 o C temperatura napoju = 60 o C A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 6
Wprowadzenie cd. Po upływie 20 minut: temperatura otoczenia = 20 o C temperatura napoju = 40 o C Po upływie 30 minut: temperatura otoczenia = 20 o C temperatura napoju = 30 o C A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 7
Zestawienie wyników temperatura otoczenia = 20 o C czas (min.) temp. napoju ( o C) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 100 60 40 30 25 23 21 21 20 20 20 20 20 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 8
Wykres wyników Otrzymane wyniki moŝna przedstawić w postaci graficznej na wykresie. temp. napoju (st. C) 120 100 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 czas (min.) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 9
Wprowadzenie cd. czas temperatura napoju wybieramy dowolnie odczytujemy dla wybranego czasu Taki zapis oznacza, Ŝe liczbie wyraŝającej czas przyporządkowana jest liczba wyraŝająca temperaturę. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 10
Inne przykłady student grupa językowa wybieramy dowolnie odczytujemy dla wybranego studenta komitet wyborczy wybieramy dowolnie liczba głosów uzyskanych w wyborach odczytujemy dla wybranego komitetu A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 11
Uogólnienie x y wybieramy dowolnie odczytujemy dla wybranego x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 12
Oznaczenia i terminologia Zapis: x y czytamy: wielkości oznaczonej symbolem x przyporządkowana jest wielkość oznaczona symbolem y. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 13
Uwaga W ogólności symbole x, y mogą przyjmować wartości liczbowe (np.: czas, temperatura, liczba uzyskanych głosów) lub nieliczbowe (np.: nazwisko studenta, grupa językowa, komitet wyborczy), jednak w tym kursie x, y zawsze będą liczbami rzeczywistymi. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 14
Terminologia cd. W zapisie: x y Liczby x, y nazywane są teŝ zmiennymi: x zmienna niezaleŝna y zmienna zaleŝna A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 15
Oznaczenia i terminologia cd. Zapis: f : x y lub: x f y oznacza: przyporządkowanie nazwane literą f A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 16
Przykład X { 1, 2, 3 } = { 5, 6, 7 } = Y Między elementami zbiorów X, Y określamy przyporządkowanie oznaczone literą g: liczbie x ze zbioru X przyporządkowana jest liczba y ze zbioru Y o 4 większa od x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 17
Przykład cd. Sposób wyznaczania liczby y dla wybranej liczby x moŝna zapisać wzorem: g : x y = x + 4 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 18
Uogólnienie Gdy sposób wyznaczania liczby y dla wybranej liczby x określa przyporządkowanie nazwane literą g, to moŝna zapisać g : x y = g( x) Oznaczenie g(x) czytamy: g od x. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 19
Przykład cd. Przyporządkowanie g w przykładzie określone było wzorem g : x y = x + 4 Zatem y = g( x) = x + 4 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 20
Terminologia cd. Zapis: g : X Y oznacza: g przyporządkowuje elementom zbioru X elementy zbioru Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 21
Przedstawienie przyporządkowania Przyporządkowanie moŝna przedstawić na wiele sposobów: opis słowny wzór tabela wykres graf A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 22
Przedstawienie g - słowne X { 1, 2, 3 } = { 5, 6, 7 } = Y g : X Y g: liczbie x ze zbioru X przyporządkowuje liczbę y ze zbioru Y o 4 większą od x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 23
Przedstawienie g - wzór X { 1, 2, 3 } = { 5, 6, 7 } = Y g : X Y Wzór: y = x + 4 lub g( x) = x + 4 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 24
Przedstawienie g - tabela X { 1, 2, 3 } = { 5, 6, 7 } = Y g : X Y Tabela: x 1 2 3 y = g(x) 5 6 7 W górnym wierszu tabeli zapisujemy elementy zbioru X, a w dolnym zbioru Y. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 25
Przedstawienie g - wykres X { 1, 2, 3} = { 5, 6, 7 } = Y g : X Y Wykres: Punkty na wykresie mają takie współrzędne (x, y), Ŝe x jest liczbą ze zbioru X, a y jest wyznaczone ze wzoru y = g(x). y 8 7 6 5 4 3 2 1 0 y = g (x) 0 1 2 3 4 x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 26
Przedstawienie g - graf X g : { 1, 2, 3} = { 5, 6, 7 } = Y X Y g Graf: 1 5 2 6 X 3 7 Y Graf to rysunek, na którym przyporządkowanie ilustrowane jest za pomocą strzałek. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 27
Funkcja wprowadzenie Przyporządkowanie, które spełnia pewne warunki określone w definicji nazywamy funkcją. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 28
Funkcja definicja Funkcją f określoną na zbiorze X o wartościach ze zbioru Y nazywamy przyporządkowanie kaŝdemu x X dokładnie jednego y Y. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 29
Funkcja terminologia Sformułowanie: funkcja f określona na zbiorze X o wartościach ze zbioru Y... oznaczamy: f : X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 30
Ustalenie W tym kursie X, Y oznaczają zbiory liczbowe, podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. X R, Y R A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 31
Funkcja terminologia cd. Gdy funkcja f : X Y to do zbiorów X, Y stosujemy nazwy: X dziedzina funkcji f D, D f inne oznaczenia dziedziny funkcji f Y przeciwdziedzina funkcji f A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 32
Funkcja terminologia cd. Gdy funkcja f f : X Y x y = f ( x) to do elementów zbiorów X, Y stosujemy nazwy: x argument funkcji f, x X, y = f (x) wartość funkcji f A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 33
Funkcja terminologia cd. Gdy funkcja f f : X Y x y = f ( x) to zbiór wszystkich wartości y = f (x) moŝe być podzbiorem właściwym zbioru Y: { y Y : istnieje x X takie, Ŝe y = f ( x) } = Y W Y W zbiór wartości funkcji, Y W Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 34
Zapis: Funkcja terminologia cd. f : x y czytamy: funkcja f przyporządkowuje argumentowi x wartość y lub: funkcja f przyjmuje wartość y dla argumentu x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 35
Przykład 1 X { 1, 2, 3} = { 5, 6, 7 } = Y g : X Y, g( x) = x + 4 g 1 5 2 6 X 3 7 Y { } dziedzina funkcji g: X = 1, 2, 3 argumenty funkcji g: 1, 2, 3 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 36
Przykład 1 cd. g 1 5 X 2 3 6 7 Y { } przeciwdziedzina funkcji g: Y = 5, 6, 7 wartości funkcji g: 5, 6, 7 zbiór wartości funkcji g: Y { } W = 5, 6, 7 = Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 37
Przykład 2 X { 1, 2, 3} = { 5, 6, 7, 8, 9 } = Y h : X Y, h( x) = x + 4 h X 2 3 1 5 6 7 8 9 Y { } dziedzina h: X = 1, 2, 3 argumenty h: 1, 2, 3 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 38
Przykład 2 cd. h X 2 3 1 5 6 7 8 9 Y { } przeciwdziedzina h: Y = 5, 6, 7, 8, 9 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 39
Przykład 2 cd. h X 2 3 1 5 8 6 9 7 Y wartości h: 5, 6, 7 { } zbiór wartości h: = 5, 6, 7 Y W A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 40
Przykład 2 cd. h 1 5 8 X 2 3 6 7 9 Y Y W Y zbiór wartości przeciwdziedzina A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 41
Pytania... Czy ten graf przedstawia funkcję f : X Y? Przypomnienie definicji: Funkcją f określoną na zbiorze X o wartościach ze zbioru Y nazywamy przyporządkowanie kaŝdemu x X dokładnie jednego y Y. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 42
Pytanie 1. Czy ten graf przedstawia funkcję f : X Y? f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 43
Odpowiedź 1. Nie jest to funkcja f : X Y. Bo nie kaŝdemu x X... f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 44
Pytanie 2. Czy ten graf przedstawia funkcję f : X Y? f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 45
Odpowiedź 2. Tak, to jest funkcja f : X Y. f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 46
Pytanie 3. Czy ten graf przedstawia funkcję f : X Y? f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 47
Odpowiedź 3. Nie jest to funkcja f : X Y. Bo nie kaŝdemu x X, dokładnie jeden y Y. f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 48
Pytanie 4. Czy ten graf przedstawia funkcję f : X Y? f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 49
Odpowiedź 4. Tak, to jest funkcja f : X Y. f X Y A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 50
Przykład 3 X = Y = { 1, 2, 3} { 5, 6, 7 } g : X Y y = g( x) = x + 4 wartości argumenty y 8 7 6 5 4 3 2 1 0 y = g (x) 0 1 2 3 4 x A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 51
Wykres funkcji tworzenie wykresu czytanie z wykresu A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 52
Tworzenie wykresu Wykres funkcji rysujemy w układzie współrzędnych kartezjańskich XOY. Układ to osie liczbowe - pozioma OX i pionowa OY. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 53
Układ współrzędnych Y 1 O 1 X Mówimy: kartezjański układ współrzędnych lub prostokątny układ współrzędnych A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 54
Nazwy osi układu Y y A (x, y) 1 O 1 x X OX OY - oś odciętych - oś rzędnych A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 55
Punkt w układzie współrzędnych Y y A (x, y) 1 O 1 x X x współrzędna punktu A - odcięta y współrzędna punktu A - rzędna A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 56
Definicja wykresu funkcji Jeśli funkcja f : X Y dana jest wzorem y = f (x), to wykresem funkcji w układzie XOY jest zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x, y) takich, Ŝe x jest argumentem funkcji, a y jest wartością funkcji dla argumentu x (y = f(x)). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 57
Wykres funkcji Y wartości y = f (x) O X argumenty A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 58
Wykres funkcji przykład Jeśli punkt (2, 1) naleŝy do wykresu funkcji y = f (x), to znaczy, Ŝe 2 jest argumentem funkcji (naleŝy do dziedziny), a 1 jest wartością funkcji (naleŝy do zbioru wartości) i funkcja f przyporządkowuje 2 1, czyli f (2) = 1. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 59
Wykres funkcji interpretacja y = f (x) Y (2, 1) 1 O 2 X f 2 1 f (2) = 1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 60
Wykres funkcji zadanie 1. Posługując się wykresem funkcji y=f(x), zaznacz wartość dla argumentu x = -1. Lub krócej: zaznacz f (-1). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 61
Wykres funkcji zadanie 1. y = f (x) Y -1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 62
Wykres funkcji zadanie 1. y = f (x) Y -1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 63
Wykres funkcji zadanie 1. y = f (x) Y -1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 64
Wykres funkcji zadanie 1. y = f (x) Y f (-1) -1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 65
Wykres funkcji zadanie 2. Posługując się wykresem funkcji y=f(x), zaznacz argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość y = 1. Lub krócej: Zaznacz x takie, Ŝe f (x) = 1. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 66
Wykres funkcji zadanie 2. y = f (x) Y 1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 67
Wykres funkcji zadanie 2. y = f (x) Y 1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 68
Wykres funkcji zadanie 2. y = f (x) Y 1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 69
Wykres funkcji zadanie 2. y = f (x) Y 1 O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 70
Wykres funkcji zadanie 2. y = f (x) Y 1 x O 1 x 2 x 3 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 71
Wykres funkcji zadanie 2. y = f (x) Y 1 x O 1 x 2 x 3 f (x 1 ) = f (x 2 ) = f (x 3 ) = 1 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 72
Wykres funkcji umowa Na wykresie funkcji: punkt zaznaczony kropką naleŝy do wykresu, punkt zaznaczony pustym kółkiem nie naleŝy do wykresu. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 73
Wykres funkcji umowa y = f (x) Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 74
Wykres funkcji umowa cd. Gdy na rysunku wykres nie jest zakończony ani kropką, ani pustym kółkiem, to oznacza, Ŝe biegnie dalej. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 75
Wykres funkcji umowa cd. y = f (x) Y biegnie dalej O X biegnie dalej A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 76
Wykres funkcji - pytania Czy dana krzywa jest wykresem funkcji f : X Y? A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 77
Pytanie 1. Czy ta krzywa jest wykresem funkcji? parabola Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 78
Odpowiedź 1. Nie jest to wykres funkcji, bo moŝna znaleźć taki argument x... Y O x X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 79
Odpowiedź 1. Y A O x X B A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 80
Odpowiedź 1.... któremu przyporządkowane są dwie róŝne wartości y 1, y 2... Y y 1 A O y 2 x X B A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 81
Odpowiedź 1.... co jest sprzeczne z definicją funkcji. Y y 1 A( x, y 1 ) O y 2 x B( x, y 2 ) X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 82
Pytanie 2. Czy ta krzywa jest wykresem funkcji? parabola Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 83
Odpowiedź 2. Tak, bo... parabola Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 84
Odpowiedź 2. Tak, bo nie istnieje prosta prostopadła do osi OX, która przecina krzywą w więcej niŝ jednym punkcie. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 85
Dziedzina funkcji - uwaga Jeśli funkcja dana jest wzorem, to do jej dziedziny naleŝą wszystkie liczby, dla których wzór funkcyjny ma sens. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 86
Wyznaczanie dziedziny funkcji Wyznacz dziedzinę funkcji danej wzorem f ( x) x + 1 = x 1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 87
Rozwiązanie f ( x) x + 1 = x 1 D: x x 1 + 1 0 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 88
Rozwiązanie cd. f ( x) x + 1 = x 1 D: x x + 1 1 0 0 x x 1 1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 89
Rozwiązanie cd. x x + 1 1 0 0 x x 1 1 x 1 i x 1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 90
Rozwiązanie cd. x 1 1 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 91
Rozwiązanie cd. x 1-1 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 92
Rozwiązanie cd. x 1 i x 1-1 1 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 93
Rozwiązanie cd. x 1 i x 1-1 1 X x ) ( + ) 1;1 1; A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 94
Rozwiązanie cd. f ( x) x + 1 = x 1 D: x x 1 1 x 1;1 ) ( 1; + ) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 95
Rozwiązanie cd. f ( x) x + 1 = x 1 D: x x 1 1 x 1;1 ) ( 1; + ) ) ( ) Odp.: D = 1;1 1; + A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 96
Odczytaj dziedzinę funkcji Posługując się wykresem funkcji y = f (x) zaznacz dziedzinę. Zapisz dziedzinę. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 97
Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X Dla kaŝdego punktu wykresu funkcji... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 98
Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X... do dziedziny funkcji naleŝy współrzędna x punktu. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 99
Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X dziedzina A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 100
Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y a O b X D = ( a ; b A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 101
Wykres funkcji zadanie Posługując się wykresem funkcji y = f (x), zaznacz zbiór wartości. Zapisz zbiór wartości. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 102
Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X Dla kaŝdego punktu wykresu funkcji... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 103
Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X... do zbioru wartości naleŝy współrzędna y punktu. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 104
Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X zbiór wartości A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 105
Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y d O c X Y = ( c ; d W A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 106
Wykres funkcji zadanie Odczytaj z wykresu funkcji y = f (x) dziedzinę i zbiór wartości. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 107
Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 108
Wykres funkcji zadanie y = f (x) Y O X D = ( + ), = ( ; + ) ; YW A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 109
Funkcja róŝnowartościowa Funkcja f : X Y jest róŝnowartościowa, jeśli róŝnym argumentom przyporządkowuje róŝne wartości. Zapis: x x X 1, 2 [ x x f ( x ) f ( x )] 1 2 1 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 110
Funkcja róŝnowartościowa Lub równowaŝnie: Funkcja f : X Y jest róŝnowartościowa, jeśli równe wartości przyporządkowuje tylko równym argumentom. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 111
Funkcja róŝnowartościowa Funkcja f : X Y jest róŝnowartościowa, jeśli równe wartości przyporządkowuje tylko równym argumentom. Zapis: x x X 1, 2 [ f ( x ) = f ( x ) x = x ] 1 2 1 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 112
Pytania A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 113
Pytanie 1. Który graf przedstawia funkcję róŝnowartościową? A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 114
Pytanie 1. Graf f f Graf g g A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 115
Odpowiedź 1. f g jest róŝnowartościowa nie jest róŝnowartościowa A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 116
Pytanie 2. Czy ten wykres przedstawia funkcję róŝnowartościową? A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 117
Pytanie 2. Czy ten wykres przedstawia funkcję róŝnowartościową? Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 118
Odpowiedź 2. Nie, bo moŝna znaleźć wartość y... Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 119
Odpowiedź 2. Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 120
Odpowiedź 2. Y O X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 121
Odpowiedź 2.... przyporządkowaną róŝnym argumentom x 1, x 2. A(x 2, y) Y B(x 1, y) y x 2 O x 1 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 122
Zadanie 1. Zbadaj, czy funkcja f (x) = -2x + 1 jest róŝnowartościowa. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 123
Rozwiązanie 1. cd. f (x) = -2x + 1 Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych D = R. Niech x x R,. MoŜna zapisać: 1 2 f (x 1 ) = -2x 1 + 1, f (x 2 ) = -2x 2 + 1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 124
Rozwiązanie 1. cd. Przypuśćmy, Ŝe f (x 1 ) = f (x 2 ) f (x 1 ) = -2x 1 + 1, f (x 2 ) = -2x 2 + 1-2x 1 + 1 = -2x 2 + 1-1 -2x 1 = -2x 2 :(-2) x 1 = x 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 125
Rozwiązanie 1. cd. Dostaliśmy: f ( x = f x x = x ) ( ) 1 2 1 2 dla dowolnej pary liczb x x R,. 1 2 Zatem f (x) = -2x + 1 jest róŝnowartościowa. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 126
Wykres funkcji f (x) = -2x + 1 3 2 1 0-3 -2-1 0 1 2 3-1 -2-3 f - róŝnowartościowa A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 127
Zadanie 2. Zbadaj, czy funkcja f (x) = x 2 jest róŝnowartościowa. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 128
Rozwiązanie 2. f (x) = x 2 Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych D = R. Niech x x R,. 1 2 MoŜna zapisać: f (x 1 ) = x 1 2, f (x 2 ) = x 2 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 129
Rozwiązanie 2. Przypuśćmy, Ŝe f (x 1 ) = f (x 2 ) x 2 1 = x 2 2 x 2 1 - x 2 2 = 0 (x 1 - x 2 ) (x 1 + x 2 ) = 0 x 1 - x 2 = 0 lub x 1 + x 2 = 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 130
Rozwiązanie 2. x 1 - x 2 = 0 lub x 1 + x 2 = 0 x 1 = x 2 lub x 1 = - x 2 Np. dla x 1 = 1, x 2 = -1 mamy: f (1) = 1 2 =1 oraz f (-1) = (-1) 2 = 1 RóŜnym argumentom przyporządkowane zostały równe wartości, zatem f (x) = x 2 nie jest róŝnowartościowa. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 131
Wykres funkcji f (x) = x 2 A(-1, 1) Y B(1, 1) 1-1 O 1 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 132
Zadanie 3 zastosowanie * RozwiąŜ równanie 7 x 4 2 3x = 7 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 133
Zadanie 3 zastosowanie * RozwiąŜ równanie 7 x 4 2 3x = 7 7 1 4 2 ( ) 7 2 x x 3 = 7 1 4 2 ( 2 ) x 3x = 7 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 134
Zadanie 3 zastosowanie * 7 1 4 2 ( 2 ) x 3x = 7 ( * ) x 4 1 x 2 7 Funkcja wykładnicza f (x) =7 x jest róŝnowartościowa, zatem rówanie ( * ) zachodzi wiw, gdy x 4 = 1 1,5x = 7 3 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 135
Zadanie 3 zastosowanie * x 4 = 1 3 2 x x + 3 x = 1+ 2 4 5 x = 5 : 2 x = 5 2 5 5 2 Odp.: Rozwiązaniem równania jest x = 2. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 136
Funkcja rosnąca Funkcja f : X Y jest rosnąca w przedziale ( a ; b ) X, jeśli większemu ( ) argumentowi z przedziału a ; b przyporządkowuje większą wartość. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 137
Funkcja rosnąca - definicja Funkcja f : X Y jest rosnąca w przedziale ( a ; b ) X, jeśli x 1, 2 x ( a ; b) [ x < x f ( x ) < f ( x ) ] 1 2 1 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 138
Funkcja rosnąca x 1, 2 x ( a ; b) [ x < x f ( x ) < f ( x ) ] 1 2 1 2 RównowaŜny zapis: x 1, 2 x ( a ; b) [ x x < f ( x ) f ( x ) < 0 ] 1 2 0 1 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 139
Funkcja malejąca Funkcja f : X Y jest malejąca w przedziale ( a ; b ) X, jeśli większemu ( ) argumentowi z przedziału a ; b przyporządkowuje mniejszą wartość. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 140
Funkcja malejąca - definicja Funkcja f : X Y jest malejąca w przedziale ( a ; b ) X, jeśli x 1, 2 x ( a ; b) [ x < x f ( x ) > f ( x ) ] 1 2 1 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 141
Funkcja malejąca x 1, 2 x ( a ; b) [ x < x f ( x ) > f ( x ) ] 1 2 1 2 RównowaŜny zapis: x 1, 2 x ( a ; b) [ x x < f ( x ) f ( x ) > 0 ] 1 2 0 1 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 142
Funkcja stała Funkcja f : X Y jest stała w przedziale ( a ; b ) X, jeśli w tym przedziale jej wartości nie zmieniają się. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 143
Monotoniczność funkcji Badanie monotoniczności funkcji polega na ustaleniu, w jakich przedziałach dziedziny funkcja rośnie, w jakich maleje, w jakich jest stała. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 144
Monotoniczność zadanie 1. Opisz monotoniczność funkcji y = g(x) na podstawie wykresu. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 145
Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y a 1 X Przesuwamy się po wykresie w kierunku rosnących argumentów x... A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 146
Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y X... dopóki wykres wznosi się do góry. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 147
Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y a 1 X Oznacza to, Ŝe dla x ( ; a funkcja 1 jest rosnąca. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 148
Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y a 1 X Zapis: f ( x) dla x ( ; a1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 149
Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y a 1 X Teraz przesuwamy się po wykresie w kierunku rosnących argumentów x, dopóki wykres opada. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 150
Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y a 1 a 2 X f ( x) dla x a a 1 ; 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 151
Monotoniczność zadanie 1. y = g (x) Y a 1 a 2 X f ( x) dla x a ; 2 + ) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 152
Monotoniczność zadanie 1. Odp.: f ( ;, ; + ) ( x) dla x a x a 1 2 f ( x) dla x a a 1 ; 2 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 153
Monotoniczność zadanie 2. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = - 2x+1. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 154
Monotoniczność zadanie 2. Dziedzina: f(x) = - 2x+1 D = R Niech x x R, i x 1 2 1 < x 2. MoŜna zapisać: f (x 1 ) = -2x 1 + 1, f (x 2 ) = -2x 2 + 1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 155
Monotoniczność zadanie 2. f (x 1 ) = -2x 1 + 1, f (x 2 ) = -2x 2 + 1 Badamy znak róŝnicy: f (x 1 ) - f (x 2 ) f (x 1 ) - f (x 2 ) = (-2x 1 + 1) (-2x 2 + 1) = = -2x 1 + 1 + 2x 2-1 = -2x 1 + 2x 2 = = -2(x 1 - x 2 ) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 156
Monotoniczność zadanie 2. f (x 1 ) - f (x 2 ) = (-2x 1 + 1) (-2x 2 + 1) = = -2x 1 + 1 + 2x 2-1 = -2x 1 + 2x 2 = = -2(x 1 - x 2 ) PoniewaŜ x 1 < x 2, to x 1 - x 2 < 0, zatem -2(x 1 - x 2 ) > 0, czyli f (x 1 ) - f (x 2 ) > 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 157
Monotoniczność zadanie 2. Mamy: f (x 1 ) > f (x 2 ) dla x 1 < x 2 co dowodzi, Ŝe funkcja jest malejąca. f (x) = - 2x+1 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 158
Monotoniczność zadanie 2. f (x) = - 2x+1 3 2 1 0-3 -2-1 0 1 2 3-1 -2-3 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 159
Globalne ekstrema funkcji minimum globalne (wartość najmniejsza) maksimum globalne (wartość największa) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 160
Minimum globalne Funkcja f : X Y ma minimum globalne w punkcie x X, jeśli 0 wartość f (x 0 ) jest najmniejsza ze wszystkich wartości funkcji. x X f ( x) f ( x ) 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 161
Przykład minimum globalnego Y O X W punkcie x 0 = 0 funkcja ma wartość najmniejszą minimum globalne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 162
Maksimum globalne Funkcja f : X Y ma maksimum globalne w punkcie x X, jeśli 0 wartość f (x 0 ) jest największa ze wszystkich wartości funkcji. x X f ( x) f ( x ) 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 163
Przykład maksimum globalnego Y O X W punkcie x 0 = 0 funkcja przyjmuje wartość największą maksimum globalne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 164
Lokalne ekstrema funkcji minimum lokalne (wartość najmniejsza w pewnym przedziale) maksimum lokalne (wartość największa w pewnym przedziale) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 165
Przykład minimum lokalnego Y 1 X W punkcie x 0 = 1 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w zaznaczonym przedziale minimum lokalne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 166
Przykład maksimum lokalnego Y -1 X W punkcie x 0 = -1 funkcja przyjmuje wartość największą w zaznaczonym przedziale maksimum lokalne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 167
Definicja otoczenia punktu Niech x R, r R. 0 Przedział (x 0 - r; x 0 + r) nazywamy otoczeniem punktu x 0 o promieniu r. Oznaczenie: (x 0 - r; x 0 + r) = U(x 0, r) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 168
Przykład 1. Otoczeniem punktu x 0 = 4 o promieniu r = 2 jest przedział U (4; 2) = (4-2, 4+2) = (2, 6) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 169
Przykład 2. Przedział (- 4, 10) jest otoczeniem punktu x 0 = 3 o promieniu r = 7. (-4, 10) = U (3; 7) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 170
Definicja minimum lokalnego Funkcja f : ( a ; b) R ma minimum lokalne w punkcie (, ), x a b gdy 0 istnieje takie otoczenie U(x 0, r) (a, b), Ŝe x U { } ( ) ( ) ( x, r) x f x f x 0 0 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 171
Definicja maksimum lokalnego Funkcja f : ( a ; b) R ma maksimum lokalne w punkcie (, ), x a b gdy 0 istnieje takie otoczenie U(x 0, r) (a, b), Ŝe x U { } ( ) ( ) ( x, r) x f x f x 0 0 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 172
Miejsce zerowe funkcji KaŜdy argument, dla którego funkcja y = f (x) przyjmuje wartość 0, nazywamy miejscem zerowym funkcji. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 173
Miejsca zerowe zadanie 1. Odczytaj z wykresu funkcji y = g (x) miejsca zerowe. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 174
Miejsca zerowe zadanie 1. y = g (x) Y x 1 x 2 x 3 X Odp.: Miejsca zerowe funkcji g (x), to x 1, x 2, x 3. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 175
Miejsca zerowe zadanie 2. Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji y = h (x). A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 176
Zadanie 2. 2 x h( x) = x 2 4 9 Dziedzina: x 2 9 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 177
Zadanie 2. x 2 9 0 x 2 9 = 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 178
Zadanie 2. x 2 9 = 0 Wzór skróconego mnoŝenia 2 - róŝnica kwadratów ( a b)( a b) a b = + 2 x 2 9 = ( x 3)( x + 3) A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 179
Zadanie 2. ( x 3 )( x + 3) = 0 a b = 0 a = 0 lub b = 0 x = 3 lub x = 3 Dziedzina: D = R { 3, 3 } A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 180
Zadanie 2. Miejsca zerowe: h( x) = 0 x 2 4 x 2 9 = 0 a b = 0 a = 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 181
Zadanie 2. x 2 4 x 2 9 = 0 x 2 4 = 0 ( x 2 )( x + 2) = 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 182
Zadanie 2. ( x 2 )( x + 2) = 0 x = 2 lub x = 2 Miejsca zerowe: x { 2, 2 } 0 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 183
Wykres funkcji zadanie Odczytaj z wykresu funkcji y = g (x) i zapisz zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości a) dodatnie, b) ujemne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 184
Wartości dodatnie zadanie y = g (x) Y x 1 x 2 x 3 X A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 185
Wartości dodatnie zadanie y = g (x) Y x 1 x 2 x 3 X Odp.: f ( ; ) ( ; + ) ( x) > 0 x x x x 1 2 3 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 186
Wartości ujemne zadanie y = g (x) Y x 1 x 2 x 3 X Odp.: f ( ; ) ( ) ( x) < 0 x x x x ; 1 2 3 A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 187