Bładzenie przypadkowe i lokalizacja Zdzisław Burda Jarosław Duda, Jean-Marc Luck, Bartłomiej Wacław Seminarium Wydziałowe WFiIS AGH, 07/11/2014
Plan referatu Wprowadzenie Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW) Bładzenie przypadkowe o maksymalnej entropii (MERW) Na regularnej sieci: GRW=MERW Losowe defekty na sieci lokalizacja Podsumowanie i spekulacje
Zwiazek dyfuzji z ruchami Browna A. Einstein (1905) i M. Smoluchowski (1906) K. Pearson (1905) RANDOM WALK Bładzenie przypadkowe / Bładzenie losowe
Zwiazek dyfuzji z ruchami Browna A. Einstein (1905) i M. Smoluchowski (1906) K. Pearson (1905) RANDOM WALK Bładzenie przypadkowe / Bładzenie losowe
Zwiazek dyfuzji z ruchami Browna A. Einstein (1905) i M. Smoluchowski (1906) K. Pearson (1905) RANDOM WALK Bładzenie przypadkowe / Bładzenie losowe
Lokalizacja P.W. Anderson (1958) Absence of Diffusion in Certain Random Lattice. Efekt kwantowy
Lokalizacja P.W. Anderson (1958) Absence of Diffusion in Certain Random Lattice. Efekt kwantowy
Bładzenie przypadkowe na grafach 2 4 1 P(3 >1) 3 6 5 Macierz sasiedztwa: A ij = 1(0), ij sa (nie sa) sasiadami Liczba koordynacyjna: k i = j A ij Prawdopodobieństwo przeskoku: P(i j) = P ij Macierz stochastyczna: 0 P ij A ij ; j P ij = 1
Bładzenie przypadkowe na grafach 2 4 1 P(3 >1) 3 6 5 Macierz sasiedztwa: A ij = 1(0), ij sa (nie sa) sasiadami Liczba koordynacyjna: k i = j A ij Prawdopodobieństwo przeskoku: P(i j) = P ij Macierz stochastyczna: 0 P ij A ij ; j P ij = 1
Bładzenie przypadkowe na grafach 2 4 1 P(3 >1) 3 6 5 Macierz sasiedztwa: A ij = 1(0), ij sa (nie sa) sasiadami Liczba koordynacyjna: k i = j A ij Prawdopodobieństwo przeskoku: P(i j) = P ij Macierz stochastyczna: 0 P ij A ij ; j P ij = 1
Bładzenie przypadkowe na grafach 2 4 1 P(3 >1) 3 6 5 Macierz sasiedztwa: A ij = 1(0), ij sa (nie sa) sasiadami Liczba koordynacyjna: k i = j A ij Prawdopodobieństwo przeskoku: P(i j) = P ij Macierz stochastyczna: 0 P ij A ij ; j P ij = 1
Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa Równanie Master: π i (t + 1) = j π j(t)p ji Stan stacjonarny: πi = j π j P ji Zwykłe bładzenie przypadkowe (GRW): P ij = A ij k i π i = k i 2L Przykład: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Trajektorie bładzenia przypadkowego γ (t) ab 2 4 1 3 6 5 Prawdopodobieństwo: P(γ (t) i 0 i t ) = P i0 i 1 P i1 i 2... P it 1 i t GRW: P(γ (t) i 0 i t ) = 1 k i0 1 k i1... 1 k it 1 Przykład: P(γ czerwona ) = 1 7 1 5 1 4 1 8 = 1 P(γ zielona ) = 1 7 1 6 1 7 1 6 = 1 MERW: P(γ (t) ab ) = F(t, a, b)? 1120 ; 1764 ;
Entropia trajektorii S ab,t = γ Γ (t) P(γ) ln P(γ) ab Produkcja entropii (Shannon, McMillan): s GRW = s lim t S ab,t t i k i ln k i 2L Maksymalna entropia: = i π i P ij ln P ij j Nierówność: s max = ln N ab,t t = ln(at ) ab t s GRW s max ln λ max
Największa wartość własna - tw. Frobeniusa-Perrona k min λ max k max Nowa nierówność: Example: exp (s GRW ) = ( i k k i i ) 1 2L λ max exp (s GRW ) = 108 1/5 2.55085; λ max = (1 + 17)/2 2.56155;
Równość s GRW = s max exp (s GRW ) = λ max ; Grafy k-regularne; λ max = k; Dwudzielne grafy regularne: λ max = k 1 k 2 ;
MERW Wektor własny FP: i ψ2 i = 1 A ij ψ j = λ max ψ i Prawdopodobieństwo przeskoku: j P ij = Prawdopodobieństwo trajektorii: A ij λ max ψ j ψ i P(γ (t) ab ) = 1 ψ b λ t max ψ a Stan stacjonarny: π i = ψ 2 i Produkcja entropii: s MERW = s max = ln λ max
MERW Wektor własny FP: i ψ2 i = 1 A ij ψ j = λ max ψ i Prawdopodobieństwo przeskoku: j P ij = Prawdopodobieństwo trajektorii: A ij λ max ψ j ψ i P(γ (t) ab ) = 1 ψ b λ t max ψ a Stan stacjonarny: π i = ψ 2 i Produkcja entropii: s MERW = s max = ln λ max
MERW Wektor własny FP: i ψ2 i = 1 A ij ψ j = λ max ψ i Prawdopodobieństwo przeskoku: j P ij = Prawdopodobieństwo trajektorii: A ij λ max ψ j ψ i P(γ (t) ab ) = 1 ψ b λ t max ψ a Stan stacjonarny: π i = ψ 2 i Produkcja entropii: s MERW = s max = ln λ max
MERW Wektor własny FP: i ψ2 i = 1 A ij ψ j = λ max ψ i Prawdopodobieństwo przeskoku: j P ij = Prawdopodobieństwo trajektorii: A ij λ max ψ j ψ i P(γ (t) ab ) = 1 ψ b λ t max ψ a Stan stacjonarny: π i = ψ 2 i Produkcja entropii: s MERW = s max = ln λ max
GRW vs. MERW na grafie liniowym 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
GRW vs. MERW na grafie liniowym 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
GRW vs. MERW na grafie liniowym 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
GRW vs. MERW na grafie liniowym 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
GRW vs. MERW na grafie liniowym 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
GRW vs. MERW na grafie liniowym 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
GRW vs. MERW na grafie liniowym 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
GRW vs. MERW na grafie liniowym 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
GRW vs. MERW na grafie liniowym 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
Odpychanie od defektów 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516 π i = 2 L+1 sin2 iπ L+1 ; i = 1,..., L Odpychanie od punktów końcowych (defektów)
Siatka z losowymi defektami
MERW na siatce z losowymi defektami 2-wymiarowa siatka + mała ilość defektów: q = ułamek usuniętych krawędzi; Przykład: 40 40; q = 0.001, 0.01, 0.05, 0.1:
Przykład 1-wymiarowy + argument Lifshitza graf drabinowy z losowo usuniętymi szczeblami: ψ i+1 + ψ i 1 + r i ψ i = λ max ψ i, r i = 1 z prawdop. p; 0 z (1 p) ; ψ i+1 + ψ i 1 2ψ i + (r i 1)ψ i = (λ max 3)ψ i Lifshitz, Nieuwenhuizen, Luck ( ψ) i + v i ψ i = E 0 ψ i ; v i = 1 r i ; E 0 = 3 λ max lokalizacja na najdłuższej sekwencji szczebli: Lp n (1 p) 2 1 n ln L/ ln p ψ i sin iπ/(n + 1); E 0 π 2 /n 2
Przykład 1-wymiarowy + argument Lifshitza graf drabinowy z losowo usuniętymi szczeblami: ψ i+1 + ψ i 1 + r i ψ i = λ max ψ i, r i = 1 z prawdop. p; 0 z (1 p) ; ψ i+1 + ψ i 1 2ψ i + (r i 1)ψ i = (λ max 3)ψ i Lifshitz, Nieuwenhuizen, Luck ( ψ) i + v i ψ i = E 0 ψ i ; v i = 1 r i ; E 0 = 3 λ max lokalizacja na najdłuższej sekwencji szczebli: Lp n (1 p) 2 1 n ln L/ ln p ψ i sin iπ/(n + 1); E 0 π 2 /n 2
Przykład 1-wymiarowy + argument Lifshitza graf drabinowy z losowo usuniętymi szczeblami: ψ i+1 + ψ i 1 + r i ψ i = λ max ψ i, r i = 1 z prawdop. p; 0 z (1 p) ; ψ i+1 + ψ i 1 2ψ i + (r i 1)ψ i = (λ max 3)ψ i Lifshitz, Nieuwenhuizen, Luck ( ψ) i + v i ψ i = E 0 ψ i ; v i = 1 r i ; E 0 = 3 λ max lokalizacja na najdłuższej sekwencji szczebli: Lp n (1 p) 2 1 n ln L/ ln p ψ i sin iπ/(n + 1); E 0 π 2 /n 2
Przykład 1-wymiarowy + argument Lifshitza graf drabinowy z losowo usuniętymi szczeblami: ψ i+1 + ψ i 1 + r i ψ i = λ max ψ i, r i = 1 z prawdop. p; 0 z (1 p) ; ψ i+1 + ψ i 1 2ψ i + (r i 1)ψ i = (λ max 3)ψ i Lifshitz, Nieuwenhuizen, Luck ( ψ) i + v i ψ i = E 0 ψ i ; v i = 1 r i ; E 0 = 3 λ max lokalizacja na najdłuższej sekwencji szczebli: Lp n (1 p) 2 1 n ln L/ ln p ψ i sin iπ/(n + 1); E 0 π 2 /n 2
Przykład numeryczny π i = ψ 2 i for L = 500; q =1 p = 0.01, 0.1. ln Πi ln Πi 0 5 10 15 20 25 0 100 200 300 400 500 0 20 40 60 80 0 100 200 300 400 500
Test numeryczny E 0 (π ln p / ln L) 2 L = 20,..., 960; q =1 p = 0.1 E0-1/2 16 14 12 10 8 6 4 3 4 5 6 7 ln L
Sfery Lifshitza dla D > 1 ( ψ) i + v i ψ i = E 0 ψ i ( ψ) i = E 0 ψ i z warunkami Dirichleta w największym obszarze sferycznym bez defektów (SFERA LIFSHITZA); w 2-wymiarach promień sfery R (ln L/(π ln p )) 1/2
Podsumowanie GRW maksymalizuje lokalnie (zachłannie) entropię MERW maksymalizuje globalnie entropię trajektorii Podobna filozofia do zasady minimalnego działania GRW = MERW na sieci regularnej Lokalizacja MERW w przypadku losowych defektów Klasyczny przykład lokalizacji Lokalizacja zwiazana jest ze stanami Lifshitza Ciekawa nierówność: ( i k k i i ) 1 2L λ max
Podsumowanie GRW maksymalizuje lokalnie (zachłannie) entropię MERW maksymalizuje globalnie entropię trajektorii Podobna filozofia do zasady minimalnego działania GRW = MERW na sieci regularnej Lokalizacja MERW w przypadku losowych defektów Klasyczny przykład lokalizacji Lokalizacja zwiazana jest ze stanami Lifshitza Ciekawa nierówność: ( i k k i i ) 1 2L λ max
Podsumowanie GRW maksymalizuje lokalnie (zachłannie) entropię MERW maksymalizuje globalnie entropię trajektorii Podobna filozofia do zasady minimalnego działania GRW = MERW na sieci regularnej Lokalizacja MERW w przypadku losowych defektów Klasyczny przykład lokalizacji Lokalizacja zwiazana jest ze stanami Lifshitza Ciekawa nierówność: ( i k k i i ) 1 2L λ max
Podsumowanie GRW maksymalizuje lokalnie (zachłannie) entropię MERW maksymalizuje globalnie entropię trajektorii Podobna filozofia do zasady minimalnego działania GRW = MERW na sieci regularnej Lokalizacja MERW w przypadku losowych defektów Klasyczny przykład lokalizacji Lokalizacja zwiazana jest ze stanami Lifshitza Ciekawa nierówność: ( i k k i i ) 1 2L λ max
Zastosowania i spekulacje Kwantowe amplitudy w zakrzywionej czasoprzestrzeni K ab = e S E ; S E t t γ (t) ab Bariery entropiczne i dynamika szkła spinowego; Model quasi-gatunków 000 001 0000 0001 00 01 100 101 1000 0100 0101 1100 1101 1001 010 011 1010 1011 0010 1111 1110 0011 10 11 110 111 0110 0111
Zastosowania i spekulacje Kwantowe amplitudy w zakrzywionej czasoprzestrzeni K ab = e S E ; S E t t γ (t) ab Bariery entropiczne i dynamika szkła spinowego; Model quasi-gatunków 000 001 0000 0001 00 01 100 101 1000 0100 0101 1100 1101 1001 010 011 1010 1011 0010 1111 1110 0011 10 11 110 111 0110 0111
Zastosowania i spekulacje Kwantowe amplitudy w zakrzywionej czasoprzestrzeni K ab = e S E ; S E t t γ (t) ab Bariery entropiczne i dynamika szkła spinowego; Model quasi-gatunków 000 001 0000 0001 00 01 100 101 1000 0100 0101 1100 1101 1001 010 011 1010 1011 0010 1111 1110 0011 10 11 110 111 0110 0111
Dynamika MERW 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 10 20 30 40 0 0 10 20 30 40
Dynamika MERW 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 10 20 30 40 0 0 10 20 30 40
Dynamika MERW 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 10 20 30 40 0 0 10 20 30 40
Dynamika MERW 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 10 20 30 40 0 0 10 20 30 40
Dynamika MERW 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 10 20 30 40 0 0 10 20 30 40
Dynamika MERW 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 10 20 30 40 0 0 10 20 30 40
Dynamika MERW 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 10 20 30 40 0 0 10 20 30 40
Dynamika MERW 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 10 20 30 40 0 0 10 20 30 40
Dynamika MERW 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 10 20 30 40 0 0 10 20 30 40
Dynamika MERW 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 10 20 30 40 0 0 10 20 30 40
Dynamika MERW 40 40 30 30 20 20 10 10 0 0 10 20 30 40 0 0 10 20 30 40